Berbicara mengenai garis singgung lingkaran, terdapat dua teorema yang mempunyai bentuk persamaan relatif sama.
Teorema paling atas adalah Teorema pitot yang berdasarkan catatan sejarah pertama kali dibuktikan oleh Henri Pitot pada Tahun 1725 melalui memoarnya. Sedangkan dibawahnya adalah Teorema yang diperkenalkan oleh Jacob Steiner dan kita akan mempelajarinya lebih lanjut.
Teorema Steiner pada Garis Singgung Lingkaran
Teorema Steiner berbunyi dalam segiempat garis singgung ABCD (lingkaran di luar) berlaku :
Jadi didapatkan AB – CD = (AP – BP) – (CR + DR) = AD- BC.
Kasus 3 (ABCD Segiempat Refleks)
Titik P, Q, R dan S berturut-turut adalah titik singgung pada garis AB, AD, BC dan CD.
Masih menggunakan analogi yang sama pada kasus sebelumnya, dimana kita gunakan sifat dasar garis singgung lingkaran sehingga kita peroleh hubungan sebagai berikut :
AP = AQ
BP = BR
CS = CR
DS = DQ
Sehingga dengan melakukan operasi persamaan ((2) – (1)) – ((4) – (3)) kita dapatkan
Dilain pihak, kita tahu bahwa (BP – AP) – (DS – CS) = AB – CD
Sehingga AB – CD = BC – AD.
Kesimpulan
Dari kasus 1 sampai kasus 3, dapat disimpulkan bahwa dalam segiempat garis singgung (lingkaran di luar) berlaku selisih panjang sisi yang berhadapan sama dengan selisih pasangan sisi yang berhadapan lainnya. Atau dengan kata lain jika kita punya segiempat garis singgung ABCD (lingkaran diluar) maka berlaku :
Jika ABCD segiempat konveks maka AB – CD = AD – BC
Jika ABCD segiempat konkaf maka AB-CD = AD – BC
Jika ABCD Segiempat refleks maka AB – CD = BC – AD
Dalam kehidupan nyata apabila ada dua objek padat saling bersinggungan maka kedua objek tersebut akan mempunyai area singgungan yang sama. Contohnya ketika kita menggunakan stempel untuk memberikan tanda tertentu di secarik kertas. Maka sewaktu stempel bersentuhan dengan kertas akan meninggalkan tanda di kertas yang sesuai permukaan stempel tersebut.
Hal tersebut sebelas-dua belas di dunia matematika, salah satunya dalam geometri euclid \(\mathbb{R}^{2}\). Jika dua objek berbeda saling bersinggungan di satu atau banyak titik dan kita tandai area singgungannya, maka kedua objek tersebut akan memiliki area singgung yang sama. Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Pada kotak biru pertama menunjukkan persinggungan antara segitiga dengan sebuah garis dengan area singgungnya berupa ruas garis (merah). Kemudian pada kotak biru di bawahnya menunjukkan persinggungan antara lingkaran dan segiempat yang saling menyinggung di empat titik (merah).
Nah, sekarang bagaimana jika objek yang bersinggungan tersebut adalah garis lurus dan lingkaran ? Mari kita cari tahu lebih lanjut ^^
Definisi
Secara sederhana, Garis Singgung Lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik.
Pada gambar di atas, garis merah termasuk garis singgung lingkaran. Sedangkan garis biru dan hijau tidak termasuk, karena tidak menyinggung lingkaran tepat di satu titik.
Catatan : Hati-hati dengan perbedaan segmen garis dan garis. Segmen garis atau ruas garis dapat menyinggung lingkaran di dua titik yang biasa disebut tali busur, contohnya dapat dilihat pada gambar sebelumnya.
Jenis Garis Singgung pada Dua Lingkaran
Garis Singgung bersama Luar
Garis Singgung bersama Dalam
Animasi Cara Melukis Garis Singgung Lingkaran
Sifat-Sifat Garis Singgung
Sifat-sifat garis singgung lingkaran berikut berguna untuk membantu membuktikan kebenaran teorema dan juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah tertentu.
Perhatikan gambar berikut.
Jika AC dan BC masing-masing merupakan garis singgung lingkaran dan berpotongan di titik C maka berlaku sifat 1, 2 dan 3 sebagai berikut:
Sifat 1
Antara jari-jari OA dan garis singgung AC yang berpotongan di titik A membentuk sudut siku-siku. Demikian pula antara jari-jari OB dan garis singgung BC berpotongan di titik B membentuk sudut siku-siku.
Asumsikan OA dan OC tidak tegak lurus, maka terdapat titik P di garis AC dimana OP tegak lurus OA. Kemudian kita pilih titik Q pada garis AC sehingga PA = PQ dengan A \(\neq\) Q. (berikut ilustrasinya)
Sehingga kita peroleh :
\(\Rightarrow~OP (\text{pada}~\triangle{AOP} ) = OP (\text{pada}~\triangle{QOP})\);
\(\Rightarrow~\angle OPA =\angle OPQ = 90^{\circ}\);
\(\Rightarrow~PA = PQ\);
Oleh karena itu, dapat kita simpulkan \(\triangle\)AOP kongruen (Sisi, Sudut, Sisi) dengan \(\triangle\)QOP dan akibatnya OA = OQ.
Mengingat OA adalah jari-jari lingkaran, maka Q haruslah berada di lingkaran. Hal ini kontradiksi bahwa berdasarkan definisi, garis AQ hanya menyinggung lingkaran di A dan A \(\neq\) Q.
Oleh karena itu, berdasarkan hukum kontradiksi, asumsi awal bernilai salah sehingga haruslah OA tegak lurus dengan OC. Selanjutnya gunakan analogi yang sama dan akan kita peroleh garis OA tegak lurus dengan OB.
Sifat 2
\(AC = BC\)
Supaya lebih efisien, buktinya menyesuaikan dari pembuktian teorema Dua Garis Singgung Lingkaran Sama Panjang (tersedia 3 alternatif pembuktiannya). Jadi baca sampai selesai ya ^^
Sifat 3
\(\angle ACO = \angle BCO\)
Untuk buktinya kita gunakan sifat ke-2 sehingga diperoleh :
\(\Rightarrow~AC = BC\);
\(\Rightarrow~\angle OAC =\angle OBC = 90^{\circ}\);
\(\Rightarrow~OA = OB\);
Akibatnya segitiga AOC kongruen (sisi, sudut, sisi) dengan segitiga BOC sehingga berlaku \(\angle ACO = \angle BCO\).
Sifat 4 (Tambahan)
Jika segitiga ABC adalah segitiga dalam lingkaran dan k adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A. Maka Segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki jika dan hanya jika garis k sejajar dengan garis BC.
Keempat sifat ini berguna untuk membantu membuktikan beberapa teorema berikut :
Teorema Pitot
Teorema pitot berbunyi dalam segiempat garis singgung ABCD (lingkaran berada di dalam) berlaku persamaan AB + CD = BC + DA.
Jika AP dan BP masing-masing merupakan garis singgung lingkaran dan berpotongan di titik P maka berlaku AP = BP. (keterangan : titik A dan B merupakan titik singgung lingkaran dan titik O adalah pusat lingkaran).
Bukti :
Menggunakan Kekongruenan Segitiga
Pertama kita tarik garis bantu OA, OB, dan PO sehingga sekarang kita punya segitiga OAP dan OBP.
Dari gambar di atas kita tahu :
\(\Rightarrow~OP~(\text{pada}~\triangle{OBP} ) = OP~(\text{pada}~\triangle{OAP})\);
\(\Rightarrow~\angle OBP =\angle OAP = 90^{\circ}\) (Sifat 1);
\(\Rightarrow~OB = OA\) (jari-jari);
Jadi berdasarkan konsep kekongruenan (sisi, sudut, sisi), dapat kita simpulkan segitiga OAP kongruen dengan segitiga OBP. Akibatnya diperoleh AP = PB.
Menggunakan Rumus Pythagoras
Dari pernyataan sebelumnya, kita tahu bahwa segitiga OAP dan OBP adalah segitiga siku-siku (\(\angle OBP =\angle OAP = 90^{\circ}\)). Sehingga berdasarkan Teorema Pythagoras berlaku :
$$\begin{aligned}AP&=\sqrt{OP^{2}-OA^{2}}\\&=\sqrt{OP^{2}-OB^{2}}\\&=PB\end{aligned}$$
(Sesuai yang diminta).
Menggunakan Teorema Reim
Kita tahu bahwa \(\angle PAO = \angle PBO = 90^{\circ}\) dan \(\angle PAO + \angle PBO = \angle APB + \angle AOB = 180^{\circ}\) (diperoleh AOBP segiempat tali busur). Sehingga berdasarkan sifat segiempat tali busur kita punya lingkaran kedua (biru) yang melewati titik A, O, B dan P. Kemudian kita misalkan k adalah garis singgung lingkaran kedua yang melewati titik P.
Sekarang kita punya kondisi yang mengarah pada Teorema Reim, dimana teorema tersebut berbunyi :
Misalkan lingkaran \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\) yang saling berpotongan di titik M dan N. Garis \(l_{m}\) yang melewati titik M memotong lingkaran \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\) berturut-turut di titik \(X_{1}\) dan \(X_{2}\). Misalkan lagi \(Y_{1}\) dan \(Y_{2}\) berturut-turut adalah titik di \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\), sehingga berlaku \(X_{1}Y_{1} || X_{2}Y_{2}\) jika dan hanya jika \(Y_{1}, N\) dan \(Y_{2}\) segaris. (Baca Pembuktiannya by Cut The Knot)
Jadi dengan mengatur :
\(\omega_{1}=\) Lingkaran pertama;
\(\omega_{2}=\) Lingkaran kedua (biru);
\(Y_{1} = N = B\);
\(Y_{2} = P\);
\(X_{1} = M = A\);
\(X_{2} = P\);
Maka berdasarkan Teorema Reim diperoleh AB || k, mengingat \(X_{2}Y_{2} = PP\) adalah tali busur lingkaran \(\omega_{2}\) yang jelas sejajar dengan k. Dengan demikian berdasarkan Sifat 2 kita punya segitiga APB sama kaki dengan AP = PB.
