Pengenalan Vektor dalam Matematika Lengkap dengan Gambar + Soal

Cover Vektor Profematika

Definisi Vektor dalam Matematika

Vektor dalam matematika adalah sebuah objek yang mempunyai panjang (besar/nilai) dan arah. Kita dapat menggambarkannya sebagai panah atau segmen garis lurus yang terarah di \(R^{2}\) (Ruang 2 / Ruang dimensi 2) atau \(R^{3}\) (Ruang 3 / Ruang dimensi 3).

Gambar Vektor dalam Matematika (Ruang-2)
Ilustrasi Vektor di Ruang 2
Ilustrasi Vektor dalam Matematika (Ruang-3)
Ilustrasi Vektor di Ruang 3

Pada gambar di atas arah panah menunjukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik awal (initial point) dan ujung panah dinamakan titik akhir (terminal point) dari vektor.

Ilustrasi dalam Kehidupan Nyata

Pernahkah kalian bermain layang-layang?

Penerapan Vektor Matematika dalam Bermain Layang-Layang

Pada saat kita bermain layang-layang, kita perhatikan posisi layang-layang saat terbang jarang sekali berada lurus tepat di atas kita, hal ini dikarenakan pengaruh vektor sehingga kita dapat melihat layang-layang dengan lebih jelas.

Notasi Vektor (Cara Penulisannya)

Penulisan vektor dalam matematika dapat dinyatakan dalam huruf kecil tebal misalnya a, k dan z. Namun pada kenyataanya tangan kita tidak terbiasa menulis tebal-tipis huruf sehingga akan sedikit merepotkan, sehingga ada alternatif penulisan lainnya yakni \(\vec{a}, \vec{k}\) dan \(\vec{z}\).

Gambar Vektor a, k dan z

Selain itu masih ada lagi, misalkan kita punya vektor \(\vec{v}\) dengan titik awalnya adalah \(A\) dan titik akhirnya adalah \(B\) maka kita dapat tuliskan :

$$\vec{v}=\vec{AB}$$

Catatan 1: Dua vektor atau lebih dikatakan sama jika dan hanya jika arah dan panjangnya sama. Pada gambar di atas vektor \(\vec{k}\) dan \(\vec{z}\) sama, atau \(\vec{k}=\vec{z}\) sebab memiliki arah dan panjang yang sama, walaupun letaknya berbeda.

Operasi Vektor

Jika sebelumnya penggambaran vektor dari sudut pandang geometri. Nah, sekarang karena pembahasannya sudah sampai operasi vektor maka kita akan coba bahas konsep vektor secara analitis. Sehingga nantinya kita juga mendapatkan konsep penjumlahan, pengurangan, perkalian vektor secara analitis.

Mari kita perhatikan vektor berikut :

Konsep Vektor dengan Analitis

Pada gambar di atas kita dapat menyatakan vektor \(\vec{a}=(-3, 7), \vec{k}=(5, 3)\) dan \(\vec{z}=(5, 3)\).

Kok bisa?

Yaps, secara analitis jika kita punya vektor \(\vec{v}\) berada pada ruang-2 (ruang dimensi 2 atau kita gunakan bidang kartesius) maka kita dapat menuliskannya :

Analitis Vektor dalam MatematikaContohnya pada gambar di atas, vektor \(\vec{a}\) mempunyai titik awal di titik \((9, -2)\) dan titik akhir di titik \((6,5)\) sehingga berdasarkan persamaan di atas maka \(a\) dapat kita tuliskan :

Menyatakan Vektor a Secara Analitik

Kemudian bagaimana jika vektornya berada pada ruang-3 (ruang dimensi 3) ?

Jangan khawatir, hal tersebut tidak jauh berbeda dengan konsep yang di ruang-2. Misalkan kita punya \(\vec{v}\) dengan

  • Titik awalKoordinat Titik Awal Vektor Pada Ruang 3
  • Titik AkhirKoordinat Titik Akhir Vektor Pada Ruang 3

Ilustrasi :

Ilustrasi Vektor Di Ruang 3
Ilustrasi Vektor Di Ruang 3

Maka dapat kita tuliskan :

Penulisan Vektor Secara Analitis di Ruang 3

Catatan 2 : Apabila \(\vec{v}\) adalah sebuah vektor yang titik awalnya di titik pusat koordinat (Contoh pada ruang-2 \((0,0)\)) maka \(\vec{v}\) biasa disebut sebagai vektor posisi.

