Cover Operasi Logika Matematika

Operasi Logika Matematika dalam Kalimat

Operasi logika matematika berguna untuk menghubungkan beberapa logika di dalam kalimat. Contoh yang sering kita gunakan yaitu “dan”, “atau”,  “jika…maka…” dan lainnya. Pengetahuan mengenai konsep ini bertujuan agar kita dapat menangkap kebenaran suatu kalimat sehingga tidak menyebabkan kesalah-tafsiranan atau kesalah-pahaman.

Catatan : Pada bagian selanjutnya istilah “kalimat” yang dipakai merupakan Kalimat Deklaratif.

Negasi

Definsi : Jika \(A\) adalah suatu kalimat , maka negasi dari \(A\) dinotasikan ~\(A\) atau \(\bar{A}\) atau dalam buku Introduction to Mathematical Logic – E. Mendelson dinotasikan dengan \(\neg A\). Dimana \(\neg A\) adalah kalimat “tidak benar \(A\)” atau “non \(A\)”.

Andaikan \(B\) adalah suatu kalimat dan kita punya \(\neg B\), apa yang terjadi pada \(\neg B\) ketika \(B\) bernilai benar atau sebaliknya?Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita perhatikan contoh berikut :

Contoh : Cranel adalah mahasiswa matematika. Negasi dari kalimat tersebut adalah …?

Pembahasan : Disini, kita misalkan \(B\) = “Cranel adalah mahasiswa matematika”. Sehingga \(\neg B\) = “Cranel adalah bukan mahasiswa matematika”.

Lalu bagaimana dengan nilai kebenarannya?

Pertama, kita andaikan Cranel adalah mahasiswa matematika sehingga kalimat “Cranel adalah bukan mahasiswa matematika” merupakan suatu kebohongan dan bernilai salah (false).

Sekarang, kita andaikan Cranel adalah bukan mahasiswa matematika sehingga kalimat \(B\) bernilai salah dan kalimat \(\neg B\) bernilai benar.

Singkatnya, ketika \(B\) bernilai benar maka \(\neg B\) bernilai salah dan ketika \(B\) bernilai salah maka \(\neg B\) bernilai benar (true). Untuk lebih jelasnya sebagai berikut.

Tabel Kebenaran :

Nilai kebenaran \(\neg A\) (jika \(\neg A\) adalah kalimat deklaratif) didefinisikan dengan tabel kebenaran :
$$\begin{array}{|c|c|}\hline A&\neg A\\\hline\text{T}&\text{F}\\\text{F}&\text{T}\\\hline\end{array}$$

Catatan : “\(\text{T}\)” mempunyai arti true (benar) dan “\(\text{F}\)” mempunyai arti false (salah).

Seperti halnya penggunaan kalimat pada bidang ilmu lain, pada logika kalimat juga muncul penggabungan beberapa kalimat (pernyataan) yang dirangkai menggunakan kata penghubung.

Konjungsi

Pernah suatu ketika melihat postingan salah satu teman di media sosial. Postingan tersebut bertuliskan :

“Hujan masih air dan dia masih milik orang lain”

Dari kalimat tersebut bagaimana nilai kebenarannya? Bagi yang tahu maknanya tuliskan di kolom komentar ya!

Definisi : Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “… dan …” disebut konjungsi. Dalam logika kalimat, kata “dan” dinotasikan dengan \(\wedge\)  atau &.

Jika kita punya kalimat \(A\) dan \(B\), bagaimana hubungan \(\wedge\) antara \(A\) dan \(B\)? Nah, ternyata \(A \wedge B\) hanya benar ketika \(A\) dan \(B\) keduanya benar. Bagaimana jika salah satu saja yang benar? mari kita lihat contoh berikut.

Contoh :

  1. \(\color{Red}{A}\) dan \(\color{Blue}{B}\) keduanya bernilai benar.
    Matahari terbit dari timur dan matahari lebih besar dari bumi
    Jelas kalimat tersebut bernilai benar.
  2. \(\color{Red}{A}\) bernilai benar dan \(\color{Blue}{B}\) bernilai salah.
    Kucing adalah binatang berkaki empat dan lima adalah bilangan genap
    Kalimat tersebut bernilai salah, karena lima merupakan bilangan ganjil.
  3. \(\color{Red}{A}\) bernilai salah dan \(\color{Blue}{B}\) bernilai benar.
    Manusia berjalan dengan tiga kaki  dan cacing dapat terbang
    Kalimat tersebut bernilai salah, karena cacing semestinya tidak dapat terbang.
  4. \(\color{Red}{A}\) dan \(\color{Blue}{B}\) salah satunya benar dan sisanya salah.
    Hari ini adalah hari senin dan besoknya adalah hari kamis
    Kalimat tersebut bernilai salah, karena jika benar hari ini adalah hari senin maka seharusnya besok adalah hari selasa, jadi “besoknya adalah hari kamis” bernilai salah. Sedangkan jika benar besok adalah hari kamis maka harusnya hari ini adalah hari selasa, jadi “hari ini adalah hari senin” bernilai salah.
  5. \(\color{Red}{A}\) bernilai salah dan \(\color{Blue}{B}\) bernilai salah.
    Indonesia berada di benua Afrika  dan Tokyo adalah ibukota Indonesia
    Kalimat tersebut bernilai salah, Indonesia berada di benua Asia dan ibukota Indonesia adalah Jakarta.