Empat Garis Singgung Lingkaran Sama Panjang
Jika kita punya :
Dua lingkaran (\(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)) tidak saling berpotongan dan tidak saling bersinggungan
\(T_{1}\) dan \(T_{2}\) merupakan garis singgung bersama (luar) pada lingkaran \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)
A, A’, B, B’ yang merupakan titik singgung \(T_{1}\) dan \(T_{2}\) pada \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)
\(T_{3}\) dan \(T_{4}\) yang merupakan garis singgung bersama (dalam) pada lingkaran \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)
P dan P’ berturut-turut merupakan titik potong \(T_{3}\) dengan \(T_{1}\) dan \(T_{2}\)
Q dan Q’ berturut-turut merupakan titik potong \(T_{4}\) dengan \(T_{1}\) dan \(T_{2}\)
Maka berlaku : AA’ = BB’ = PP’ = QQ’
Pembuktian
Berdasarkan sifat 2 kita peroleh OA’ = OB’ dan OA = OB sehingga didapat AA’ = OA’ – OA = OB’ – OB = BB’.
Misalkan :
C dan C’ berturut-turut adalah titik singgung \(T_{4}\) dengan \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)
D dan D’ berturut-turut adalah titik singgung \(T_{3}\) dengan \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)
Berdasarkan sifat 2 kita punya P’B = P’D dan P’B’ = P’D’.
Jadi dari persamaan (i) dan (ii) dapat kita tarik kesimpulan AA’ = BB’ = PP’ = QQ’.
Catatan : Teorema mengenai garis singgung lingkaran tidak terbatas pada teorema-teorema di atas. Bagi kalian yang menemukan teorema lain dapat membagikannya melalui kolom komentar di bawah. ^^
Sewaktu kita duduk di bangku SMA, dalam mata pelajaran fisika (mekanika fluida) kita dikenalkan dengan tabung pitot yang digunakan untuk melakukan pengukuran tekanan pada aliran fluida. Tabung pitot ditemukan oleh insinyur berkebangsaan Prancis, Henri Pitot pada awal abad ke 18.
Beberapa sumber seperti Britannica dan Wikipedia mengatakan Henri Pitot lahir pada tanggal 3 Mei 1695 di Aramon, Prancis. Namun, referensi lain (artikel oleh Jean – Louis AYME, hal 13-14) yang menyatakan ia lahir pada tanggal 29 Mei 1695.
Terlepas dari hal tersebut, berikut beberapa riwayat hidupnya :
Pada tahun 1723, berkat pelatihan matematika dan astronomi memungkinkannya untuk menjadi asisten fisikawan Réaumur.
Pada tahun 1724 pitot berhasil menjadi asisten mekanik di Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis (French Academy of Sciences).
Pada 1740 pitot menjadi anggota Royal Society.
Pada 1740 pitot diangkat sebagai kepala insinyur bagian Languedoc dan berpartisipasi dalam pemeliharaan dan konstruksi pada kanal, jembatan, dan proyek drainase.
Pada tanggal 27 Desember 1771, pitot meninggal dunia di usia 76 tahun. Semasa hidupnya ia berhasil menerbitkan beberapa memoar (artikel/jurnal) tentang geometri yang salah satunya mengenai teorema pitot.
Dinamakan teorema pitot karena pada tahun 1725 dalam memoar berjudul Propriétés élémentaires des polygones circonscrits autour du cercle karya Henri Pitot, dianggap sebagai yang pertama memperkenalkan sekaligus membuktikan teorema tersebut.
Pembahasan lebih lanjut mengenai teorema pitot kita awali dengan konsep dasar garis singgung lingkaran. Hal ini karena sifat tersebut merupakan pondasi dasar yang dapat digunakan untuk membuktikan teorema tersebut.
Sifat Dasar Garis Singgung Lingkaran
Secara sederhana, garis singgung lingkaran dapat kita artikan sebagai garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik.
Jika AC dan BC masing-masing merupakan garis singgung lingkaran dan berpotongan di titik C maka berlaku hal-hal sebagai berikut.
Antara jari-jari OA dan garis singgung AC yang berpotongan di titik A membentuk sudut siku-siku. Demikian pula antara jari-jari OB dan garis singgung BC berpotongan di titik B membentuk sudut siku-siku.
AC = BC
\(\angle ACO = \angle BCO\)
Perhatikan bahwa jika kita tarik garis dari A ke B maka akan terbentuk segmen atau ruas AB. Pertanyaannya adalah apakah segmen AB termasuk kategori menyinggung lingkaran? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, silahkan baca : Konsep dasar Garis Singgung Lingkaran Lengkap dengan Animasi.
Segitiga Garis Singgung
Segitiga garis singgung kita definisikan sebagai segitiga yang ketiga garis sisinya menyinggung suatu lingkaran yang sama.
Teorema Pitot dalam Segitiga Garis Singgung
Teorema ini berbunyi, dalam segitiga garis singgung ABC berlaku AB + PC = AC + PB dengan P adalah titik singgung pada garis BC.
Pembuktian
Pertama kita definisikan titik Q dan R berturut-turut adalah titik singgung pada garis AC dan AB.
Langkah selanjutnya kita gunakan sifat garis singgung sehingga diperoleh :
AR = AQ
RB = PB
PC = QC
Sehingga jika ketiga persamaan tersebut kita jumlahkan kita dapatkan:
(AR + RB) + PC = (AQ + QC) + PB
AB + PC = AC + PB (Terbukti)
Selain pada segitiga garis singgung, teorema pitot juga berlaku pada segiempat garis singgung. Selengkapnya sebagai berikut.
Segiempat Garis Singgung
Pertama kita identifikasi 3 macam bentuk segiempat yaitu segiempat konveks, konkaf, dan refleks.
Segiempat Konveks (Convex)
Secara sederhana. segiempat konveks adalah segiempat yang besar setiap sudutnya antara \(0^{\circ}\) hingga \(180^{\circ}\) atau dalam interval \((0^{\circ}, 180^{\circ})\)
Segiempat Konkaf (Concave)
Berlawanan dengan segiempat konveks, segiempat konkaf mempunyai sudut yang besarnya lebih dari \(180^{\circ}\)
Segiempat Refleks atau Silang (Crossed)
Jika umumnya jumlah sudut dalam segiempat berjumlah \(360^{\circ}\), maka dalam segiempat silang jumlah sudutnya kurang dari \(360^{\circ}\).
Kemudian kita sepakati bersama, Segiempat Garis Singgung merupakan segiempat yang keempat garis sisinya menyinggung suatu lingkaran. Sehingga secara umum segiempat garis singgung lingkaran mempunyai dua macam yaitu :
Lingkaran Berada di Dalam
Dari gambar di atas, kenapa hanya segiempat konveks dan konkaf saja? Bagaimana dengan segiempat refleks?
Berdasarkan kesapakatan sebelumnya, bahwa keempat garis sisinya harus menyinggung suatu lingkaran yang sama. Dengan tambahan pada kasus ini lingkaran berada di dalam. Sehingga secara intuisi pada segiempat garis singgung yang refleks, terdapat sisi yang tidak menyinggung lingkaran.
Segiempat refleks pada gambar di atas mempunyai sisi (warna hitam) yang tidak menyentuh lingkaran. Sehingga pada kasus ini (lingkaran berada di dalam) segiempat refleks tidak termasuk.
Lingkaran Berada di Luar
Setelah kita mempelajari segiempat garis singgung, mari kita cari tahu teorema apa saja yang berlaku dalam segiempat garis singgung? Apakah hanya teorema pitot?
Teorema Pitot dalam Segiempat Garis Singgung
Teorema pitot berbunyi dalam segiempat garis singgung ABCD (lingkaran berada di dalam) berlaku persamaan AB + CD = BC + DA.
Pembuktian
Dari gambar di atas, terdapat dua kasus yaitu pada segiempat konveks dan konkaf. Sehingga pembuktiannya pun kita bagi menjadi dua kasus.
Kasus Segiempat Konveks
Untuk kasus ini, supaya lebih menarik telah disiapkan animasi pembuktiannya menggunakan Manim Engine.
Jika ada saran mengenai video di atas, dapat dituliskan di kolom komentar di bawah. Terima kasih ^^.
Kasus Segiempat Konkaf
Untuk pembuktiannya, pertama kita definisikan titik P, Q, R dan S berturut-turut adalah titik singgung garis AB, CD, BC dan DA.
Berdasarkan sifat garis singgung lingkaran, kita punya :
AP = AS
BP = BR
DS = DQ
CQ = CR
Sehingga dengan melakukan manipulasi aljabar (1) + (2) + (3) – (4) kita peroleh :
(AP + BP) + (DQ – CQ) = (AS + DS) + (BQ – CR)
AB + CD = DA + BC (Terbukti)
Mudah bukan?
Sekarang, bagaimana jika lingkarannya berada di luar ? apakah juga berlaku teorema pitot?
