Kelebihan dan Kekurangan Metode Ekspansi Kofaktor

Cover Ekspansi Kofaktor Profematika

Apa itu Ekspansi Kofaktor?

Metode ekspansi kofaktor adalah suatu metode untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor yang mengutamakan kemampuan berhitung secara manual dan secara teoritis.

Lalu apa itu kofaktor?

Metode Sarrus Pada Matriks 3x3
Metode Sarrus
Metode Kupu-Kupu Pada Matriks 2x2
Metode Kupu-Kupu

 

Sebelum mengenal apa itu kofaktor, mari kita ingat kembali pada saat duduk di bangku SMA kita sudah mengenal dan memahami aturan sarrus (untuk matriks 3×3) dan metode kupu-kupu (untuk matriks 2×2).

Perhatikan contoh berikut :

Didefinisikan matriks \(A\) dan \(B\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}}\right]$$

Kita akan menentukan determinan matriks \(A\) dan \(B\). Berdasarkan metode kupu-kupu pada matriks \(A\) kita peroleh :

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\\&=a_{11}(-1)^{1+1}a_{22}+a_{12}(-1)^{1+2}a_{21}\\&=a_{11}(-1)^{1+1}\left|{a_{22}}\right|+a_{12}(-1)^{1+2}\left|{a_{21}}\right|\end{aligned}$$

dan pada matriks \(B\) dengan berdasarkan aturan sarrus dan kupu-kupu kita peroleh :

$$\begin{aligned}\text{det}(B)&=b_{11}b_{22}b_{33}+b_{12}b_{23}b_{31}+b_{13}b_{21}b_{32}-b_{13}b_{22}b_{31}-b_{11}b_{23}b_{32}-b_{12}b_{21}b_{33}\\&=b_{11}(-1)^{1+1}\left({b_{22}b_{33}-b_{23}b_{32}}\right)+b_{12}(-1)^{1+2}\left({b_{21}b_{33}-b_{23}b_{31}}\right)+b_{13}(-1)^{1+3}\left({b_{21}b_{32}-b_{22}b_{31}}\right)\\&=b_{11}(-1)^{1+1}\left|{\begin{array}{cc}b_{22}&b_{23}\\b_{32}&b_{33}\end{array}}\right|+b_{12}(-1)^{1+2}\left|{\begin{array}{cc}b_{21}&b_{23}\\b_{31}&b_{33}\end{array}}\right|+b_{13}(-1)^{1+3}\left|{\begin{array}{cc}b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{array}}\right|\end{aligned}$$

Dari pernyataan di atas bahwa determinan matriks \(B\) dapat dicari dengan menggunakan determinan matriks yang lebih kecil, begitu pula pada matriks \(A\).

Kemudian pada contoh di atas tanpa kita sadari, juga telah menerapkan konsep kofaktor, untuk lebih jelasnya, berikut definisi kofaktor :

Definisi Kofaktor : Jika \(A_{n\times n}=\left[{a_{ij}}\right]\) maka kofaktor dari \(a_{ij}\) dapat lambangkan \(C_{ij}\) dan \(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\), dengan \(M_{ij}\) menyatakan minor dari \(a_{ij}\) dan \(M_{ij}\) adalah determinan dari submatriks \(A\) yang diperoleh dengan mencoret semua entri pada baris ke-\(i\) dan semua entri pada kolom ke-\(j\).

Baca juga : Definisi Fungsi Determinan dengan Perkalian Elementer

Contoh 1 :

Tentukan minor dan kofaktor dari entri \(a_{12}, a_{31}\) dan \(a_{23}\) pada matriks \(A\) berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&-1&1\\1&0&-1\\2&-2&0\end{array}}\right]$$

Penyelesaian :

Menghitung Minor Matriks Persegi

Minor \(a_{12}\) diperoleh dengan cara mencoret semua entri pada baris ke-\(1\) dan semua entri pada kolom ke-\(2\), kemudian dihitung determinannya :

$$M_{12}=\left|{\begin{array}{cc}1&-1\\2&0\end{array}}\right|=(1)(0)-(-1)(2)=2$$

dan kofaktor dari \(a_{12}\) adalah :

$$C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\times 2=-2$$

Dengan cara yang sama kita cari minor dan kofaktor dari \(a_{31}\) dan \(a_{23}\).

$$M_{31}=\left|{\begin{array}{cc}-1&1\\0&-1\end{array}}\right|=1~\text{sehingga}~C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=1$$

dan

$$M_{23}=\left|{\begin{array}{cc}2&-1\\2&-2\end{array}}\right|=-2~\text{sehingga}~C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=2$$

Selanjutnya kita akan menghitung determinan suatu matriks persegi dengan menerapkan konsep ekspansi kofaktor.

Menghitung Determinan dengan Metode Ekspansi Kofaktor

Determinan dari matriks \(A_{n\times n}=\left[{a_{ij}}\right]~\forall~i,j =\{1,2,3,\dots,n\}\) dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris atau dalam suatu kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Kemudian menjumlahkan semua hasil-hasil kali yang dihasilkan, atau dapat ditulis :

$$\text{det}(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\dots+a_{in}C_{in}$$

(Karena baris ke-\(i\) menjadi acuan, maka disebut juga ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-\(i\))

$$\text{det}(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\dots+a_{nj}C_{in}$$

(Karena kolom ke-\(j\) menjadi acuan, maka disebut juga ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-\(j\))

Contoh 2 :

Didefinisikan matriks \(A\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}3&0&-2\\2&5&1\\-1&3&1\end{array}}\right]$$

Dengan metode ekspansi kofaktor tentukan determinan matriks \(A\).

Penyelesaian :

Tips : pilih baris atau kolom yang mengandung banyak unsur/entri nol agar perhitungan menjadi lebih mudah.

Kita pilih baris pertama (\(a_{12}=0\)) sehingga kita dapat tuliskan :

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}\\&=a_{11}C_{11}+a_{13}C_{13}\dots(*)\end{aligned}$$

Kemudian kita cari nilai dari masing-masing kofaktor :

$$M_{11}=\left|{\begin{array}{cc}5&1\\3&1\end{array}}\right|=2~\Rightarrow~C_{11}=(-1)^{1+1}(2)=2$$
$$M_{13}=\left|{\begin{array}{cc}2&5\\-1&3\end{array}}\right|=11~\Rightarrow~C_{13}=(-1)^{1+3}(11)=11$$

Sehingga jika kita subtitusikan ke persamaan \((*)\) akan diperoleh :

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}C_{11}+a_{13}C_{13}\\&=3(2)+(-2)(11)\\&=-16\end{aligned}$$

Baca juga : Alasan Metode Sarrus Hanya Berlaku pada Matriks 3×3

Kelebihan Metode Ekspansi Kofaktor

1. Dapat diterapkan pada matriks persegi 2×2 atau lebih.

Jika metode sarrus terbatas pada ordo \(3 \times 3\) maka untuk menghitung determinan dengan ordo yang lebih tinggi \((4\times 4, 5\times5,\dots,n\times n)\) dapat menggunakan metode ekspansi kofaktor.

