Teorema Pythagoras Lengkap dengan Animasi

Ilustrasi Teorema Pythagoras

Kenapa Kita Perlu Belajar Teorema Pythagoras?

Ada sebuah cerita ketika mimin duduk dibangku sekolah. Waktu itu guru matematika memberikan tantangan kepada siswa untuk melukiskan garis lurus dengan panjang \(\sqrt{2}\) cm. Dalam melukiskannya siswa hanya boleh menggunakan penggaris yang ada ukurannya dalam satuan cm.

Menggaris Segitiga Siku-Siku

Waktu itu mimin dan teman sekelas kebingungan karena dalam penggaris hanya ada bilangan bulat sedangkan \(\sqrt{2}\) bukan bilangan bulat. Ada teman yang mencoba melukiskan garis dengan panjang 1,4 cm ( mendekati \(\sqrt{2}\) cm ). Namun guru masih belum puas dengan jawaban tersebut, karena yang diminta adalah garis dengan panjang \(\sqrt{2}\) cm.

Sampai waktu yang ditentukan telah habis. Tiba waktunya guru menjelaskan cara melukiskan garis tersebut. Berikut jawaban yang diberikan oleh guru :

Membuat Garis dengan Panjang Irasional dengan Teorema Pythagoras

Ternyata dengan teorema pythagoras, kita dapat melukiskan panjang garis dengan ukuran yang bukan bilangan bulat. Bayangkan jika konsep teorema pythagoras belum ditemukan, mungkin kemajuan infrastruktur seperti jembatan, gedung, monumen dan lainnya tidak semaju sekarang.

Oleh karena itu kita perlu mempelajarinya supaya suatu saat kita dapat mengaplikasikannya kedalam kehidupan nyata ^^.

Apa itu Teorema Pythagoras?

Dikutip dari Britannica.com, Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema pada segitiga siku-siku yang fenomenal dan cukup terkenal. ( sekitar 570-500 SM atau 490 SM ) Teorema ini telah lama dikaitkan dengan ahli matematika sekaligus filsuf Yunani yang bernama Pythagoras.

Pythagoras Sosok Ahli Matematika dan Filsuf Yunani

Namun berdasarkan beberapa penemuan peninggalan kuno, teorema pythagoras sebenarnya jauh lebih tua. Contohnya pada penemuan empat tablet babilonia yang berisi tripel pythagoras dan diperkirakan ada pada sekitar tahun 1900-1600 SM. Untuk kelanjutan sejarahnya baca : Sejarah Teorema Pythagoras (by Britannica.com).

Supaya tidak panjang lebar mari kita langsung cari tahu konsep dari Teorema Pythagoras. Kita akan membahasnya dalam dua sudut pandang, yaitu secara geometri dan secara analitik.

Secara Geometri

Jika kita punya segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di titik A dan pada masing-masing sisinya dibuat persegi ke arah luar. Maka luas persegi pada sisi BC sama dengan jumlah luas persegi pada sisi AB dan CA.

Berikut ilustrasinya :

Infografis Teorema Pythagoras

Secara Analitik

Dari sudut pandang geometri di atas, dapat kita misalkan panjang sisi AB, CA dan BC berturut-turut sebesar \(a,b\) dan \(c\). Sehingga kita punya :

  • Luas persegi pada sisi \(\text{AB}\) adalah \(\text{AB}^{2}=a^{2}\)
  • Luas persegi pada sisi \(\text{CA}\) adalah \(\text{CA}^{2}=b^{2}\)
  • Dan luas persegi pada sisi \(\text{BC}\) adalah \(\text{BC}^{2}=c^{2}\)

Nah, sekarang pernyataan “jumlah luas persegi pada sisi BC sama dengan jumlah luas persegi pada sisi AB dan CA” dapat kita tuliskan :

$$\text{AB}^{2}+\text{CA}^{2}=\text{BC}^{2}$$

atau

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Lalu apakah persamaan Teorema Pythagoras tersebut bernilai benar? Mari kita buktikan bersama.

Pembuktian Teorema Pythagoras

Misalkan kita punya segitiga siku-siku sebagai berikut :

Segitiga Siku-Siku

Kita akan membuktikan bahwa \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\).

Step by Step :

Pertama kita duplikat segitiga siku-siku tersebut dan kita susun menjadi :

Ilustrasi Pembuktian Teorema Pythagoras

Dari gambar di atas, kita punya :

  • 4 buah segitiga siku-siku dengan luas totalnya adalah$$\begin{aligned}\text{Luas}&=4\times \text{Luas Segitiga}\\&=4\times \frac{a\times b}{2}\\&=2ab\end{aligned}$$
  • 1 buah persegi kecil (warna cokelat) dengan sisi \(c\) dan luasnya adalah$$\text{Luas}=c\times c=c^{2}$$
  • 1 buah persegi besar dengan panjang sisi \(a+b\) dan luasnya adalah$$\begin{aligned}\text{Luas} &= (a+b)(a+b)\\&=a^{2}+2ab+b^{2}\end{aligned}$$

Selain itu, pada gambar kita tahu bahwa luas persegi besar setara dengan jumlah luas persegi kecil dan 4 buah segitiga siku-siku. Sehingga dapat kita tuliskan :

$$\begin{aligned}a^{2}+2ab+b^{2}&=c^{2}+2ab\\a^{2}+b^{2}&=c^{2}\end{aligned}$$

Dan kita telah selasai membuktikannya. Berikut adalah pembuktian versi Animasi. Animasi sudah disusun sedemikian rupa supaya lebih mudah dipahami.

Bukti dengan Animasi

Video animasi berikut adalah pembuktian secara geometri dan aljabar :

Tripel Pythagoras

Sebelumnya kita perlu mengetahui apa itu tripel? Agar lebih mudah dipahami, perhatikan istilah-istilah berikut.

  • 1-tupel = single; contoh: (1), (0), (-2)
  • 2-tupel = double atau sepasang; contoh: (3,4), (\(\sqrt{2}\), -1)
  • 3-tupel = triple atau tripel; contoh : \(\left(1,2,\frac{1}{2}\right)\)
  • 4-tupel = quadruple; contoh : (1,3,2,1)
  • dan seterusnya sampai dengan n-tupel yang berisi sebanyak n elemen.

Oke, sekarang andaikan kita punya segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya \(x,y\) dan \(z\) sebagai sisi miring. Berdasarkan Teorema Pythagoras, berlaku :

$$x^{2}+y^{2}=z^{2}$$

Hal ini jelas bahwa tripel \((x,y,z)\) adalah jawaban atau solusi dari persamaan tersebut. Contohnya (3,4,5) dan (1,2,\(\sqrt{5}\)) jika kita substitusikan akan memenuhi persamaan di atas.

Lalu yang seperti apakah tripel pythagoras itu?

Secara umum, tripel pythagoras adalah tripel \((x,y,z)\) dengan syarat tambahan \(x, y\) dan \(z\) adalah bilangan bulat positif. Contohnya (5,12,13), (7,24,25) dan (9,40,41).

Tantangan

Carilah minimal 2 tripel pythagoras yang berbeda, dengan salah satu bilangannya adalah 66.

Tulis jawabanmu di kolom komentar ya ^^

Sedangkan untuk cara mencarinya dapat dilihat pada soal ke-2 berikut.

Soal HOTS dan Pembahasan

Soal 1

Diberikan segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya adalah \(a,b\) dan \(c\). Diketahui \(a=2mn\) dan \(b=m^{2}-n^{2}\) dengan \(m>n\) untuk sebarang bilangan bulat positif \(m\) dan \(n\).

  1. Apakah \(a,b\) dan \(c\) dapat membentuk sebuah tripel pythagoras ?
  2. Jika iya, tentukan sisi manakah yang mungkin sebagai sisi miring untuk semua kemungkinan nilai dari \(m\) dan \(n\)?
  3. Nyatakanlah \(c\) dalam variabel \(m\) dan \(n\) !

Pembahasan :

Jawaban bagian 1 adalah “Iya” jika \(c\) adalah bilangan bulat positif dan “tidak” jika \(c\) bukan bilangan bulat positif.

Kok bisa?

Ingat kembali bahwa agar \((a,b,c)\) tripel pythagoras maka \(a,b\) dan \(c\) selain sisi-sisi segitiga siku-siku juga adalah bilangan bulat positif.

Perhatikan bahwa \(m\) dan \(n\) adalah bilangan bulat positif sehingga cukup jelas bahwa \(a\) dan \(b\) juga bilangan positif (ingat penjumlahan dan perkalian bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat pula). Jadi tripel \((a,b,c)\) dapat termasuk tripel pythagoras tergantung nilai dari \(c\).

Jawaban bagian 2 :

Pertama kita asumsikan bahwa \((a,b,c)\) adalah tripel pythagoras. Sehingga \(c\) adalah bilangan bulat positif.

Selanjutnya kita lakukan eksperimen/uji coba :

  • Jika kita pilih \(m=2\) dan \(n=1\) maka :
    $$\begin{aligned}a&=2mn\\&=2\times 2\times 1\\&=4\end{aligned}$$
    dan
    $$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=2^{2}-1^{2}\\&=4-1=3\end{aligned}$$
    sehingga diperoleh \(a>b\)
  • Di lain pihak jika \(m=5\) dan \(n=2\) maka :
    $$\begin{aligned}a&=2mn\\&=2\times 5\times 2\\&=20\end{aligned}$$
    dan
    $$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=5^{2}-2^{2}\\&=25-4=21\end{aligned}$$
    sehingga diperoleh \(b>a\)

Dari hasil eksperimen di atas, untuk sebarang nilai \(m\) dan \(n\), kita tidak dapat menyimpulkan \(a>b\) atau \(b>a\). Akibatnya sisi \(a\) dan \(b\) tidak dapat sebagai sisi miring segitiga siku-siku.

Kok bisa begitu?

Ingat sisi miring segitiga siku-siku adalah sisi terpanjang pada segitiga siku-siku. Dan pada soal diminta sisi miring yang memenuhi setiap kondisi/kemungkinan nilai dari \(m\) dan \(n\). Maka jelas \(a\) dan \(b\) tidak memenuhi kriteria itu karena ada saat dimana \(a<b\) (\(a\) bukan sisi miring) begitu pula untuk sisi \(b\) ada kondisi dimana \(b<a\).

Sehingga di antara sisi \(a,b\) dan \(c\), yang mungkin sebagai sisi miring adalah sisi \(c\).

Jawaban bagian 3 :

Dari jawaban sebelumnya didapat bahwa \(c\) adalah sisi miring, maka berdasarkan teorema pythagoras kita peroleh :

$$\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}\\&=(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}\\&=4m^{2}n^{2}+(m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2})\\&=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}\\&=(m^{2}+n^{2})^{2}\end{aligned}$$

yang setara dengan \(c=m^{2}+n^{2}\).

Jadi dapat kita tarik kesimpulan :

  • \((a,b,c)\) merupakan tripel pythagoras jika \(c\) bilangan bulat positif
  • Sisi yang mungkin sebagai sisi miring adalah sisi \(c\)
  • Nilai \(c\) dalam variabel \(m\) dan \(n\) adalah \(c=m^{2}+n^{2}\)

Soal 2

Carilah tripel pythagoras dengan salah satu bilangannya adalah 70.

Pembahasan :

Untuk mencarinya kita dapat menggunakan dua cara :

Cara 1 (Dengan Konsep Dilatasi/ Pembesaran/ Pengecilan)

Apa itu dilatasi?

Secara gampangnya adalah jika kita punya sebuah segitiga siku-siku maka kita dapat membuat segitiga siku-siku baru dengan memperbesar atau memperkecil ukuran segitiga siku-siku awal. Konsep ini cocok digunakan jika kita sudah menghafal beberapa tripel pythagoras.

Semisal kita hafal tripel pyhtagoras (3,4,5) bagaimana cara kita memunculkan angka 70 pada tripel yang baru?

Yap, jawabannya adalah dengan mengkalikan tripel (3,4,5) dengan 14 atau dengan kata lain ukuran segitiga awal (3,4,5) akan kita perbesar 14 kali ukuran awal.

Hal tersebut karena hanya angka 5 yang merupakan faktor dari 70 dimana \(70=5\times 14\).

Sehingga dengan mengkalikan 14 kita peroleh segitiga baru dengan tripel \((3\times 14, 4\times 14, 5\times 14)\) atau \((42,64,70)\) dan kita berhasil membuat tripel pythagoras dengan salah satu bilangannya adalah 70.

Mudah bukan ?

Jadi kunci dari cara ini adalah kita harus mengetahui tripel segitiga awal yang bilangannya adalah faktor dari 70.

Namun cara ini mempunyai kekurangan, dimana jika tripel pythagoras yang telah kita ketahui atau hafalkan ternyata masih terbatas. Contoh jika kita dimintanya bukan bilangan 70 tapi ganti dengan bilangan 2021. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan cara lain sebagai berikut.

Cara 2 (Dengan Menggunakan Rumus)

Salah satu rumusnya adalah ada pada soal 1 dan tidak menutup kemungkinan ada rumus lain (Jika menemukannya tuliskan di kolom komentar ya, nanti kita diskusikan bersama).

Pada soal sebelumnya, jika kita punya tripel pythagoras (a,b,c) maka dapat dinyatakan dalam rumus \((2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})\).

Lalu bagaimana cara kita memunculkan bilangan 70?

Kita cukup memilih diantara a, b, dan c yang nilainya kita gantikan dengan 70. Kita bebas memilihnya namun disarankan kita pilih \(a=2mn=70\).

Kenapa tidak \(b=m^{2}-n^{2}=70\) atau \(c=m^{2}+n^{2}=70\) ?

Karena kita akan mencari nilai dari \(m\) dan \(n\), sehingga untuk mempermudah mencarinya, kita cukup pilih persamaan yang paling sederhana yaitu \(a=2mn=70\).

Oke sekarang kita punya \(2mn=70\) atau \(mn=35\) dengan kata lain \(m\) dan \(n\) adalah faktor dari 35. Kita tahu bahwa faktor dari 35 diantaranya :

Faktor dari 70

  • Jika \(m=35\) dan \(n=1\) kita peroleh :
    $$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=35^{2}-1^{2}\\&=1225-1=1224\end{aligned}$$
    dan
    $$\begin{aligned}c&=m^{2}+n^{2}\\&=35^{2}+1^{2}\\&=1225+1=1226\end{aligned}$$
    sehingga diperoleh tripel pythagoras \((a,b,c)=(70,1224,1226)\)
  • Jika \(m=7\) dan \(n=5\) kita peroleh :
    $$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=7^{2}-5^{2}\\&=49-25=24\end{aligned}$$
    dan
    $$\begin{aligned}c&=m^{2}+n^{2}\\&=7^{2}+5^{2}\\&=49+25 =74\end{aligned}$$
    sehingga diperoleh tripel pythagoras \((a,b,c)=(70,24,74)\)

Dan kita telah selesai ^^.

Baca Juga : Ruang Vektor dalam Matematika

 

Konsep Himpunan – Definisi, Notasi dan Contoh

Cover Konsep Himpunan - Gambar Perbedaan Kumpulan dan Himpunan Objek

Kenapa Kita Perlu Belajar Konsep Himpunan ?

