Hukum Operasi Logika Matematika disertai Tabel Kebenaran

Hukum Logika

Cover Hukum Operasi Logika Matematika

Definisi : Hukum logika adalah pernyataan majemuk yang selalu benar, terlepas dari nilai kebenaran dari pernyataan komponennya. Komponen yang dimaksud adalah objek-objek dalam matematika.

Contoh : JIka \(A\) kalimat deklaratif maka pernyataan \(A \vee \neg A\) selalu bernilai benar, sebab :

  • Jika \(A\) benar maka \(\neg A\) salah, akibatnya \(A\vee \neg A\) bernilai benar. (Sifat operasi disjungsi)
  • Jika \(A\) salah maka \(\neg A\) benar, akibatnya \(A\vee \neg A\) bernilai benar.

Jadi benar bahwa \(A \vee \neg A\) selalu benar, terlepas nilai kebenaran dari \(A\).

Kenapa kita perlu belajar hukum logika?

Ibarat dalam kehidupan nyata, jika kita dihadapkan pada suatu masalah maka kita perlu pedoman (aturan atau lainnya) untuk menyelesaikannya. Sama halnya di dunia matematika, kita perlu pedoman (aturan) untuk membantu menyelesaikan permasalahan matematika. Nah, pedoman yang dimaksud dapat berupa aturan, aksioma atau hukum (termasuk hukum logika).

Hukum Logika dapat dikategorikan menjadi tiga, yaitu : Hukum Operasi Logika, Hukum Kuantor, dan Hukum Validitas. Pembahasan kali ini hanya difokuskan pada Hukum Operasi Logika dan untuk sisanya akan dibahas di halaman berbeda.

Hukum Operasi Logika

Definisi : Hukum Operasi Logika adalah Hukum Logika yang dilengkapi dengan Operasi Logika.

Lima macam Operasi Logika :

  1. Negasi (disimbolkan \(\neg\))
  2. Konjungsi (disimbolkan \(\wedge\))
  3. Disjungsi (disimbolkan \(\vee\))
  4. Implikasi (disimbolkan \(\Rightarrow\) atau \(\Leftarrow\))
  5. Biimplikasi (disimbolkan \(\Leftrightarrow\))

Untuk memahami kelima operasi di atas, disarankan membaca : Konsep Operasi Logika Matematika | Definisi, Tabel Kebenaran dan Contoh

Catatan : Pada pembahasan selanjutnya, ekuivalensi atau biimplikasi (disimbolkan \(\Leftrightarrow\)) kita sepakati sebagai hukum logika. Sehingga kita dapat menggunakan pernyataan di kedua sisi ekuivalensi secara bergantian. Selain itu, tanda “\(\text{T}\)” mempunyai arti true (bernilai benar) dan tanda “\(\text{F}\)” mempunyai arti false (bernilai salah).

Sifat Komutatif

Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif maka berlaku :

1. \(\boxed{A\wedge B \Leftrightarrow B \wedge A}\)
Bukti (dengan tabel kebenaran) :
Tabel Kebenaran Sifat Komutatif 1

2. \(\boxed{A\vee B \Leftrightarrow B\vee A}\)
Bukti :
Tabel Kebenaran Sifat Komutatif 2

3. \(\boxed{(A\Leftrightarrow B)\Leftrightarrow (B \Leftrightarrow A)}\)
Bukti :
Tabel Kebenaran Sifat Komutatif 3

Baca juga : Konsep Logika Matematika dalam Kalimat

Sifat Asosiatif

Jika \(A, B\) dan \(C\) kalimat deklaratif maka berlaku :

1. \(\boxed{(A\wedge B) \wedge C  \Leftrightarrow A \wedge (B\wedge C)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 1

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 1 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 1 - Kesimpulan

2. \(\boxed{(A\vee B)\vee C \Leftrightarrow A\vee (B\vee C)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 2 - LHS

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 2 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 2 - Kesimpulan

Sifat Distributif

Jika \(A, B\) dan \(C\) kalimat deklaratif maka berlaku :

1. \(\boxed{A\wedge (B \vee C)  \Leftrightarrow (A \wedge B) \vee (A\wedge C)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Distributif 1 - LHS

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Distributif 1 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Distributif 1 - Kesimpulan

2. \(\boxed{A\vee (B \wedge C) \Leftrightarrow (A\vee B)\wedge (A\vee C)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Distributif 2 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Distributif 2 - Kesimpulan

Sifat Rephrasing

Rephrasing berarti pengungkapan kembali suatu konsep dengan cara lain dalam bahasa yang sama, namun tanpa mengubah maknanya. Singkatnya bentuk lain dari konsep awal tanpa merubah nilai kebenarannya.