Kenapa dimulai dari matriks 2×2 ?

Hal ini karena pada matriks 1×1 dalam mencari determinannya cukup menggunakan definisi saja, dimana jika terdapat matriks \(A_{1\times1}=\left[a_{11}\right]\) maka determinannya adalah \(\text{det}(A)=a_{11}\).

2. Efektif untuk yang suka perhitungan manual dan secara teoritis.

Hal ini didapat dari perbandingan dengan metode lainnya seperti aturan sarrus dan reduksi baris, dimana masing-masing mempunyai kelebihan tersendiri. Ekspansi kofaktor juga sekaligus dapat melatih ketahanan dalam berhitung, kita ambil contoh pada saat mencari determinan \(A_{5\times 5}\) maka kita akan menemukan determinan dari submatriks dari \(A\) yang berukuran \(4 \times 4\), dimana determinan dari submatriks tersebut kita hitung juga dengan ekspansi kofaktor sehingga akan ditemukan determinan submatriks dari submatriks \(A\) yang berukuran \(3 \times 3\) dan seterusnya.

Asalkan paham konsep dari ekspansi kofaktor dan mempunyai hitungan yang tepat maka metode ekspansi kofaktor akan efektif dilakukan.

3. Konsep kofaktor berguna untuk mencari invers matriks.

Pada saat duduk dibangku SMA pasti sudah mengenal rumus mencari invers berikut :

$$A_{n\times n}^{-1}=\frac{\text{Adjoin}(A)}{\text{det}(A)}$$

Pada persamaan tersebut terdapat Adjoin\((A)\) yang didefinisikan sebagai transpose matriks kofaktor dari \(A\) dapat kita tuliskan :

$$\text{Matriks kofaktor A}=\left[{\begin{array}{cccc}C_{11}&C_{12}&\dots&C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\dots&C_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\C_{n1}&C_{n2}&\dots&C_{nn}\end{array}}\right]$$

Maka :

$$\text{Adjoin}(A)=\left[{\begin{array}{cccc}C_{11}&C_{21}&\dots&C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\dots&C_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\C_{1n}&C_{2n}&\dots&C_{nn}\end{array}}\right]$$

Dari kenyataan tersebut, jelas bahwa konsep kofaktor dapat dimanfaatkan untuk mencari invers matriks. Sehingga tidak ada salahnya mempelajari ekspansi kofaktor, namun disamping itu metode ekspansi kofaktor menurut penulis masih terdapat kekurangan.

Kekurangan Metode Ekspansi Kofaktor

Menurut penulis metode ekspansi kofaktor dalam segi kecepatan masih kurang jika dibandingkan dengan metode campuran yaitu gabungan dari macam-macam metode(sarrus, kupu-kupu, ekspansi kofaktor, reduksi baris dan lainnya) yang dipadukan dengan sifat-sifat determinan.

Pada postingan ini kita tidak akan membahas mengenai metode reduksi baris. Sehingga sekarang untuk membuktikan argumen tersebut, saya asumsikan kita sudah memahami metode reduksi baris.

Contoh 3 :

Misalkan kita akan menghitung determinan matriks \(A\) sebagai berikut :

$$\text{det}(A)=\left|{\begin{array}{cccc}1&4&5&-2\\2&7&2&1\\1&6&4&-1\\-3&3&1&2\end{array}}\right|$$

Kita akan mereduksi matriks tersebut dengan mengenakan operasi baris elementer :

  • \(-2R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\)
  • \(-R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)
  • \(3R_{1}+R_{4}\rightarrow R_{4}\)

secara berturut-turut sehingga kita peroleh :

$$\text{det}(A)=\left|{\begin{array}{cccc}1&4&5&-2\\0&-1&-8&5\\0&2&-1&1\\0&15&16&-4\end{array}}\right|$$

Nah, selanjutnya kita kenakan metode ekspansi kofaktor, kita pilih entri-entri pada kolom pertama dimana \(a_{11}=1\) dan \(a_{21}=a_{31}=a_{41}=0\).

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}+a_{41}C_{41}\\&=C_{11}\end{aligned}$$

Dengan aturan sarrus kita peroleh :

$$\begin{aligned}M_{11}&=\left|{\begin{array}{cccc}-1&-8&5\\2&-1&1\\15&16&-4\end{array}}\right|\\&=(-1)(-1)(-4)+(-8)(1)(15)+(5)(2)(16)-(5)(-1)(15)-(-1)(1)(16)-(-8)(2)(-4)\\&=63\end{aligned}$$

Sehingga kita peroleh :

$$\text{det}(A)=C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=(1)63=63$$

Jadi dengan menggunakan metode campuran akan lebih efektif, namun kita dituntut untuk sekreatif mungkin untuk menyusun alur perhitungan yang termudah.

Konsep Gabungan Matriks Elementer dan OBE untuk Mencari Invers

Penerapan Matriks Elementer

Penerapan Matriks Elementer

Pada pembahasan sebelumnya, kita sudah mengenal tentang Definisi Matriks Elementer dan Sifatnya. Nah sekarang ini kita akan membahas lebih lanjut mengenai kegunaan dari matriks elementer.

Dalam mencari invers suatu matriks selain menggunakan adjoint, kita juga bisa menggunakan konsep gabungan antara matriks elementer dan metode eliminasi gauss-jordan.

Lalu bagaimana caranya ?

Eits.. Sebelum kita tahu caranya, kita harus tahu konsep dasarnya dulu. Pertama kita cari tahu sifat-sifat matriks invers.

Sifat-sifat Matriks Invers

Definisi 1

Jika \(A\) adalah matriks persegi, dan jika terdapat matriks \(B\) sehingga \(AB=BA=I\) maka matriks \(A\) dikatakan dapat dibalik (invertible) dan \(B\) disebut juga invers dari \(A\) atau dapat ditulis \(B=A^{-1}\).

Teorema 1 (Sifat dari Matriks Invers)

  1. Jika matriks \(A\) dapat dibalik maka \(A^{-1}\) dapat dibalik dan berlaku :

    $$(A^{-1})^{-1}=A$$

    Bukti : Matriks \(A\) dapat dibalik sehingga berdasarkan definisi 1 maka \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\) dan karena  \(A^{-1}\) dapat dibalik maka \((A^{-1})^{-1}=A\).