Ada sebuah cerita ketika mimin duduk dibangku sekolah. Waktu itu guru matematika memberikan tantangan kepada siswa untuk melukiskan garis lurus dengan panjang \(\sqrt{2}\) cm. Dalam melukiskannya siswa hanya boleh menggunakan penggaris yang ada ukurannya dalam satuan cm.
Waktu itu mimin dan teman sekelas kebingungan karena dalam penggaris hanya ada bilangan bulat sedangkan \(\sqrt{2}\) bukan bilangan bulat. Ada teman yang mencoba melukiskan garis dengan panjang 1,4 cm ( mendekati \(\sqrt{2}\) cm ). Namun guru masih belum puas dengan jawaban tersebut, karena yang diminta adalah garis dengan panjang \(\sqrt{2}\) cm.
Sampai waktu yang ditentukan telah habis. Tiba waktunya guru menjelaskan cara melukiskan garis tersebut. Berikut jawaban yang diberikan oleh guru :
Ternyata dengan teorema pythagoras, kita dapat melukiskan panjang garis dengan ukuran yang bukan bilangan bulat. Bayangkan jika konsep teorema pythagoras belum ditemukan, mungkin kemajuan infrastruktur seperti jembatan, gedung, monumen dan lainnya tidak semaju sekarang.
Oleh karena itu kita perlu mempelajarinya supaya suatu saat kita dapat mengaplikasikannya kedalam kehidupan nyata ^^.
Apa itu Teorema Pythagoras?
Dikutip dari Britannica.com, Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema pada segitiga siku-siku yang fenomenal dan cukup terkenal. ( sekitar 570-500 SM atau 490 SM ) Teorema ini telah lama dikaitkan dengan ahli matematika sekaligus filsuf Yunani yang bernama Pythagoras.
Namun berdasarkan beberapa penemuan peninggalan kuno, teorema pythagoras sebenarnya jauh lebih tua. Contohnya pada penemuan empat tablet babilonia yang berisi tripel pythagoras dan diperkirakan ada pada sekitar tahun 1900-1600 SM. Untuk kelanjutan sejarahnya baca : Sejarah Teorema Pythagoras (by Britannica.com).
Supaya tidak panjang lebar mari kita langsung cari tahu konsep dari Teorema Pythagoras. Kita akan membahasnya dalam dua sudut pandang, yaitu secara geometri dan secara analitik.
Secara Geometri
Jika kita punya segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di titik A dan pada masing-masing sisinya dibuat persegi ke arah luar. Maka luas persegi pada sisi BC sama dengan jumlah luas persegi pada sisi AB dan CA.
Berikut ilustrasinya :
Secara Analitik
Dari sudut pandang geometri di atas, dapat kita misalkan panjang sisi AB, CA dan BC berturut-turut sebesar \(a,b\) dan \(c\). Sehingga kita punya :
Luas persegi pada sisi \(\text{AB}\) adalah \(\text{AB}^{2}=a^{2}\)
Luas persegi pada sisi \(\text{CA}\) adalah \(\text{CA}^{2}=b^{2}\)
Dan luas persegi pada sisi \(\text{BC}\) adalah \(\text{BC}^{2}=c^{2}\)
Nah, sekarang pernyataan “jumlah luas persegi pada sisi BC sama dengan jumlah luas persegi pada sisi AB dan CA” dapat kita tuliskan :
$$\text{AB}^{2}+\text{CA}^{2}=\text{BC}^{2}$$
atau
$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$
Lalu apakah persamaan Teorema Pythagoras tersebut bernilai benar? Mari kita buktikan bersama.
Pembuktian Teorema Pythagoras
Misalkan kita punya segitiga siku-siku sebagai berikut :
Kita akan membuktikan bahwa \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\).
Step by Step :
Pertama kita duplikat segitiga siku-siku tersebut dan kita susun menjadi :
Dari gambar di atas, kita punya :
4 buah segitiga siku-siku dengan luas totalnya adalah$$\begin{aligned}\text{Luas}&=4\times \text{Luas Segitiga}\\&=4\times \frac{a\times b}{2}\\&=2ab\end{aligned}$$
1 buah persegi kecil (warna cokelat) dengan sisi \(c\) dan luasnya adalah$$\text{Luas}=c\times c=c^{2}$$
1 buah persegi besar dengan panjang sisi \(a+b\) dan luasnya adalah$$\begin{aligned}\text{Luas} &= (a+b)(a+b)\\&=a^{2}+2ab+b^{2}\end{aligned}$$
Selain itu, pada gambar kita tahu bahwa luas persegi besar setara dengan jumlah luas persegi kecil dan 4 buah segitiga siku-siku. Sehingga dapat kita tuliskan :
Dan kita telah selasai membuktikannya. Berikut adalah pembuktian versi Animasi. Animasi sudah disusun sedemikian rupa supaya lebih mudah dipahami.
Bukti dengan Animasi
Video animasi berikut adalah pembuktian secara geometri dan aljabar :
Tripel Pythagoras
Sebelumnya kita perlu mengetahui apa itu tripel? Agar lebih mudah dipahami, perhatikan istilah-istilah berikut.
1-tupel = single; contoh: (1), (0), (-2)
2-tupel = double atau sepasang; contoh: (3,4), (\(\sqrt{2}\), -1)
3-tupel = triple atau tripel; contoh : \(\left(1,2,\frac{1}{2}\right)\)
4-tupel = quadruple; contoh : (1,3,2,1)
dan seterusnya sampai dengan n-tupel yang berisi sebanyak n elemen.
Oke, sekarang andaikan kita punya segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya \(x,y\) dan \(z\) sebagai sisi miring. Berdasarkan Teorema Pythagoras, berlaku :
$$x^{2}+y^{2}=z^{2}$$
Hal ini jelas bahwa tripel \((x,y,z)\) adalah jawaban atau solusi dari persamaan tersebut. Contohnya (3,4,5) dan (1,2,\(\sqrt{5}\)) jika kita substitusikan akan memenuhi persamaan di atas.
Lalu yang seperti apakah tripel pythagoras itu?
Secara umum, tripel pythagoras adalah tripel \((x,y,z)\) dengan syarat tambahan \(x, y\) dan \(z\) adalah bilangan bulat positif. Contohnya (5,12,13), (7,24,25) dan (9,40,41).
Tantangan
Carilah minimal 2 tripel pythagoras yang berbeda, dengan salah satu bilangannya adalah 66.
Tulis jawabanmu di kolom komentar ya ^^
Sedangkan untuk cara mencarinya dapat dilihat pada soal ke-2 berikut.
Soal HOTS dan Pembahasan
Soal 1
Diberikan segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya adalah \(a,b\) dan \(c\). Diketahui \(a=2mn\) dan \(b=m^{2}-n^{2}\) dengan \(m>n\) untuk sebarang bilangan bulat positif \(m\) dan \(n\).
Apakah \(a,b\) dan \(c\) dapat membentuk sebuah tripel pythagoras ?
Jika iya, tentukan sisi manakah yang mungkin sebagai sisi miring untuk semua kemungkinan nilai dari \(m\) dan \(n\)?
Nyatakanlah \(c\) dalam variabel \(m\) dan \(n\) !
Pembahasan :
Jawaban bagian 1 adalah “Iya” jika \(c\) adalah bilangan bulat positif dan “tidak” jika \(c\) bukan bilangan bulat positif.
Kok bisa?
Ingat kembali bahwa agar \((a,b,c)\) tripel pythagoras maka \(a,b\) dan \(c\) selain sisi-sisi segitiga siku-siku juga adalah bilangan bulat positif.
Perhatikan bahwa \(m\) dan \(n\) adalah bilangan bulat positif sehingga cukup jelas bahwa \(a\) dan \(b\) juga bilangan positif (ingat penjumlahan dan perkalian bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat pula). Jadi tripel \((a,b,c)\) dapat termasuk tripel pythagoras tergantung nilai dari \(c\).
Jawaban bagian 2 :
Pertama kita asumsikan bahwa \((a,b,c)\) adalah tripel pythagoras. Sehingga \(c\) adalah bilangan bulat positif.
Selanjutnya kita lakukan eksperimen/uji coba :
Jika kita pilih \(m=2\) dan \(n=1\) maka :
$$\begin{aligned}a&=2mn\\&=2\times 2\times 1\\&=4\end{aligned}$$
dan
$$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=2^{2}-1^{2}\\&=4-1=3\end{aligned}$$
sehingga diperoleh \(a>b\)
Di lain pihak jika \(m=5\) dan \(n=2\) maka :
$$\begin{aligned}a&=2mn\\&=2\times 5\times 2\\&=20\end{aligned}$$
dan
$$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=5^{2}-2^{2}\\&=25-4=21\end{aligned}$$
sehingga diperoleh \(b>a\)
Dari hasil eksperimen di atas, untuk sebarang nilai \(m\) dan \(n\), kita tidak dapat menyimpulkan \(a>b\) atau \(b>a\). Akibatnya sisi \(a\) dan \(b\) tidak dapat sebagai sisi miring segitiga siku-siku.
Kok bisa begitu?
Ingat sisi miring segitiga siku-siku adalah sisi terpanjang pada segitiga siku-siku. Dan pada soal diminta sisi miring yang memenuhi setiap kondisi/kemungkinan nilai dari \(m\) dan \(n\). Maka jelas \(a\) dan \(b\) tidak memenuhi kriteria itu karena ada saat dimana \(a<b\) (\(a\) bukan sisi miring) begitu pula untuk sisi \(b\) ada kondisi dimana \(b<a\).
Sehingga di antara sisi \(a,b\) dan \(c\), yang mungkin sebagai sisi miring adalah sisi \(c\).
Jawaban bagian 3 :
Dari jawaban sebelumnya didapat bahwa \(c\) adalah sisi miring, maka berdasarkan teorema pythagoras kita peroleh :
\((a,b,c)\) merupakan tripel pythagoras jika \(c\) bilangan bulat positif
Sisi yang mungkin sebagai sisi miring adalah sisi \(c\)
Nilai \(c\) dalam variabel \(m\) dan \(n\) adalah \(c=m^{2}+n^{2}\)
Soal 2
Carilah tripel pythagoras dengan salah satu bilangannya adalah 70.
Pembahasan :
Untuk mencarinya kita dapat menggunakan dua cara :
Cara 1 (Dengan Konsep Dilatasi/ Pembesaran/ Pengecilan)
Apa itu dilatasi?
Secara gampangnya adalah jika kita punya sebuah segitiga siku-siku maka kita dapat membuat segitiga siku-siku baru dengan memperbesar atau memperkecil ukuran segitiga siku-siku awal. Konsep ini cocok digunakan jika kita sudah menghafal beberapa tripel pythagoras.
Semisal kita hafal tripel pyhtagoras (3,4,5) bagaimana cara kita memunculkan angka 70 pada tripel yang baru?
Yap, jawabannya adalah dengan mengkalikan tripel (3,4,5) dengan 14 atau dengan kata lain ukuran segitiga awal (3,4,5) akan kita perbesar 14 kali ukuran awal.
Hal tersebut karena hanya angka 5 yang merupakan faktor dari 70 dimana \(70=5\times 14\).
Sehingga dengan mengkalikan 14 kita peroleh segitiga baru dengan tripel \((3\times 14, 4\times 14, 5\times 14)\) atau \((42,64,70)\) dan kita berhasil membuat tripel pythagoras dengan salah satu bilangannya adalah 70.
Mudah bukan ?
Jadi kunci dari cara ini adalah kita harus mengetahui tripel segitiga awal yang bilangannya adalah faktor dari 70.
Namun cara ini mempunyai kekurangan, dimana jika tripel pythagoras yang telah kita ketahui atau hafalkan ternyata masih terbatas. Contoh jika kita dimintanya bukan bilangan 70 tapi ganti dengan bilangan 2021. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan cara lain sebagai berikut.
Cara 2 (Dengan Menggunakan Rumus)
Salah satu rumusnya adalah ada pada soal 1 dan tidak menutup kemungkinan ada rumus lain (Jika menemukannya tuliskan di kolom komentar ya, nanti kita diskusikan bersama).
Pada soal sebelumnya, jika kita punya tripel pythagoras (a,b,c) maka dapat dinyatakan dalam rumus \((2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})\).
Lalu bagaimana cara kita memunculkan bilangan 70?
Kita cukup memilih diantara a, b, dan c yang nilainya kita gantikan dengan 70. Kita bebas memilihnya namun disarankan kita pilih \(a=2mn=70\).
Kenapa tidak \(b=m^{2}-n^{2}=70\) atau \(c=m^{2}+n^{2}=70\) ?
Karena kita akan mencari nilai dari \(m\) dan \(n\), sehingga untuk mempermudah mencarinya, kita cukup pilih persamaan yang paling sederhana yaitu \(a=2mn=70\).
Oke sekarang kita punya \(2mn=70\) atau \(mn=35\) dengan kata lain \(m\) dan \(n\) adalah faktor dari 35. Kita tahu bahwa faktor dari 35 diantaranya :
Jika \(m=35\) dan \(n=1\) kita peroleh :
$$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=35^{2}-1^{2}\\&=1225-1=1224\end{aligned}$$
dan
$$\begin{aligned}c&=m^{2}+n^{2}\\&=35^{2}+1^{2}\\&=1225+1=1226\end{aligned}$$
sehingga diperoleh tripel pythagoras \((a,b,c)=(70,1224,1226)\)
Jika \(m=7\) dan \(n=5\) kita peroleh :
$$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=7^{2}-5^{2}\\&=49-25=24\end{aligned}$$
dan
$$\begin{aligned}c&=m^{2}+n^{2}\\&=7^{2}+5^{2}\\&=49+25 =74\end{aligned}$$
sehingga diperoleh tripel pythagoras \((a,b,c)=(70,24,74)\)
Sebenarnya konsep himpunan cukup penting dan dekat dengan kehidupan kita sehari-hari. Mari kita ingat kembali saat masih duduk dibangku sekolah dasar, di mana kita sedang belajar mengidentifikasi objek lingkaran. Untuk mengidentifikasi objek sebagai lingkaran, kita harus mengklasifikasikan objek tersebut ke dalam himpunan objek yang memiliki sifat karakteristik lingkaran.
Selain itu, kita juga dapat memandang nilai-nilai sosial di masyarakat sebagai sifat atau karakteristik yang membedakan baik atau buruknya perilaku manusia di mata masyarakat. Hal tersebut berakibat tercipta sebuah himpunan perilaku yang baik dan buruk sesuai nilai-nilai tersebut. Jadi dengan mempelajari konsep himpunan diharapkan kita dapat memahami sifat atau karakteristik himpunan dan belajar hubungan antar himpunan.
Definisi Himpunan
Dalam perkembangannya, konsep himpunan banyak digunakan oleh matematikawan secara intuitif. Hingga pada pergantian abad ke-\(20\) ketika muncul Paradoks Russell (coming soon) yang memicu para matematikawan untuk mempelajari lebih lanjut mengenai konsep himpunan. Oleh karena itu, mari kita pelajari juga konsep himpunan ini, dimulai dari definisi himpunan sebagai berikut :
Definisi (Informal) : Himpunan didefinisikan sebagai koleksi dari objek-objek pada suatu semesta pembicaraan. Objek-objek tersebut selanjutnya disebut dengan istilah anggota atau elemen dan semesta pembicaraan biasa disebut dengan himpunan semesta.
Pengertian di atas biasa digunakan di bidang naïf set theory. Sedangkan untuk pengertian formal dari himpunan dapat dipelajari di bidang axiomatic set theory. Sementara, kita gunakan definisi informal agar lebih mudah dipahami.
Himpunan umumnya disimbolkan dengan huruf kapital besar. Kemudian dalam himpunan, kalimat “adalah elemen dari” biasa dinotasikan dengan simbol \(\in\) sedangkan kalimat “adalah bukan elemen dari” dinotasikan dengan simbol \(\notin\). Tujuan dari penotasian ini adalah supaya mempersingkat penulisan dan agar lebih mudah dilakukan analisis jika sudah kompleks pembicaraannya.
Contoh Penulisan :
\(x \in A\) (dibaca : \(x\) adalah elemen atau anggota dari himpunan \(A\))
\(y \notin A\) (dibaca : \(y\) adalah bukan elemen dari himpunan \(A\))
Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai elemen atau anggota dan biasa dinotasikan dengan \(\emptyset\).
Contoh Penulisan :
\(A=\emptyset\) atau \(A=\{~\}\) (artinya \(A\) adalah himpunan kosong)
Catatan :
Perlu diketahui bahwa \(\emptyset \neq \{\emptyset\}\) sebab himpunan \(\{\emptyset\}\) tidaklah kosong melainkan mempunyai satu elemen yaitu himpunan kosong.
Mendefinisikan Himpunan dengan Metode Tabulasi
Jika sebelumnya kita hanya menotasikan himpunan. Nah, sekarang kita akan mencoba mendefinisikan sebuah himpunan dengan Metode Tabulasi atau Listing Method. Metode ini berfungsi untuk mendefinisikan himpunan dengan mendaftar beberapa/semua elemennya.
Contoh Penulisan :
\(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)
Contoh diatas adalah dengan mendaftar semua elemen dari \(A\). Bagaimana jika elemennya cukup banyak namun masih terhingga? Perhatikan contoh kedua berikut.
\(B = \{1,3,5,7,\dots,99\}\) atau \(B=\{99,97,95,93,\dots, 1\}\)
Ingat, contoh ini kita gunakan jika himpunannya memiliki berhingga elemen. Bagaimana jika elemennya ada tak terhingga banyaknya? Cek contoh ketiga, keempat dan kelima.
\(C = \{1,3,5,7,\dots\}\)
Jika kita perhatikan dari contoh pertama, kedua dan ketiga, penempatan elemennya dimulai dari yang terkecil sampai terbesar. Hal ini hanya bertujuan agar kita lebih mudah melihat pola yang tersusun oleh elemen-elemen tersebut. Jadi kita boleh saja membalik urutannya seperti contoh nomor 4.
\(D = \{\dots,-6,-4,-2\}\) atau \(D=\{-2,-4,-6,\dots\}\)
Himpunan \(C\) adalah contoh himpunan yang tidak terbatas ke atas. Sedangkan himpunan \(D\) adalah contoh himpunan yang tidak terbatas ke bawah. Bagaimana jika himpunannya tidak terbatas ke atas dan ke bawah? Simak contoh berikut.
\(E = \{\dots,-6, -4, -2,0,2,4,6,\dots\}\)
Penulisan ini digunakan jika himpunannya tidak terbatas ke atas dan tidak terbatas ke bawah.
By the way, jika kita melihat pola himpunan \(A\) sampai \(E\) maka cukup jelas untuk mengetahui bahwa :
Himpunan \(A\) adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari sama dengan \(8\).
Himpunan \(B\) adalah himpunan bilangan asli ganjil yang kurang dari sama dengan \(99\).
Himpunan \(C\) adalah himpunan bilangan asli ganjil.