Nah, sudah ada gambaran kan? Pemahaman ini akan kita gunakan pada operasi vektor selanjutnya.

Baca juga : Operasi Matriks dan Sifat-Sifatnya

Penjumlahan Vektor (Hasilnya Berupa Vektor)

Misalkan kita punya vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{k}\) :

 

Gambar Vektor a dan k

Berapa nilai dari \(\vec{k}+\vec{a}\) ?

Secara geometri dalam penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan cara menggeser vektor \(\vec{a}\) sehingga titik awal \(\vec{a}\) berhimpit dengan titik akhir \(\vec{k}\).Hasil penjumlahan \(\vec{k}+\vec{a}\) berupa vektor yang dinyatakan oleh panah biru dengan titik awal \(\vec{k}\) dan titik akhir akhir \(\vec{a}\).

Contoh Penjumlahan Vektor dalam Matematika

Selain itu, kita juga dapat menggunakan metode jajaran genjang. Yaps sesuai namanya, kita akan membentuk sebuah jajaran genjang dimulai dengan menggeser vektor \(\vec{k}\) sehingga titik awal \(\vec{k}\) berhimpit dengan titik akhir \(\vec{a}\).

Penjumlahan Vektor dengan Metode Jajaran Genjang

Berdasarkan gambar di atas kita peroleh sifat operasi penjumlahan vektor :

Sifat Komutatif Penjumlahan Vektor

Catatan 3 : Perlu diingat bahwa suatu vektor dalam matematika akan selalu sama (tidak berubah) jika arah dan panjangnya tetap, walaupun posisinya berubah.

Kemudian secara analitis jika punya vektor \(\vec{a}=(a_{1},a_{2})\) dan \(\vec{b}=(b_{1}, b_{2})\) maka berlaku :

Penjumlahan Vektor a dan b secara analitis

Begitu pula jika vektor \(\vec{c}=(c_{1},c_{2},c_{3})\) dan \(\vec{d}=(d_{1},d_{2},d_{3})\) di ruang-3 maka berlaku :

Penjumlahan Vektor c dan d secara Analitis

Contoh 1

Misalkan kita punya vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) sebagai berikut :

Gambar Vektor a dan b pada Ruang-2

Tentukan hasil dari \(\vec{a}+\vec{b}\)

Penyelesaian :

Secara geometri kita geser vektor \(\vec{b}\) sehingga titik awal vektor \(\vec{b}\) berhimpit dengan titik akhir \(\vec{a}\) dan kita peroleh :

Penyelesaian Soal Penjumlahan Vektor Secara Geometri Matematika

Sedangkan secara analitis maka :

Penulisan Vektor a dan b secara Analitis

Sehingga kita peroleh :

Penulisan Penjumlahan Vektor a dan b secara Analitis

Perkalian Vektor dengan Skalar (Hasilnya Berupa Vektor)

Wah.. kok habis operasi penjumlahan vektor tidak ke operasi pengurangan vektor? Sebab operasi perkalian vektor dengan skalarlah yang nantinya mendasari operasi pengurangan vektor.

Sebelumnya mari kita perhatikan ilustrasi berikut :

Ilustrasi Vektor Matematika dengan Korek Api

Mula-mula terdapat sebuah batang korek api, kemudian kita perbanyak jumlahnya menjadi 3 batang korek api dan kita susun menjadi :

Gambar 3 Buah Batang Korek Api

Sehingga sekarang panjangnya menjadi 3 kali panjang semula. Nah, sama halnya dengan vektor.

Misalkan kita punya vektor \(\vec{a}\) dan skalar \(k\) maka hasil kali \(k\vec{a}\) sepanjang \(|k|\) (nilai mutlak \(k\)) dikali panjang \(\vec{a}\).

Kenapa ada nilai mutlaknya?

Sebab dalam konsep vektor, jika \(k\) bernilai negatif maka hasil kali \(k\vec{a}\) mempunyai arah yang berlawanan dengan \(\vec{a}\). Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut :

Ilustrasi Perkalian Vektor dengan Skalar

Kemudian jika \(|k|<1\) maka panjang \(k\vec{a}\) lebih pendek dibanding panjang \(\vec{a}\) (disebut juga pemampatan) dan jika \(|k|>1\) maka panjang \(k\vec{a}\) lebih panjang dibanding panjang \(\vec{a}\) (disebut juga perenggangan).