  2. Jika \(A\) matriks yang dapat dibalik dan \(c\) adalah skalar yang tidak sama dengan nol, maka \(cA\) dapat dibalik dan berlaku :

    $$(cA)^{-1}=\frac{1}{c}A^{-1}$$

    Bukti : Berdasarkan definisi 1, pembuktian bagian ini equivalen dengan cukup membuktikan persamaan \((cA)(\frac{1}{c}A^{-1})=(\frac{1}{c}A^{-1})(cA)=I\). Sehingga berdasarkan sifat-sifat operasi matriks kita peroleh :

    $$(cA)(\frac{1}{c}A^{-1})=\frac{1}{c}(cA)A^{-1}=(\frac{1}{c}c)AA^{-1}=(1)I=I\dots(i)$$

    Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh \((\frac{1}{c}A^{-1})(cA)=I\dots(ii)\) sehingga dari persamaan \((i)\) dan \((ii)\) kita dapatkan \((cA)(\frac{1}{c}A^{-1})=(\frac{1}{c}A^{-1})(cA)=I\), sesuai yang diminta.

  3. Jika matriks \(A\) dan \(B\) dapat dibalik dan memiliki ordo yang sama, maka \(AB\) dapat dibalik dan berlaku :

    $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$

    Bukti : Kita gunakan cara yang seperti sebelumnya yaitu berdasarkan definisi 1, kita cukup membuktikan bahwa \((AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})(AB)=I\), perhatikan persamaan berikut :

    $$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=A(I)A^{-1}=AA^{-1}=I\dots(i)$$

    Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh \((B^{-1}A^{-1})(AB)=I\dots(ii)\) sehingga dari persamaan \((i)\) dan \((ii)\) kita dapatkan \((AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})(AB)=I\), sesuai yang diminta.

  4. Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka \(A^{T}\) (Transpose Matriks) dapat dibalik dan berlaku :

    $$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$$

    Bukti : Berdasarkan sifat-sifat operasi matriks terhadap operasi transpose maka :

    $$(A^{-1})^{T}A^{T}=(AA^{-1})^{T}$$

    $$\Leftrightarrow (A^{-1})^{T}A^{T}=I^T=I\dots(i)$$

    Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh \(A^{T}(A^{-1})^{T}=I\dots(ii)\) sehingga dari persamaan \((i)\) dan \((ii)\) kita dapatkan \((A^{-1})^{T}A^{T}=A^{T}(A^{-1})^{T}=I\), kemudian berdasarkan definisi 1, didapat \((A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}\).

  5. Jika matriks \(A\) dapat dibalik dan \(c\) adalah bilangan bulat tak negatif maka \(A^{c}\) dapat dibalik dan berlaku :

    $$(A^{c})^{-1}=(A^{-1})^{c}$$

    Bukti : Dengan berdasarkan sifat-sifat operasi matriks terhadap operasi perkalian maka :

    $$A^{c}(A^{-1})^{c}=A^{c}A^{-c}=A^{c+(-c)}=A^{0}=I\dots(i)$$

    Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh \((A^{-1})^{c}A^{c}=I\dots(ii)\) sehingga dari persamaan \((i)\) dan \((ii)\) kita dapatkan \(A^{c}(A^{-1})^{c}=(A^{-1})^{c}A^{c}=I\), sehingga berdasarkan definisi 1, kita dapatkan \((A^{c})^{-1}=(A^{-1})^{c}\).

Corollary 1 : Akibat dari teorema 1 bagian (c), jika \(A_{1},~A_{2},\dots,~A_{k}\) adalah matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama dan dapat dibalik, maka hasil kali matriks-matriks tersebut \((A_{1}A_{2}\dots A_{k})\) juga dapat dibalik atau dapat ditulis :

$$(A_{1}A_{2}\dots A_{k})^{-1}=A_{k}^{-1}A_{k-1}^{-1}\dots A_{1}^{-1}$$

Teorema 2 (Teorema Dasar untuk Matriks yang Invertible)

Jika \(A\) adalah matriks persegi \(n \times n\) kemudian \(\vec{x}\) dan \(\vec{b}\) adalah vektor kolom \(n\times 1\), maka pernyataan-pernyataan berikut saling ekuivalen (semuanya benar atau semuanya salah).

  1. Matriks \(A\) bersifat invertible (dapat dibalik).
  2. \(A\vec{x}=\vec{b}\) mempunyai solusi unik untuk setiap \(\vec{b} \in \mathbb{R}^{n}\).
  3. \(A\vec{x}=\vec{0}\) hanya mempunyai solusi pemecahan trivial.
  4. Bentuk eselon baris tereduksi dari matriks \(A\) adalah matriks satuan \(I_{n\times n}\).
  5. \(A\) dapat dinyatakan sebagai hasil kali beberapa matriks elementer.

Bukti :

Untuk membuktikan pernyataan-pernyataan di atas saling ekuivalen, kita cukup membuktikan rantai implikasi berikut : \((a)\Rightarrow(b)\Rightarrow(c)\Rightarrow(d)\Rightarrow(e)\Rightarrow(a)\).

Langkah 1

\((a)\Rightarrow(b)\), karena \(A\) dapat dibalik maka berlaku \(A(A^{-1}\vec{b})=(AA^{-1})\vec{b}=I\vec{b}=\vec{b}\), kemudian kita dapat mengatur \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\) yang merupakan solusi dari  persamaan \(A\vec{x}=\vec{b}\). Lalu kita pastikan bahwa solusi dari persamaan tersebut tunggal yakni \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\). Kita mulai dari persamaan awal :

$$A\vec{x}=\vec{b}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}A\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$$

$$\Leftrightarrow I\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$$

$$\Leftrightarrow \vec{x}=A^{-1}\vec{b}$$

Sehingga jelaslah bahwa penulisan \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\) bersifat tunggal.

Langkah 2

\((b)\Rightarrow(c)\), berdasarkan pernyataan \((b)\) dengan mengatur \(\vec{b}=\vec{0}\) maka kita dapatkan solusi tunggal yaitu :

$$A\vec{x}=\vec{0}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}A\vec{x}=A^{-1}\vec{0}$$

$$\Leftrightarrow I\vec{x}=\vec{0}$$

$$\Leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\\vdots\\0\end{array}}\right]$$

Jadi persamaan \(A\vec{x}=\vec{0}\) hanya mempunyai solusi trivial \(\vec{x}=\vec{0}\).

Langkah 3

\((c)\Rightarrow(d)\), pada pembahasan sebelumnya mengenai SIstem Persamaan Linear Homogen, kita tahu bahwa persamaan \(A\vec{x}=\vec{0}\) dapat kita tuliskan sebagai berikut :

$$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n} =0$$
$$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n} =0$$

$$\vdots$$

$$a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots+a_{nn}x_{n} =0$$

Kemudian kita representasikan kedalam bentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&0\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}&0\end{array}}\right]$$

Karena solusi dari persamaan \(A\vec{x}=\vec{0}\) tunggal, maka hanya mempunyai pemecahan trivial \(x_{1}=0,~x_{2}=0,\dots,~x_{n}=0\). Sehingga jika kita gunakan eliminasi gauss jordan kita akan mendapatkan bentuk eselon baris tereduksi sebagai berikut :

$$\left[{\begin{array}{cccc|c}1&0&\dots&0&0\\0&1&\dots&0&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\dots&1&0\end{array}}\right]$$

Bentuk di atas akan senilai dengan :

$$\left[{\begin{array}{cccc}1&0&\dots&0\\0&1&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\\vdots\\0\end{array}}\right]$$

Dari bentuk terakhir di atas dapat kita simpulkan bahwa \(A\) dapat direduksi menjadi \(I_{n\times n}\) dengan menggunakan operasi baris elementer.