Himpunan \(D\) adalah himpunan bilangan bulat genap yang kurang dari \(0\) atau bisa juga disebut himpunan bilangan bulat genap negatif.
Himpunan \(E\) adalah himpunan bilangan bulat genap.
Kekurangan Metode Tabulasi
Dalam menggunakan metode ini, kita diharuskan dapat mendaftar elemen sampai membentuk suatu pola tertentu. Mimin memberikan saran, jika susunan elemen mempunyai pola yang cukup unik, lebih baik kita memberikan keterangan berupa kalimat deskripsi mengenai himpunan tersebut.
Contoh kita diminta mendefinisikan himpunan bilangan asli yang habis dibagi \(3\) atau \(5\) dengan metode tabulasi.
Jawaban pertama : \(A=\{3,5,6,9,10,12,15,18,\dots\}\)
Jika orang lain membacanya maka akan cukup sukar untuk melihat polanya. Sehingga lebih baik dengan memberikan deskripsi :
Jawaban kedua : \(A=\{3,4,6,9,\dots\} \) dengan \(A\) adalah himpunan bilangan asli yang habis dibagi \(3\) atau \(5\).
Terlihat jawaban kedua menjadi lebih panjang dan terkesan kurang efektif. Lalu, apakah ada cara yang “lebih ringkas/efektif” ? Simak metode berikut.
Mendefinisikan Himpunan dengan Karakteristiknya (Metode Deskripsi)
Apa itu karakteristik himpunan ? Secara sederhana, karakteristik himpunan dapat disebut sebagai syarat tertentu yang melekat pada setiap objek untuk menjadi elemen dari himpunan tersebut. Contohnya jika kita punya \(A\) himpunan bilangan bulat genap, maka setiap elemen dari \(A\) harus memiliki syarat bilangan bulat dengan sifat genap.
Dalam beberapa buku, syarat dinyatakan dalam kalimat terbuka dan dinotasikan \(P(x)\) yang kemudian dituliskan dalam kurung kurawal :
\(X=\{x~|~P(x)\}\) atau \(X=\{x~:~P(x)\}\)
Dibaca : \(X\) adalah himpunan semua \(x\) yang mempunyai sifat \(P\). Tanda \(|\) atau \(:\) dibaca “dimana” atau “dengan”. Contoh :
\(\mathbb{R}= \{x~|~x~\text{adalah bilangan real}\}\)
Dibaca : \(\mathbb{R}\) adalah himpunan semua \(x\) dimana \(x\) adalah bilangan real.
Contoh Penulisan :
\(A=\{x~|~x~\text{adalah bilangan bulat genap}\}~\text{atau}~A=\{a~|~a~\text{adalah bilangan bulat genap}\}\)
Variabel \(x\) dapat kita ganti sesuka kita. Selain itu, kita dapat mengganti varibel \(a\) dengan definisi bilangan bulat genap sebagai berikut.
\(A=\{a~|~a=2b~\text{untuk suatu bilangan bulat}~b\}~\text{atau}~A=\{a~|~a=2b~\text{dan}~b\in\mathbb{N}\}\)
Mengingat bilangan bulat genap adalah bilangan bulat kelipat dari 2. Maka setiap bilangan bulat genap dapat ditulis \(a = 2\times b\) untuk suatu bilangan bulat \(b\). Alternatif penulisannya sebagai berikut.
\(A=\{2b~|~b~\text{adalah bilangan bulat}\}~\text{atau}~A=\{2b~|~b\in\mathbb{N}\}\)
Jika kita perhatikan pada contoh pertama di atas, himpunan semestanya adalah himpunan bilangan bulat genap. Sedangkan untuk contoh kedua dan ketiga himpunan semestanya adalah himpunan bilangan bulat.
Pada contoh di atas simbol \(\mathbb{N}\) adalah notasi yang biasa digunakan untuk menunjukkan himpunan semua bilangan asli. Untuk contoh simbol lainnya yang sering digunakan di matematika dapat dilihat pada bagian berikut.
Notasi Himpunan pada Sistem Bilangan
Berikut adalah daftar notasi yang biasa digunakan untuk menyatakan himpunan pada sistem bilangan.
Himpunan semua Bilangan Asli dinotasikan \(\mathbb{N}\)
Himpunan semua Bilangan Bulat dinotasikan \(\mathbb{Z}\)
Himpunan semua Bilangan Rasional dinotasikan \(\mathbb{Q}\)
Himpunan semua Bilangan Irasional dinotasikan \(\mathbb{P}\)
Himpunan semua Bilangan Real dinotasikan \(\mathbb{R}\)
Himpunan semua Bilangan Kompleks dinotasikan \(\mathbb{C}\)
Kesimpulan
Pembicaraan di bidang matematika tidak pernah terlepas dari istilah himpunan. Hal ini dikarenakan pada setiap pembicaraan tersebut haruslah jelas semesta pembicaraannya. Oleh karena itu, dengan belajar notasi dan mendefinisikan himpunan, diharapkan kita dapat menuliskan dan memahami himpunan semesta pada suatu pembicaraan. Nantikan pembahasan mengenai hubungan antar himpunan (coming soon).
Untuk selanjutnya mimin sarankan membaca : Operasi Logika Matematika dalam Kalimat Deklaratif. Karena bagus dibaca sebelum belajar hubungan antar himpunan. Oh ya, kalau kalian baca dengan teliti ada cerita asmaranya lho! see yea ^_^.
Referensi
Nancy Rodgers. (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations. John Wiley & Sons. Hlm. 213-217.
Definisi : Hukum logika adalah pernyataan majemuk yang selalu benar, terlepas dari nilai kebenaran dari pernyataan komponennya. Komponen yang dimaksud adalah objek-objek dalam matematika.
Contoh : JIka \(A\) kalimat deklaratif maka pernyataan \(A \vee \neg A\) selalu bernilai benar, sebab :
Jika \(A\) benar maka \(\neg A\) salah, akibatnya \(A\vee \neg A\) bernilai benar. (Sifat operasi disjungsi)
Jika \(A\) salah maka \(\neg A\) benar, akibatnya \(A\vee \neg A\) bernilai benar.
Jadi benar bahwa \(A \vee \neg A\) selalu benar, terlepas nilai kebenaran dari \(A\).
Kenapa kita perlu belajar hukum logika?
Ibarat dalam kehidupan nyata, jika kita dihadapkan pada suatu masalah maka kita perlu pedoman (aturan atau lainnya) untuk menyelesaikannya. Sama halnya di dunia matematika, kita perlu pedoman (aturan) untuk membantu menyelesaikan permasalahan matematika. Nah, pedoman yang dimaksud dapat berupa aturan, aksioma atau hukum (termasuk hukum logika).
Hukum Logika dapat dikategorikan menjadi tiga, yaitu : Hukum Operasi Logika, Hukum Kuantor, dan Hukum Validitas. Pembahasan kali ini hanya difokuskan pada Hukum Operasi Logika dan untuk sisanya akan dibahas di halaman berbeda.
Hukum Operasi Logika
Definisi : Hukum Operasi Logika adalah Hukum Logika yang dilengkapi dengan Operasi Logika.
Lima macam Operasi Logika :
Negasi (disimbolkan \(\neg\))
Konjungsi (disimbolkan \(\wedge\))
Disjungsi (disimbolkan \(\vee\))
Implikasi (disimbolkan \(\Rightarrow\) atau \(\Leftarrow\))
Catatan : Pada pembahasan selanjutnya, ekuivalensi atau biimplikasi (disimbolkan \(\Leftrightarrow\)) kita sepakati sebagai hukum logika. Sehingga kita dapat menggunakan pernyataan di kedua sisi ekuivalensi secara bergantian. Selain itu, tanda “\(\text{T}\)” mempunyai arti true (bernilai benar) dan tanda “\(\text{F}\)” mempunyai arti false (bernilai salah).
Sifat Komutatif
Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif maka berlaku :
1. \(\boxed{A\wedge B \Leftrightarrow B \wedge A}\) Bukti (dengan tabel kebenaran) :
2. \(\boxed{A\vee B \Leftrightarrow B\vee A}\) Bukti :
Jika \(A, B\) dan \(C\) kalimat deklaratif maka berlaku :
1. \(\boxed{(A\wedge B) \wedge C \Leftrightarrow A \wedge (B\wedge C)}\) Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
2. \(\boxed{(A\vee B)\vee C \Leftrightarrow A\vee (B\vee C)}\) Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
Sifat Distributif
Jika \(A, B\) dan \(C\) kalimat deklaratif maka berlaku :
1.\(\boxed{A\wedge (B \vee C) \Leftrightarrow (A \wedge B) \vee (A\wedge C)}\) Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
2.\(\boxed{A\vee (B \wedge C) \Leftrightarrow (A\vee B)\wedge (A\vee C)}\) Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
Sifat Rephrasing
Rephrasing berarti pengungkapan kembali suatu konsep dengan cara lain dalam bahasa yang sama, namun tanpa mengubah maknanya. Singkatnya bentuk lain dari konsep awal tanpa merubah nilai kebenarannya.