Contoh lain (variasi) :

Diberikan kalimat dengan konjungsi sebagai berikut.

“Cranel adalah mahasiswa berprestasi dan kaya raya”

Buatlah dua pernyataan dari kalimat tersebut.

Pembahasan :

Dari kalimat tersebut kita punya dua pernyataan :

  1. Cranel adalah mahasiswa berprestasi.
  2. Cranel adalah mahasiswa kaya raya.

Lalu bagaimana dengan nilai kebenarannya? Karena kalimat pada soal tersebut merupakan kalimat faktual maka nilai kebenarannya disesuaikan dengan fakta sesungguhnya.

Tabel Kebenaran :

Jika \(A\) dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka nilai kebenaran \( A \wedge B\) didefinisikan dengan tabel kebenaran:

$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
A&B&A\wedge B\\
\hline
\text{T}&\text{T}&\text{T}\\
\text{T}&\text{F}&\text{F}\\
\text{F}&\text{T}&\text{F}\\
\text{F}&\text{F}&\text{F}\\
\hline
\end{array}
$$

Disjungsi

Jika sebelumnya telah dibahas mengenai konjungsi, sekarang kita akan membahas mengenai disjungsi. Disjungsi kerap disama artikan dengan kata penghubung “… atau …”. Selain itu, disjungsi terdiri dari dua macam yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif. Untuk selengkapnya sebagai berikut.

Disjungsi Inklusif

Definisi : Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “… atau …” disebut disjungsi. Dalam logika kalimat, kata “atau” dinotasikan dengan \(\vee\).

Contoh :

Buatlah dua pernyataan dari disjungsi :  \(17\) adalah bilangan prima atau habis dibagi 7 ?

Pembahasan :

  • \(17\) adalah bilangan prima (bernilai benar).
  • \(17\) habis dibagi \(7\) (bernilai salah).

Sehingga jelas kalimat “\(17\) adalah bilangan prima atau habis dibagi 7” bernilai benar.

Tabel Kebenaran :

Jika \(A\) dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka nilai kebenaran \(A \vee B\) didefinisikan dengan tabel kebenaran :

$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
A&B&A\vee B\\
\hline
\text{T}&\text{T}&\text{T}\\
\text{T}&\text{F}&\text{T}\\
\text{F}&\text{T}&\text{T}\\
\text{F}&\text{F}&\text{F}\\
\hline
\end{array}
$$

Disjungsi Ekslusif

Gambar Bunga Mawar Merah dan Putih

Kita asumsikan bunga mawar hanya berwarna merah atau putih (tidak berlaku warna campuran) dan dalam setangkai bunga mawar hanya ada satu buah bunga.

Sekarang ceritanya ada dua orang yaitu Cranel dan Hestia, mereka saling jatuh cinta. Suatu hari Cranel membawa setangkai bunga mawar berwarna merah atau putih untuk melamar Hestia. Dengan senang hati, Hestia menerima lamaran Cranel dan mereka hidup bahagia :).

Sekarang kita hubungkan cerita singkat di atas dengan konsep disjungsi. Dari kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” kita misalkan :

\(\color{blue}{A}\) = “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah”.

\(\color{green}{B}\) = “Cranel membawa setangkai bunga mawar putih”.

Selanjutnya kita lakukan analisis sebagai berikut :

  1. Jika \(\color{blue}{A}\) dan \(\color{green}{B}\) keduanya bernilai benar.
    Maka kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai salah. Hal ini karena jika \(\color{blue}{A}\) dan \(\color{green}{B}\) bernilai benar maka dalam setangkai bunga harus memuat dua warna merah dan putih sekaligus (hal ini tidak sesuai asumsi awal).
  2. Jika \(\color{blue}{A}\) bernilai benar dan \(\color{green}{B}\) bernilai salah.
    Jelas kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai benar.
  3. Jika \(\color{blue}{A}\) bernilai salah dan \(\color{green}{B}\) bernilai benar.
    Jelas kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai benar.
  4. Jika \(\color{blue}{A}\) dan \(\color{green}{B}\) keduanya bernilai salah.
    Jelas kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai salah.