Rephrasing Implikasi

Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :

\(\boxed{A \Rightarrow B \Leftrightarrow \neg B \Rightarrow \neg A}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Rephrasing Implikasi - LHS

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Rephrasing Implikasi - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Rephrasing Implikasi - Kesimpulan

Rephrasing Disjungsi

Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :

\(\boxed{A \vee B \Leftrightarrow \neg B \Rightarrow A}\)
Bukti :
Tabel Kebenaran Rephrasing Disjungsi

Rephrasing Biimplikasi

Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :

\(\boxed{(A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow (A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)}\)

Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Rephrasing Biimplikasi - LHS

Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Rephrasing Biimplikasi - RHS

Dengan demikian, dapat disimpulkan :
Tabel Kebenaran Rephrasing Biimplikasi - Kesimpulan

Sifat Negasi

Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :

1. \(\boxed{\neg(\neg A) \Leftrightarrow A}\)
Bukti :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 1

2. \(\boxed{\neg(A \wedge B) \Leftrightarrow \neg A \vee \neg B}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 2 - LHS

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 2 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 2 - Kesimpulan

3. \(\boxed{\neg(A \vee B) \Leftrightarrow \neg A \wedge \neg B}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 3 - LHS

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 3 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 3 - Kesimpulan

4. \(\boxed{\neg(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \wedge \neg B}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 4 - LHS

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 4 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 4 - Kesimpulan

5. \(\boxed{\neg(A\Leftrightarrow B) \Leftrightarrow \neg(A \Rightarrow B) \vee \neg(B \Rightarrow A)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 5 - LHS

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 5 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 5 - Kesimpulan

Referensi

  • Nancy Rodgers. (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations. John Wiley & Sons. Hlm. 63.

 

Operasi Logika Matematika | Definisi, Tabel Kebenaran dan Contoh

Cover Operasi Logika Matematika

Operasi Logika Matematika dalam Kalimat

Operasi logika matematika berguna untuk menghubungkan beberapa logika di dalam kalimat. Contoh yang sering kita gunakan yaitu “dan”, “atau”,  “jika…maka…” dan lainnya. Pengetahuan mengenai konsep ini bertujuan agar kita dapat menangkap kebenaran suatu kalimat sehingga tidak menyebabkan kesalah-tafsiranan atau kesalah-pahaman.

Catatan : Pada bagian selanjutnya istilah “kalimat” yang dipakai merupakan Kalimat Deklaratif.

Negasi

Definsi : Jika \(A\) adalah suatu kalimat , maka negasi dari \(A\) dinotasikan ~\(A\) atau \(\bar{A}\) atau dalam buku Introduction to Mathematical Logic – E. Mendelson dinotasikan dengan \(\neg A\). Dimana \(\neg A\) adalah kalimat “tidak benar \(A\)” atau “non \(A\)”.

Andaikan \(B\) adalah suatu kalimat dan kita punya \(\neg B\), apa yang terjadi pada \(\neg B\) ketika \(B\) bernilai benar atau sebaliknya?Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita perhatikan contoh berikut :

Contoh : Cranel adalah mahasiswa matematika. Negasi dari kalimat tersebut adalah …?

Pembahasan : Disini, kita misalkan \(B\) = “Cranel adalah mahasiswa matematika”. Sehingga \(\neg B\) = “Cranel adalah bukan mahasiswa matematika”.

Lalu bagaimana dengan nilai kebenarannya?

Pertama, kita andaikan Cranel adalah mahasiswa matematika sehingga kalimat “Cranel adalah bukan mahasiswa matematika” merupakan suatu kebohongan dan bernilai salah (false).

Sekarang, kita andaikan Cranel adalah bukan mahasiswa matematika sehingga kalimat \(B\) bernilai salah dan kalimat \(\neg B\) bernilai benar.