Sebenarnya konsep himpunan cukup penting dan dekat dengan kehidupan kita sehari-hari. Mari kita ingat kembali saat masih duduk dibangku sekolah dasar, di mana kita sedang belajar mengidentifikasi objek lingkaran. Untuk mengidentifikasi objek sebagai lingkaran, kita harus mengklasifikasikan objek tersebut ke dalam himpunan objek yang memiliki sifat karakteristik lingkaran.

Gambar Ilustrasi Baik dan Buruk Sebagai Contoh Himpunan

Selain itu, kita juga dapat memandang nilai-nilai sosial di masyarakat sebagai sifat atau karakteristik yang membedakan baik atau buruknya perilaku manusia di mata masyarakat. Hal tersebut berakibat tercipta sebuah himpunan perilaku yang baik dan buruk sesuai nilai-nilai tersebut. Jadi dengan mempelajari konsep himpunan diharapkan kita dapat memahami sifat atau karakteristik himpunan dan belajar hubungan antar himpunan.

Definisi Himpunan

Dalam perkembangannya, konsep himpunan banyak digunakan oleh matematikawan secara intuitif. Hingga pada pergantian abad ke-\(20\) ketika muncul Paradoks Russell (coming soon) yang memicu para matematikawan untuk mempelajari lebih lanjut mengenai konsep himpunan. Oleh karena itu, mari kita pelajari juga konsep himpunan ini, dimulai dari definisi himpunan sebagai berikut :

Definisi (Informal) : Himpunan didefinisikan sebagai koleksi dari objek-objek pada suatu semesta pembicaraan. Objek-objek tersebut selanjutnya disebut dengan istilah anggota atau elemen dan semesta pembicaraan biasa disebut dengan himpunan semesta.

Pengertian di atas biasa digunakan di bidang naïf set theory. Sedangkan untuk pengertian formal dari himpunan dapat dipelajari di bidang axiomatic set theory. Sementara, kita gunakan definisi informal agar lebih mudah dipahami.

Baca juga : Apa itu semesta pembicaraan dalam teori himpunan ?

Notasi dalam Himpunan

Himpunan umumnya disimbolkan dengan huruf kapital besar. Kemudian dalam himpunan, kalimat “adalah elemen dari” biasa dinotasikan dengan simbol \(\in\) sedangkan kalimat “adalah bukan elemen dari” dinotasikan dengan simbol \(\notin\). Tujuan dari penotasian ini adalah supaya mempersingkat penulisan dan agar lebih mudah dilakukan analisis jika sudah kompleks pembicaraannya.

Contoh Penulisan :

\(x \in A\) (dibaca : \(x\) adalah elemen atau anggota dari himpunan \(A\))

\(y \notin A\) (dibaca : \(y\) adalah bukan elemen dari himpunan \(A\))

Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai elemen atau anggota dan biasa dinotasikan dengan \(\emptyset\).

Contoh Penulisan :

\(A=\emptyset\) atau \(A=\{~\}\) (artinya \(A\) adalah himpunan kosong)

Catatan :

Perlu diketahui bahwa \(\emptyset \neq \{\emptyset\}\) sebab himpunan \(\{\emptyset\}\) tidaklah kosong melainkan mempunyai satu elemen yaitu himpunan kosong.

    Mendefinisikan Himpunan dengan Metode Tabulasi

    Ilustrasi Sederhana Metode Tabulasi

    Jika sebelumnya kita hanya menotasikan himpunan. Nah, sekarang kita akan mencoba mendefinisikan sebuah himpunan dengan Metode Tabulasi atau Listing Method. Metode ini berfungsi untuk mendefinisikan himpunan dengan mendaftar beberapa/semua elemennya.

    Contoh Penulisan :

    1. \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)
      Contoh diatas adalah dengan mendaftar semua elemen dari \(A\). Bagaimana jika elemennya cukup banyak namun masih terhingga? Perhatikan contoh kedua berikut.
    2. \(B = \{1,3,5,7,\dots,99\}\) atau \(B=\{99,97,95,93,\dots, 1\}\)
      Ingat, contoh ini kita gunakan jika himpunannya memiliki berhingga elemen. Bagaimana jika elemennya ada tak terhingga banyaknya? Cek contoh ketiga, keempat dan kelima.
    3. \(C = \{1,3,5,7,\dots\}\)
      Jika kita perhatikan dari contoh pertama, kedua dan ketiga, penempatan elemennya dimulai dari yang terkecil sampai terbesar. Hal ini hanya bertujuan agar kita lebih mudah melihat pola yang tersusun oleh elemen-elemen tersebut. Jadi kita boleh saja membalik urutannya seperti contoh nomor 4.
    4. \(D = \{\dots,-6,-4,-2\}\) atau \(D=\{-2,-4,-6,\dots\}\)
      Himpunan \(C\) adalah contoh himpunan yang tidak terbatas ke atas. Sedangkan himpunan \(D\) adalah contoh himpunan yang tidak terbatas ke bawah. Bagaimana jika himpunannya tidak terbatas ke atas dan ke bawah? Simak contoh berikut.
    5. \(E = \{\dots,-6, -4, -2,0,2,4,6,\dots\}\)
      Penulisan ini digunakan jika himpunannya tidak terbatas ke atas dan tidak terbatas ke bawah.

    By the way, jika kita melihat pola himpunan \(A\) sampai \(E\) maka cukup jelas untuk mengetahui bahwa :

    1. Himpunan \(A\) adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari sama dengan \(8\).
    2. Himpunan \(B\) adalah himpunan bilangan asli ganjil yang kurang dari sama dengan \(99\).
    3. Himpunan \(C\) adalah himpunan bilangan asli ganjil.
    4. Himpunan \(D\) adalah himpunan bilangan bulat genap yang kurang dari \(0\) atau bisa juga disebut himpunan bilangan bulat genap negatif.
    5. Himpunan \(E\) adalah himpunan bilangan bulat genap.

    Kekurangan Metode Tabulasi

    Dalam menggunakan metode ini, kita diharuskan dapat mendaftar elemen sampai membentuk suatu pola tertentu. Mimin memberikan saran, jika susunan elemen mempunyai pola yang cukup unik, lebih baik kita memberikan keterangan berupa kalimat deskripsi mengenai himpunan tersebut.

    Contoh kita diminta mendefinisikan himpunan bilangan asli yang habis dibagi \(3\) atau \(5\) dengan metode tabulasi.

    Jawaban pertama : \(A=\{3,5,6,9,10,12,15,18,\dots\}\)

    Jika orang lain membacanya maka akan cukup sukar untuk melihat polanya. Sehingga lebih baik dengan memberikan deskripsi :

    Jawaban kedua : \(A=\{3,4,6,9,\dots\} \) dengan \(A\) adalah himpunan bilangan asli yang habis dibagi \(3\) atau \(5\).

    Terlihat jawaban kedua menjadi lebih panjang dan terkesan kurang efektif. Lalu, apakah ada cara yang “lebih ringkas/efektif” ? Simak metode berikut.

    Mendefinisikan Himpunan dengan Karakteristiknya (Metode Deskripsi)

    Ilustrasi Sederhana Metode Deskripsi

    Apa itu karakteristik himpunan ? Secara sederhana, karakteristik himpunan dapat disebut sebagai syarat tertentu yang melekat pada setiap objek untuk menjadi elemen dari himpunan tersebut. Contohnya jika kita punya \(A\) himpunan bilangan bulat genap, maka setiap elemen dari \(A\) harus memiliki syarat bilangan bulat dengan sifat genap.

    Dalam beberapa buku, syarat dinyatakan dalam kalimat terbuka dan dinotasikan \(P(x)\) yang kemudian dituliskan dalam kurung kurawal :

    \(X=\{x~|~P(x)\}\) atau \(X=\{x~:~P(x)\}\)

    Dibaca : \(X\) adalah himpunan semua \(x\) yang mempunyai sifat \(P\). Tanda \(|\) atau \(:\) dibaca “dimana” atau “dengan”. Contoh :

    \(\mathbb{R}= \{x~|~x~\text{adalah bilangan real}\}\)

    Dibaca : \(\mathbb{R}\) adalah himpunan semua \(x\) dimana \(x\) adalah bilangan real.

    Contoh Penulisan :

    1. \(A=\{x~|~x~\text{adalah bilangan bulat genap}\}~\text{atau}~A=\{a~|~a~\text{adalah bilangan bulat genap}\}\)
      Variabel \(x\) dapat kita ganti sesuka kita. Selain itu, kita dapat mengganti varibel \(a\) dengan definisi bilangan bulat genap sebagai berikut.
    2. \(A=\{a~|~a=2b~\text{untuk suatu bilangan bulat}~b\}~\text{atau}~A=\{a~|~a=2b~\text{dan}~b\in\mathbb{N}\}\)
      Mengingat bilangan bulat genap adalah bilangan bulat kelipat dari 2. Maka setiap bilangan bulat genap dapat ditulis \(a = 2\times b\) untuk suatu bilangan bulat \(b\). Alternatif penulisannya sebagai berikut.
    3. \(A=\{2b~|~b~\text{adalah bilangan bulat}\}~\text{atau}~A=\{2b~|~b\in\mathbb{N}\}\)
      Jika kita perhatikan pada contoh pertama di atas, himpunan semestanya adalah himpunan bilangan bulat genap. Sedangkan untuk contoh kedua dan ketiga himpunan semestanya adalah himpunan bilangan bulat.

    Pada contoh di atas simbol \(\mathbb{N}\) adalah notasi yang biasa digunakan untuk menunjukkan himpunan semua bilangan asli. Untuk contoh simbol lainnya yang sering digunakan di matematika dapat dilihat pada bagian berikut.

    Notasi Himpunan pada Sistem Bilangan

    Berikut adalah daftar notasi yang biasa digunakan untuk menyatakan himpunan pada sistem bilangan.

    • Himpunan semua Bilangan Asli dinotasikan \(\mathbb{N}\)
    • Himpunan semua Bilangan Bulat dinotasikan \(\mathbb{Z}\)
    • Himpunan semua Bilangan Rasional dinotasikan \(\mathbb{Q}\)
    • Himpunan semua Bilangan Irasional dinotasikan \(\mathbb{P}\)
    • Himpunan semua Bilangan Real dinotasikan \(\mathbb{R}\)
    • Himpunan semua Bilangan Kompleks dinotasikan \(\mathbb{C}\)

    Kesimpulan

    Pembicaraan di bidang matematika tidak pernah terlepas dari istilah himpunan. Hal ini dikarenakan pada setiap pembicaraan tersebut haruslah jelas semesta pembicaraannya. Oleh karena itu, dengan belajar notasi dan mendefinisikan himpunan, diharapkan kita dapat menuliskan dan memahami himpunan semesta pada suatu pembicaraan. Nantikan pembahasan mengenai hubungan antar himpunan (coming soon).

    Untuk selanjutnya mimin sarankan membaca : Operasi Logika Matematika dalam Kalimat Deklaratif. Karena bagus dibaca sebelum belajar hubungan antar himpunan. Oh ya, kalau kalian baca dengan teliti ada cerita asmaranya lho! see yea ^_^.

    Referensi

    • Nancy Rodgers. (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and RelationsJohn Wiley & Sons. Hlm. 213-217.

    Hukum Operasi Logika Matematika disertai Tabel Kebenaran

    Hukum Logika

    Cover Hukum Operasi Logika Matematika

    Definisi : Hukum logika adalah pernyataan majemuk yang selalu benar, terlepas dari nilai kebenaran dari pernyataan komponennya. Komponen yang dimaksud adalah objek-objek dalam matematika.

    Contoh : JIka \(A\) kalimat deklaratif maka pernyataan \(A \vee \neg A\) selalu bernilai benar, sebab :

    • Jika \(A\) benar maka \(\neg A\) salah, akibatnya \(A\vee \neg A\) bernilai benar. (Sifat operasi disjungsi)
    • Jika \(A\) salah maka \(\neg A\) benar, akibatnya \(A\vee \neg A\) bernilai benar.

    Jadi benar bahwa \(A \vee \neg A\) selalu benar, terlepas nilai kebenaran dari \(A\).

    Kenapa kita perlu belajar hukum logika?

    Ibarat dalam kehidupan nyata, jika kita dihadapkan pada suatu masalah maka kita perlu pedoman (aturan atau lainnya) untuk menyelesaikannya. Sama halnya di dunia matematika, kita perlu pedoman (aturan) untuk membantu menyelesaikan permasalahan matematika. Nah, pedoman yang dimaksud dapat berupa aturan, aksioma atau hukum (termasuk hukum logika).

    Hukum Logika dapat dikategorikan menjadi tiga, yaitu : Hukum Operasi Logika, Hukum Kuantor, dan Hukum Validitas. Pembahasan kali ini hanya difokuskan pada Hukum Operasi Logika dan untuk sisanya akan dibahas di halaman berbeda.

    Hukum Operasi Logika

    Definisi : Hukum Operasi Logika adalah Hukum Logika yang dilengkapi dengan Operasi Logika.

    Lima macam Operasi Logika :

    1. Negasi (disimbolkan \(\neg\))
    2. Konjungsi (disimbolkan \(\wedge\))
    3. Disjungsi (disimbolkan \(\vee\))
    4. Implikasi (disimbolkan \(\Rightarrow\) atau \(\Leftarrow\))
    5. Biimplikasi (disimbolkan \(\Leftrightarrow\))

    Untuk memahami kelima operasi di atas, disarankan membaca : Konsep Operasi Logika Matematika | Definisi, Tabel Kebenaran dan Contoh

    Catatan : Pada pembahasan selanjutnya, ekuivalensi atau biimplikasi (disimbolkan \(\Leftrightarrow\)) kita sepakati sebagai hukum logika. Sehingga kita dapat menggunakan pernyataan di kedua sisi ekuivalensi secara bergantian. Selain itu, tanda “\(\text{T}\)” mempunyai arti true (bernilai benar) dan tanda “\(\text{F}\)” mempunyai arti false (bernilai salah).