Rephrasing Implikasi
Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :
\(\boxed{A \Rightarrow B \Leftrightarrow \neg B \Rightarrow \neg A}\) Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
Rephrasing Disjungsi
Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :
\(\boxed{A \vee B \Leftrightarrow \neg B \Rightarrow A}\) Bukti :
Rephrasing Biimplikasi
Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :
\(\boxed{(A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow (A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kiri kita punya :
Dengan demikian, dapat disimpulkan :
Sifat Negasi
Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :
1. \(\boxed{\neg(\neg A) \Leftrightarrow A}\) Bukti :
2. \(\boxed{\neg(A \wedge B) \Leftrightarrow \neg A \vee \neg B}\) Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
3. \(\boxed{\neg(A \vee B) \Leftrightarrow \neg A \wedge \neg B}\) Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
4. \(\boxed{\neg(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \wedge \neg B}\) Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
5.\(\boxed{\neg(A\Leftrightarrow B) \Leftrightarrow \neg(A \Rightarrow B) \vee \neg(B \Rightarrow A)}\) Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
Referensi
Nancy Rodgers. (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations. John Wiley & Sons. Hlm. 63.
Operasi logika matematika berguna untuk menghubungkan beberapa logika di dalam kalimat. Contoh yang sering kita gunakan yaitu “dan”, “atau”, “jika…maka…” dan lainnya. Pengetahuan mengenai konsep ini bertujuan agar kita dapat menangkap kebenaran suatu kalimat sehingga tidak menyebabkan kesalah-tafsiranan atau kesalah-pahaman.
Catatan : Pada bagian selanjutnya istilah “kalimat” yang dipakai merupakan Kalimat Deklaratif.
Negasi
Definsi : Jika \(A\) adalah suatu kalimat , maka negasi dari \(A\) dinotasikan ~\(A\) atau \(\bar{A}\) atau dalam buku Introduction to Mathematical Logic – E. Mendelson dinotasikan dengan \(\neg A\). Dimana \(\neg A\) adalah kalimat “tidak benar \(A\)” atau “non \(A\)”.
Andaikan \(B\) adalah suatu kalimat dan kita punya \(\neg B\), apa yang terjadi pada \(\neg B\) ketika \(B\) bernilai benar atau sebaliknya?Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita perhatikan contoh berikut :
Contoh : Cranel adalah mahasiswa matematika. Negasi dari kalimat tersebut adalah …?
Pembahasan : Disini, kita misalkan \(B\) = “Cranel adalah mahasiswa matematika”. Sehingga \(\neg B\) = “Cranel adalah bukan mahasiswa matematika”.
Lalu bagaimana dengan nilai kebenarannya?
Pertama, kita andaikan Cranel adalah mahasiswa matematika sehingga kalimat “Cranel adalah bukan mahasiswa matematika” merupakan suatu kebohongan dan bernilai salah (false).
Sekarang, kita andaikan Cranel adalah bukan mahasiswa matematika sehingga kalimat \(B\) bernilai salah dan kalimat \(\neg B\) bernilai benar.
Singkatnya, ketika \(B\) bernilai benar maka \(\neg B\) bernilai salah dan ketika \(B\) bernilai salah maka \(\neg B\) bernilai benar (true). Untuk lebih jelasnya sebagai berikut.
Tabel Kebenaran :
Nilai kebenaran \(\neg A\) (jika \(\neg A\) adalah kalimat deklaratif) didefinisikan dengan tabel kebenaran :
$$\begin{array}{|c|c|}\hline A&\neg A\\\hline\text{T}&\text{F}\\\text{F}&\text{T}\\\hline\end{array}$$
Catatan : “\(\text{T}\)” mempunyai arti true (benar) dan “\(\text{F}\)” mempunyai arti false (salah).
Seperti halnya penggunaan kalimat pada bidang ilmu lain, pada logika kalimat juga muncul penggabungan beberapa kalimat (pernyataan) yang dirangkai menggunakan kata penghubung.
Konjungsi
Pernah suatu ketika melihat postingan salah satu teman di media sosial. Postingan tersebut bertuliskan :
“Hujan masih air dan dia masih milik orang lain”
Dari kalimat tersebut bagaimana nilai kebenarannya? Bagi yang tahu maknanya tuliskan di kolom komentar ya!
Definisi : Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “… dan …” disebut konjungsi. Dalam logika kalimat, kata “dan” dinotasikan dengan \(\wedge\) atau &.
Jika kita punya kalimat \(A\) dan \(B\), bagaimana hubungan \(\wedge\) antara \(A\) dan \(B\)? Nah, ternyata \(A \wedge B\) hanya benar ketika \(A\) dan \(B\) keduanya benar. Bagaimana jika salah satu saja yang benar? mari kita lihat contoh berikut.
Contoh :
\(\color{Red}{A}\) dan \(\color{Blue}{B}\) keduanya bernilai benar.
“Matahari terbit dari timur dan matahari lebih besar dari bumi”
Jelas kalimat tersebut bernilai benar.
\(\color{Red}{A}\) bernilai benar dan \(\color{Blue}{B}\) bernilai salah.
“Kucing adalah binatang berkaki empat dan lima adalah bilangan genap ”
Kalimat tersebut bernilai salah, karena lima merupakan bilangan ganjil.
\(\color{Red}{A}\) bernilai salah dan \(\color{Blue}{B}\) bernilai benar.
“Manusia berjalan dengan tiga kaki dan cacing dapat terbang”
Kalimat tersebut bernilai salah, karena cacing semestinya tidak dapat terbang.
\(\color{Red}{A}\) dan \(\color{Blue}{B}\) salah satunya benar dan sisanya salah.
“Hari ini adalah hari senin dan besoknya adalah hari kamis”
Kalimat tersebut bernilai salah, karena jika benar hari ini adalah hari senin maka seharusnya besok adalah hari selasa, jadi “besoknya adalah hari kamis” bernilai salah. Sedangkan jika benar besok adalah hari kamis maka harusnya hari ini adalah hari selasa, jadi “hari ini adalah hari senin” bernilai salah.
\(\color{Red}{A}\) bernilai salah dan \(\color{Blue}{B}\) bernilai salah.
“Indonesia berada di benua Afrika dan Tokyo adalah ibukota Indonesia”
Kalimat tersebut bernilai salah, Indonesia berada di benua Asia dan ibukota Indonesia adalah Jakarta.
Contoh lain (variasi) :
Diberikan kalimat dengan konjungsi sebagai berikut.
“Cranel adalah mahasiswa berprestasi dan kaya raya”
Buatlah dua pernyataan dari kalimat tersebut.
Pembahasan :
Dari kalimat tersebut kita punya dua pernyataan :
Cranel adalah mahasiswa berprestasi.
Cranel adalah mahasiswa kaya raya.
Lalu bagaimana dengan nilai kebenarannya? Karena kalimat pada soal tersebut merupakan kalimat faktual maka nilai kebenarannya disesuaikan dengan fakta sesungguhnya.
Tabel Kebenaran :
Jika \(A\) dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka nilai kebenaran \( A \wedge B\) didefinisikan dengan tabel kebenaran:
Jika sebelumnya telah dibahas mengenai konjungsi, sekarang kita akan membahas mengenai disjungsi. Disjungsi kerap disama artikan dengan kata penghubung “… atau …”. Selain itu, disjungsi terdiri dari dua macam yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif. Untuk selengkapnya sebagai berikut.
Disjungsi Inklusif
Definisi : Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “… atau …” disebut disjungsi. Dalam logika kalimat, kata “atau” dinotasikan dengan \(\vee\).
Contoh :
Buatlah dua pernyataan dari disjungsi : \(17\) adalah bilangan prima atau habis dibagi 7 ?
Pembahasan :
\(17\) adalah bilangan prima (bernilai benar).
\(17\) habis dibagi \(7\) (bernilai salah).
Sehingga jelas kalimat “\(17\) adalah bilangan prima atau habis dibagi 7” bernilai benar.
Tabel Kebenaran :
Jika \(A\) dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka nilai kebenaran \(A \vee B\) didefinisikan dengan tabel kebenaran :
Kita asumsikan bunga mawar hanya berwarna merah atau putih (tidak berlaku warna campuran) dan dalam setangkai bunga mawar hanya ada satu buah bunga.
Sekarang ceritanya ada dua orang yaitu Cranel dan Hestia, mereka saling jatuh cinta. Suatu hari Cranel membawa setangkai bunga mawar berwarna merah atau putih untuk melamar Hestia. Dengan senang hati, Hestia menerima lamaran Cranel dan mereka hidup bahagia :).
Sekarang kita hubungkan cerita singkat di atas dengan konsep disjungsi. Dari kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” kita misalkan :
\(\color{blue}{A}\) = “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah”.
\(\color{green}{B}\) = “Cranel membawa setangkai bunga mawar putih”.
Selanjutnya kita lakukan analisis sebagai berikut :
Jika \(\color{blue}{A}\) dan \(\color{green}{B}\) keduanya bernilai benar.
Maka kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai salah. Hal ini karena jika \(\color{blue}{A}\) dan \(\color{green}{B}\) bernilai benar maka dalam setangkai bunga harus memuat dua warna merah dan putih sekaligus (hal ini tidak sesuai asumsi awal).
Jika \(\color{blue}{A}\) bernilai benar dan \(\color{green}{B}\) bernilai salah.
Jelas kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai benar.
Jika \(\color{blue}{A}\) bernilai salah dan \(\color{green}{B}\) bernilai benar.
Jelas kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai benar.
Jika \(\color{blue}{A}\) dan \(\color{green}{B}\) keduanya bernilai salah.
Jelas kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai salah.
Dari analisa di atas, pada bagian (1) di saat keduanya bernilai benar, terdapat perbedaan nilai kebenaran dengan disjungsi inklusif. Kasus Cranel dan Hestia tersebut termasuk contoh disjungsi eksklusif.
Definisi : Jika \(A\) dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka pernyataan “\(A\) atau \(B\)” yang merupakan disjungsi eksklusif dinotasikan dengan symbol \(\veebar\).