Singkatnya, ketika \(B\) bernilai benar maka \(\neg B\) bernilai salah dan ketika \(B\) bernilai salah maka \(\neg B\) bernilai benar (true). Untuk lebih jelasnya sebagai berikut.

Tabel Kebenaran :

Nilai kebenaran \(\neg A\) (jika \(\neg A\) adalah kalimat deklaratif) didefinisikan dengan tabel kebenaran :
$$\begin{array}{|c|c|}\hline A&\neg A\\\hline\text{T}&\text{F}\\\text{F}&\text{T}\\\hline\end{array}$$

Catatan : “\(\text{T}\)” mempunyai arti true (benar) dan “\(\text{F}\)” mempunyai arti false (salah).

Seperti halnya penggunaan kalimat pada bidang ilmu lain, pada logika kalimat juga muncul penggabungan beberapa kalimat (pernyataan) yang dirangkai menggunakan kata penghubung.

Konjungsi

Pernah suatu ketika melihat postingan salah satu teman di media sosial. Postingan tersebut bertuliskan :

“Hujan masih air dan dia masih milik orang lain”

Dari kalimat tersebut bagaimana nilai kebenarannya? Bagi yang tahu maknanya tuliskan di kolom komentar ya!

Definisi : Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “… dan …” disebut konjungsi. Dalam logika kalimat, kata “dan” dinotasikan dengan \(\wedge\)  atau &.

Jika kita punya kalimat \(A\) dan \(B\), bagaimana hubungan \(\wedge\) antara \(A\) dan \(B\)? Nah, ternyata \(A \wedge B\) hanya benar ketika \(A\) dan \(B\) keduanya benar. Bagaimana jika salah satu saja yang benar? mari kita lihat contoh berikut.

Contoh :

  1. \(\color{Red}{A}\) dan \(\color{Blue}{B}\) keduanya bernilai benar.
    Matahari terbit dari timur dan matahari lebih besar dari bumi
    Jelas kalimat tersebut bernilai benar.
  2. \(\color{Red}{A}\) bernilai benar dan \(\color{Blue}{B}\) bernilai salah.
    Kucing adalah binatang berkaki empat dan lima adalah bilangan genap
    Kalimat tersebut bernilai salah, karena lima merupakan bilangan ganjil.
  3. \(\color{Red}{A}\) bernilai salah dan \(\color{Blue}{B}\) bernilai benar.
    Manusia berjalan dengan tiga kaki  dan cacing dapat terbang
    Kalimat tersebut bernilai salah, karena cacing semestinya tidak dapat terbang.
  4. \(\color{Red}{A}\) dan \(\color{Blue}{B}\) salah satunya benar dan sisanya salah.
    Hari ini adalah hari senin dan besoknya adalah hari kamis
    Kalimat tersebut bernilai salah, karena jika benar hari ini adalah hari senin maka seharusnya besok adalah hari selasa, jadi “besoknya adalah hari kamis” bernilai salah. Sedangkan jika benar besok adalah hari kamis maka harusnya hari ini adalah hari selasa, jadi “hari ini adalah hari senin” bernilai salah.
  5. \(\color{Red}{A}\) bernilai salah dan \(\color{Blue}{B}\) bernilai salah.
    Indonesia berada di benua Afrika  dan Tokyo adalah ibukota Indonesia
    Kalimat tersebut bernilai salah, Indonesia berada di benua Asia dan ibukota Indonesia adalah Jakarta.

Contoh lain (variasi) :

Diberikan kalimat dengan konjungsi sebagai berikut.

“Cranel adalah mahasiswa berprestasi dan kaya raya”

Buatlah dua pernyataan dari kalimat tersebut.

Pembahasan :

Dari kalimat tersebut kita punya dua pernyataan :

  1. Cranel adalah mahasiswa berprestasi.
  2. Cranel adalah mahasiswa kaya raya.

Lalu bagaimana dengan nilai kebenarannya? Karena kalimat pada soal tersebut merupakan kalimat faktual maka nilai kebenarannya disesuaikan dengan fakta sesungguhnya.