    Sifat Komutatif

    Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif maka berlaku :

    1. \(\boxed{A\wedge B \Leftrightarrow B \wedge A}\)
    Bukti (dengan tabel kebenaran) :
    Tabel Kebenaran Sifat Komutatif 1

    2. \(\boxed{A\vee B \Leftrightarrow B\vee A}\)
    Bukti :
    Tabel Kebenaran Sifat Komutatif 2

    3. \(\boxed{(A\Leftrightarrow B)\Leftrightarrow (B \Leftrightarrow A)}\)
    Bukti :
    Tabel Kebenaran Sifat Komutatif 3

    Baca juga : Konsep Logika Matematika dalam Kalimat

    Sifat Asosiatif

    Jika \(A, B\) dan \(C\) kalimat deklaratif maka berlaku :

    1. \(\boxed{(A\wedge B) \wedge C  \Leftrightarrow A \wedge (B\wedge C)}\)
    Bukti :
    Pada ruas kiri kita punya :
    Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 1

    Pada ruas kanan kita punya :
    Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 1 - RHS

    Jadi dapat kita simpulkan :
    Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 1 - Kesimpulan

    2. \(\boxed{(A\vee B)\vee C \Leftrightarrow A\vee (B\vee C)}\)
    Bukti :
    Pada ruas kiri kita punya :
    Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 2 - LHS

    Pada ruas kanan kita punya :
    Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 2 - RHS

    Jadi dapat kita simpulkan :
    Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 2 - Kesimpulan

    Sifat Distributif

    Jika \(A, B\) dan \(C\) kalimat deklaratif maka berlaku :

    1. \(\boxed{A\wedge (B \vee C)  \Leftrightarrow (A \wedge B) \vee (A\wedge C)}\)
    Bukti :
    Pada ruas kiri kita punya :
    Tabel Kebenaran Sifat Distributif 1 - LHS

    Pada ruas kanan kita punya :
    Tabel Kebenaran Sifat Distributif 1 - RHS

    Jadi dapat kita simpulkan :
    Tabel Kebenaran Sifat Distributif 1 - Kesimpulan

    2. \(\boxed{A\vee (B \wedge C) \Leftrightarrow (A\vee B)\wedge (A\vee C)}\)
    Bukti :
    Pada ruas kiri kita punya :

    Pada ruas kanan kita punya :
    Tabel Kebenaran Sifat Distributif 2 - RHS

    Jadi dapat kita simpulkan :
    Tabel Kebenaran Sifat Distributif 2 - Kesimpulan

    Sifat Rephrasing

    Rephrasing berarti pengungkapan kembali suatu konsep dengan cara lain dalam bahasa yang sama, namun tanpa mengubah maknanya. Singkatnya bentuk lain dari konsep awal tanpa merubah nilai kebenarannya.

    Rephrasing Implikasi

    Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :

    \(\boxed{A \Rightarrow B \Leftrightarrow \neg B \Rightarrow \neg A}\)
    Bukti :
    Pada ruas kiri kita punya :
    Tabel Kebenaran Rephrasing Implikasi - LHS

    Pada ruas kanan kita punya :
    Tabel Kebenaran Rephrasing Implikasi - RHS

    Jadi dapat kita simpulkan :
    Tabel Kebenaran Rephrasing Implikasi - Kesimpulan

    Rephrasing Disjungsi

    Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :

    \(\boxed{A \vee B \Leftrightarrow \neg B \Rightarrow A}\)
    Bukti :
    Tabel Kebenaran Rephrasing Disjungsi

    Rephrasing Biimplikasi

    Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :

    \(\boxed{(A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow (A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)}\)

    Bukti :
    Pada ruas kiri kita punya :
    Tabel Kebenaran Rephrasing Biimplikasi - LHS

    Pada ruas kiri kita punya :
    Tabel Kebenaran Rephrasing Biimplikasi - RHS

    Dengan demikian, dapat disimpulkan :
    Tabel Kebenaran Rephrasing Biimplikasi - Kesimpulan

    Sifat Negasi

    Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :

    1. \(\boxed{\neg(\neg A) \Leftrightarrow A}\)
    Bukti :
    Tabel Kebenaran Sifat Negasi 1

    2. \(\boxed{\neg(A \wedge B) \Leftrightarrow \neg A \vee \neg B}\)
    Bukti :
    Pada ruas kiri kita punya :
    Tabel Kebenaran Sifat Negasi 2 - LHS

    Pada ruas kanan kita punya :
    Tabel Kebenaran Sifat Negasi 2 - RHS

    Jadi dapat kita simpulkan :
    Tabel Kebenaran Sifat Negasi 2 - Kesimpulan

    3. \(\boxed{\neg(A \vee B) \Leftrightarrow \neg A \wedge \neg B}\)
    Bukti :
    Pada ruas kiri kita punya :
    Tabel Kebenaran Sifat Negasi 3 - LHS

    Pada ruas kanan kita punya :
    Tabel Kebenaran Sifat Negasi 3 - RHS

    Jadi dapat kita simpulkan :
    Tabel Kebenaran Sifat Negasi 3 - Kesimpulan

    4. \(\boxed{\neg(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \wedge \neg B}\)
    Bukti :
    Pada ruas kiri kita punya :
    Tabel Kebenaran Sifat Negasi 4 - LHS

    Pada ruas kanan kita punya :
    Tabel Kebenaran Sifat Negasi 4 - RHS

    Jadi dapat kita simpulkan :
    Tabel Kebenaran Sifat Negasi 4 - Kesimpulan

    5. \(\boxed{\neg(A\Leftrightarrow B) \Leftrightarrow \neg(A \Rightarrow B) \vee \neg(B \Rightarrow A)}\)
    Bukti :
    Pada ruas kiri kita punya :
    Tabel Kebenaran Sifat Negasi 5 - LHS

    Pada ruas kanan kita punya :
    Tabel Kebenaran Sifat Negasi 5 - RHS

    Jadi dapat kita simpulkan :
    Tabel Kebenaran Sifat Negasi 5 - Kesimpulan

    Referensi

    • Nancy Rodgers. (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations. John Wiley & Sons. Hlm. 63.

     

    Operasi Logika Matematika | Definisi, Tabel Kebenaran dan Contoh

    Cover Operasi Logika Matematika

    Operasi Logika Matematika dalam Kalimat

    Operasi logika matematika berguna untuk menghubungkan beberapa logika di dalam kalimat. Contoh yang sering kita gunakan yaitu “dan”, “atau”,  “jika…maka…” dan lainnya. Pengetahuan mengenai konsep ini bertujuan agar kita dapat menangkap kebenaran suatu kalimat sehingga tidak menyebabkan kesalah-tafsiranan atau kesalah-pahaman.

    Catatan : Pada bagian selanjutnya istilah “kalimat” yang dipakai merupakan Kalimat Deklaratif.

    Negasi

    Definsi : Jika \(A\) adalah suatu kalimat , maka negasi dari \(A\) dinotasikan ~\(A\) atau \(\bar{A}\) atau dalam buku Introduction to Mathematical Logic – E. Mendelson dinotasikan dengan \(\neg A\). Dimana \(\neg A\) adalah kalimat “tidak benar \(A\)” atau “non \(A\)”.

    Andaikan \(B\) adalah suatu kalimat dan kita punya \(\neg B\), apa yang terjadi pada \(\neg B\) ketika \(B\) bernilai benar atau sebaliknya?Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita perhatikan contoh berikut :

    Contoh : Cranel adalah mahasiswa matematika. Negasi dari kalimat tersebut adalah …?

    Pembahasan : Disini, kita misalkan \(B\) = “Cranel adalah mahasiswa matematika”. Sehingga \(\neg B\) = “Cranel adalah bukan mahasiswa matematika”.

    Lalu bagaimana dengan nilai kebenarannya?

    Pertama, kita andaikan Cranel adalah mahasiswa matematika sehingga kalimat “Cranel adalah bukan mahasiswa matematika” merupakan suatu kebohongan dan bernilai salah (false).

    Sekarang, kita andaikan Cranel adalah bukan mahasiswa matematika sehingga kalimat \(B\) bernilai salah dan kalimat \(\neg B\) bernilai benar.

    Singkatnya, ketika \(B\) bernilai benar maka \(\neg B\) bernilai salah dan ketika \(B\) bernilai salah maka \(\neg B\) bernilai benar (true). Untuk lebih jelasnya sebagai berikut.

    Tabel Kebenaran :

    Nilai kebenaran \(\neg A\) (jika \(\neg A\) adalah kalimat deklaratif) didefinisikan dengan tabel kebenaran :
    $$\begin{array}{|c|c|}\hline A&\neg A\\\hline\text{T}&\text{F}\\\text{F}&\text{T}\\\hline\end{array}$$

    Catatan : “\(\text{T}\)” mempunyai arti true (benar) dan “\(\text{F}\)” mempunyai arti false (salah).

    Seperti halnya penggunaan kalimat pada bidang ilmu lain, pada logika kalimat juga muncul penggabungan beberapa kalimat (pernyataan) yang dirangkai menggunakan kata penghubung.

    Konjungsi

    Pernah suatu ketika melihat postingan salah satu teman di media sosial. Postingan tersebut bertuliskan :

    “Hujan masih air dan dia masih milik orang lain”

    Dari kalimat tersebut bagaimana nilai kebenarannya? Bagi yang tahu maknanya tuliskan di kolom komentar ya!

    Definisi : Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “… dan …” disebut konjungsi. Dalam logika kalimat, kata “dan” dinotasikan dengan \(\wedge\)  atau &.

    Jika kita punya kalimat \(A\) dan \(B\), bagaimana hubungan \(\wedge\) antara \(A\) dan \(B\)? Nah, ternyata \(A \wedge B\) hanya benar ketika \(A\) dan \(B\) keduanya benar. Bagaimana jika salah satu saja yang benar? mari kita lihat contoh berikut.

    Contoh :

    1. \(\color{Red}{A}\) dan \(\color{Blue}{B}\) keduanya bernilai benar.
      Matahari terbit dari timur dan matahari lebih besar dari bumi
      Jelas kalimat tersebut bernilai benar.
    2. \(\color{Red}{A}\) bernilai benar dan \(\color{Blue}{B}\) bernilai salah.
      Kucing adalah binatang berkaki empat dan lima adalah bilangan genap
      Kalimat tersebut bernilai salah, karena lima merupakan bilangan ganjil.
    3. \(\color{Red}{A}\) bernilai salah dan \(\color{Blue}{B}\) bernilai benar.
      Manusia berjalan dengan tiga kaki  dan cacing dapat terbang
      Kalimat tersebut bernilai salah, karena cacing semestinya tidak dapat terbang.
    4. \(\color{Red}{A}\) dan \(\color{Blue}{B}\) salah satunya benar dan sisanya salah.
      Hari ini adalah hari senin dan besoknya adalah hari kamis
      Kalimat tersebut bernilai salah, karena jika benar hari ini adalah hari senin maka seharusnya besok adalah hari selasa, jadi “besoknya adalah hari kamis” bernilai salah. Sedangkan jika benar besok adalah hari kamis maka harusnya hari ini adalah hari selasa, jadi “hari ini adalah hari senin” bernilai salah.
    5. \(\color{Red}{A}\) bernilai salah dan \(\color{Blue}{B}\) bernilai salah.
      Indonesia berada di benua Afrika  dan Tokyo adalah ibukota Indonesia
      Kalimat tersebut bernilai salah, Indonesia berada di benua Asia dan ibukota Indonesia adalah Jakarta.

    Contoh lain (variasi) :

    Diberikan kalimat dengan konjungsi sebagai berikut.

    “Cranel adalah mahasiswa berprestasi dan kaya raya”

    Buatlah dua pernyataan dari kalimat tersebut.

    Pembahasan :

    Dari kalimat tersebut kita punya dua pernyataan :

    1. Cranel adalah mahasiswa berprestasi.
    2. Cranel adalah mahasiswa kaya raya.

    Lalu bagaimana dengan nilai kebenarannya? Karena kalimat pada soal tersebut merupakan kalimat faktual maka nilai kebenarannya disesuaikan dengan fakta sesungguhnya.

    Tabel Kebenaran :

    Jika \(A\) dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka nilai kebenaran \( A \wedge B\) didefinisikan dengan tabel kebenaran:

    $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\wedge B\\\hline\text{T}&\text{T}&\text{T}\\\text{T}&\text{F}&\text{F}\\\text{F}&\text{T}&\text{F}\\\text{F}&\text{F}&\text{F}\\\hline\end{array}$$

    Disjungsi

    Jika sebelumnya telah dibahas mengenai konjungsi, sekarang kita akan membahas mengenai disjungsi. Disjungsi kerap disama artikan dengan kata penghubung “… atau …”. Selain itu, disjungsi terdiri dari dua macam yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif. Untuk selengkapnya sebagai berikut.

    Disjungsi Inklusif

    Definisi : Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “… atau …” disebut disjungsi. Dalam logika kalimat, kata “atau” dinotasikan dengan \(\vee\).

    Contoh :

    Buatlah dua pernyataan dari disjungsi :  \(17\) adalah bilangan prima atau habis dibagi 7 ?

    Pembahasan :

    • \(17\) adalah bilangan prima (bernilai benar).
    • \(17\) habis dibagi \(7\) (bernilai salah).

    Sehingga jelas kalimat “\(17\) adalah bilangan prima atau habis dibagi 7” bernilai benar.

    Tabel Kebenaran :

    Jika \(A\) dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka nilai kebenaran \(A \vee B\) didefinisikan dengan tabel kebenaran :

    $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\vee B\\\hline\text{T}&\text{T}&\text{T}\\\text{T}&\text{F}&\text{T}\\\text{F}&\text{T}&\text{T}\\\text{F}&\text{F}&\text{F}\\\hline\end{array}$$

    Disjungsi Ekslusif

    Gambar Bunga Mawar Merah dan Putih

    Kita asumsikan bunga mawar hanya berwarna merah atau putih (tidak berlaku warna campuran) dan dalam setangkai bunga mawar hanya ada satu buah bunga.

    Sekarang ceritanya ada dua orang yaitu Cranel dan Hestia, mereka saling jatuh cinta. Suatu hari Cranel membawa setangkai bunga mawar berwarna merah atau putih untuk melamar Hestia. Dengan senang hati, Hestia menerima lamaran Cranel dan mereka hidup bahagia :).

    Sekarang kita hubungkan cerita singkat di atas dengan konsep disjungsi. Dari kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” kita misalkan :

    \(\color{blue}{A}\) = “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah”.

    \(\color{green}{B}\) = “Cranel membawa setangkai bunga mawar putih”.

    Selanjutnya kita lakukan analisis sebagai berikut :

    1. Jika \(\color{blue}{A}\) dan \(\color{green}{B}\) keduanya bernilai benar.
      Maka kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai salah. Hal ini karena jika \(\color{blue}{A}\) dan \(\color{green}{B}\) bernilai benar maka dalam setangkai bunga harus memuat dua warna merah dan putih sekaligus (hal ini tidak sesuai asumsi awal).
    2. Jika \(\color{blue}{A}\) bernilai benar dan \(\color{green}{B}\) bernilai salah.
      Jelas kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai benar.
    3. Jika \(\color{blue}{A}\) bernilai salah dan \(\color{green}{B}\) bernilai benar.
      Jelas kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai benar.
    4. Jika \(\color{blue}{A}\) dan \(\color{green}{B}\) keduanya bernilai salah.
      Jelas kalimat “Cranel membawa setangkai bunga mawar merah atau putih” bernilai salah.

    Dari analisa di atas, pada bagian (1) di saat keduanya bernilai benar, terdapat perbedaan nilai kebenaran dengan disjungsi inklusif. Kasus Cranel dan Hestia tersebut termasuk contoh disjungsi eksklusif.

    Definisi : Jika \(A\)  dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka pernyataan “\(A\) atau \(B\)” yang merupakan disjungsi eksklusif dinotasikan dengan symbol \(\veebar\).

    Tabel Kebenaran :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\veebar B\\\hline\text{T}&\text{T}&\text{F}\\\text{T}&\text{F}&\text{T}\\\text{F}&\text{T}&\text{T}\\\text{F}&\text{F}&\text{F}\\\hline\end{array}$$

    Catatan (Penting) : Umumnya penulisan disjungsi inklusif “\(A\) atau \(B\)” hanya dituliskan disjungsi saja. Kecuali jika disebutkan secara eksplisit bahwa “\(A\) atau \(B\)” adalah pernyataan disjungsi eksklusif.

    Implikasi

    Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “jika…, maka…” atau “bila…, maka..” atau “apabila…, maka…” disebut implikasi. Semisal :

    “Apabila kamu mencari yang sempurna, maka aku memilih mundur”;

    “Jika hujan masih air, maka kamu masih milik orang lain”;

    “Bila kamu mau jadi pacarku, maka kamu akan aku belikan HP terbaru”.

    Kalimat-kalimat tersebut termasuk kalimat implikasi.

    Definisi : Kalimat “jika \(A\), maka \(B\)” dinotasikan dengan “\(A \Rightarrow B\)”. Dalam hal ini, \(A\) disebut antiseden dan \(B\) disebut konsekuen.

    Apa itu antiseden dan konsekuen dalam definisi di atas?

    \(A\) disebut antiseden mempunyai makna bahwa \(A\) adalah syarat cukup bagi \(B\) dan \(B\) disebut konsekuen yang mempunyai makna bahwa \(B\) adalah syarat perlu bagi \(A\).

    Tabel Kebenaran :

    Jika \(A\) dan \(B\) adalah kalimat deklaratif, maka tabel kebenaran untuk \(A \Rightarrow B\) diberikan dengan:

    $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\Rightarrow B\\\hline\text{T}&\text{T}&\text{T}\\\text{T}&\text{F}&\text{F}\\\text{F}&\text{T}&\text{T}\\\text{F}&\text{F}&\text{T}\\\hline\end{array}$$

    Biimplikasi

    Pada situs wolfram (Baca : Equivalent — from Wolfram MathWorld ) disebutkan secara implisit bahwa istilah “Biimplikasi” sama dengan istilah “Ekuivalen”. Sekerang kita kesampingkan hal tersebut dan kita pahami konsep biimplikasi sebagai berikut.

    Definisi : Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat yang dirangkai dengan kata penghubung “… jika dan hanya jika …” disebut biimplikasi. Biimplikasi “\(A\) jika dan hanya jika \(B\)” dinotasikan dengan “\(A \Leftrightarrow B\)”.

    Contoh :

    Simbol Perasaan Cinta (Untuk Contoh Soal)

    Masih ingat cerita sebelumnya tentang Cranel dan Hestia?

    Ada sedikit plot twist dimana suatu ketika Cranel harus pergi ke luar kota untuk menempuh pendidikan. Hestia merasa kesepian menghubungi Cranel dan bertanya, “Apakah kamu masih mencintaiku?” Dengan suara lantang Cranel membalas, “Aku akan selalu mencintaimu jika dan hanya jika kamu setia mencintaiku”. Seketika Hestia menangis bahagia.

    Kalimat “Aku akan selalu mencintaimu jika dan hanya jika kamu setia mencintaiku” merupakan contoh kalimat biimplikasi. Lalu bagaimana nilai kebenaran dari kalimat tersebut? Ingat itu termasuk kalimat faktual, sehingga nilai kebenarannya disesuaikan dengan fakta sesungguhnya.

    Tabel Kebenaran :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\Leftrightarrow B\\\hline\text{T}&\text{T}&\text{T}\\\text{T}&\text{F}&\text{F}\\\text{F}&\text{T}&\text{F}\\\text{F}&\text{F}&\text{T}\\\hline\end{array}$$

    Baca juga : Hukum Operasi Logika Matematika

    Akhir kata mimin ucapkan terima kasih sudah berkenan membaca sampai habis. Berikut daftar referensi tulisan ini.

    Referensi :

    • Truth Table Definitions of Logical Connectives (Online) – wmpeople.wm.edu
    • Diktat Pengantar Logika Matematika dan Himpunan (Online) – Budi Surodjo

    Logika Matematika | (Studi Kasus) Logika dalam Kalimat

    Cover Logika Matematika

    Konsep Logika Matematika dalam Kalimat

    Dalam matematika, logika dapat diartikan sebagai dasar dari setiap pembuktian yang dibangun. Selanjutnya, logika kalimat kita artikan sebagai logika yang terkandung pada suatu kalimat.

    Dalam suatu pernyataan (kalimat), sering muncul ketidakmengertian, kesalahtafsiran dan bahkan kesalahpahaman oleh karena beberapa aspek yang terkandung pada kalimat tersebut.

    Studi Kasus 1 : (Cerita Matematikawan Naik Pesawat)

    Seorang ahli matematika terbang tanpa transit dari Tokyo ke Jakarta dengan menaiki pesawat. Waktu terbang yang dijadwalkan adalah sembilan jam. Beberapa waktu setelah lepas landas, pilot mengumumkan bahwa satu mesin harus dimatikan karena kerusakan mekanis : “Jangan khawatir kita masih aman. Satu-satunya efek yang terlihat bagi kita adalah bahwa total waktu terbang kita adalah sepuluh jam, bukan sembilan.”

    Beberapa jam setelah penerbangan, pilot memberi tahu penumpang bahwa mesin lain harus dimatikan karena kerusakan mekanis: “Tapi jangan khawatir kita masih aman. Hanya waktu terbang kita yang akan mencapai dua belas jam.” Beberapa waktu kemudian, mesin ketiga gagal dan harus dimatikan. Tetapi pilot meyakinkan para penumpang: “Jangan khawatir bahkan dengan satu mesin, kami masih benar-benar aman. Itu hanya berarti bahwa akan memakan waktu enam belas jam total untuk pesawat ini tiba di Jakarta.”

    Matematikawan itu mengatakan kepada sesama penumpangnya: “Jika mesin terakhir rusak juga, maka kita akan berada di udara selama dua puluh empat jam sekaligus!“.

    Masih bingung dengan cerita di atas? Kalimat yang dikatakan oleh matematikawan tersebut memiliki dua perspektif (pandangan) yang berbeda yang dapat mengakibatkan kesalahtafsiran dan kesalahpahaman. Memperhatikan hal tersebut, diperlukan konsep berikut ini.

    Apa Itu Semesta Pembicaraan ?

    Semesta pembicaraan diartikan sebagai himpunan semua objek yang dibahas di dalam pembicaraan. Semisal dalam kalimat : “Melon lebih besar dari pada Jeruk”. Objek dari kalimat tersebut adalah Melon dan Jeruk sehingga semesta pembicaraannya adalah himpunan buah-buahan.

    Studi Kasus 2 :

    Tentukan semesta pembicaraannya sehingga persamaan \(x^2 -x -2=0\)  mempunyai :

    (a) Tepat satu solusi.

    (b) Tepat dua solusi.

    Pembahasan :

    Solusi yang dimaksud adalah nilai-nilai dari \(x\) yang jika disubstitusikan ke persamaan tersebut bernilai benar. Selain itu, solusi dari persamaan tersebut merupakan objek-objek yang ada pada pernyataan (kalimat) di soal.

    Jika kita faktorkan maka kita punya \((x+1)(x-2)=0\) dimana \(x=-1\) atau \(x=2\). Dari dua solusi tersebut jelas bahwa keduanya merupakan anggota bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan real. Jadi semesta pembicaraan untuk pertanyaan (b) adalah himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, atau himpunan bilangan real.

    Catatan : himpunan yang memuat objek \(-1\) dan \(2\) tidak terbatas hanya itu. Kita boleh saja membuat sebarang himpunan yang memuat kedua objek tersebut dengan mendefinisikannya terlebih dahulu. Semisal pada awal soal dituliskan “Diketahui himpunan \(A=\{-1,2,3\}\).”

    Sedangkan jika dikehendaki tepat satu solusi, maka kita perlu membatasi semesta pembicaraannya agar hanya salah satu solusi dari \(-1\) atau \(2\) yang memenuhi persamaan tersebut. Kemudian kita perlu melihat perbedaan karakteristik dari dua objek (solusi) tersebut. Kita tahu bahwa \(-1\) adalah bilangan bulat negatif sedangkan \(2\) bilangan bulat positif.

    Jadi agar diperoleh tepat satu solusi, maka sekarang semesta pembicaraannya kita batasi menjadi himpunan bilangan bulat negatif saja atau himpunan bilangan bulat positif saja.

    Variabel dan Konstanta dalam Logika Matematika

    Variabel diartikan sebagai lambang yang menjadi simbol dari sebarang anggota di dalam semesta pembicaraannya.

    Konstanta diartikan sebagai lambang suatu anggota tertentu dari semesta pembicaraan.

    Studi Kasus 3 :

    Tentukan konstanta atau variabel pada kalimat-kalimat di bawah ini.

    1. Soekarno adalah seorang proklamator RI.
    2. Lima puluh habis dibagi \(5\).

    Pembahasan :

    1. Objek “soekarno” pada kalimat di atas diartikan secara khusus sebagai seorang proklamator RI sehingga merupakan konstanta.
    2. Objek “lima puluh” dalam bahasa indonesia diartikan sebagai angka lima puluh yang disimbolkan \(50\) yang merupakan suatu konstanta. Begitu pula untuk simbol \(5\) mewakili angka lima yang merupakan suatu konstanta juga.

    Klasifikasi Kalimat

    Secara garis besar, kita klasifikasikan menjadi dua macam yaitu kalimat deklaratif dan kalimat terbuka. Secara tidak sadar kita sering menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Pernahkah kalian berbohong kepada orang lain? umumnya kebohongan dikategorikan sebagai kalimat deklaratif. Untuk lebih jelasnya sebagai berikut:

    1. Kalimat Deklaratif

    Kalimat deklaratif adalah kalimat yang mengandung nilai salah atau benar, dan tidak bernilai kedua-duanya. Benar pada kalimat berarti mempunyai persesuaian antara isi pernyataan dengan fakta sesungguhnya.

    Kalimat deklaratif yang nilai kebenarannya dengan fakta sesungguhnya disebut kalimat faktual. Sedangkan kalimat deklaratif yang nilai kebenarannya tanpa melihat fakta sesungguhnya disebut kalimat non faktual.

    Baca juga : Hukum Operasi Logika Matematika

    Studi Kasus 4 :

    Tentukan kalimat-kalimat berikut ini merupakan kalimat yang mempunyai arti atau kalimat tanpa arti atau kalimat deklaratif.

    1. Ya ampun!
    2. Satu tambah dua hasilnya sama dengan empat.
    3. Presiden Indonesia dipilih setiap lima tahun sekali.
    4. Selama ini angka \(2\) selalu bergandengan dengan angka \(3\).
    5. Besok kiamat atau tidak kiamat.

    Pembahasan :

    1. Merupakan kalimat seru yang mempunyai arti, namun tidak mengandung nilai benar atau salah.
    2. Merupakan kalimat faktual (deklaratif) dengan nilai kebenarannya false (bernilai salah).
    3. Merupakan kalimat faktual (deklaratif) dengan nilai kebenarannya true (bernilai benar).
    4. Merupakan kalimat tanpa arti karena istilah “selalu bergandengan” tidak terdefinisi dengan baik.
    5. Merupakan kalimat non faktual (deklaratif) dengan nilai kebenarannya true (bernilai benar). Untuk penjelasannya akan dibahas di halaman yang berbeda.

    2. Kalimat Terbuka

    Kalimat terbuka adalah kalimat yang baru dapat ditentukan nilai kebenarannya (atau menjadi kalimat deklaratif) jika variabel di dalamnya diganti menjadi suatu konstanta tertentu.

    Studi Kasus 5 :

    Tentukan apakah kalimat-kalimat berikut ini merupakan kalimat terbuka atau kalimat deklaratif. Jika kalimat deklaratif, apakah bernilai benar atau salah.

    1. \(x\) merupakan bilangan negatif.
    2. \(0\) merupakan bilangan irasional.
    3. Jika \(x, y, z\) merupakan bilangan asli, maka \(x < z < y\).
    4. Jika semesta pembicaraan adalah semua manusia, maka Tono lebih tinggi daripada Tini.

    Pembahasan :

    1. Merupakan kalimat terbuka sebab terdapat variabel yang disimbolkan dengan \(x\)  tidak secara khusus mewakili suatu anggota dari himpunan bilangan negatif.
    2. Merupakan kalimat deklaratif bernilai false (salah), sebab dapat kita tuliskan \(0=\frac{0}{1}\) (bilangan rasional).
    3. Merupakan kalimat terbuka dengan \(x, y, z\) sebagai variabel.
    4. Merupakan kalimat deklaratif sebab Tono dan Tini secara khusus mencirikan identitas seseorang. Nilai kebenarannya dapat bernilai true atau false tergantung kenyataan sesungguhnya.

    Pembahasan selanjutnya : Operasi Logika Matematika | Definisi, Tabel Kebenaran dan Contoh

    Mathematical logic is about the forest rather than the trees. When you look at the structure that different mathematical fields have in common, you see overarching themes that make the theory work. –  Hunter Johnson

    Operasi pada Vektor di Ruang-n Euclides, Sifat & Contohnya

    Cover vektor di Rn (ruang berdimensi n)

    Operasi Standar pada Vektor di Rn

    Operasi standar pada ruang-n euclides (Rn) meliputi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar. Selain itu, berlaku juga operasi hasil kali titik (dot product). Lalu bagaimana dengan hasil kali silang (cross product)? Dalam ruang-n euclides, cross product berlaku dengan baik di R3.

    Supaya pembalajaran menjadi lebih bermakna, disarankan terlebih dahulu memahami :

    Penjumlahan Vektor

    Jika kita punya dua vektor, yaitu u = (u1, u2, ... , un)  dan v = (v1, v2, ... , vn) di ruang-n, maka berlaku operasi penjumlahan vektor sebagai berikut :

    u + v = (u1+v1, u2+v2, ... , un+vn)

    Kita juga dapat menuliskannya kedalam bentuk vektor kolom (matriks berordo n x 1) sebagai berikut :

    u = [uij] dengan u berordo n x 1 dan v = [vij]

    sehingga berdasarkan operasi penjumlahan matriks kita dapatkan :

    u + v = [uij] + [vij] =[uij + vij]

    Ternyata dari pernyataan-pernyataan di atas kita dapat 2 penulisan yang sedikit berbeda, yang pertama dengan menggunakan n-tupel barisan riil dan yang kedua dalam bentuk vektor kolom. Lalu kita harus menggunakan yang mana? Kita bebas memilih mau menggunakan cara penulisan yang pertama atau kedua. Dan untuk selanjutnya mari kita simak bersama, beberapa contoh soal yang cukup seru.

    Contoh 1

    Diberikan dua vektor u dan v di R3 dan w di R4 yang didefinisikan sebagai berikut :

    u = (1, 2, 3), v = (4, 5, 6), dan w = (1, 2, 3 , 4)

    Tentukan :

    1. u + v
    2. v + u
    3. u + w

    Penyelesaian :

    1. Berdasarkan operasi penjumlahan vektor maka kita peroleh :

    u + v = (1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)

    2. Masih dengan cara yang sama, kita juga dapatkan :

    v + u = (4, 5, 6) + (1, 2, 3) = (4+1, 5+2, 6+3) = (5, 7, 9)

    3. Nah pada bagian ke-3 ini cukup menarik, dimana vektor u berada di R3 sedangkan w berada di R4 lalu bagaimana hasil dari penjumlahan u + w ?

    Untuk mengetahuinya, kita representasikan vektor u dan v kedalam bentuk vektor kolom sebagai berikut :

    Vektor u dalam bentuk vektor kolom dan vektor w dalam bentuk vektor kolom

    Cukup jelas bahwa matriks vektor u mempunyai ordo 3 x 1 sedangkan matriks vektor w berordo 4 x 1 akibatnya berdasarkan syarat penjumlahan dua buah matriks, kita peroleh :

    Penjumlahan matriks vektor u dan w

    Hal tersebut dikarenakan pada penjumlahan dua buah matriks, haruslah mempunyai ordo yang sama.

    Sifat Penjumlahan Vektor

    Misalkan terdapat u = (u1, u2, ... , un) , v = (v1, v2, ... , vn), w dan vektor nol 0 = (0, 0, ... , 0) maka berlaku :

    • u + v = v + u (Bersifat Komutatif)
    • u + (v + w) = (u + v) + w (Bersifat Asosiatif)
    • u + 0 = 0 + u = u (Sifat penjumlahan dengan vektor nol)
    • u + (-u) = u - u = 0 (Sifat penjumlahan vektor u dengan negatif atau invers dari vektor u)

    Perkalian dengan Skalar

    Sebuah vektor u = (u1, u2, ... , un) jika dikalikan dengan sembarang skalar, misal kita notasikan skalar k, maka didefinisikan sebagai berikut :

    ku = (ku1, ku2,..., kun)

    Contoh 2

    Diberikan vektor u = (2, 0, 1, 9), maka tentukan vektor v dan w jika :

    1. v = 2u
    2. 5w = 4v + 3u

    Penyelesaian :

    1. Kita dapat menuliskan ulang persamaan pada soal dan melakukan substitusi pada vektor u sebagai berikut :

    Jawaban nomor 1.png

    2. Dari soal nomor 1 di atas kita punya v = (4, 2, 0, 18) yang kemudian dapat kita substitusikan ke persamaan pada soal nomor 2.

    jawaban nomor 2

    Sifat Perkalian dengan Skalar

    Misalkan k dan l adalah sembarang skalar sehingga berlaku :

    • k(u + v) = ku + kv (Bersifat distributif)
    • (k + l)u = ku + lu (Sama seperti sifat sebelumnya yakni bersifat distributif)
    • (kl)u = k(lu) (Bersifat asosiatif)
    • 1u = u (Sifat perkalian dengan skalar 1)

    Hasil Kali Titik (Dot Product)

    Hasil kali titik dari vektor u = (u1, u2, ... , un) dan v = (v1, v2, ... , vn) adalah berupa sebuah skalar yang didefinisikan :

    u • v = u1v1 + u2v2 +...+unvn

    Dengan kata lain fungsi dot product adalah fungsi yang mengolah dua vektor di Rn menjadi suatu skalar (real).

    Contoh 3

    Diberikan vektor u = (1,2,3,4)v = (8, 7, 6, 5) dan w = (3,2,1). Tentukan :

    • u • v
    • (u • v)w
    • u • w
    • (u • v) • w

    Penyelesaian :

    Pertama, berdasarkan definisi hasil kali titik kita peroleh :

    penyelesaian contoh3 bag1

    Kedua, berdasarkan sifat perkalian vektor dengan skalar kita peroleh :

    penyelesaian contoh3 bag2

    Ketiga, karena hasil kali titik (dot product) di Rn adalah sebuah fungsi yang mengolah atau mengkawankan dua vektor di Rn. Maka jika u = (1,2,3,4) di R4 dan w = (3,2,1) di R3 akibatnya :

    Penyelesaian Contoh3 bag3

    Keempat, pertanyaan pada bagian keempat ini dilatar-belakangi oleh masalah : Apakah operasi dot product dengan 3 vektor dimungkinkan? Jika demikian, mengapa? Okey kita kembali ke soal :

    Penyelesaian contoh3 bag4.1

    Jika kita perhatikan persamaan di atas, diperoleh hasil kali titik antara skalar (60) dengan vektor w. Perlu diketahui bahwa :

    Penyelesaian contoh3 bag4.2

    Berdasarkan definisi hasil kali titik, dimana operan (objek yang dioperasikan) dalam fungsi dot product adalah vektor-vektor yang berada pada ruang yang sama. Sehingga karena skalar (60) adalah bilangan real yang berada pada ruang R sedangkan vektor w = (3,2,1) berada pada ruang R3 akibatnya :

    penyelesaian contoh3 bag4.3

    Hubungan Dot Product dengan Perkalian Matriks

    Pada bagian awal, kita sudah menyinggung sedikit bahwa vektor di Rn dapat direpresentasikan (diwakilkan) ke dalam bentuk matriks berordo n x 1.

    Semisal kita punya u dan v di Rn maka kita dapat menuliskannya :

    u = [uij] dengan u berordo n x 1 dan v = [vij]

    Sekarang kita punya definisi baru, bahwa hasil kali titik (dot product) dari vektor u dan v di Rn merupakan perkalian matriks antara transpose dari u dengan v. Sehingga berdasarkan kaidah perkalian matriks kita peroleh :

    Hubungan hasil kali titik dengan perkalian matriks

    Sifat Perkalian Hasil Kali Titik

    Jika u, v dan w adalah vektor di Rn dan k adalah sembarang skalar, maka berlaku :

    • u ∙ v = v ∙ u
    • (u + v) ∙ w = (u ∙ w) + ( v ∙ w)
    • k(u ∙ v) = (ku) ∙ v = u ∙ (kv)
    • u • u ≥ 0 dan kesamaan terjadi jika u = 0
    • u • u = | u |^2 dengan |u| adalah panjang vektor u

    Contoh 4

    Diberikan vektor u dan v di Rn dengan u • u = 10 , u • v = 11 dan v • v = 12. Tentukan nilai dari vektor w jika w = (u + 2v) • (3u + v).

    Penyelesaian :

    Sedikit berbeda dengan contoh-contoh sebelumnya, sekarang kita akan mencoba menyelesaikannya dengan menggunakan sifat-sifat hasil kali titik.

    Langkah pertama, kita gunakan sifat kedua :

    Langkah pertama

    Masih dengan sifat yang sama kita jabarkan lagi menjadi :

    Langkah kedua

    Kemudian dilanjut dengan sifat ketiga kita peroleh :

    Langkah ketiga

    Terakhir, kita subtitusikan u • u = 10 , u • v = 11 dan v • v = 12.

    Langkah terakhir

    Referensi

    • Anton, Howard. (1991). Aljabar Linier Elementer. (Edisi ke-5). (Alih bahasa: Pantur Silaban, Ph. D & Drs. I. Nyoman Susila, M.Sc.). Jakarta: Penerbit Erlangga.
    • Larson, Ron dan David C. Falvo. (2009). Elementary Linear Algebra. (Edisi ke-6). Boston: Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company.

    Definisi Vektor di Rn, Ruang Berdimensi n, Ruang-n Euclides

    Pengenalan Vektor dalam Rn (Ruang Berdimensi n)

    Berdasarkan konsep vektor pada Ruang berdimensi 2 dan 3 , jika kita meninjau sebuah vektor ( misalkan vektor u ) pada R2 maka dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan terurut u = (u1, u2) begitu pula jika pada R3 maka u = (u1, u2, u3).

    Ilustrasi Vektor u pada R2(Ruang dimensi 2 dan R3(Ruang dimensi 3)

    Sekarang bagaimana dengan vektor yang berada di R4, R5 dan seterusnya? Mengenai hal ini, pada abad ke-19 para ahli matematika dan ahli fisika mengembangkannya secara analitis pada R4, R5 bahkan sampai Rn. Kenapa perlu dikembangkan? salah satunya karena pada Sistem Persamaan Linear, dimana sebuah garis dapat dikatakan sebagai vektor yang panjangnya tak terbatas, diilustrasikan sebagai berikut :

    Ilustrasi Garis sebagai Vektor yang Panjangnya Tak Terbatas

    Permasalahan timbul jika pada sistem persamaan linearnya mempunyai 4, 5 bahkan sampai n variabel, lalu bagaimana dengan vektornya? itulah mengapa perlunya generalisasi konsep dari vektor R2 atau R3 ke ruang yang lebih tinggi. Untuk masalah visualisasi secara geometri pada ruang 4, 5 dan seterusnya. “tidak” dapat dilaksanakan. Sebab dunia dimana kita hidup hanya disusun dari konsep tiga dimensi.

    Definisi Vektor di Rn

    Sebuah vektor u di Rn didefinisikan sebagai n-tupel bilangan riil (u1, u2, ... , un) dengan n adalah bilangan bulat positif. Contohnya pada R2 vektor Vektor u di R2 dan pada R3 vektor u = (u1, u2, u3).

    Jika kita perhatikan pada gambar sebelumnya, jelas bahwa pasangan (u1, u2) dan  tripel (u1, u2, u3) tidak hanya bermakna sebagai vektor namun juga dapat berperan sebagai titik. Nah, uniknya dalam ruang-n euclides keduanya dianggap sama, hal ini berlaku juga pada R4R5 sampai dengan Rn. Jadi kita bebas menggambarkannya sebagai titik maupun sebagai vektor di Rn.

    Contoh :

    u = (-1, 2, 0 , 5)

    Vektor u tersebut berada di R4.

    Jika kita perhatikan seksama, sering muncul istilah ruang-n euclides, lalu apa sih ruang-n euclides itu ? Secara geometri, ruang euclides adalah ruang 2 atau 3 dimensi dimana aksioma-aksioma geometri euclid berlaku dengan baik, yang kemudian digeneralisasi ke dalam ruang berdimensi n. Sedangkan secara analitis, himpunan semua n-tupel bilangan real dinamakan ruang-n dan dinyatakan Rn.

    RHimpunan semua bilangan real
    R2Himpunan semua pasangan bilangan real
    R3Himpunan semua tripel bilangan real
    R4Himpunan semua quadrupel bilangan real
    Dan seterusnya sampai dengan
    RnHimpunan semua n-tupel bilangan real

     

    Vektor Nol di Rn

    Sebuah vektor di Rn disebut sebagai vektor nol jika dan hanya jika semua entri yang didalamnya bernilai nol, biasa dituliskan sebagai berikut :

    Vektor Nol (0) = (0, 0, ... , 0)

    Untuk selanjutnya akan dibahas pada halaman lain mengenai operasi-operasi vektor di ruang-n euclid Rn. Namun sebelumnya pastikan bahwa anda sudah mengenal lebih dahulu operasi-operasi vektor pada Ruang-2 dan Ruang-3.

    Referensi :

    • Anton, Howard. (1991). Aljabar Linier Elementer. (Edisi ke-5). (Alih bahasa: Pantur Silaban, Ph. D & Drs. I. Nyoman Susila, M.Sc.). Jakarta: Penerbit Erlangga. Hlm. 131-132.
    • Imrona, Mahmud. (2002). Aljabar Linier Elementer. STT Telkom, Bandung. Hlm. 64.
    • David, McMahon. (2005). Linear Algebra Demystified. New York: McGraw-Hill. Hlm. 79.

    Pengenalan Vektor dalam Matematika Lengkap dengan Gambar + Soal

    Cover Vektor Profematika

    Definisi Vektor dalam Matematika

    Vektor dalam matematika adalah sebuah objek yang mempunyai panjang (besar/nilai) dan arah. Kita dapat menggambarkannya sebagai panah atau segmen garis lurus yang terarah di \(R^{2}\) (Ruang 2 / Ruang dimensi 2) atau \(R^{3}\) (Ruang 3 / Ruang dimensi 3).

    Gambar Vektor dalam Matematika (Ruang-2)
    Ilustrasi Vektor di Ruang 2
    Ilustrasi Vektor dalam Matematika (Ruang-3)
    Ilustrasi Vektor di Ruang 3

    Pada gambar di atas arah panah menunjukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik awal (initial point) dan ujung panah dinamakan titik akhir (terminal point) dari vektor.

    Ilustrasi dalam Kehidupan Nyata

    Pernahkah kalian bermain layang-layang?

    Penerapan Vektor Matematika dalam Bermain Layang-Layang

    Pada saat kita bermain layang-layang, kita perhatikan posisi layang-layang saat terbang jarang sekali berada lurus tepat di atas kita, hal ini dikarenakan pengaruh vektor sehingga kita dapat melihat layang-layang dengan lebih jelas.

    Notasi Vektor (Cara Penulisannya)

    Penulisan vektor dalam matematika dapat dinyatakan dalam huruf kecil tebal misalnya a, k dan z. Namun pada kenyataanya tangan kita tidak terbiasa menulis tebal-tipis huruf sehingga akan sedikit merepotkan, sehingga ada alternatif penulisan lainnya yakni \(\vec{a}, \vec{k}\) dan \(\vec{z}\).

    Gambar Vektor a, k dan z

    Selain itu masih ada lagi, misalkan kita punya vektor \(\vec{v}\) dengan titik awalnya adalah \(A\) dan titik akhirnya adalah \(B\) maka kita dapat tuliskan :

    $$\vec{v}=\vec{AB}$$

    Catatan 1: Dua vektor atau lebih dikatakan sama jika dan hanya jika arah dan panjangnya sama. Pada gambar di atas vektor \(\vec{k}\) dan \(\vec{z}\) sama, atau \(\vec{k}=\vec{z}\) sebab memiliki arah dan panjang yang sama, walaupun letaknya berbeda.

    Operasi Vektor

    Jika sebelumnya penggambaran vektor dari sudut pandang geometri. Nah, sekarang karena pembahasannya sudah sampai operasi vektor maka kita akan coba bahas konsep vektor secara analitis. Sehingga nantinya kita juga mendapatkan konsep penjumlahan, pengurangan, perkalian vektor secara analitis.

    Mari kita perhatikan vektor berikut :

    Konsep Vektor dengan Analitis

    Pada gambar di atas kita dapat menyatakan vektor \(\vec{a}=(-3, 7), \vec{k}=(5, 3)\) dan \(\vec{z}=(5, 3)\).

    Kok bisa?

    Yaps, secara analitis jika kita punya vektor \(\vec{v}\) berada pada ruang-2 (ruang dimensi 2 atau kita gunakan bidang kartesius) maka kita dapat menuliskannya :

    Analitis Vektor dalam MatematikaContohnya pada gambar di atas, vektor \(\vec{a}\) mempunyai titik awal di titik \((9, -2)\) dan titik akhir di titik \((6,5)\) sehingga berdasarkan persamaan di atas maka \(a\) dapat kita tuliskan :

    Menyatakan Vektor a Secara Analitik

    Kemudian bagaimana jika vektornya berada pada ruang-3 (ruang dimensi 3) ?

    Jangan khawatir, hal tersebut tidak jauh berbeda dengan konsep yang di ruang-2. Misalkan kita punya \(\vec{v}\) dengan

    • Titik awalKoordinat Titik Awal Vektor Pada Ruang 3
    • Titik AkhirKoordinat Titik Akhir Vektor Pada Ruang 3

    Ilustrasi :

    Ilustrasi Vektor Di Ruang 3
    Ilustrasi Vektor Di Ruang 3

    Maka dapat kita tuliskan :

    Penulisan Vektor Secara Analitis di Ruang 3

    Catatan 2 : Apabila \(\vec{v}\) adalah sebuah vektor yang titik awalnya di titik pusat koordinat (Contoh pada ruang-2 \((0,0)\)) maka \(\vec{v}\) biasa disebut sebagai vektor posisi.

    Nah, sudah ada gambaran kan? Pemahaman ini akan kita gunakan pada operasi vektor selanjutnya.

    Baca juga : Operasi Matriks dan Sifat-Sifatnya

    Penjumlahan Vektor (Hasilnya Berupa Vektor)

    Misalkan kita punya vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{k}\) :

     

    Gambar Vektor a dan k

    Berapa nilai dari \(\vec{k}+\vec{a}\) ?

    Secara geometri dalam penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan cara menggeser vektor \(\vec{a}\) sehingga titik awal \(\vec{a}\) berhimpit dengan titik akhir \(\vec{k}\).Hasil penjumlahan \(\vec{k}+\vec{a}\) berupa vektor yang dinyatakan oleh panah biru dengan titik awal \(\vec{k}\) dan titik akhir akhir \(\vec{a}\).

    Contoh Penjumlahan Vektor dalam Matematika

    Selain itu, kita juga dapat menggunakan metode jajaran genjang. Yaps sesuai namanya, kita akan membentuk sebuah jajaran genjang dimulai dengan menggeser vektor \(\vec{k}\) sehingga titik awal \(\vec{k}\) berhimpit dengan titik akhir \(\vec{a}\).

    Penjumlahan Vektor dengan Metode Jajaran Genjang

    Berdasarkan gambar di atas kita peroleh sifat operasi penjumlahan vektor :

    Sifat Komutatif Penjumlahan Vektor

    Catatan 3 : Perlu diingat bahwa suatu vektor dalam matematika akan selalu sama (tidak berubah) jika arah dan panjangnya tetap, walaupun posisinya berubah.

    Kemudian secara analitis jika punya vektor \(\vec{a}=(a_{1},a_{2})\) dan \(\vec{b}=(b_{1}, b_{2})\) maka berlaku :

    Penjumlahan Vektor a dan b secara analitis

    Begitu pula jika vektor \(\vec{c}=(c_{1},c_{2},c_{3})\) dan \(\vec{d}=(d_{1},d_{2},d_{3})\) di ruang-3 maka berlaku :

    Penjumlahan Vektor c dan d secara Analitis

    Contoh 1

    Misalkan kita punya vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) sebagai berikut :

    Gambar Vektor a dan b pada Ruang-2

    Tentukan hasil dari \(\vec{a}+\vec{b}\)

    Penyelesaian :

    Secara geometri kita geser vektor \(\vec{b}\) sehingga titik awal vektor \(\vec{b}\) berhimpit dengan titik akhir \(\vec{a}\) dan kita peroleh :

    Penyelesaian Soal Penjumlahan Vektor Secara Geometri Matematika

    Sedangkan secara analitis maka :

    Penulisan Vektor a dan b secara Analitis

    Sehingga kita peroleh :

    Penulisan Penjumlahan Vektor a dan b secara Analitis

    Perkalian Vektor dengan Skalar (Hasilnya Berupa Vektor)

    Wah.. kok habis operasi penjumlahan vektor tidak ke operasi pengurangan vektor? Sebab operasi perkalian vektor dengan skalarlah yang nantinya mendasari operasi pengurangan vektor.

    Sebelumnya mari kita perhatikan ilustrasi berikut :

    Ilustrasi Vektor Matematika dengan Korek Api

    Mula-mula terdapat sebuah batang korek api, kemudian kita perbanyak jumlahnya menjadi 3 batang korek api dan kita susun menjadi :

    Gambar 3 Buah Batang Korek Api

    Sehingga sekarang panjangnya menjadi 3 kali panjang semula. Nah, sama halnya dengan vektor.

    Misalkan kita punya vektor \(\vec{a}\) dan skalar \(k\) maka hasil kali \(k\vec{a}\) sepanjang \(|k|\) (nilai mutlak \(k\)) dikali panjang \(\vec{a}\).

    Kenapa ada nilai mutlaknya?

    Sebab dalam konsep vektor, jika \(k\) bernilai negatif maka hasil kali \(k\vec{a}\) mempunyai arah yang berlawanan dengan \(\vec{a}\). Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut :

    Ilustrasi Perkalian Vektor dengan Skalar

    Kemudian jika \(|k|<1\) maka panjang \(k\vec{a}\) lebih pendek dibanding panjang \(\vec{a}\) (disebut juga pemampatan) dan jika \(|k|>1\) maka panjang \(k\vec{a}\) lebih panjang dibanding panjang \(\vec{a}\) (disebut juga perenggangan).

    Secara analitis jika \(\vec{c}=(c_{1},c_{2})\) di ruang-2 dan \(\vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})\) di ruang-3 dan \(k\) adalah sembarang skalar, maka berlaku :

    Penulisan hasil kali vektor dengan skalar pada ruang-2

    dan juga

    Penulisan hasil kali vektor dengan skalar pada ruang-3

    Contoh 2

    Misalkan vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) didefinisikan sebagai berikut :

    Pendifinisian Vektor a dan b pada contoh soal-2

    Tentukan hasil dari \(\vec{a}+3\vec{b}\)

    Penyelesaian :

    Secara geometri maka :

    Penjumlahan vektor a + 3b secara geometri matematika

    Kemudian kita gunakan sifat operasi penjumlahan sehingga kita peroleh :

    Penjumlahan vektor a+3b dengan metode jajaran genjang

    Mudah bukan?

    Jika menyelesaikannya secara analitis maka dapat kita tuliskan :

    Menyatakan vektor a dan b secara analitis

    Sehingga berdasarkan sifat operasi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar maka kita dapatkan :

    Penjumlahan vektor a+3b secara analitis

    Pengurangan Vektor (Hasilnya Berupa Vektor)

    Jika kita punya dua sembarang vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) maka pengurangan \(\vec{a}\) dengan \(\vec{b}\) dapat kita tuliskan :

    Operasi Pengurangan Vektor dalam Matematika

    Sehingga secara analitis kita punya :

    • Jika kedua vektor tersebut pada ruang-2 maka :

    Pengurangan Vektor a - b pada Ruang-2 secara Analitis

    • Jika kedua vektor tersebut pada ruang-3, dengan cara yang sama maka :

    Pengurangan Vektor a - b pada Ruang-3 secara Analitis

    Sengaja untuk penggambaran secara geometri tidak disertakan, sebab kita akan meninjaunya langsung pada contoh soal berikut.

    Contoh 3

    Misalkan diberikan dua buah vektor di ruang-2 yang didefinisikan sebagai berikut :

    Soal 3 Operasi Pengurangan Vektor di Ruang 2

    Tentukan hasil dari \(\vec{a}-\vec{b}\)

    Penyelesaian :

    Ingat kembali bahwa jika suatu vektor dikali dengan skalar yang bernilai negatif maka hasil perkaliannya berupa vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor yang dikalikan.

    Penyelesaian Contoh Soal 3 Secara Geometri

    Sedangkan secara analitis kita peroleh :

    Penyelesaian Pengurangan Vektor secara Analitis-bag1

    dan juga

    Penyelesaian Pengurangan Vektor secara Analitis-bag2

    Sehingga berdasarkan sifat operasi pengurangan vektor, kita peroleh :

    Penyelesaian Pengurangan Vektor secara Analitis-bag3

    Perkalian Vektor dengan Vektor

    Operasi ini terbagai menjadi 2 bagian, pertama Perkalian Titik (dot product) dan yang kedua adalah Perkalian Proyeksi dalam Vektor (cross product).

    Kedua bagian tersebut berkaitan dengan sudut dan panjang dalam vektor, dimana yang diartikan sudut antara vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) adalah sudut yang dihasilkan oleh \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) setelah titik awal \(\vec{a}\) dan titik awal \(\vec{b}\) diimpitkan. Sudut dapat kita tulis \(\theta\) dengan \(0\leq\theta\leq\pi\).

    Sudut Antar Vektor dalam Matematika

    Kemudian panjang vektor dalam matematika disebut juga norma (norm). Contohnya panjang vektor dari \(\vec{a}\) ditulis \(\|\vec{a}\|\).

    Jika \(\vec{a}\) berada pada ruang-2 atau \(\vec{a}=(a_{1}, a_{2})\)  maka

    Norma Vektor di Ruang 2

    Jika \(\vec{a}\) berada pada ruang-3 atau \(\vec{a}=(a_{1}, a_{2},a_{3})\)  maka

    Norma Vektor di Ruang 3

    Catatan 4 : Dalam konsep vektor terdapat vektor nol dinotasikan \(\vec{0}\) dan didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai panjang nol (\(\|\vec{0}\|=0\)) dengan arah sembarang yang bersesuaian dengan operasi yang mengikutinya. Secara geometri vektor nol dapat digambarkan sebagai sebuah titik.

    Catatan 5 : Selain itu, terdapat vektor satuan yaitu vektor yang panjangnya 1. Pada pelajaran fisika, vektor biasa ditulis : (contoh)

    \(\vec{a}=3\hat{i}+5\hat{j}\)

    Nah, \(\hat{i}\) dan \(\hat{j}\) merupakan vektor satuan. Asalkan bukan vektor nol, kita dapat mencari vektor satuan dari sebuah vektor. Contohnya vektor \(\vec{b}\neq\vec{0}\), maka vektor satuannya yakni :

    \(\hat{b}=\frac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|}\)

    1. Dot Product (Hasilnya Berupa Skalar)

    Jika \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) berada dalam ruang-2 atau ruang-3 dan \(\theta\) adalah sudut antara keduanya, maka perkalian titik (dot product) didefinisikan sebagai berikut :

    Perkalian Titik dalam Vektor

    Contoh 5

    Tentukan hasil kali titik antara vektor \(\vec{a}=(3,0)\) dengan \(\vec{b}=(3,3\sqrt{3})\) dan sudut antara kedua vektor tersebut sebesar \(60^{\circ}\).

    Secara geometri dapat kita gambarkan :

    Penyelesaian Contoh Soal 5 Secara Geometri

    Sedangkan secara analitis :

    Penyelesaian Soal 5 dengan metode analitis

    Pada contoh di atas jika kita perhatikan bahwa dalam menghitung perkalian titik masih terikat dengan sudut antar dua vektor yang diketahui. Bayangkan jika yang diketahui hanya posisi vektornya saja, maka kita harus cari sudutnya terlebih dahulu.

    Nah, untuk mengatasi permasalahan ini mari kita cari bentuk lain dari perkalian titik yang lebih mudah perhitungannya.

    Perhatikan gambar berikut :

    Aturan Sinus dalam Perkalian Titik Secara Geometri

    Berdasarkan aturan cosinus didapat :

    Perkalian Titik dalam Vektor dengan Aturan Cosinus Bagian 1Dengan mensubtitusikan

    Perkalian Titik dalam Vektor dengan Aturan Cosinus Bagian 2

    Maka akan kita peroleh bentuk lain dari perkalian titik :

    Perkalian Titik dalam Vektor dengan Aturan Cosinus Bagian 3

    Untuk kasus di ruang 3 dengan cara serupa kita dapatkan :

    Perkalian Titik dalam Vektor dengan Aturan Cosinus Bagian 4

    Dengan rumus ini dalam menghitung perkalian titik tidak perlu mencari sudut terlebih dahulu.

    Sebagai latihan, coba selesaikan contoh soal ke-5 dengan metode di atas.

    Sifar-Sifat Hasil Kali Titik (Dot Product)

    Sifat Ke-1 Perkalian Titik

    Sifat Ke-2 Perkalian Titik

    Sifat ke-3 Perkalian Titik

    \(4.\) Jika vektor \(\vec{a}\neq\vec{0}\) dan \(\vec{b}\neq\vec{0}\) dan sudut antara kedua vektor tersebut adalah \(\theta\) maka berlaku :

    • \(\theta\) adalah sudut lancip jika dan hanya jika \(\vec{a}\cdot\vec{b}>0\)
    • \(\theta\) adalah sudut tumpul jika dan hanya jika \(\vec{a}\cdot\vec{b}<0\)
    • \(\theta\) adalah sudut siku-siku jika dan hanya jika \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

    Sifat ke-5 Perkalian Titik (Bersifat asosiatif)

    Sifat Ke-6 Perkalian Titik (Bersifat distributif)

    Sifat Ke-7 Perkalian Titik untuk sembarang skalar \(k\).

    Sifat Ke-8 Perkalian Titik didasari Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz.

    Proyeksi Vektor

    Menentukkan proyeksi vektor dalam matematika dibutuhkan konsep perkalian titik untuk menguraikan vektor (Dekomposisi Vektor) \(\vec{b}\) menjadi dua vektor dengan ketentuan satu vektor sejajar dengan \(\vec{a}\neq\vec{0}\) yakni vektor \(\vec{c_{1}}\) sedangkan vektor yang lainnya yakni \(\vec{c_{2}}\) tegak lurus dengan \(\vec{a}\).

    Proyeksi Vektor Pada Ruang 2

    Dari gambar di atas kita peroleh hubungan :

    Hubungan Komponen Proyeksi Vektor

    Vektor \(\vec{c_{1}}\) disebut proyeksi ortogonal \(\vec{b}\) pada \(\vec{a}\) dan beberapa sumber referensi menuliskannya sebagai :

    Proyeksi Ortogonal dalam Vektor

    Sedangkan vektor \(\vec{c_{2}}\) disebut juga komponen vektor \(\vec{b}\) yang ortogonal (tegak lurus) terhadap \(\vec{a}\).

    Komponen Vektor yang Ortogonal

    Contoh 6

    Jika diketahui vektor \(\vec{c}=(-2,2,4)\) dan \(\vec{d}=(-2,-2,2)\), tentukan komponen vektor \(\vec{c}\) yang sejajar dengan \(\vec{d}\) dan tentukan komponen \(\vec{c}\) yang tegak lurus dengan \(\vec{d}\).

    Penyelesaian :

    Misalkan \(c_{1}\) adalah komponen vektor yang sejajar dengan \(\vec{d}\) dan \(\vec{c_{2}}\) adalah komponen vektor yang tegak lurus dengan \(\vec{d}\), maka kita peroleh hubungan :

    \(\vec{c}=\vec{c_{1}}+\vec{c_{2}}\)

    dimana

    Mencari Komponen Proyeksi Vektor Secara Analitis

    dan

    Mencari Komponen Vektor yang Ortogonal Secara Analitis

    Catatan 6 : Dalam konsep proyeksi vektor di atas, vektor satuan dari \(\vec{c_{1}}\) dinotasikan \(\hat{c_{1}}\) sama dengan vektor satuan dari \(\vec{b}\) dinotasikan \(\hat{b}\).

    2. Cross Product (Hasilnya Berupa Vektor)

    Akhirnya kita sudah sampai pada bagian akhir dari pembahasan kali ini, dimana pada operasi perkalian silang (cross product) mempunyai kontribusi yang cukup besar dalam geometri, fisika (momen gaya/torsi) dan ilmu-ilmu teknik.