Langkah 4

\((d)\Rightarrow(e)\Rightarrow(a)\), berdasarkan \((d)\) bahwa \(A\) dapat direduksi menjadi \(I_{n\times n}\) dengan urutan berhingga dari operasi-operasi baris elementer (kita misalkan terdapat \(k\) kali OBE).

Kemudian jika didefinisikan \(L_{i}\) menyatakan operasi baris elementer yang dilakukan pada urutan ke-\(i\) dengan \(i=\{1,2,\dots,k\}\). Maka kita dapat mencari matriks elementer \(E_{1},~E_{2},\dots,~E_{k}\) sebagai berikut :

$$I\xrightarrow[]{L_{1}}E_{1}$$

$$I\xrightarrow[]{L_{2}}E_{2}$$

$$\vdots$$

$$I\xrightarrow[]{L_{k}}E_{k}$$

Mengingat kembali jika matriks elementer \(E\) dihasilkan dengan melakukan satu kali Operasi Baris Elementer(OBE) tertentu pada matriks identitas \(I_{n\times n}\). Kemudian jika OBE yang sama dikenakan pada sebarang matriks \(B_{n\times m}\) maka hasilnya akan sama dengan hasil kali \(EB\), lihat contohnya disini.

Sehingga berdasarkan pernyataan di atas, jika matriks \(A\) kita kenakan OBE dari urutan ke-\(1\) sampai ke-\(k\) secara berturut-turut, maka kita peroleh hubungan :

$$A\xrightarrow[]{L_{1}}E_{1}A$$

$$E_{1}A\xrightarrow[]{L_{2}}E_{2}E_{1}A$$

$$\vdots$$

$$E_{k-1}\dots E_{2}E_{1}A\xrightarrow[]{L_{k}}E_{k}\dots E_{2}E_{1}A$$

Karena bentuk eselon baris tereduksi dari \(A\) adalah \(I_{n\times n}\) maka \(E_{k}\dots E_{2}E_{1}A=I_{n\times n}\dots(*)\). Kemudian karena matriks elementer dapat dibalik dan inversnya berupa matriks elementer, maka dengan mengalikan kedua ruas persamaan \((*)\) dengan  matriks elementer \(E_{k}^{-1},\dots,~E_{2}^{-1},~E_{1}^{-1}\) secara berturut-turut didapat :

$$A=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}\dots E_{k}^{1}I_{n\times n}^{-1}$$

Karena \(A\) dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks elementer yang dapat dibalik maka dapat disimpulkan \(A\) dapat dibalik. Untuk melihat lebih jelas, kita gunakan corollary 1 sehingga didapat :

$$A^{-1}=(E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}\dots E_{k}^{-1}I_{n\times n}^{-1})^{-1}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}=(I_{n\times n}^{-1})^{-1}(E_{k}^{-1})^{-1}\dots (E_{2}^{-1})^{-1}(E_{1}^{-1})^{-1}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}=I_{n\times n}E_{k}\dots E_{2}E_{1}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}=E_{k}\dots E_{2}E_{1}I_{n\times n}\dots(**)$$

Konsep Mencari Invers dengan Matriks Elementer

JIka kita perhatikan persamaan \((**)\) maka kita dapat memperoleh \(A^{-1}\) dengan mengalikan \(I_{n\times n}\) dari sebelah kiri berturut-turut dengan \(E_{1},~E_{2},\dots,~E_{k}\). Kemudian berdasarkan persamaan \((*)\) dan \((**)\) maka dapat kita simpulkan bahwa urutan langkah-langkah OBE yang dilakukan pada \(A\) akan membawa kebentuk matriks satuan \(I_{n \times n}\) dan langkah-langkah yang sama jika dikenakan pada matriks satuan \(I_{n \times n}\) akan menghasilkan \(A^{-1}\). Untuk lebih jelasnya dapat kita tuliskan sebagai berikut :

$$\left[{A\mid I}\right]\xrightarrow[]{L_{1},~L_{2},\dots,~L_{k}}\left[{I\mid A^{-1}}\right]$$

Contoh 1 (Dapat Dibalik)

Didefinisikan matriks \(A\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\7&2&8\\2&0&1\end{array}}\right]$$

Tentukan invers matriks tersebut (bila ada).

Penyelesaian :

Syarat \(A\) matriks persegi sudah terpenuhi, sehingga kita dapat menuliskan :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{7}&\color{blue}{2}&\color{blue}{8}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{2}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Perlu diingat bahwa tujuan kita adalah mereduksi matriks \(A\) (biru) sehingga membentuk eselon baris tereduksi, maka kita akan menggunakan metode gauss-jordan dengan OBE.

Karena pada baris pertama sudah terdapat 1 utama, maka kita sederhanakan baris ke-\(2\) dengan operasi \(-7R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\) sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-26}&\color{blue}{-27}&\color{red}{-7}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{2}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Begitu pula pada baris ke-\(3\) kita sederhanakan dengan operasi \(-2R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-26}&\color{blue}{-27}&\color{red}{-7}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-8}&\color{blue}{-9}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita sederhanakan lagi baris ke-2 dengan operasi \(-3R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}\) sehingga didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-2}&\color{blue}{0}&\color{red}{-1}&\color{red}{1}&\color{red}{-3}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-8}&\color{blue}{-9}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Selanjutnya kita buat 1 utama pada baris ke-2 dengan operasi \(-\frac{1}{2}R_{2}\rightarrow R_{2}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-8}&\color{blue}{-9}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Dan tidak lupa kita sederhanakan baris ke-\(3\) dengan operasi \(8R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{-9}&\color{red}{2}&\color{red}{-4}&\color{red}{13}\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Kita buat 1 utama pada baris ke-3 dengan operasi \(-\frac{1}{9}R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Disusul penyederhanaan baris ke-\(1\) dengan operasi \(-4R_{2}+R_{1}\rightarrow R_{1}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{blue}{5}&\color{red}{-1}&\color{red}{2}&\color{red}{-6}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Dan juga disederhanakan lagi dengan operasi \(-5R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}\) untuk memperoleh hasil akhir :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{9}}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{11}{9}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Jadi dari bentuk matriks di atas diperoleh :

$$A^{-1}=\left[{\begin{array}{ccc}\color{red}{\frac{1}{9}}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{11}{9}}\\\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Contoh 2 (Tidak Dapat Dibalik)

Didefinisikan matriks \(A\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&-3&-5\\1&4&0\\4&5&-5\end{array}}\right]$$

Tentukan invers matriks tersebut (bila ada).