Tabel Kebenaran :

Jika \(A\) dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka nilai kebenaran \( A \wedge B\) didefinisikan dengan tabel kebenaran:

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\wedge B\\\hline\text{T}&\text{T}&\text{T}\\\text{T}&\text{F}&\text{F}\\\text{F}&\text{T}&\text{F}\\\text{F}&\text{F}&\text{F}\\\hline\end{array}$$

Disjungsi

Jika sebelumnya telah dibahas mengenai konjungsi, sekarang kita akan membahas mengenai disjungsi. Disjungsi kerap disama artikan dengan kata penghubung “… atau …”. Selain itu, disjungsi terdiri dari dua macam yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif. Untuk selengkapnya sebagai berikut.

Disjungsi Inklusif

Definisi : Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “… atau …” disebut disjungsi. Dalam logika kalimat, kata “atau” dinotasikan dengan \(\vee\).

Contoh :

Buatlah dua pernyataan dari disjungsi :  \(17\) adalah bilangan prima atau habis dibagi 7 ?

Pembahasan :

  • \(17\) adalah bilangan prima (bernilai benar).
  • \(17\) habis dibagi \(7\) (bernilai salah).

Sehingga jelas kalimat “\(17\) adalah bilangan prima atau habis dibagi 7” bernilai benar.

Tabel Kebenaran :

Jika \(A\) dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka nilai kebenaran \(A \vee B\) didefinisikan dengan tabel kebenaran :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\vee B\\\hline\text{T}&\text{T}&\text{T}\\\text{T}&\text{F}&\text{T}\\\text{F}&\text{T}&\text{T}\\\text{F}&\text{F}&\text{F}\\\hline\end{array}$$

Disjungsi Ekslusif

Gambar Bunga Mawar Merah dan Putih

Kita asumsikan bunga mawar hanya berwarna merah atau putih (tidak berlaku warna campuran) dan dalam setangkai bunga mawar hanya ada satu buah bunga.

Sekarang ceritanya ada dua orang yaitu Cranel dan Hestia, mereka saling jatuh cinta. Suatu hari Cranel membawa setangkai bunga mawar berwarna merah atau putih untuk melamar Hestia. Dengan senang hati, Hestia menerima lamaran Cranel dan mereka hidup bahagia :).

Sekarang kita hubungkan cerita singkat di atas dengan konsep disjungsi. Dari kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” kita misalkan :

\(\color{blue}{A}\) = “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah”.

\(\color{green}{B}\) = “Cranel membawa setangkai bunga mawar putih”.

Selanjutnya kita lakukan analisis sebagai berikut :

  1. Jika \(\color{blue}{A}\) dan \(\color{green}{B}\) keduanya bernilai benar.
    Maka kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai salah. Hal ini karena jika \(\color{blue}{A}\) dan \(\color{green}{B}\) bernilai benar maka dalam setangkai bunga harus memuat dua warna merah dan putih sekaligus (hal ini tidak sesuai asumsi awal).
  2. Jika \(\color{blue}{A}\) bernilai benar dan \(\color{green}{B}\) bernilai salah.
    Jelas kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai benar.
  3. Jika \(\color{blue}{A}\) bernilai salah dan \(\color{green}{B}\) bernilai benar.
    Jelas kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai benar.
  4. Jika \(\color{blue}{A}\) dan \(\color{green}{B}\) keduanya bernilai salah.
    Jelas kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai salah.

Dari analisa di atas, pada bagian (1) di saat keduanya bernilai benar, terdapat perbedaan nilai kebenaran dengan disjungsi inklusif. Kasus Cranel dan Hestia tersebut termasuk contoh disjungsi eksklusif.

Definisi : Jika \(A\)  dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka pernyataan “\(A\) atau \(B\)” yang merupakan disjungsi eksklusif dinotasikan dengan symbol \(\veebar\).

Tabel Kebenaran :
$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\veebar B\\\hline\text{T}&\text{T}&\text{F}\\\text{T}&\text{F}&\text{T}\\\text{F}&\text{T}&\text{T}\\\text{F}&\text{F}&\text{F}\\\hline\end{array}$$

Catatan (Penting) : Umumnya penulisan disjungsi inklusif “\(A\) atau \(B\)” hanya dituliskan disjungsi saja. Kecuali jika disebutkan secara eksplisit bahwa “\(A\) atau \(B\)” adalah pernyataan disjungsi eksklusif.

Implikasi

Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “jika…, maka…” atau “bila…, maka..” atau “apabila…, maka…” disebut implikasi. Semisal :

“Apabila kamu mencari yang sempurna, maka aku memilih mundur”;

“Jika hujan masih air, maka kamu masih milik orang lain”;

“Bila kamu mau jadi pacarku, maka kamu akan aku belikan HP terbaru”.

Kalimat-kalimat tersebut termasuk kalimat implikasi.

Definisi : Kalimat “jika \(A\), maka \(B\)” dinotasikan dengan “\(A \Rightarrow B\)”. Dalam hal ini, \(A\) disebut antiseden dan \(B\) disebut konsekuen.

Apa itu antiseden dan konsekuen dalam definisi di atas?

\(A\) disebut antiseden mempunyai makna bahwa \(A\) adalah syarat cukup bagi \(B\) dan \(B\) disebut konsekuen yang mempunyai makna bahwa \(B\) adalah syarat perlu bagi \(A\).

Tabel Kebenaran :

Jika \(A\) dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka tabel kebenaran untuk \(A \Rightarrow B\) diberikan dengan:

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\Rightarrow B\\\hline\text{T}&\text{T}&\text{T}\\\text{T}&\text{F}&\text{F}\\\text{F}&\text{T}&\text{T}\\\text{F}&\text{F}&\text{T}\\\hline\end{array}$$

Biimplikasi

Pada situs wolfram (Baca : Equivalent — from Wolfram MathWorld ) disebutkan secara implisit bahwa istilah “Biimplikasi” sama dengan istilah “Ekuivalen”. Sekerang kita kesampingkan hal tersebut dan kita pahami konsep biimplikasi sebagai berikut.

Definisi : Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “… jika dan hanya jika …” disebut biimplikasi. Biimplikasi “\(A\) jika dan hanya jika \(B\)” dinotasikan dengan “\(A \Leftrightarrow B\)”.

Contoh :

Simbol Perasaan Cinta (Untuk Contoh Soal)

Masih ingat cerita sebelumnya tentang Cranel dan Hestia?

Ada sedikit plot twist dimana suatu ketika Cranel harus pergi ke luar kota untuk menempuh pendidikan. Hestia merasa kesepian menghubungi Cranel dan bertanya, “Apakah kamu masih mencintaiku?” Dengan suara lantang Cranel membalas, “Aku akan selalu mencintaimu jika dan hanya jika kamu setia mencintaiku”. Seketika Hestia menangis bahagia.

Kalimat “Aku akan selalu mencintaimu jika dan hanya jika kamu setia mencintaiku” merupakan contoh kalimat biimplikasi. Lalu bagaimana nilai kebenaran dari kalimat tersebut? Ingat itu termasuk kalimat faktual, sehingga nilai kebenarannya disesuaikan dengan fakta sesungguhnya.

Tabel Kebenaran :
$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\Leftrightarrow B\\\hline\text{T}&\text{T}&\text{T}\\\text{T}&\text{F}&\text{F}\\\text{F}&\text{T}&\text{F}\\\text{F}&\text{F}&\text{T}\\\hline\end{array}$$

Baca juga : Hukum Operasi Logika Matematika

Akhir kata mimin ucapkan terima kasih sudah berkenan membaca sampai habis. Berikut daftar referensi tulisan ini.

Referensi :

  • Truth Table Definitions of Logical Connectives (Online) – wmpeople.wm.edu
  • Diktat Pengantar Logika Matematika dan Himpunan (Online) – Budi Surodjo

Logika Matematika | (Studi Kasus) Logika dalam Kalimat

Cover Logika Matematika

Konsep Logika Matematika dalam Kalimat

Dalam matematika, logika dapat diartikan sebagai dasar dari setiap pembuktian yang dibangun. Selanjutnya, logika kalimat kita artikan sebagai logika yang terkandung pada suatu kalimat.

Dalam suatu pernyataan (kalimat), sering muncul ketidakmengertian, kesalahtafsiran dan bahkan kesalahpahaman oleh karena beberapa aspek yang terkandung pada kalimat tersebut.

Studi Kasus 1 : (Cerita Matematikawan Naik Pesawat)

Seorang ahli matematika terbang tanpa transit dari Tokyo ke Jakarta dengan menaiki pesawat. Waktu terbang yang dijadwalkan adalah sembilan jam. Beberapa waktu setelah lepas landas, pilot mengumumkan bahwa satu mesin harus dimatikan karena kerusakan mekanis : “Jangan khawatir kita masih aman. Satu-satunya efek yang terlihat bagi kita adalah bahwa total waktu terbang kita adalah sepuluh jam, bukan sembilan.”

Beberapa jam setelah penerbangan, pilot memberi tahu penumpang bahwa mesin lain harus dimatikan karena kerusakan mekanis: “Tapi jangan khawatir kita masih aman. Hanya waktu terbang kita yang akan mencapai dua belas jam.” Beberapa waktu kemudian, mesin ketiga gagal dan harus dimatikan. Tetapi pilot meyakinkan para penumpang: “Jangan khawatir bahkan dengan satu mesin, kami masih benar-benar aman. Itu hanya berarti bahwa akan memakan waktu enam belas jam total untuk pesawat ini tiba di Jakarta.”

Matematikawan itu mengatakan kepada sesama penumpangnya: “Jika mesin terakhir rusak juga, maka kita akan berada di udara selama dua puluh empat jam sekaligus!“.

Masih bingung dengan cerita di atas? Kalimat yang dikatakan oleh matematikawan tersebut memiliki dua perspektif (pandangan) yang berbeda yang dapat mengakibatkan kesalahtafsiran dan kesalahpahaman. Memperhatikan hal tersebut, diperlukan konsep berikut ini.

Apa Itu Semesta Pembicaraan ?

Semesta pembicaraan diartikan sebagai himpunan semua objek yang dibahas di dalam pembicaraan. Semisal dalam kalimat : “Melon lebih besar dari pada Jeruk”. Objek dari kalimat tersebut adalah Melon dan Jeruk sehingga semesta pembicaraannya adalah himpunan buah-buahan.

Studi Kasus 2 :

Tentukan semesta pembicaraannya sehingga persamaan \(x^2 -x -2=0\)  mempunyai :

(a) Tepat satu solusi.

(b) Tepat dua solusi.

Pembahasan :

Solusi yang dimaksud adalah nilai-nilai dari \(x\) yang jika disubstitusikan ke persamaan tersebut bernilai benar. Selain itu, solusi dari persamaan tersebut merupakan objek-objek yang ada pada pernyataan (kalimat) di soal.

Jika kita faktorkan maka kita punya \((x+1)(x-2)=0\) dimana \(x=-1\) atau \(x=2\). Dari dua solusi tersebut jelas bahwa keduanya merupakan anggota bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan real. Jadi semesta pembicaraan untuk pertanyaan (b) adalah himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, atau himpunan bilangan real.

Catatan : himpunan yang memuat objek \(-1\) dan \(2\) tidak terbatas hanya itu. Kita boleh saja membuat sebarang himpunan yang memuat kedua objek tersebut dengan mendefinisikannya terlebih dahulu. Semisal pada awal soal dituliskan “Diketahui himpunan \(A=\{-1,2,3\}\).”

Sedangkan jika dikehendaki tepat satu solusi, maka kita perlu membatasi semesta pembicaraannya agar hanya salah satu solusi dari \(-1\) atau \(2\) yang memenuhi persamaan tersebut. Kemudian kita perlu melihat perbedaan karakteristik dari dua objek (solusi) tersebut. Kita tahu bahwa \(-1\) adalah bilangan bulat negatif sedangkan \(2\) bilangan bulat positif.

Jadi agar diperoleh tepat satu solusi, maka sekarang semesta pembicaraannya kita batasi menjadi himpunan bilangan bulat negatif saja atau himpunan bilangan bulat positif saja.

Variabel dan Konstanta dalam Logika Matematika

Variabel diartikan sebagai lambang yang menjadi simbol dari sebarang anggota di dalam semesta pembicaraannya.

Konstanta diartikan sebagai lambang suatu anggota tertentu dari semesta pembicaraan.

Studi Kasus 3 :

Tentukan konstanta atau variabel pada kalimat-kalimat di bawah ini.