    Perkalian silang dua vektor \(\vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})\) dan \(\vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})\) dalam ruang-3 dinotasikan \(\vec{a}\times\vec{b}\) dan didefinisikan :

    Perkalian Silang Vektor (Cross Product)

    jika dinyatakan dalam bentuk determinan :

    Perkalian Silang Vektor (Cross Product) secara Determinan Matriks

    Baca Juga : 10 Sifat Determinan beserta Contoh Soal

    Operasi ini sangat berguna jika kita diminta mencari sebuah vektor yang tegak lurus pada dua buah vektor yang lain dalam ruang-3. Contohnya pada persamaan di atas, hasil kali perkalian silang \(\vec{a}\times\vec{b}\) adalah vektor yang tegak lurus dengan \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\).

    Ilustrasi Perkalian Silang dalam Vektor (Cross Product)

    Contoh 7

    Misalkan \(\vec{a}=(1,2,3),~\vec{b}=(3,2,1)\) maka tentukan hasil dari \(\vec{a}\times\vec{b}\).

    Penyelesaian :

    Cara pertama (menggunakan persamaan pertama)

    Penyelesaian Contoh Soal Cross Product (Hasil Kali Silang) Bagian1

    Cara kedua dengan menggunakan konsep determinan matriks :

    Penyelesaian Contoh Soal Cross Product dengan Determinan

    Sifat-Sifat Cross Product

    Sifat ke-1 Perkalian SIlang (Tidak komutatif)

    Sifat ke-2 Perkalian SIlang

    Sifat ke-3 Perkalian SIlang

    Sifat ke-4 Perkalian SIlang

    Sifat ke-5 Perkalian SIlang

    Sifat ke-6 Perkalian SIlang (Bersifat distributif)

    Sifat ke-7 Perkalian SIlang (Bersifat distributif)

    Sifat ke-8 Perkalian SIlang (Bersifat asosiatif, dengan sembarang skalar \(k\))

    Sifat ke-9 Perkalian SIlang (Identitas Lagrange)

    Sifat ke-10 Perkalian SIlang (Penjabaran dari Identitas Lagrange)

    Catatan 7 : Pada sifat ke-10 di atas, nilai dari \(\|\vec{a}\times\vec{b}\|\) sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\).

    Menghitung Luas Jajaran Genjang dengan Vektor

    Selanjutnya direkomendasikan membaca materi lanjutan mengenai Vektor di Ruang-n Euclides (Ruang berdimensi n).

    10 Sifat Determinan dan Reduksi Baris beserta Contohnya

    Cover Sifat Determinan dan Reduksi Baris

    Sifat-Sifat Determinan Matriks

    Kenapa sih kita harus belajar sifat-sifat determinan?

    Perumpamaan Sifat Determinan

    Untuk mengetahui alasannya, mari kita umpamakan nilai determinan yang kita cari ibarat sebuah layang-layang yang nyangkut di pucuk pohon yang penuh dengan cabang dan sifat-sifat determinan sebagai tangga.

    Nah, dari sini ada dua opsi utama untuk mendapatkan layang-layang tersebut, yaitu pertama dengan memanjat pohonnya langsung (menghitung determinan dengan cara umum seperti ekspansi kofaktor atau lainnya) dan opsi kedua menggunakan tangga untuk naik ke atas pohon tersebut.

    Kedua pilihan tersebut sama-sama dapat mengambil layangan, namun akan lebih efisien dan efektif jika kita menggunakan bantuan tangga untuk naik pohon dan mendapatkan layangan tersebut.

    Dari perumpamaan di atas, kita dapat mempermudah perhitungan dalam mencari determinan dengan memanfaatkan sifat-sifat determinan sebagai berikut :

    Sifat 1

    Jika matriks \(A\) dan \(B\) adalah matriks persegi yang berordo sama maka

    $$\boxed{\text{det}(AB)=\text{det}(BA)=\text{det}(A)\times\text{det}(B)}$$

    Contoh 1

    MIsalkan \(A, B\) dan \(C\) adalah matriks persegi yang mempunyai ordo yang sama, dengan \(C=AB\).

    $$A=\left[{\begin{array}{cc}-3&1\\0&2\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{cc}2&-3\\-4&5\end{array}}\right]$$

    Tentukan determinan dari matriks \(C\).

    Penyelesaian :

    Cara pertama, kita lakukan operasi perkalian matriks, sehingga didapat :

    $$\begin{aligned}C&=AB\\&=\left[{\begin{array}{cc}-3&1\\0&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}2&-3\\-4&5\end{array}}\right]\\&=\left[{\begin{array}{cc}-6-4&9+5\\0-8&0+10\end{array}}\right]\\&=\left[{\begin{array}{cc}-10&14\\-8&10\end{array}}\right]\end{aligned}$$

    Kemudian kita hitung determinan dari matriks \(C\)

    $$\begin{aligned}\text{det}(C)&=\left|{\begin{array}{cc}-10&14\\-8&10\end{array}}\right|\\&=-100-(-112)\\&=12\end{aligned}$$

    Cara kedua, kita gunakan sifat 1, sehingga

    $$\begin{aligned}\text{det}(C)&=\text{det}(AB)\\&=\text{det}(A)\times\text{det}(B)\\&=\left|{\begin{array}{cc}-3&1\\0&2\end{array}}\right|\times \left|{\begin{array}{cc}2&-3\\-4&5\end{array}}\right|\\&=-6\times(-2)\\&=12\end{aligned}$$

    Setelah kita amati ternyata dua cara di atas mempunyai hasil akhir yang sama, namun dari segi efisiensi lebih baik cara kedua.

    Sifat 2

    Jika \(A\) adalah matriks persegi dan \(A^{T}\) adalah transpose matriks \(A\), maka berlaku

    $$\boxed{\text{det}(A)=\text{det}\left({A^{T}}\right)}$$

    Contoh 2

    Misalkan matriks \(A\) didefinisikan sebagai berikut :

    $$A=\left[{\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}}\right]$$

    Tentukanlah nilai dari \(\text{det}\left({A^{T}}\right)\)

    Penyelesaian :

    Transpose Matriks Profematika

    Cara pertama (manual) dengan mentranspose matriks \(A\)

    $$A^{T}=\left[{\begin{array}{cc}1&3\\2&4\end{array}}\right]$$

    Selanjutnya menghitung determinan dari \(A^{T}\)

    $$\begin{aligned}\text{det}\left({A^{T}}\right)&=\left|{\begin{array}{cc}1&3\\2&4\end{array}}\right|\\&=4-6\\&=-2\end{aligned}$$

    Cara kedua menggunakan sifat

    $$\begin{aligned}\text{det}\left({A^{T}}\right)&=\text{det}(A)\\&=\left|{\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}}\right|\\&=4-6\\&=-2\end{aligned}$$

    Sifat 3

    Jika A adalah matriks diagonal atau matriks skalar, maka

    $$\boxed{\text{det}(A)=a_{11}\times a_{22}\times\dots\times a_{nn}}$$

    (Determinan \(A\) adalah perkalian semua entri pada diagonal utama)

    Contoh 3

    Diberikan matriks \(A\) sebagai berikut :

    $$A=\left[{\begin{array}{ccc}\sqrt{2}&0&0\\0&-2&0\\0&0&\frac{1}{2}\end{array}}\right]$$

    Tentukan determinan matriks \(A\)

    Penyelesaian :

    Cara pertama menggunakan aturan sarrus, atau dapat dituliskan :

    $$\left[{\begin{array}{ccc|cc}\sqrt{2}&0&0&\sqrt{2}&0\\0&-2&0&0&-2\\0&0&\frac{1}{2}&0&0\end{array}}\right]$$

    sehingga determinan dari \(A\) yakni :

    $$\begin{aligned}\text{det}(A)&=-\sqrt{2}+0+0-0-0-0\\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$$

    Cara kedua dengan menggunakan sifat didapat :

    $$\begin{aligned}\text{det}(A)&=\left|{\begin{array}{ccc}\sqrt{2}&0&0\\0&-2&0\\0&0&\frac{1}{2}\end{array}}\right|\\&=\sqrt{2}\times-2\times\frac{1}{2}\\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$$

    Sifat 4

    Jika \(A\) adalah matriks segitiga (atas/bawah) maka

    $$\boxed{\text{det}(A)=a_{11}\times a_{22}\times\dots\times a_{nn}}$$

    (Determinan \(A\) adalah perkalian semua entri pada diagonal utama)

    Contoh 4

    Misalkan diberikan matriks \(A_{3\times3}=[a_{ij}]\) sebagai berikut :

    $$A=\left[{\begin{array}{ccc}\pi&\frac{3}{4}&-1\\0&2&2\sqrt{3}\\0&0&\frac{3}{2}\end{array}}\right]$$

    Tentukan determinan dari matriks \(A\)

    Penyelesaian :

    Cara pertama : Jika pada contoh 3, kita telah menggunakan metode sarrus. Sekarang kita akan menggunakan metode ekspansi kofaktor pada kolom pertama \((a_{11}=\pi,a_{21}=0,a_{31}=0)\).

    $$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}\\&=a_{11}C_{11}\\&=\pi(-1)^{1+1}\left|{\begin{array}{cc}2&2\sqrt{3}\\0&\frac{3}{2}\end{array}}\right|\\&=\pi(3-0)\\&=3\pi\end{aligned}$$

    Cara kedua menggunakan sifat maka :

    $$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}\times a_{22}\times a_{33}\\&=\pi\times2\times\frac{3}{2}\\&=3\pi\end{aligned}$$

    Sifat 5

    Jika \(A\) adalah matriks persegi berordo \(n\times n\) dan \(k\) adalah sebarang bilangan maka

    $$\boxed{\text{det}(kA)=k^{n}\times \text{det}(A)}$$

    Contoh 5

    Diketahui :

    $$A=\left[{\begin{array}{cc}2&4\\6&8\end{array}}\right]$$

    Tentukan determinan dari \(3A\)

    Penyelesaian :

    Cara pertama, dengan mengalikan matriks \(A\) dengan 3 sehingga didapat :

    $$\begin{aligned}3A&=3\times \left[{\begin{array}{cc}2&4\\6&8\end{array}}\right]\\&=\left[{\begin{array}{cc}6&12\\18&24\end{array}}\right]\end{aligned}$$

    Kemudian kita hitung determinannya.

    $$\begin{aligned}\text{det}(3A)&=\left|{\begin{array}{cc}6&12\\18&24\end{array}}\right|\\&=(6)(24)-(12)(18)\\&=-72\end{aligned}$$

    Cara kedua dengan menggunakan sifat.

    $$\begin{aligned}\text{det}(3A)&=3^{2}\times\text{det}(A)\\&=9\times \left|{\begin{array}{cc}2&4\\6&8\end{array}}\right|\\&=9(16-24)\\&=-72\end{aligned}$$

    Sifat 6

    Jika matriks \(A\) dapat dibalik (invertible) atau mempunyai invers, maka

    $$\boxed{\text{det}\left({A^{-1}}\right)=\frac{1}{\text{det}(A)}}$$

    Contoh 6

    Diketahui :

    $$A=\left[{\begin{array}{cc}-4&1\\2&3\end{array}}\right]$$

    Tentukan nilai determinan dari \(A^{-1}\)

    Penyelesaian :

    Cara pertama :

    Umumnya pada saat kita mencari invers dari matriks \(A_{2\times2}=[a_{ij}]\), kita menggunakan rumus :

    $$A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\left[{\begin{array}{cc}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\end{array}}\right]$$

    Sehingga berdasarkan rumus di atas kita dapatkan :

    $$\begin{aligned}A^{-1}&=\frac{1}{-12-2}\left[{\begin{array}{cc}3&-1\\-2&-4\end{array}}\right]\\&=\left[{\begin{array}{cc}-\frac{3}{14}&\frac{1}{14}\\\frac{2}{14}&\frac{4}{14}\end{array}}\right]\end{aligned}$$

    Selanjutnya kita hitung determinan dari \(A^{-1}\).

    $$\begin{aligned}\text{det}\left({A^{-1}}\right)&=\left|{\begin{array}{cc}-\frac{3}{14}&\frac{1}{14}\\\frac{2}{14}&\frac{4}{14}\end{array}}\right|\\&=\left({-\frac{3}{14}}\right)\left({\frac{4}{14}}\right)-\left({\frac{1}{14}}\right)\left({\frac{2}{14}}\right)\\&=\frac{-14}{196}\\&=-\frac{1}{14}\end{aligned}$$

    Cara kedua menggunakan sifat, kita peroleh :

    $$\begin{aligned}\text{det}\left({A^{-1}}\right)&=\frac{1}{\text{det}\left({A}\right)}\\&=\frac{1}{-12-2}\\&=-\frac{1}{14}\end{aligned}$$

    Baca juga : Cara mencari invers matriks dengan OBE

    Sifat 7

    Jika \(A\) adalah matriks persegi yang memuat baris nol atau kolom nol maka

    $$\boxed{\text{det}(A)=0}$$

    Contoh 7

    Misalkan matriks \(A\) dan \(B\) didefinisikan sebagai berikut :

    $$A=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&2\\3&0&4\\5&0&6\end{array}}\right]$$

    $$B=\left[{\begin{array}{ccc}5&4&3\\2&1&0\\0&0&0\end{array}}\right]$$

    Tentukan nilai determinan \(A\) dan \(B\)

    Pembuktian :

    Cara pertama : dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor, kita dapatkan :

    $$\color{red}{\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{12}C_{12}+a_{22}C_{22}+a_{32}C_{32}\\&=(0)C_{12}+(0)C_{22}+(0)C_{32}\\&=0\end{aligned}}$$

    (Ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua dari \(A\))

    $$\color{blue}{\begin{aligned}\text{det}(B)&=b_{31}C_{12}+b_{32}C_{22}+b_{33}C_{32}\\&=(0)C_{31}+(0)C_{32}+(0)C_{33}\\&=0\end{aligned}}$$

    (Ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga dari \(B\))

    Cara kedua dengan memanfaatkan sifat determinan, maka kita cukup mencermati baris-baris dan kolom-kolom pada matriks \(A\) dan \(B\), karena pada matriks \(A\) terdapat satu kolom (kolom kedua) yang semua entri-entrinya bernilai nol sehingga berdasarkan sifat ke-7 maka \(\text{det}(A)=0\) begitu pula pada matriks \(B\) karena terdapat satu baris (baris ketiga) yang entri-entrinya bernilai nol maka \(\text{det}(B)=0\).

    Sifat 8

    Jika \(A\) adalah matriks persegi dengan memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka

    $$\boxed{\text{det}(A)=0}$$

    Contoh 8

    Tentukan determinan dari matriks berikut :

    $$A=\left[{\begin{array}{ccc}-1&2&1\\3&-2&5\\-3&6&3\end{array}}\right]$$

    Penyelesaian :

    Berdasarkan aturan sarrus maka :

    $$\left[{\begin{array}{ccc|cc}-1&2&1&-1&2\\3&-2&5&3&-2\\-3&6&3&-3&6\end{array}}\right]$$

    Sehingga diperoleh :

    $$\begin{aligned}\text{det}(A)&=(6)+(-30)+(18)-(6)-(-30)-(18)\\&=0\end{aligned}$$

    Cara Alternatif yakni dengan memperhatikan baris-baris dan kolom-kolomnya, apabila terdapat dua baris atau dua kolomnya berkelipatan contohnya pada matriks \(A\), dimana baris ketiga merupakan kelipatan dari baris pertama. Sehingga berdasarkan sifat ke-8 ini maka \(\text{det}(A)=0\).