Penyelesaian :

Pertama kita nyatakan dalam bentuk :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{2}&\color{blue}{-3}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Kita tentukan 1 utama dengan operasi \(R_{2}\leftrightarrow R_{1}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{2}&\color{blue}{-3}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Kita sederhanakan baris ke-\(2\) dengan operasi \(-2R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}\\\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Kemudian sederhanakan baris ke-\(3\) dengan operasi \(-4R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{-4}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita sederhanakan baris ke-\(3\) dengan operasi \(-1R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}\) dan kita dapatkan sesuatu yang unik :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{red}{-1}&\color{red}{-2}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Kita perhatikan baris ketiga (biru) terdapat baris bilangan nol, akibatnya \(A\) tidak dapat dibentuk menjadi matriks satuan sehingga berdasarkan teorema 2, akibatnya \(A\) tidak dapat dibalik.

Eliminasi Gauss Jordan beserta Contoh Penerapannya

Eliminasi Gauss Jordan

Siapa itu Gauss dan Jordan ?

Carl Friedrich Gauss
Sumber : https://www.britannica.com/biography/Carl-Friedrich-Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Jerman yang mempunyai julukan “Prince of Mathematics”. Dia juga yang menemukan eliminasi gauss yang kemudian disempurnakan menjadi eliminasi gauss-jordan. Baca lebih lengkap mengenai Eliminasi Gauss dan Contoh Penerapannya.

Camille Jordan
Sumber : https://en.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan

Camille Jordan (1838-1922) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Prancis yang juga seorang profesor di Ecole polytechnique, Paris. Konstribusinya didalam teori matriks dan terkenal dengan teorema buatannya, yaitu Teorema Kurva Jordan yang ditulis dalam bukunya yang berjudul Cours d’Analyse.

Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah prosedur pemecahan sistem persamaan linear dengan mengubahnya menjadi bentuk matriks eselon baris tereduksi dengan Operasi Baris Elementer.

Perhatikan ilutrasi berikut :

Ilustrasi Eliminasi Gauss Jordan

Lalu apa itu eselon baris tereduksi?

Bentuk Eselon Baris Tereduksi

Matriks Eselon Baris Tereduksi adalah sebuah bentuk matriks eselon baris yang lebih disederhanakan yang bertujuan agar lebih mudah dalam pencarian pemecahan (solusi) dari suatu sistem persamaan .

Agar mencapai bentuk eselon baris tereduksi diperlukan 4 sifat yang terdiri 3 sifat bentuk eselon baris dan 1 sifat khusus.

Berikut 4 sifat agar terbentuk eselon baris tereduksi :

  1. Jika suatu baris yang semua elemennya tidak nol semua, maka bilangan tidak nol pertama dalam baris tersebut adalah 1. Bisa kita sebut dengan 1 utama/pertama.
  2. Jika terdapat baris yang semuanya elemennya bernilai nol, maka semua baris yang seperti itu harus dikelompokkan dan diletakkan  di bawah matriks.
  3. Setiap dua baris yang berurutan yang memenuhi sifat ke-1, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah letaknya harus lebih kekanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.

    Berikut contoh matriks eselon baris yang memenuhi ketiga sifat di atas :

    $$A=\left[{\begin{array}{ccccc}0&1&0&0&5\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&-2\end{array}}\right],~C=\left[{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}}\right]$$

    Di materi sebelumnya tentang eliminasi gauss sudah dijelaskan secara lebih jelas dan runtut mengenai Bentuk Eselon Baris (3 sifat diatas) dan disertai contoh yang menarik. Jadi disarankan membaca dulu materi tentang Eliminasi Gauss.

  4. Sifat ke-4 ini merupakan sifat khusus yaitu setiap kolom yang mengandung 1 utama maka elemen-elemen lain selain 1 utama bernilai nol.

    Berikut contoh matriks eselon baris tereduksi yang memenuhi keempat syarat di atas :

    $$A=\left[{\begin{array}{cccc}0&\color{red}{1}&1&\color{blue}{0}\\0&\color{red}{0}&0&\color{blue}{1}\\0&\color{red}{0}&0&\color{blue}{0}\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}\color{red}{1}&\color{blue}{0}&\color{green}{0}\\\color{red}{0}&\color{blue}{1}&\color{green}{0}\\\color{red}{0}&\color{blue}{0}&\color{green}{1}\end{array}}\right],~C=\left[{\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}}\right]$$

Setelah memahami bentuk eselon baris tereduksi selanjutnya kita akan mencoba memecahkan sistem persamaan linear dengan eliminasi gauss-jordan yakni dengan cara merepresentasikan kedalam  matriks kemudian mengubahnya kebentuk eselon baris tereduksi.

Penerapan Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi gauss-jordan akan lebih terasa bermanfaat jika sistem persamaan linear tersebut terdiri dari banyak persamaan dan variabel, semisal sistem tersebut mempunyai 5 persamaan dan 5 variabel di dalamnya. Selain itu, eliminasi gauss dan eliminasi gauss-jordan juga dapat diterapkan pada sistem persamaan taklinear tertentu (lihat pada contoh ke-2).

Sebenarnya pemecahan SPL dengan metode eliminasi gauss-jordan sudah diterapkan pada postingan sebelumnnya, yaitu pada materi Pemecahan SPL dengan Operasi Baris Elementer yang mana terdapat 3 contoh unik (solusi tunggal, banyak solusi dan tidak punya solusi). Ketiga contoh tersebut dikerjakan dengan prosedur eliminasi gauss-jordan yang dilakukan secara jelas dan runtut.

Sehingga sekarang agar lebih menarik kita akan mencoba variasi soal yang lebih unik.

Contoh 1 (Linear)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

\(x+2y-3z=4\)
\(3x-y+5z=2\)
\(4x+y+(k^2 -14)z=k+2\)

Tentukan nilai \(k\) agar SPL di atas :

  1. Tidak mempunyai penyelesaian;
  2. Tepat mempunyai satu penyelesaian;
  3. Mempunyai tak hingga banyak penyelesaian;

Penyelesaian :

Pertama kita representasikan sistem persamaan linear tersebut kedalam bentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\3&-1&5\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\2\\k+2\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Karena pada baris pertama sudah terdapat 1 utama, kita akan menyederhanakan baris ke-2 dengan operasi \(-3R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\), sehingga diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\3&-1&5\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\2\\k+2\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k+2\end{array}}\right]$$

Kemudian dilanjut penyederhanaan pada baris ke-3 dengan operasi \(-4R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\), didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k+2\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k-14\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita buat 1 utama pada baris ke-2 dengan operasi \(-\frac{1}{7}R_{2} \rightarrow R_{2}\) dan kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k-14\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-14\end{array}}\right]$$

Selanjutnya kita sederhanakan baris ke-3 dengan operasi \(7R_{2} +R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-14\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&0&k^2 – 16\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-4\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Karena tujuan kita akan mengidentifikasi nilai \(k\), maka kita cukup fokus pada baris ke-3. apabila diubah kembali kedalam bentuk sistem persamaan linear maka :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&0&k^2 – 16\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-4\end{array}}\right]\rightarrow \begin{array}{c}x+2y-3z=4\\y-2z=\frac{10}{7}\\(k^2 -16)z=k-4\end{array}$$

Perhatikan pada persamaan ketiga :

$$(k^2 – 16)z = k-4$$

$$\Leftrightarrow (k-4)(k+4)z=k-4$$

$$\Leftrightarrow (k-4)(k+4)z -(k-4)=0$$

$$\Leftrightarrow (k-4)((k+4)z -1)=0$$

Kita bagi menjadi 2 kasus :

Kasus 1

Jika \(k-4=0\) atau \(k=4\) maka jika disubstitusikan ke persamaan ke-3 diperoleh :

$$0(8z-1)=0$$

Mengingat sifat sembarang bilangan jika dikalikan nol akan bernilai nol maka nilai dari \(8z-1\) mempunyai tak hingga kemungkinan. Dapat dimisalkan \(n=8z-1\) atau \(8z=n+1\Leftrightarrow z=\frac{n+1}{8}\) untuk sembarang bilangan \(n\). Akibatnya sistem persamaan linear tersebut mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian.

Kasus 2

Jika \((k+4)z-1= 0\) maka :

$$(k+4)z =1$$

$$\Leftrightarrow z=\frac{1}{k+4},~\text{dengan}~k\neq -4$$

Dari persamaan di atas, sistem tersebut akan konsisten (mempunyai solusi baik tunggal ataupun banyak) jika nilai dari \(k \neq -4 \). Dari pernyataan-pernyataan di atas dan sebelumnya, jika kita menginginkan sistem tersebut mempunyai solusi tunggal maka haruslah \(k\neq \{-4,4\}\). Sedangkan jika menginginkan sistem tersebut tidak mempunyai solusi maka haruslah \(k=-4\).

Kesimpulan

  1. SPL tersebut akan tidak mempunyai solusi jika \(k=-4\)
  2. SPL tersebut akan mempunyai tak hingga solusi jika \(k=4\)
  3. SPL tersebut akan mempunyai solusi tunggal jika \(k\neq \{-4,4\}\)

Contoh 2 (Tak Linear)

Untuk membedakan sistem persamaan linear dengan sistem persamaan tak linear, bisa baca kembali Penjelasan Mengenai SIstem Persamaan Linear.

Tentukan pemecahan sistem persamaan tak linear untuk sudut-sudut yang tak diketahui \(\alpha, \beta, \gamma\)

\(2\sin{\alpha} – \cos{\beta} + 3\tan{\gamma} = 3\)
\(4\sin{\alpha} + 2\cos{\beta} – 2\tan{\gamma} = 2\)
\(6\sin{\alpha} – 3\cos{\beta} + \tan{\gamma} = 9\)

Dengan \(0 \leq \alpha \leq 2\pi,~0 \leq \beta \leq 2\pi,\) dan \(0 \leq \gamma < \pi,~\).

Penyelesaian :

Kalau kita perhatikan bentuk sistem persamaan tak linear di atas tidak beda jauh dengan sistem persamaan linear yang biasa kita kenal, sehingga jika kita representasikan kedalam bentuk matriks akan diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&-1&3\\4&2&-2\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}3\\2\\9\end{array}}\right]$$

Kita akan menggunakan eliminasi gauss-jordan untuk memecahkan sistem tersebut.

Langkah 1

Kita buat 1 utama pada baris pertama dengan operasi \(\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}\) sehingga didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&-1&3\\4&2&-2\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}3\\2\\9\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\4&2&-2\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\2\\9\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita sederhanakan baris ke-2 dengan operasi \(-4R_{1} +R_{2} \rightarrow R_{2}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\4&2&-2\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\2\\9\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&4&-8\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-4\\9\end{array}}\right]$$

Kemudian kita sederhanakan juga baris ke-3 dengan operasi \(-6R_{1} +R_{3} \rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&4&-8\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-4\\9\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&4&-8\\0&0&-8\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-4\\0\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Kita buat 1 utama untuk baris ke-2 dengan cara menggunakan operasi \(\frac{1}{4}R_{2}\rightarrow R_{2}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&4&-8\\0&0&-8\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-4\\0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&1&-2\\0&0&-8\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-1\\0\end{array}}\right]$$

Sekalian kita buat 1 utama dengan operasi \(-\frac{1}{8}R_{3} \rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&1&-2\\0&0&-8\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-1\\0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-1\\0\end{array}}\right]$$

Langkah 4

Jika kita perhatikan bentuk terakhir matriks di atas sudah memenuhi bentuk eselon baris, selanjutnya kita akan mengubahnya menjadi eselon baris tereduksi.

Kita sederhanakan lagi baris ke-1 dengan operasi \(\frac{1}{2}R_{2}+R_{1} \rightarrow R_{1}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-1\\0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&0&\frac{1}{2}\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right]$$

Dilanjut dengan operasi \(-\frac{1}{2}R_{3} +R_{1} \rightarrow R_{1}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&\frac{1}{2}\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right] \rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right]$$

Begitu pula untuk baris ke-2 kita sederhanakan lagi dengan operasi \(2R_{3} +R_{2} \rightarrow R_{2}\) sehingga diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right] \rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right]$$

Bentuk terkahir sudah memenuhi bentuk eselon tereduksi, kemudian selanjutnya kita nyatakan kembali kedalam sistem persamaan tak linear sebagai berikut.

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right] \rightarrow \begin{array}{c}\sin{\alpha}=1\\\cos{\beta}=-1\\\tan{\gamma}=0\end{array}$$

Untuk persamaan pertama :

\(\sin{\alpha}=1\)

Dengan \(0\leq \alpha \leq 2\pi\), maka nilai \(\alpha\) yang memenuhi adalah \(\alpha = 90^{\circ}\). Sedangkan untuk persamaan \(\cos{\beta}=-1\) dan \(\tan{\gamma}=0\) nilai \(\beta\) dan \(\gamma\) yang memenuhi yaitu berturut-turut \(180^{\circ}\) dan \(0^{\circ}\)mengingat \(0 \leq \beta \leq 2\pi,~0 \leq \gamma < \pi\). Dan kita telah selesai.

Eliminasi Gauss dan Contoh Penerapannya

Eliminasi Gauss

Siapa itu Gauss?