Dari analisa di atas, pada bagian (1) di saat keduanya bernilai benar, terdapat perbedaan nilai kebenaran dengan disjungsi inklusif. Kasus Cranel dan Hestia tersebut termasuk contoh disjungsi eksklusif.

Definisi : Jika \(A\)  dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka pernyataan “\(A\) atau \(B\)” yang merupakan disjungsi eksklusif dinotasikan dengan symbol \(\veebar\).

Tabel Kebenaran :
$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
A&B&A\veebar B\\
\hline
\text{T}&\text{T}&\text{F}\\
\text{T}&\text{F}&\text{T}\\
\text{F}&\text{T}&\text{T}\\
\text{F}&\text{F}&\text{F}\\
\hline
\end{array}
$$

Catatan (Penting) : Umumnya penulisan disjungsi inklusif “\(A\) atau \(B\)” hanya dituliskan disjungsi saja. Kecuali jika disebutkan secara eksplisit bahwa “\(A\) atau \(B\)” adalah pernyataan disjungsi eksklusif.

Implikasi

Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “jika…, maka…” atau “bila…, maka..” atau “apabila…, maka…” disebut implikasi. Semisal :

“Apabila kamu mencari yang sempurna, maka aku memilih mundur”;

“Jika hujan masih air, maka kamu masih milik orang lain”;

“Bila kamu mau jadi pacarku, maka kamu akan aku belikan HP terbaru”.

Kalimat-kalimat tersebut termasuk kalimat implikasi.

Definisi : Kalimat “jika \(A\), maka \(B\)” dinotasikan dengan “\(A \Rightarrow B\)”. Dalam hal ini, \(A\) disebut antiseden dan \(B\) disebut konsekuen.

Apa itu antiseden dan konsekuen dalam definisi di atas?

\(A\) disebut antiseden mempunyai makna bahwa \(A\) adalah syarat cukup bagi \(B\) dan \(B\) disebut konsekuen yang mempunyai makna bahwa \(B\) adalah syarat perlu bagi \(A\).

Tabel Kebenaran :

Jika \(A\) dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka tabel kebenaran untuk \(A \Rightarrow B\) diberikan dengan:

$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
A&B&A\Rightarrow B\\
\hline
\text{T}&\text{T}&\text{T}\\
\text{T}&\text{F}&\text{F}\\
\text{F}&\text{T}&\text{T}\\
\text{F}&\text{F}&\text{T}\\
\hline
\end{array}
$$

Biimplikasi

Pada situs wolfram (Baca : Equivalent — from Wolfram MathWorld ) disebutkan secara implisit bahwa istilah “Biimplikasi” sama dengan istilah “Ekuivalen”. Sekerang kita kesampingkan hal tersebut dan kita pahami konsep biimplikasi sebagai berikut.

Definisi : Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “… jika dan hanya jika …” disebut biimplikasi. Biimplikasi “\(A\) jika dan hanya jika \(B\)” dinotasikan dengan “\(A \Leftrightarrow B\)”.

Contoh :

Simbol Perasaan Cinta (Untuk Contoh Soal)

Masih ingat cerita sebelumnya tentang Cranel dan Hestia?

Ada sedikit plot twist dimana suatu ketika Cranel harus pergi ke luar kota untuk menempuh pendidikan. Hestia merasa kesepian menghubungi Cranel dan bertanya, “Apakah kamu masih mencintaiku?” Dengan suara lantang Cranel membalas, “Aku akan selalu mencintaimu jika dan hanya jika kamu setia mencintaiku”. Seketika Hestia menangis bahagia.

Kalimat “Aku akan selalu mencintaimu jika dan hanya jika kamu setia mencintaiku” merupakan contoh kalimat biimplikasi. Lalu bagaimana nilai kebenaran dari kalimat tersebut? Ingat itu termasuk kalimat faktual, sehingga nilai kebenarannya disesuaikan dengan fakta sesungguhnya.

Tabel Kebenaran :
$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
A&B&A\Leftrightarrow B\\
\hline
\text{T}&\text{T}&\text{T}\\
\text{T}&\text{F}&\text{F}\\
\text{F}&\text{T}&\text{F}\\
\text{F}&\text{F}&\text{T}\\
\hline
\end{array}
$$

Baca juga : Hukum Operasi Logika Matematika

Akhir kata mimin ucapkan terima kasih sudah berkenan membaca sampai habis. Berikut daftar referensi tulisan ini.

Referensi :

  • Truth Table Definitions of Logical Connectives (Online) – wmpeople.wm.edu
  • Diktat Pengantar Logika Matematika dan Himpunan (Online) – Budi Surodjo

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *