Operasi pada Vektor di Ruang-n Euclides, Sifat & Contohnya

Operasi Standar pada Vektor di Rn

Operasi standar pada ruang-n euclides () meliputi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar. Selain itu, berlaku juga operasi hasil kali titik (dot product). Lalu bagaimana dengan hasil kali silang (cross product)? Dalam ruang-n euclides, cross product berlaku dengan baik di .

Supaya pembalajaran menjadi lebih bermakna, disarankan terlebih dahulu memahami :

• Definisi, Notasi, Operasi dan Sifat Vektor di R2 dan R3
  (Materi SMA yang dilengkapi dengan banyak gambar dan contoh soal. Konsep vektor di dan berguna sebagai landasan materi pada pembahasan kali ini.)
• Definisi Vektor di Rn, Ruang Berdimensi n, Ruang-n Euclides
  (Pengenalan vektor di yang sedikit berbeda dengan konsep vektor di dan .)

Penjumlahan Vektor

Jika kita punya dua vektor, yaitu   dan  di ruang-n, maka berlaku operasi penjumlahan vektor sebagai berikut :

Kita juga dapat menuliskannya kedalam bentuk vektor kolom (matriks berordo ) sebagai berikut :

dan 

sehingga berdasarkan operasi penjumlahan matriks kita dapatkan :

Ternyata dari pernyataan-pernyataan di atas kita dapat 2 penulisan yang sedikit berbeda, yang pertama dengan menggunakan n-tupel barisan riil dan yang kedua dalam bentuk vektor kolom. Lalu kita harus menggunakan yang mana? Kita bebas memilih mau menggunakan cara penulisan yang pertama atau kedua. Dan untuk selanjutnya mari kita simak bersama, beberapa contoh soal yang cukup seru.

Contoh 1

Diberikan dua vektor dan di dan di yang didefinisikan sebagai berikut :

, , dan

Tentukan :

Penyelesaian :

1. Berdasarkan operasi penjumlahan vektor maka kita peroleh :

2. Masih dengan cara yang sama, kita juga dapatkan :

3. Nah pada bagian ke-3 ini cukup menarik, dimana vektor berada di sedangkan berada di lalu bagaimana hasil dari penjumlahan ?

Untuk mengetahuinya, kita representasikan vektor dan kedalam bentuk vektor kolom sebagai berikut :

dan

Cukup jelas bahwa matriks vektor mempunyai ordo sedangkan matriks vektor berordo akibatnya berdasarkan syarat penjumlahan dua buah matriks, kita peroleh :

Hal tersebut dikarenakan pada penjumlahan dua buah matriks, haruslah mempunyai ordo yang sama.

Sifat Penjumlahan Vektor

Misalkan terdapat , , dan vektor nol maka berlaku :

• (Bersifat Komutatif)
• (Bersifat Asosiatif)
• (Sifat penjumlahan dengan vektor nol)
• (Sifat penjumlahan vektor u dengan negatif atau invers dari vektor u)

Perkalian dengan Skalar

Sebuah vektor jika dikalikan dengan sembarang skalar, misal kita notasikan skalar , maka didefinisikan sebagai berikut :

Contoh 2

Diberikan vektor , maka tentukan vektor dan jika :

Penyelesaian :

1. Kita dapat menuliskan ulang persamaan pada soal dan melakukan substitusi pada vektor sebagai berikut :

2. Dari soal nomor 1 di atas kita punya yang kemudian dapat kita substitusikan ke persamaan pada soal nomor 2.

Sifat Perkalian dengan Skalar

Misalkan dan adalah sembarang skalar sehingga berlaku :

• (Bersifat distributif)
• (Sama seperti sifat sebelumnya yakni bersifat distributif)
• (Bersifat asosiatif)
• (Sifat perkalian dengan skalar 1)

Hasil Kali Titik (Dot Product)

Hasil kali titik dari vektor dan adalah berupa sebuah skalar yang didefinisikan :

Dengan kata lain fungsi dot product adalah fungsi yang mengolah dua vektor di menjadi suatu skalar (real).

Contoh 3

Diberikan vektor ,  dan . Tentukan :

Penyelesaian :

Pertama, berdasarkan definisi hasil kali titik kita peroleh :

Kedua, berdasarkan sifat perkalian vektor dengan skalar kita peroleh :

Ketiga, karena hasil kali titik (dot product) di adalah sebuah fungsi yang mengolah atau mengkawankan dua vektor di . Maka jika di dan di akibatnya :

Keempat, pertanyaan pada bagian keempat ini dilatar-belakangi oleh masalah : Apakah operasi dot product dengan 3 vektor dimungkinkan? Jika demikian, mengapa? Okey kita kembali ke soal :

Jika kita perhatikan persamaan di atas, diperoleh hasil kali titik antara skalar (60) dengan vektor . Perlu diketahui bahwa :

Berdasarkan definisi hasil kali titik, dimana operan (objek yang dioperasikan) dalam fungsi dot product adalah vektor-vektor yang berada pada ruang yang sama. Sehingga karena skalar (60) adalah bilangan real yang berada pada ruang sedangkan vektor berada pada ruang akibatnya :

Hubungan Dot Product dengan Perkalian Matriks

Pada bagian awal, kita sudah menyinggung sedikit bahwa vektor di dapat direpresentasikan (diwakilkan) ke dalam bentuk matriks berordo .

Semisal kita punya dan di maka kita dapat menuliskannya :

dan

Sekarang kita punya definisi baru, bahwa hasil kali titik (dot product) dari vektor dan di merupakan perkalian matriks antara transpose dari dengan . Sehingga berdasarkan kaidah perkalian matriks kita peroleh :

Sifat Perkalian Hasil Kali Titik

Jika , dan adalah vektor di dan adalah sembarang skalar, maka berlaku :

• 
• 
• 
• dan kesamaan terjadi jika
• dengan adalah panjang vektor

Contoh 4

Diberikan vektor dan di dengan , dan . Tentukan nilai dari vektor jika .

Penyelesaian :

Sedikit berbeda dengan contoh-contoh sebelumnya, sekarang kita akan mencoba menyelesaikannya dengan menggunakan sifat-sifat hasil kali titik.

Langkah pertama, kita gunakan sifat kedua :

Masih dengan sifat yang sama kita jabarkan lagi menjadi :

Kemudian dilanjut dengan sifat ketiga kita peroleh :

Terakhir, kita subtitusikan , dan .

Referensi

• Anton, Howard. (1991). Aljabar Linier Elementer. (Edisi ke-5). (Alih bahasa: Pantur Silaban, Ph. D & Drs. I. Nyoman Susila, M.Sc.). Jakarta: Penerbit Erlangga.
• Larson, Ron dan David C. Falvo. (2009). Elementary Linear Algebra. (Edisi ke-6). Boston: Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company.