Catatan (Penting) : Umumnya penulisan disjungsi inklusif “\(A\) atau \(B\)” hanya dituliskan disjungsi saja. Kecuali jika disebutkan secara eksplisit bahwa “\(A\) atau \(B\)” adalah pernyataan disjungsi eksklusif.
Implikasi
Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “jika…, maka…” atau “bila…, maka..” atau “apabila…, maka…” disebut implikasi. Semisal :
“Apabila kamu mencari yang sempurna, maka aku memilih mundur”;
“Jika hujan masih air, maka kamu masih milik orang lain”;
“Bila kamu mau jadi pacarku, maka kamu akan aku belikan HP terbaru”.
Kalimat-kalimat tersebut termasuk kalimat implikasi.
Definisi : Kalimat “jika \(A\), maka \(B\)” dinotasikan dengan “\(A \Rightarrow B\)”. Dalam hal ini, \(A\) disebut antiseden dan \(B\) disebut konsekuen.
Apa itu antiseden dan konsekuen dalam definisi di atas?
\(A\) disebut antiseden mempunyai makna bahwa \(A\) adalah syarat cukup bagi \(B\) dan \(B\) disebut konsekuen yang mempunyai makna bahwa \(B\) adalah syarat perlu bagi \(A\).
Tabel Kebenaran :
Jika \(A\) dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka tabel kebenaran untuk \(A \Rightarrow B\) diberikan dengan:
Pada situs wolfram (Baca : Equivalent — from Wolfram MathWorld ) disebutkan secara implisit bahwa istilah “Biimplikasi” sama dengan istilah “Ekuivalen”. Sekerang kita kesampingkan hal tersebut dan kita pahami konsep biimplikasi sebagai berikut.
Definisi : Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “… jika dan hanya jika …” disebut biimplikasi. Biimplikasi “\(A\) jika dan hanya jika \(B\)” dinotasikan dengan “\(A \Leftrightarrow B\)”.
Contoh :
Masih ingat cerita sebelumnya tentang Cranel dan Hestia?
Ada sedikit plot twist dimana suatu ketika Cranel harus pergi ke luar kota untuk menempuh pendidikan. Hestia merasa kesepian menghubungi Cranel dan bertanya, “Apakah kamu masih mencintaiku?” Dengan suara lantang Cranel membalas, “Aku akan selalu mencintaimu jika dan hanya jika kamu setia mencintaiku”. Seketika Hestia menangis bahagia.
Kalimat “Aku akan selalu mencintaimu jika dan hanya jika kamu setia mencintaiku” merupakan contoh kalimat biimplikasi. Lalu bagaimana nilai kebenaran dari kalimat tersebut? Ingat itu termasuk kalimat faktual, sehingga nilai kebenarannya disesuaikan dengan fakta sesungguhnya.
Dalam matematika, logika dapat diartikan sebagai dasar dari setiap pembuktian yang dibangun. Selanjutnya, logika kalimat kita artikan sebagai logika yang terkandung pada suatu kalimat.
Dalam suatu pernyataan (kalimat), sering muncul ketidakmengertian, kesalahtafsiran dan bahkan kesalahpahaman oleh karena beberapa aspek yang terkandung pada kalimat tersebut.
Studi Kasus 1 : (Cerita Matematikawan Naik Pesawat)
Seorang ahli matematika terbang tanpa transit dari Tokyo ke Jakarta dengan menaiki pesawat. Waktu terbang yang dijadwalkan adalah sembilan jam. Beberapa waktu setelah lepas landas, pilot mengumumkan bahwa satu mesin harus dimatikan karena kerusakan mekanis : “Jangan khawatir kita masih aman. Satu-satunya efek yang terlihat bagi kita adalah bahwa total waktu terbang kita adalah sepuluh jam, bukan sembilan.”
Beberapa jam setelah penerbangan, pilot memberi tahu penumpang bahwa mesin lain harus dimatikan karena kerusakan mekanis: “Tapi jangan khawatir kita masih aman. Hanya waktu terbang kita yang akan mencapai dua belas jam.” Beberapa waktu kemudian, mesin ketiga gagal dan harus dimatikan. Tetapi pilot meyakinkan para penumpang: “Jangan khawatir bahkan dengan satu mesin, kami masih benar-benar aman. Itu hanya berarti bahwa akan memakan waktu enam belas jam total untuk pesawat ini tiba di Jakarta.”
Matematikawan itu mengatakan kepada sesama penumpangnya: “Jika mesin terakhir rusak juga, maka kita akan berada di udara selama dua puluh empat jam sekaligus!“.
Masih bingung dengan cerita di atas? Kalimat yang dikatakan oleh matematikawan tersebut memiliki dua perspektif (pandangan) yang berbeda yang dapat mengakibatkan kesalahtafsiran dan kesalahpahaman. Memperhatikan hal tersebut, diperlukan konsep berikut ini.
Apa Itu Semesta Pembicaraan ?
Semesta pembicaraan diartikan sebagai himpunan semua objek yang dibahas di dalam pembicaraan. Semisal dalam kalimat : “Melon lebih besar dari pada Jeruk”. Objek dari kalimat tersebut adalah Melon dan Jeruk sehingga semesta pembicaraannya adalah himpunan buah-buahan.
Studi Kasus 2 :
Tentukan semesta pembicaraannya sehingga persamaan \(x^2 -x -2=0\) mempunyai :
(a) Tepat satu solusi.
(b) Tepat dua solusi.
Pembahasan :
Solusi yang dimaksud adalah nilai-nilai dari \(x\) yang jika disubstitusikan ke persamaan tersebut bernilai benar. Selain itu, solusi dari persamaan tersebut merupakan objek-objek yang ada pada pernyataan (kalimat) di soal.
Jika kita faktorkan maka kita punya \((x+1)(x-2)=0\) dimana \(x=-1\) atau \(x=2\). Dari dua solusi tersebut jelas bahwa keduanya merupakan anggota bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan real. Jadi semesta pembicaraan untuk pertanyaan (b) adalah himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, atau himpunan bilangan real.
Catatan : himpunan yang memuat objek \(-1\) dan \(2\) tidak terbatas hanya itu. Kita boleh saja membuat sebarang himpunan yang memuat kedua objek tersebut dengan mendefinisikannya terlebih dahulu. Semisal pada awal soal dituliskan “Diketahui himpunan \(A=\{-1,2,3\}\).”
Sedangkan jika dikehendaki tepat satu solusi, maka kita perlu membatasi semesta pembicaraannya agar hanya salah satu solusi dari \(-1\) atau \(2\) yang memenuhi persamaan tersebut. Kemudian kita perlu melihat perbedaan karakteristik dari dua objek (solusi) tersebut. Kita tahu bahwa \(-1\) adalah bilangan bulat negatif sedangkan \(2\) bilangan bulat positif.
Jadi agar diperoleh tepat satu solusi, maka sekarang semesta pembicaraannya kita batasi menjadi himpunan bilangan bulat negatif saja atau himpunan bilangan bulat positif saja.
Variabel dan Konstanta dalam Logika Matematika
Variabel diartikan sebagai lambang yang menjadi simbol dari sebarang anggota di dalam semesta pembicaraannya.
Konstanta diartikan sebagai lambang suatu anggota tertentu dari semesta pembicaraan.
Studi Kasus 3 :
Tentukan konstanta atau variabel pada kalimat-kalimat di bawah ini.
Soekarno adalah seorang proklamator RI.
Lima puluh habis dibagi \(5\).
Pembahasan :
Objek “soekarno” pada kalimat di atas diartikan secara khusus sebagai seorang proklamator RI sehingga merupakan konstanta.
Objek “lima puluh” dalam bahasa indonesia diartikan sebagai angka lima puluh yang disimbolkan \(50\) yang merupakan suatu konstanta. Begitu pula untuk simbol \(5\) mewakili angka lima yang merupakan suatu konstanta juga.
Klasifikasi Kalimat
Secara garis besar, kita klasifikasikan menjadi dua macam yaitu kalimat deklaratif dan kalimat terbuka. Secara tidak sadar kita sering menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Pernahkah kalian berbohong kepada orang lain? umumnya kebohongan dikategorikan sebagai kalimat deklaratif. Untuk lebih jelasnya sebagai berikut:
1. Kalimat Deklaratif
Kalimat deklaratif adalah kalimat yang mengandung nilai salah atau benar, dan tidak bernilai kedua-duanya. Benar pada kalimat berarti mempunyai persesuaian antara isi pernyataan dengan fakta sesungguhnya.
Kalimat deklaratif yang nilai kebenarannya dengan fakta sesungguhnya disebut kalimat faktual. Sedangkan kalimat deklaratif yang nilai kebenarannya tanpa melihat fakta sesungguhnya disebut kalimat non faktual.
Tentukan kalimat-kalimat berikut ini merupakan kalimat yang mempunyai arti atau kalimat tanpa arti atau kalimat deklaratif.
Ya ampun!
Satu tambah dua hasilnya sama dengan empat.
Presiden Indonesia dipilih setiap lima tahun sekali.
Selama ini angka \(2\) selalu bergandengan dengan angka \(3\).
Besok kiamat atau tidak kiamat.
Pembahasan :
Merupakan kalimat seru yang mempunyai arti, namun tidak mengandung nilai benar atau salah.
Merupakan kalimat faktual (deklaratif) dengan nilai kebenarannya false (bernilai salah).
Merupakan kalimat faktual (deklaratif) dengan nilai kebenarannya true (bernilai benar).
Merupakan kalimat tanpa arti karena istilah “selalu bergandengan” tidak terdefinisi dengan baik.