Secara analitis jika \(\vec{c}=(c_{1},c_{2})\) di ruang-2 dan \(\vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})\) di ruang-3 dan \(k\) adalah sembarang skalar, maka berlaku :

Penulisan hasil kali vektor dengan skalar pada ruang-2

dan juga

Penulisan hasil kali vektor dengan skalar pada ruang-3

Contoh 2

Misalkan vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) didefinisikan sebagai berikut :

Pendifinisian Vektor a dan b pada contoh soal-2

Tentukan hasil dari \(\vec{a}+3\vec{b}\)

Penyelesaian :

Secara geometri maka :

Penjumlahan vektor a + 3b secara geometri matematika

Kemudian kita gunakan sifat operasi penjumlahan sehingga kita peroleh :

Penjumlahan vektor a+3b dengan metode jajaran genjang

Mudah bukan?

Jika menyelesaikannya secara analitis maka dapat kita tuliskan :

Menyatakan vektor a dan b secara analitis

Sehingga berdasarkan sifat operasi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar maka kita dapatkan :

Penjumlahan vektor a+3b secara analitis

Pengurangan Vektor (Hasilnya Berupa Vektor)

Jika kita punya dua sembarang vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) maka pengurangan \(\vec{a}\) dengan \(\vec{b}\) dapat kita tuliskan :

Operasi Pengurangan Vektor dalam Matematika

Sehingga secara analitis kita punya :

  • Jika kedua vektor tersebut pada ruang-2 maka :

Pengurangan Vektor a - b pada Ruang-2 secara Analitis

  • Jika kedua vektor tersebut pada ruang-3, dengan cara yang sama maka :

Pengurangan Vektor a - b pada Ruang-3 secara Analitis

Sengaja untuk penggambaran secara geometri tidak disertakan, sebab kita akan meninjaunya langsung pada contoh soal berikut.

Contoh 3

Misalkan diberikan dua buah vektor di ruang-2 yang didefinisikan sebagai berikut :

Soal 3 Operasi Pengurangan Vektor di Ruang 2

Tentukan hasil dari \(\vec{a}-\vec{b}\)

Penyelesaian :

Ingat kembali bahwa jika suatu vektor dikali dengan skalar yang bernilai negatif maka hasil perkaliannya berupa vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor yang dikalikan.

Penyelesaian Contoh Soal 3 Secara Geometri

Sedangkan secara analitis kita peroleh :

Penyelesaian Pengurangan Vektor secara Analitis-bag1

dan juga

Penyelesaian Pengurangan Vektor secara Analitis-bag2

Sehingga berdasarkan sifat operasi pengurangan vektor, kita peroleh :

Penyelesaian Pengurangan Vektor secara Analitis-bag3

Perkalian Vektor dengan Vektor

Operasi ini terbagai menjadi 2 bagian, pertama Perkalian Titik (dot product) dan yang kedua adalah Perkalian Proyeksi dalam Vektor (cross product).

Kedua bagian tersebut berkaitan dengan sudut dan panjang dalam vektor, dimana yang diartikan sudut antara vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) adalah sudut yang dihasilkan oleh \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) setelah titik awal \(\vec{a}\) dan titik awal \(\vec{b}\) diimpitkan. Sudut dapat kita tulis \(\theta\) dengan \(0\leq\theta\leq\pi\).

Sudut Antar Vektor dalam Matematika

Kemudian panjang vektor dalam matematika disebut juga norma (norm). Contohnya panjang vektor dari \(\vec{a}\) ditulis \(\|\vec{a}\|\).

Jika \(\vec{a}\) berada pada ruang-2 atau \(\vec{a}=(a_{1}, a_{2})\)  maka

Norma Vektor di Ruang 2

Jika \(\vec{a}\) berada pada ruang-3 atau \(\vec{a}=(a_{1}, a_{2},a_{3})\)  maka

Norma Vektor di Ruang 3

Catatan 4 : Dalam konsep vektor terdapat vektor nol dinotasikan \(\vec{0}\) dan didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai panjang nol (\(\|\vec{0}\|=0\)) dengan arah sembarang yang bersesuaian dengan operasi yang mengikutinya. Secara geometri vektor nol dapat digambarkan sebagai sebuah titik.

Catatan 5 : Selain itu, terdapat vektor satuan yaitu vektor yang panjangnya 1. Pada pelajaran fisika, vektor biasa ditulis : (contoh)

\(\vec{a}=3\hat{i}+5\hat{j}\)

Nah, \(\hat{i}\) dan \(\hat{j}\) merupakan vektor satuan. Asalkan bukan vektor nol, kita dapat mencari vektor satuan dari sebuah vektor. Contohnya vektor \(\vec{b}\neq\vec{0}\), maka vektor satuannya yakni :

\(\hat{b}=\frac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|}\)

1. Dot Product (Hasilnya Berupa Skalar)

Jika \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) berada dalam ruang-2 atau ruang-3 dan \(\theta\) adalah sudut antara keduanya, maka perkalian titik (dot product) didefinisikan sebagai berikut :

Perkalian Titik dalam Vektor

Contoh 5

Tentukan hasil kali titik antara vektor \(\vec{a}=(3,0)\) dengan \(\vec{b}=(3,3\sqrt{3})\) dan sudut antara kedua vektor tersebut sebesar \(60^{\circ}\).

Secara geometri dapat kita gambarkan :

Penyelesaian Contoh Soal 5 Secara Geometri

Sedangkan secara analitis :

Penyelesaian Soal 5 dengan metode analitis

Pada contoh di atas jika kita perhatikan bahwa dalam menghitung perkalian titik masih terikat dengan sudut antar dua vektor yang diketahui. Bayangkan jika yang diketahui hanya posisi vektornya saja, maka kita harus cari sudutnya terlebih dahulu.

Nah, untuk mengatasi permasalahan ini mari kita cari bentuk lain dari perkalian titik yang lebih mudah perhitungannya.

Perhatikan gambar berikut :

Aturan Sinus dalam Perkalian Titik Secara Geometri

Berdasarkan aturan cosinus didapat :

Perkalian Titik dalam Vektor dengan Aturan Cosinus Bagian 1Dengan mensubtitusikan

Perkalian Titik dalam Vektor dengan Aturan Cosinus Bagian 2

Maka akan kita peroleh bentuk lain dari perkalian titik :

Perkalian Titik dalam Vektor dengan Aturan Cosinus Bagian 3

Untuk kasus di ruang 3 dengan cara serupa kita dapatkan :

Perkalian Titik dalam Vektor dengan Aturan Cosinus Bagian 4

Dengan rumus ini dalam menghitung perkalian titik tidak perlu mencari sudut terlebih dahulu.

Sebagai latihan, coba selesaikan contoh soal ke-5 dengan metode di atas.

Sifar-Sifat Hasil Kali Titik (Dot Product)

Sifat Ke-1 Perkalian Titik

Sifat Ke-2 Perkalian Titik

Sifat ke-3 Perkalian Titik

\(4.\) Jika vektor \(\vec{a}\neq\vec{0}\) dan \(\vec{b}\neq\vec{0}\) dan sudut antara kedua vektor tersebut adalah \(\theta\) maka berlaku :

  • \(\theta\) adalah sudut lancip jika dan hanya jika \(\vec{a}\cdot\vec{b}>0\)
  • \(\theta\) adalah sudut tumpul jika dan hanya jika \(\vec{a}\cdot\vec{b}<0\)
  • \(\theta\) adalah sudut siku-siku jika dan hanya jika \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

Sifat ke-5 Perkalian Titik (Bersifat asosiatif)

Sifat Ke-6 Perkalian Titik (Bersifat distributif)

Sifat Ke-7 Perkalian Titik untuk sembarang skalar \(k\).

Sifat Ke-8 Perkalian Titik didasari Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz.

Proyeksi Vektor

Menentukkan proyeksi vektor dalam matematika dibutuhkan konsep perkalian titik untuk menguraikan vektor (Dekomposisi Vektor) \(\vec{b}\) menjadi dua vektor dengan ketentuan satu vektor sejajar dengan \(\vec{a}\neq\vec{0}\) yakni vektor \(\vec{c_{1}}\) sedangkan vektor yang lainnya yakni \(\vec{c_{2}}\) tegak lurus dengan \(\vec{a}\).

Proyeksi Vektor Pada Ruang 2

Dari gambar di atas kita peroleh hubungan :

Hubungan Komponen Proyeksi Vektor

Vektor \(\vec{c_{1}}\) disebut proyeksi ortogonal \(\vec{b}\) pada \(\vec{a}\) dan beberapa sumber referensi menuliskannya sebagai :

Proyeksi Ortogonal dalam Vektor

Sedangkan vektor \(\vec{c_{2}}\) disebut juga komponen vektor \(\vec{b}\) yang ortogonal (tegak lurus) terhadap \(\vec{a}\).

Komponen Vektor yang Ortogonal

Contoh 6

Jika diketahui vektor \(\vec{c}=(-2,2,4)\) dan \(\vec{d}=(-2,-2,2)\), tentukan komponen vektor \(\vec{c}\) yang sejajar dengan \(\vec{d}\) dan tentukan komponen \(\vec{c}\) yang tegak lurus dengan \(\vec{d}\).

Penyelesaian :

Misalkan \(c_{1}\) adalah komponen vektor yang sejajar dengan \(\vec{d}\) dan \(\vec{c_{2}}\) adalah komponen vektor yang tegak lurus dengan \(\vec{d}\), maka kita peroleh hubungan :

\(\vec{c}=\vec{c_{1}}+\vec{c_{2}}\)

dimana

Mencari Komponen Proyeksi Vektor Secara Analitis

dan

Mencari Komponen Vektor yang Ortogonal Secara Analitis

Catatan 6 : Dalam konsep proyeksi vektor di atas, vektor satuan dari \(\vec{c_{1}}\) dinotasikan \(\hat{c_{1}}\) sama dengan vektor satuan dari \(\vec{b}\) dinotasikan \(\hat{b}\).

2. Cross Product (Hasilnya Berupa Vektor)

Akhirnya kita sudah sampai pada bagian akhir dari pembahasan kali ini, dimana pada operasi perkalian silang (cross product) mempunyai kontribusi yang cukup besar dalam geometri, fisika (momen gaya/torsi) dan ilmu-ilmu teknik.

Perkalian silang dua vektor \(\vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})\) dan \(\vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})\) dalam ruang-3 dinotasikan \(\vec{a}\times\vec{b}\) dan didefinisikan :

Perkalian Silang Vektor (Cross Product)

jika dinyatakan dalam bentuk determinan :

Perkalian Silang Vektor (Cross Product) secara Determinan Matriks

Baca Juga : 10 Sifat Determinan beserta Contoh Soal

Operasi ini sangat berguna jika kita diminta mencari sebuah vektor yang tegak lurus pada dua buah vektor yang lain dalam ruang-3. Contohnya pada persamaan di atas, hasil kali perkalian silang \(\vec{a}\times\vec{b}\) adalah vektor yang tegak lurus dengan \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\).

Ilustrasi Perkalian Silang dalam Vektor (Cross Product)

Contoh 7

Misalkan \(\vec{a}=(1,2,3),~\vec{b}=(3,2,1)\) maka tentukan hasil dari \(\vec{a}\times\vec{b}\).

Penyelesaian :

Cara pertama (menggunakan persamaan pertama)

Penyelesaian Contoh Soal Cross Product (Hasil Kali Silang) Bagian1

Cara kedua dengan menggunakan konsep determinan matriks :

Penyelesaian Contoh Soal Cross Product dengan Determinan

Sifat-Sifat Cross Product

Sifat ke-1 Perkalian SIlang (Tidak komutatif)

Sifat ke-2 Perkalian SIlang

Sifat ke-3 Perkalian SIlang

Sifat ke-4 Perkalian SIlang

Sifat ke-5 Perkalian SIlang

Sifat ke-6 Perkalian SIlang (Bersifat distributif)

Sifat ke-7 Perkalian SIlang (Bersifat distributif)

Sifat ke-8 Perkalian SIlang (Bersifat asosiatif, dengan sembarang skalar \(k\))

Sifat ke-9 Perkalian SIlang (Identitas Lagrange)

Sifat ke-10 Perkalian SIlang (Penjabaran dari Identitas Lagrange)

Catatan 7 : Pada sifat ke-10 di atas, nilai dari \(\|\vec{a}\times\vec{b}\|\) sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\).

Menghitung Luas Jajaran Genjang dengan Vektor

Selanjutnya direkomendasikan membaca materi lanjutan mengenai Vektor di Ruang-n Euclides (Ruang berdimensi n).

4 Comments

Tinggalkan Balasan

Alamat email anda tidak akan dipublikasikan. Required fields are marked *