  1. Soekarno adalah seorang proklamator RI.
  2. Lima puluh habis dibagi \(5\).

Pembahasan :

  1. Objek “soekarno” pada kalimat di atas diartikan secara khusus sebagai seorang proklamator RI sehingga merupakan konstanta.
  2. Objek “lima puluh” dalam bahasa indonesia diartikan sebagai angka lima puluh yang disimbolkan \(50\) yang merupakan suatu konstanta. Begitu pula untuk simbol \(5\) mewakili angka lima yang merupakan suatu konstanta juga.

Klasifikasi Kalimat

Secara garis besar, kita klasifikasikan menjadi dua macam yaitu kalimat deklaratif dan kalimat terbuka. Secara tidak sadar kita sering menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Pernahkah kalian berbohong kepada orang lain? umumnya kebohongan dikategorikan sebagai kalimat deklaratif. Untuk lebih jelasnya sebagai berikut:

1. Kalimat Deklaratif

Kalimat deklaratif adalah kalimat yang mengandung nilai salah atau benar, dan tidak bernilai kedua-duanya. Benar pada kalimat berarti mempunyai persesuaian antara isi pernyataan dengan fakta sesungguhnya.

Kalimat deklaratif yang nilai kebenarannya dengan fakta sesungguhnya disebut kalimat faktual. Sedangkan kalimat deklaratif yang nilai kebenarannya tanpa melihat fakta sesungguhnya disebut kalimat non faktual.

Baca juga : Hukum Operasi Logika Matematika

Studi Kasus 4 :

Tentukan kalimat-kalimat berikut ini merupakan kalimat yang mempunyai arti atau kalimat tanpa arti atau kalimat deklaratif.

  1. Ya ampun!
  2. Satu tambah dua hasilnya sama dengan empat.
  3. Presiden Indonesia dipilih setiap lima tahun sekali.
  4. Selama ini angka \(2\) selalu bergandengan dengan angka \(3\).
  5. Besok kiamat atau tidak kiamat.

Pembahasan :

  1. Merupakan kalimat seru yang mempunyai arti, namun tidak mengandung nilai benar atau salah.
  2. Merupakan kalimat faktual (deklaratif) dengan nilai kebenarannya false (bernilai salah).
  3. Merupakan kalimat faktual (deklaratif) dengan nilai kebenarannya true (bernilai benar).
  4. Merupakan kalimat tanpa arti karena istilah “selalu bergandengan” tidak terdefinisi dengan baik.
  5. Merupakan kalimat non faktual (deklaratif) dengan nilai kebenarannya true (bernilai benar). Untuk penjelasannya akan dibahas di halaman yang berbeda.

2. Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang baru dapat ditentukan nilai kebenarannya (atau menjadi kalimat deklaratif) jika variabel di dalamnya diganti menjadi suatu konstanta tertentu.

Studi Kasus 5 :

Tentukan apakah kalimat-kalimat berikut ini merupakan kalimat terbuka atau kalimat deklaratif. Jika kalimat deklaratif, apakah bernilai benar atau salah.

  1. \(x\) merupakan bilangan negatif.
  2. \(0\) merupakan bilangan irasional.
  3. Jika \(x, y, z\) merupakan bilangan asli, maka \(x < z < y\).
  4. Jika semesta pembicaraan adalah semua manusia, maka Tono lebih tinggi daripada Tini.

Pembahasan :

  1. Merupakan kalimat terbuka sebab terdapat variabel yang disimbolkan dengan \(x\)  tidak secara khusus mewakili suatu anggota dari himpunan bilangan negatif.
  2. Merupakan kalimat deklaratif bernilai false (salah), sebab dapat kita tuliskan \(0=\frac{0}{1}\) (bilangan rasional).
  3. Merupakan kalimat terbuka dengan \(x, y, z\) sebagai variabel.
  4. Merupakan kalimat deklaratif sebab Tono dan Tini secara khusus mencirikan identitas seseorang. Nilai kebenarannya dapat bernilai true atau false tergantung kenyataan sesungguhnya.

Pembahasan selanjutnya : Operasi Logika Matematika | Definisi, Tabel Kebenaran dan Contoh

Mathematical logic is about the forest rather than the trees. When you look at the structure that different mathematical fields have in common, you see overarching themes that make the theory work. –  Hunter Johnson