Merupakan kalimat non faktual (deklaratif) dengan nilai kebenarannya true (bernilai benar). Untuk penjelasannya akan dibahas di halaman yang berbeda.
2. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang baru dapat ditentukan nilai kebenarannya (atau menjadi kalimat deklaratif) jika variabel di dalamnya diganti menjadi suatu konstanta tertentu.
Studi Kasus 5 :
Tentukan apakah kalimat-kalimat berikut ini merupakan kalimat terbuka atau kalimat deklaratif. Jika kalimat deklaratif, apakah bernilai benar atau salah.
\(x\) merupakan bilangan negatif.
\(0\) merupakan bilangan irasional.
Jika \(x, y, z\) merupakan bilangan asli, maka \(x < z < y\).
Jika semesta pembicaraan adalah semua manusia, maka Tono lebih tinggi daripada Tini.
Pembahasan :
Merupakan kalimat terbuka sebab terdapat variabel yang disimbolkan dengan \(x\) tidak secara khusus mewakili suatu anggota dari himpunan bilangan negatif.
Merupakan kalimat deklaratif bernilai false (salah), sebab dapat kita tuliskan \(0=\frac{0}{1}\) (bilangan rasional).
Merupakan kalimat terbuka dengan \(x, y, z\) sebagai variabel.
Merupakan kalimat deklaratif sebab Tono dan Tini secara khusus mencirikan identitas seseorang. Nilai kebenarannya dapat bernilai true atau false tergantung kenyataan sesungguhnya.
Mathematical logic is about the forest rather than the trees. When you look at the structure that different mathematical fields have in common, you see overarching themes that make the theory work. – Hunter Johnson
Operasi standar pada ruang-n euclides () meliputi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar. Selain itu, berlaku juga operasi hasil kali titik (dot product). Lalu bagaimana dengan hasil kali silang (cross product)? Dalam ruang-n euclides, cross product berlaku dengan baik di .
Supaya pembalajaran menjadi lebih bermakna, disarankan terlebih dahulu memahami :
Ternyata dari pernyataan-pernyataan di atas kita dapat 2 penulisan yang sedikit berbeda, yang pertama dengan menggunakan n-tupel barisan riil dan yang kedua dalam bentuk vektor kolom. Lalu kita harus menggunakan yang mana? Kita bebas memilih mau menggunakan cara penulisan yang pertama atau kedua. Dan untuk selanjutnya mari kita simak bersama, beberapa contoh soal yang cukup seru.
Contoh 1
Diberikan dua vektor dan di dan di yang didefinisikan sebagai berikut :
, , dan
Tentukan :
Penyelesaian :
1. Berdasarkan operasi penjumlahan vektor maka kita peroleh :
2. Masih dengan cara yang sama, kita juga dapatkan :
3. Nah pada bagian ke-3 ini cukup menarik, dimana vektor berada di sedangkan berada di lalu bagaimana hasil dari penjumlahan ?
Untuk mengetahuinya, kita representasikan vektor dan kedalam bentuk vektor kolom sebagai berikut :
dan
Cukup jelas bahwa matriks vektor mempunyai ordo sedangkan matriks vektor berordo akibatnya berdasarkan syarat penjumlahan dua buah matriks, kita peroleh :
Hal tersebut dikarenakan pada penjumlahan dua buah matriks, haruslah mempunyai ordo yang sama.
Sifat Penjumlahan Vektor
Misalkan terdapat , , dan vektor nol maka berlaku :
(Bersifat Komutatif)
(Bersifat Asosiatif)
(Sifat penjumlahan dengan vektor nol)
(Sifat penjumlahan vektor u dengan negatif atau invers dari vektor u)
Perkalian dengan Skalar
Sebuah vektor jika dikalikan dengan sembarang skalar, misal kita notasikan skalar , maka didefinisikan sebagai berikut :
Contoh 2
Diberikan vektor , maka tentukan vektor dan jika :
Penyelesaian :
1. Kita dapat menuliskan ulang persamaan pada soal dan melakukan substitusi pada vektor sebagai berikut :
2. Dari soal nomor 1 di atas kita punya yang kemudian dapat kita substitusikan ke persamaan pada soal nomor 2.
Sifat Perkalian dengan Skalar
Misalkan dan adalah sembarang skalar sehingga berlaku :
(Bersifat distributif)
(Sama seperti sifat sebelumnya yakni bersifat distributif)
(Bersifat asosiatif)
(Sifat perkalian dengan skalar 1)
Hasil Kali Titik (Dot Product)
Hasil kali titik dari vektor dan adalah berupa sebuah skalar yang didefinisikan :
Dengan kata lain fungsi dot product adalah fungsi yang mengolah dua vektor di menjadi suatu skalar (real).
Contoh 3
Diberikan vektor , dan . Tentukan :
Penyelesaian :
Pertama, berdasarkan definisi hasil kali titik kita peroleh :
Kedua, berdasarkan sifat perkalian vektor dengan skalar kita peroleh :
Ketiga, karena hasil kali titik (dot product) di adalah sebuah fungsi yang mengolah atau mengkawankan dua vektor di . Maka jika di dan di akibatnya :
Jika kita perhatikan persamaan di atas, diperoleh hasil kali titik antara skalar (60) dengan vektor . Perlu diketahui bahwa :
Berdasarkan definisi hasil kali titik, dimana operan (objek yang dioperasikan) dalam fungsi dot product adalah vektor-vektor yang berada pada ruang yang sama. Sehingga karena skalar (60) adalah bilangan real yang berada pada ruang sedangkan vektor berada pada ruang akibatnya :
Hubungan Dot Product dengan Perkalian Matriks
Pada bagian awal, kita sudah menyinggung sedikit bahwa vektor di dapat direpresentasikan (diwakilkan) ke dalam bentuk matriks berordo .
Semisal kita punya dan di maka kita dapat menuliskannya :
dan
Sekarang kita punya definisi baru, bahwa hasil kali titik (dot product) dari vektor dan di merupakan perkalian matriks antara transpose dari dengan . Sehingga berdasarkan kaidah perkalian matriks kita peroleh :
Sifat Perkalian Hasil Kali Titik
Jika , dan adalah vektor di dan adalah sembarang skalar, maka berlaku :
dan kesamaan terjadi jika
dengan adalah panjang vektor
Contoh 4
Diberikan vektor dan di dengan , dan . Tentukan nilai dari vektor jika .
Penyelesaian :
Sedikit berbeda dengan contoh-contoh sebelumnya, sekarang kita akan mencoba menyelesaikannya dengan menggunakan sifat-sifat hasil kali titik.
Langkah pertama, kita gunakan sifat kedua :
Masih dengan sifat yang sama kita jabarkan lagi menjadi :
Kemudian dilanjut dengan sifat ketiga kita peroleh :
Berdasarkan konsep vektor pada Ruang berdimensi 2 dan 3 , jika kita meninjau sebuah vektor ( misalkan ) pada maka dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan terurut begitu pula jika pada maka .
Sekarang bagaimana dengan vektor yang berada di , dan seterusnya? Mengenai hal ini, pada abad ke-19 para ahli matematika dan ahli fisika mengembangkannya secara analitis pada , bahkan sampai . Kenapa perlu dikembangkan? salah satunya karena pada Sistem Persamaan Linear, dimana sebuah garis dapat dikatakan sebagai vektor yang panjangnya tak terbatas, diilustrasikan sebagai berikut :
Permasalahan timbul jika pada sistem persamaan linearnya mempunyai 4, 5 bahkan sampai n variabel, lalu bagaimana dengan vektornya? itulah mengapa perlunya generalisasi konsep dari vektor atau ke ruang yang lebih tinggi. Untuk masalah visualisasi secara geometri pada ruang 4, 5 dan seterusnya. “tidak” dapat dilaksanakan. Sebab dunia dimana kita hidup hanya disusun dari konsep tiga dimensi.
Definisi Vektor di Rn
Sebuah vektor di didefinisikan sebagai n-tupel bilangan riil dengan n adalah bilangan bulat positif. Contohnya pada vektor dan pada vektor .
Jika kita perhatikan pada gambar sebelumnya, jelas bahwa pasangan dan tripel tidak hanya bermakna sebagai vektor namun juga dapat berperan sebagai titik. Nah, uniknya dalam ruang-n euclides keduanya dianggap sama, hal ini berlaku juga pada , sampai dengan . Jadi kita bebas menggambarkannya sebagai titik maupun sebagai vektor di .
Contoh :
Vektor tersebut berada di .
Jika kita perhatikan seksama, sering muncul istilah ruang-n euclides, lalu apa sih ruang-n euclides itu ? Secara geometri, ruang euclides adalah ruang 2 atau 3 dimensi dimana aksioma-aksioma geometri euclid berlaku dengan baik, yang kemudian digeneralisasi ke dalam ruang berdimensi n. Sedangkan secara analitis, himpunan semua n-tupel bilangan real dinamakan ruang-n dan dinyatakan .
Himpunan semua bilangan real
Himpunan semua pasangan bilangan real
Himpunan semua tripel bilangan real
Himpunan semua quadrupel bilangan real
Himpunan semua n-tupel bilangan real
Vektor Nol di Rn
Sebuah vektor di disebut sebagai vektor nol jika dan hanya jika semua entri yang didalamnya bernilai nol, biasa dituliskan sebagai berikut :
Untuk selanjutnya akan dibahas pada halaman lain mengenai operasi-operasi vektor di ruang-n euclid . Namun sebelumnya pastikan bahwa anda sudah mengenal lebih dahulu operasi-operasi vektor pada Ruang-2 dan Ruang-3.