    Sifat 9

    Misalkan \(A_{1},A_{2},\dots A_{n}\) dan \(B\) adalah matriks persegi yang berordo sama yang hanya berbeda dalam satu baris tunggal, anggaplah perbedaan terletak pada baris ke-\(k\) kemudian kita misalkan lagi bahwa baris ke-\(k\) dari \(B\) diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam setiap baris ke-\(k\) dari \(A_{i}\) dengan \(i=\{1,2,3,\dots,n\}\), sehingga berlaku :

    $$\boxed{\text{det}(B)=\sum_{i=1}^{n}\text{det}(A_{i})}$$

    Persamaan di atas juga berlaku jika \(A_{1},A_{2},\dots A_{n}\) dan \(B\) hanya berbeda dalam satu kolom tunggal, dengan kolom yang berbeda (misalkan ke-\(j\)) dari B diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dari setiap kolom ke-\(j\) dari matriks \(A_{i}\).

    Contoh 9

    Misalkan matriks \(A, B\) dan \(C\) didefinisikan sebagai berikut :

    $$A=\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-1\\\color{red}{5}&\color{red}{2}&\color{red}{0}\\1&2&3\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-1\\\color{red}{-4}&\color{red}{3}&\color{red}{1}\\1&2&3\end{array}}\right],~C=\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-1\\\color{red}{1}&\color{red}{5}&\color{red}{1}\\1&2&3\end{array}}\right]$$

    Kita akan mencoba memperlihatkan bahwa berdasarkan sifat ke-9 ini maka \(\text{det}(C)=\text{det}(A)+\text{det}(B)\).

    Pertama kita hitung nilai determinan dari matriks \(A, B\) dan \(C\).

    $$\text{det}(A)=\left|{\begin{array}{ccc}1&2&-1\\\color{red}{5}&\color{red}{2}&\color{red}{0}\\1&2&3\end{array}}\right|=-32$$

    $$\text{det}(B)=\left|{\begin{array}{ccc}1&2&-1\\\color{red}{-4}&\color{red}{3}&\color{red}{1}\\1&2&3\end{array}}\right|=44$$

    $$\text{det}(C)=\left|{\begin{array}{ccc}1&2&-1\\\color{red}{1}&\color{red}{5}&\color{red}{1}\\1&2&3\end{array}}\right|=12$$

    Untuk cara perhitungannya bisa menggunakan aturan sarrus atau ekspansi kofaktor dan proses perhitungannya sengaja tidak ditampilkan, untuk latihan bersama.

    Sifat 10

    Misalkan \(A\) adalah matriks persegi, kemudian \(A\) kita kenakan Operasi Baris Elementer maka berlaku :

    • Jika \(A^{*}\) diperoleh dari \(A\) dengan cara mengalikan satu baris dari \(A\) dengan sembarang bilangan \(k\neq0\), maka \(\boxed{\text{det}\left({A^{*}}\right)=k\times \text{det}(A)}\)
    • Jika \(A^{*}\) diperoleh dari \(A\) dengan cara  menukar dua baris, maka \(\boxed{\text{det}\left({A^{*}}\right)=-\text{det}(A)}\)
    • Jika \(A^{*}\) diperoleh dari \(A\) dengan cara menjumlahkan satu baris dengan kelipatan baris lain, maka \(\boxed{\text{det}\left({A^{*}}\right)=\text{det}(A)}\)

    Untuk contohnya akan kita akan bahas bersama pada bagian selanjutnya. Pada bagian selanjutnya kita akan mengenal metode yang tak kalah unik dalam mencari nilai determinan yaitu metode reduksi baris.

    Namun, sebelumnya disarankan sudah mengenal Eliminasi Gauss atau Elimanasi Gauss-Jordan sebab kita akan belajar mereduksi baris pada matriks.

    Apa Itu Metode Reduksi Baris ?

    Umumnya pada saat kita menghitung determinan dari suatu matriks persegi, kita menggunakan tiga metode pokok yaitu :

    • Metode kupu-kupu (Khusus untuk matriks \(2\times2\))
      Metode Kupu-Kupu Pada Matriks 2x2
    • Metode Sarrus (Khusus untuk matriks \(3\times3\))

      Metode Sarrus Pada Matriks 3x3

    • Metode Ekspansi Kofaktor

      Ilustrasi Metode Ekspansi Kofaktor

    Selain ketiga metode di atas terdapat metode lain yang dapat digunakan dalam mencari determinan yaitu metode reduksi baris, dimana dalam prosesnya menerapkan operasi baris elementer untuk mengarahkan kedalam bentuk matriks yang sederhana (dapat berupa matriks segitiga, diagonal, eselon baris atau lainnya) tujuannya agar mempermudah dalam menghitung determinannya.

    Dalam metode ini tidak ada langkah baku, namun jika kita mengacu pada sifat determinan terutama sifat ke-4 , maka kita punya acuan untuk mereduksi baris sedemikian sehingga terbentuk matriks segitiga.

    Menghitung Determinan dengan Metode Reduksi Baris

    Perhatikan ilustrasi metode reduksi pada matriks \(3\times 3\) sebagai berikut :

    Ilustrasi Metode Reduksi Baris Pada Matriks 3x3

    Catatan : Pada ilustrasi di atas, persamaan \(\text{det}(A)=\text{det}(A^{*})=y_{11}\times y_{22}\times y_{33}\) belum tentu benar, namun kita dapat memastikan persamaan tersebut bernilai benar dengan “selalu” menggunakan satu jenis operasi baris elementer, yaitu : menambahkan satu baris dengan kelipatan baris lainnya.

    Contoh 11

    Tentukan determinan dari matriks \(A\) dengan \(A\) didefinisikan sebagai berikut :

    $$A=\left[{\begin{array}{ccc}12&-6&5\\10&11&13\\8&4&-4\end{array}}\right]$$

    Penyelesaian :

    Pertama-tama kita tuliskan dulu determinan dari \(A\) yakni :

    $$\text{det}(A)=\left|{\begin{array}{ccc}12&-6&5\\10&11&13\\8&4&-4\end{array}}\right|$$

    Untuk langkah-langkah selanjutnya kita akan menggunakan sifat ke-10.

    Sehingga jika kita kenakan operasi \(\frac{1}{4}R_{3}\rightarrow R_{3}\) maka

    $$\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}12&-6&5\\10&11&13\\8&4&-4\end{array}}\right|}_{\text{det}(A)}\rightarrow\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}12&-6&5\\10&11&13\\2&1&-1\end{array}}\right|}_{\frac{1}{4}\text{det}(A)}$$

    Ingat, tujuan kita membentuk matriks segitiga (atas atau bawah) sehingga kita sederhanakan baris pertama dan kedua dengan operasi \(-6R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}\) dan \(-5R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}\).

    $$\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}12&-6&5\\10&11&13\\2&1&-1\end{array}}\right|}_{\frac{1}{4}\text{det}(A)}\rightarrow\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}0&-12&11\\0&6&18\\2&1&-1\end{array}}\right|}_{\frac{1}{4}\text{det}(A)}$$

    Kemudian kita kenakan operasi \(R_{1}\leftrightarrow R_{3}\)

    $$\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}0&-12&11\\0&6&18\\2&1&-1\end{array}}\right|}_{\frac{1}{4}\text{det}(A)}\rightarrow\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}2&1&-1\\0&6&18\\0&-12&11\end{array}}\right|}_{-\frac{1}{4}\text{det}(A)}$$

    Tidak lupa kita sederhanakan baris ketiga dengan operasi \(2R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}\) sehingga kita peroleh matriks segitiga.

    $$\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}2&1&-1\\0&6&18\\0&-12&11\end{array}}\right|}_{-\frac{1}{4}\text{det}(A)}\rightarrow\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}2&1&-1\\0&6&18\\0&0&47\end{array}}\right|}_{-\frac{1}{4}\text{det}(A)}$$

    Nah, setelah ketemu bentuk matriks segitiga, maka berdasarkan sifat ke-4 kita dapatkan :

    $$\begin{aligned}-\frac{1}{4}\text{det}(A)&=\left|{\begin{array}{ccc}2&1&-1\\0&6&18\\0&0&47\end{array}}\right|\\&=2\times6\times47\\&=564\\\Leftrightarrow\text{det}(A)&=-4\times564\\&=-2256\end{aligned}$$

    Alasan Metode Sarrus Hanya Berlaku Pada Matriks 3×3

    Cover Aturan Sarrus

    Definisi Determinan Secara Umum

    Pada pembahasan sebelumnya sudah dijelaskan dengan jelas mengenai Definisi Fungsi Determinan dengan Perkalian Elementer. Dimana jika terdapat \(A\) matriks persegi berordo \(n\times n\) maka determinan dari matriks \(A\) dapat ditulis sebagai berikut :

    $$\text{det}(A)=\sum \pm a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\dots a_{np_{n}}$$

    Dengan \(a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\dots a_{np_{n}}\) bernilai genap jika \((p_{1},p_{2},\dots,p_{n})\) merupakan permutasi genap, sebaliknya \(a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\dots a_{np_{n}}\) bernilai ganjil jika \((p_{1},p_{2},\dots,p_{n})\) merupakan permutasi ganjil. Ingat kembali bahwa permutasi dari \(n\) unsur berbeda dari \((p_{1},p_{2},\dots,p_{n})\) mempunyai \(n!\) permutasi.

    Kita akan menggunakan definisi fungsi determinan dengan perkalian elementer untuk melihat apakah metode sarrus hanya berlaku pada matriks \(3\times3\). Sebelum menganalisa lebih lanjut, mari kita kenalan terlebih dahulu metode sarrus.

    Apa itu aturan atau metode sarrus?

    Metode sarrus atau juga sering orang menyebutnya metode anyaman (Basketweave Method) adalah jalan alternatif dalam menghitung determinan dari matriks \(3\times 3\).

    Perhatikan ilustrasi berikut :

    Metode Sarrus Pada Matriks 3x3

    Berdasarkan ilustrasi di atas kita peroleh langkah-langkah menghitung determinan matriks \(3\times 3\) dengan metode sarrus sebagai berikut.

    Tahapan Metode Sarrus dalam Mencari Determinan

    Misalkan didefinisikan matriks \(A_{3\times 3}\) sebagai berikut :

    $$A=\left[{\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}}\right]$$

    Langkah pertama dalam menentukan determinan dengan aturan sarrus yaitu dengan menambahkan secara berurutan kolom ke-\(1\) dan ke-\(2\) pada sebelah kanan kolom ke-\(3\).

    $$\left[{\begin{array}{ccc|cc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{31}&a_{32}\end{array}}\right]$$

    Selanjutnya kita coret entri-entri pada diagonal utama dan diagonal lainnya.Tahapan Metode Sarrus

    Sehingga diperoleh 6 bagian, kemudian kita kalikan entri-entri yang terletak pada kotak 1 sampai kotak 6.

    $$\boxed{1}=a_{11}\times a_{22}\times a_{33}$$

    $$\boxed{2}=a_{12}\times a_{23}\times a_{31}$$

    $$\boxed{3}=a_{13}\times a_{21}\times a_{32}$$

    $$\boxed{4}=a_{13}\times a_{22}\times a_{31}$$

    $$\boxed{5}=a_{11}\times a_{23}\times a_{32}$$

    $$\boxed{6}=a_{12}\times a_{21}\times a_{33}$$

    Langkah terakhir yaitu menghitung determinan dengan mengurangkan jumlah hasil kali pada diagonal-diagonal utama(kotak 1, kotak 2 dan kotak 3) dengan jumlah hasil kali pada diagonal-diagonal pelengkapnya(kotak 4, kotak 5 dan kotak 6).

    $$\begin{aligned}\text{det}(A)&=\boxed{1}+\boxed{2}+\boxed{3}-\boxed{4}-\boxed{5}-\boxed{6}\\&=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\end{aligned}$$

    Baca juga : Kelebihan dan Kekurangan Metode Ekspansi Kofaktor

    Menghitung Determinan Matriks 3×3 dengan Aturan Sarrus

    Diberikan matriks \(A_{3\times 3}\) sebagai berikut :

    $$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&-1&1\\-3&0&-2\\1&4&1\end{array}}\right]$$

    Dengan menggunakan aturan sarrus, tentukan determinan matriks \(A\) tersebut.

    Penyelesaian :

    Berdasarkan aturan sarrus maka kita peroleh :

    $$\left[{\begin{array}{ccc|cc}2&-1&1&2&-1\\-3&0&-2&-3&0\\1&4&1&1&4\end{array}}\right]$$

    Menghitung Determinan dengan Aturan Sarrus

    Sehingga determinan dari matriks \(A\) yaitu :

    $$\begin{aligned}\text{det}(A)&=(2)(0)(1)+(-1)(-2)(1)+(1)(-3)(4)-(1)(0)(1)-(2)(-2)(4)-(-1)(-3)(1)\\&=0+2+(-12)-0-(-16)-3\\&=3\end{aligned}$$

    Alasan Metode Sarrus Hanya Berlaku Pada Matriks 3×3

    Sebenarnya mengenai alasan aturan sarrus hanya berlaku pada matriks 3×3 tidak perlu ditanyakan, mengapa?

    Hal ini karena Metode Sarrus itu sendiri diciptakan sebagai jalan alternatif yang lebih mudah untuk menghitung determinan matriks 3×3.

    Namun, penulis mempunyai pandangan yang sedikit berbeda mengenai hal tersebut. Pertama kita sepakati bersama bahwa dalam mencari determinan matriks \(A_{n\times n}\) dengan metode sarrus pada diskusi kita kali ini dimulai dengan menambahkan \(n-1\) kolom pertama tepat pada sebelah kanan kolom terakhir secara berturut-turut.

    $$\left[{\begin{array}{cccc|cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1(n-1)}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}&a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2(n-1)}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}&a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{n(n-1)}\end{array}} \right ]$$

    Ide tersebut terinspirasi pada aturan sarrus pada matriks \(3\times 3\) dimana tepat pada sebalah kanan kolom terakhir (ketiga), terdapat \(3-1\) kolom pertama (kolom ke-\(1\) dan kolom ke-\(2\) secara berturut-turut).

    Sehingga jika kita hubungkan pada konsep hasil perkalian elementer maka kita akan mendapatkan \(2n\) buah hasil perkalian elementer. Contohnya pada matriks \(3 \times 3\) berdasarkan aturan sarrus maka akan terdapat \(2\times3=6\) buah hasil kali elementer (3 pada diagonal utama dan 3 lainnya pada diagonal pelengkapnya).

    Namun, jika kita mengacu pada definisi determinan dengan hasil perkalian elementer maka apabila matriks \(A\) berordo \(n\times n\), maka seluruh hasil perkalian elementer dalam matriks ada sebanyak \(n!\) (baca sebabnya disini).

    Sehingga dari kedua pernyataan di atas kita peroleh hubungan :

    $$n!=2n$$

    Jelas bahwa jika bilangan asli \(n>3\) maka $$n!>2n$$ (kontradiksi) yang berakibat \(1\leq n\leq 3\) dan nilai \(n\) yang memenuhi persamaan tersebut hanya \(n=3\).

    Jadi dari pernyataan di atas dapat kita tarik kesimpulan bahwa aturan sarrus hanya berlaku untuk matriks berordo \(3\times 3\).