 

Carl Friedrich Gauss
Sumber : https://www.britannica.com/biography/Carl-Friedrich-Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Jerman yang mempunyai kontribusi besar didalam bidang geometri, teori bilangan, teori fungsi dan teori probabilitas. Dia menemukan cara untuk menghitung lintasan asteroid, membuat penemuan dasar di dalam teori potensial (bidang elektromagnetik), dan orang pertama yang menggunakan telegraf (1833). Karena konstribusinya itu, dia mempunyai julukan “Prince of Mathematics”.

\(\text{Disarankan sudah membaca :}\)

Eliminasi Gauss

Eliminasi gauss ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss, metode ini dapat dimanfaatkan untuk memecahkan sistem persamaan linear dengan merepresentasikan (mengubah) menjadi bentuk matriks, matriks tersebut lalu diubah kebentuk Eselon Baris melalui Operasi Baris Elementer. Kemudian sistem diselesaikan dengan substitusi balik.

Lalu apa itu eselon baris? dan bagaimana bentuknya?

Bentuk Eselon Baris

Suatu matriks memiliki bentuk eselon baris jika memenuhi 3 kriteria berikut :

  1. Jika didalam baris terdapat elemen-elemen yang tidak semuanya nol, maka bilangan tak nol pertama di dalam baris tersebut adalah 1.

    Contoh : (Perhatikan setiap baris pada matriks berikut)

    $$\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{1}&\color{red}{4}&\color{red}{0}&\color{red}{2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{-1}&\color{blue}{2}\\\color{green}{0}&\color{green}{0}&\color{green}{0}&\color{green}{1}\end{array}\right]$$

    Dari matriks diatas baris merah dan baris hijau memenuhi kriteria pertama, karena elemen-elemen pada baris merah atau hijau tidak semuanya nol dan bilangan (elemen) bukan nol pertama (dari kiri) di dalam baris tersebut adalah 1. Sedangkan pada baris biru tidak memenuhi kriteria pertama sebab bilangan (elemen) bukan nol pertama (dari kiri) bukan bernilai 1, melainkan bernilai -1.

  2. Nah kalau ada baris-baris yang semua elemennya  bernilai 0 semua, maka baris-baris tersebut harus dikelompokkan dan diletakkan dibagian bawah matriks.

    Contoh :

    $$\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{-1}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\end{array}\right],~\left[\begin{array}{ccc}\color{blue}{-2}&\color{blue}{3}&\color{blue}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-1}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}\end{array}\right]$$

    Dari contoh diatas, matriks dengan elemen berwarna biru memenuhi kriteria kedua sebab terdapat baris yang semua elemennya 0 dan baris tersebut diletakkan di bagian bawah matriks. Sedangkan pada matriks berwarna merah, masih belum memenuhi kriteria kedua, sebab walaupun terdapat baris dengan elemen-elemennya 0, namun baris-baris tersebut tidak dikelompokkan dan tidak diletakkan di bagian bawah matriks tersebut. Pada matriks merah agar memenuhi kriteria kedua seharusnya :

    $$\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{-1}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\end{array}\right]$$

  3. Jika terdapat dua baris berurutan yang memenuhi kriteria pertama, maka angka 1 (pertama/utama) dari baris yang lebih rendah berada lebih kekanan dari angka 1(pertama/utama) baris yang diatasnya.

    Contoh :

    $$\left[\begin{array}{cccc}\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{1}&\color{green}{2}\\\color{green}{0}&\color{green}{0}&\color{green}{1}&\color{green}{1}\\\color{green}{0}&\color{green}{0}&\color{green}{0}&\color{green}{0}\end{array}\right],~\left[\begin{array}{ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{3}&\color{blue}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-1}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-3}\end{array}\right]$$

    Pada matriks hijau sudah memenuhi kriteria ketiga, karena jelas angka 1 pertama (dari kiri) pada baris yang lebih rendah letaknya lebih kekanan dari angka 1 pertama dari baris yang diatasnya.

    Syarat Bentuk Eselon Baris

    Sedangkan pada matriks biru belum memenuhi sebab terdapat dua baris berurutan yang melanggar kriteria ketiga yaitu baris ke 2 dan 3. Dimana angka 1 pertama baris ketiga terletak tepat di bawah angka 1 pertama baris kedua.

    Syarat Bentuk Eselon Baris

Setelah memahami ketiga kriteria (syarat) dari bentuk eselon baris. Berikut contoh matriks yang mempunyai bentuk eselon baris (memenuhi ketiga kriteria sekaligus).

$$\left[\begin{array}{ccc}1&-1&2\\0&1&9 \\0&0&1\end{array}\right],~\left[\begin{array}{cccc}1&5&1&0\\0&0&1&0 \\0&0&0&0\end{array}\right],~\left[\begin{array}{ccccc}0&1&2&0&0\\0&0&1&0&0 \\0&0&0&0&1\end{array}\right]$$

Selanjutnya kita akan menerapkan metode eliminasi gauss dan subtitusi balik untuk memecahkan suatu sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer. Disarankan sudah memahami penggunaan operasi baris elementer untuk pemecahan sistem persamaan linear.

Pemecahan SPL dengan Eliminasi Gauss

Ilustrasi Eliminasi Gauss

Gambaran diatas merupakan ilustrasi proses pemecahan Sistem Persamaan Linear (SPL), dimana urutan langkah-langkahnya dinamakan “Eliminasi Gauss” dan operasi yang dilakukan dinamakan “Operasi Baris Elementer (OBE)” dimana eliminasi gauss ini bertujuan membentuk Eselon Baris.

Catatan : Pada proses pemecahan dengan metode eliminasi gauss pada umumnya memiliki macam-macam jalur atau alur operasi yang dilakukan, misalkan pada langkah awal bisa saja kita menemukan beberapa operasi alternatif dan kita bebas memilihnya. Karena terdapat banyak jalur atau alur operasinya maka jika anda mencoba dengan jalur lain (tidak seperti di contoh) kemungkinan anda akan menemukan bentuk sistem/matriks yang berbeda. Namun jangan khawatir selama operasi yang dilakukan menggunakan Operasi Baris Elementer dan dilakukan secara teliti, maka solusi(pemecahan) yang didapat akan sama dan itu merupakan hal yang wajar.

Contoh 1 (Solusi Tunggal)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

\(2x+5y+3z =1\)
\(3x+4y+2z=-3\)
\(x+3y+z=2\)

Perintah : Tentukan pemecahan sistem persamaan linear di atas dengan  metode eliminasi gauss.

Penyelesaian :

Mula-mula kita representasikan sistem tersebut kedalam bentuk matriks.

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&5&3\\3&4&2\\1&3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-3\\2\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Kita akan membuat 1 pertama pada baris pertama dengan beberapa pilihan operasi :

  1. Kita bisa menukar baris ke-1 dengan baris ke-3, dinotasikan \(R_{1} \leftrightarrow R_{3}\)
  2. Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil kali baris ke-1 dengan \(\frac{1}{2}\) dinotasikan : \(\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}\)

Dari dua pilihan diatas kita bebas memilihnya, namun kita akan menggunakan pilihan yang pertama yaitu \(R_{1} \leftrightarrow R_{3}\) sehingga didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&5&3\\3&4&2\\1&3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-3\\2\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\3&4&2\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-3\\1\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Selanjutnya kita akan menyederhanakan bentuk baris ke-2 dan ke-3 sekaligus yaitu dengan operasi \(-3R_{1}+R_{2}\leftarrow R_{2}\) sehingga didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\3&4&2\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-3\\1\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\1\end{array}}\right]$$

Kemudian dilanjut dengan operasi \(-2R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)

\(\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\1\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\-3\end{array}}\right]\)

Langkah 3

Kita akan membuat 1 pertama pada baris kedua dengan operasi \(-6R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}\) dan diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-3\end{array}}\right]$$

Langkah 4

Kita akan menyederhanakan lagi baris ke-3 dengan operasi \(1R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\6\end{array}}\right]$$

Langkah 5

Selanjutnya kita akan membentuk 1 pertama pada baris ke-3 dengan operasi \(-\frac{1}{6}R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\6\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-1\end{array}}\right]$$

Dari matriks terakhir tersebut sudah memenuhi ketiga kriteria bentuk eselon baris. Selanjutnya tinggal mengubahnya kembali menjadi sistem persamaan linear :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-1\end{array}}\right]\rightarrow \begin{array}{c}x+3y+z=2\dots\text{(1)}\\y-7z=9\dots\text{(2)}\\z=-1\dots\text{(3)}\end{array}$$

Kita dapat memulai dengan mensubstitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) sehingga didapat :

$$y-7z=9$$

$$\Leftrightarrow y=9+7z=9+7(-1)=2$$

Kemudian nilai dari \(y\) dan \(z\) juga kita substitusikan ke persamaan (1) dan kita dapatkan :

$$x+3y+z=2$$

$$\Leftrightarrow x=2-3y-z$$

$$\Leftrightarrow x=2-3(2)-(-1)=-3$$

Jadi didapat solusi tunggal yaitu \(x=-3, y=2\) dan \(z=-1\).

Contoh 2 (Banyak Solusi)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

\(2x+10y+4z =-2\)
\(x+4y+5z=-3\)
\(3x+15y+6z=-3\)

Perintah : Tentukan pemecahan sistem persamaan linear di atas dengan  metode eliminasi gauss.

Penyelesaian :

Kita representasikan kedalam bentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&10&4\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-2\\-3\\-3\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Kita buat 1 pertama pada baris pertama dengan pilihan :

  1. Dengan menukar baris ke-1 dengan baris ke-2, dinotasikan : \(R_{1} \leftrightarrow R_{2} \)
  2. Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil kali baris ke-1 dengan \(\frac{1}{2}\), dinotasikan : \(\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}\)

Kita pilih opsi kedua yaitu menggunakan operasi \(\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}\) sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&10&4\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-2\\-3\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-3\\-3\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita sederhanakan baris ke-2 dengan operasi \(-1R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-3\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\-3\end{array}}\right]$$

Dilanjut penyederhanaan baris ke-3 dengan operasi \(-3R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\-3\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\0\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Kita buat 1 pertama pada baris ke-2 dengan operasi \(-1R_{2}\rightarrow R_{2}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&1&-3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\2\\0\end{array}}\right]$$

Matriks terakhir sudah memenuhi bentuk eselon baris sehingga selanjutnya menggunakan metode substitusi balik, namun sebelumnya kita harus mengubahnya kembali menjadi bentuk sistem persamaan linear.

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&1&-3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\2\\0\end{array}}\right]\rightarrow\begin{array}{c}x+5y+2z=-1\dots(1)\\y-3z=2\dots(2)\end{array}$$

Perhatikan persamaan (2) :

$$y-3z=2\Leftrightarrow y=2+3z$$

Subtitusikan ke persamaan (1) dan diperoleh :

$$x+5y+2z=-1$$

$$\Leftrightarrow x=-1-5y-2z$$

$$\Leftrightarrow x=-1-5(2+3z)-2z$$

$$\Leftrightarrow x=-1-10-15z-2z$$

$$\Leftrightarrow x=-11-17z$$

Jelaslah pemecahannya banyak karena nilai dari \(z\) sendiri mempunyai tak terhingga banyaknya kemungkinan. Jadi himpunan penyelesaiannya yaitu :

$$\text{HP}=\{(x,y,z)\mid x=-11-17z,~y=2+3z,~\forall~\text{sebarang bilangan}~z\}$$

Contoh 3 (Tidak Punya Solusi)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

\(3x+12y+15z=6\)
\(2x+8y+10z=-6\)
\(4x+5y-6z =-2\)

Perintah : Tentukan pemecahan (bila ada) dari sistem persamaan linear di atas dengan  metode eliminasi gauss.

Penyelesaian :

Seperti biasa kita representasikan dulu ke dalam bentuk matriks.

$$\left[{\begin{array}{ccc}3&12&15\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}6\\-6\\-2\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Kita buat 1 pertama pada baris pertama dengan operasi \(\frac{1}{3}R_{1} \rightarrow R_{1}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}3&12&15\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}6\\-6\\-2\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-6\\-2\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Selanjutnya kita sederhanakan baris ke-2 dengan operasi \(-2R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\) dan diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-6\\-2\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\0&0&0\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-10\\-2\end{array}}\right]$$

Perhatikan matriks terakhir diatas, kita coba ubah kembali menjadi bentuk sistem persamaan linear.

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\0&0&0\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-10\\-2\end{array}}\right]\rightarrow\begin{array}{c}x+4y+5z=2\dots(1)\\(0)x+(0)y+(0)z=-10\dots(2)\\4x+5y-6z=-2\dots(3)\end{array}$$

Kita tahu untuk sembarang bilangan \(x, y, z\) bila dikalikan 0 akan menghasilkan 0 sehingga :

$$(0)x+(0)y+(0)z =0$$

Karena kontradiksi (berlawanan) dengan pernyataan persamaan (2), akibatnya persamaan (2) tidak mempunyai solusi. Karena persamaan (2) bagian dari sistem persamaan linear tersebut maka sistem persamaan linear tersebut juga tidak punya solusi.

Mengingat kembali jika sistem persamaan linear awal (pada soal) dikenakan operasi baris elementer maka akan menghasilkan sistem persamaan linear baru yang memiliki pemecahan yang sama. Baca kembali : Pemecahan Sistem Persamaan Linear dengan Operasi Baris Elementer.

Sehingga jika sistem persamaan linear baru tidak mempunyai solusi maka sistem persamaan linear awal (pada soal) juga tidak mempunyai solusi.

\(\text{Selanjutnya :}\) Eliminasi Gauss Jordan dan Contoh Penerapannya