Pengenalan Vektor dalam Rn (Ruang Berdimensi n)

Berdasarkan konsep vektor pada Ruang berdimensi 2 dan 3 , jika kita meninjau sebuah vektor ( misalkan vektor u ) pada R2 maka dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan terurut u = (u1, u2) begitu pula jika pada R3 maka u = (u1, u2, u3).

Ilustrasi Vektor u pada R2(Ruang dimensi 2 dan R3(Ruang dimensi 3)

Sekarang bagaimana dengan vektor yang berada di R4, R5 dan seterusnya? Mengenai hal ini, pada abad ke-19 para ahli matematika dan ahli fisika mengembangkannya secara analitis pada R4, R5 bahkan sampai Rn. Kenapa perlu dikembangkan? salah satunya karena pada Sistem Persamaan Linear, dimana sebuah garis dapat dikatakan sebagai vektor yang panjangnya tak terbatas, diilustrasikan sebagai berikut :

Ilustrasi Garis sebagai Vektor yang Panjangnya Tak Terbatas

Permasalahan timbul jika pada sistem persamaan linearnya mempunyai 4, 5 bahkan sampai n variabel, lalu bagaimana dengan vektornya? itulah mengapa perlunya generalisasi konsep dari vektor R2 atau R3 ke ruang yang lebih tinggi. Untuk masalah visualisasi secara geometri pada ruang 4, 5 dan seterusnya. “tidak” dapat dilaksanakan. Sebab dunia dimana kita hidup hanya disusun dari konsep tiga dimensi.

Definisi Vektor di Rn

Sebuah vektor u di Rn didefinisikan sebagai n-tupel bilangan riil (u1, u2, ... , un) dengan n adalah bilangan bulat positif. Contohnya pada R2 vektor Vektor u di R2 dan pada R3 vektor u = (u1, u2, u3).

Jika kita perhatikan pada gambar sebelumnya, jelas bahwa pasangan (u1, u2) dan  tripel (u1, u2, u3) tidak hanya bermakna sebagai vektor namun juga dapat berperan sebagai titik. Nah, uniknya dalam ruang-n euclides keduanya dianggap sama, hal ini berlaku juga pada R4R5 sampai dengan Rn. Jadi kita bebas menggambarkannya sebagai titik maupun sebagai vektor di Rn.

Contoh :

u = (-1, 2, 0 , 5)

Vektor u tersebut berada di R4.

Jika kita perhatikan seksama, sering muncul istilah ruang-n euclides, lalu apa sih ruang-n euclides itu ? Secara geometri, ruang euclides adalah ruang 2 atau 3 dimensi dimana aksioma-aksioma geometri euclid berlaku dengan baik, yang kemudian digeneralisasi ke dalam ruang berdimensi n. Sedangkan secara analitis, himpunan semua n-tupel bilangan real dinamakan ruang-n dan dinyatakan Rn.

RHimpunan semua bilangan real
R2Himpunan semua pasangan bilangan real
R3Himpunan semua tripel bilangan real
R4Himpunan semua quadrupel bilangan real
Dan seterusnya sampai dengan
RnHimpunan semua n-tupel bilangan real

 

Vektor Nol di Rn

Sebuah vektor di Rn disebut sebagai vektor nol jika dan hanya jika semua entri yang didalamnya bernilai nol, biasa dituliskan sebagai berikut :

Vektor Nol (0) = (0, 0, ... , 0)

Untuk selanjutnya akan dibahas pada halaman lain mengenai operasi-operasi vektor di ruang-n euclid Rn. Namun sebelumnya pastikan bahwa anda sudah mengenal lebih dahulu operasi-operasi vektor pada Ruang-2 dan Ruang-3.

Referensi :

  • Anton, Howard. (1991). Aljabar Linier Elementer. (Edisi ke-5). (Alih bahasa: Pantur Silaban, Ph. D & Drs. I. Nyoman Susila, M.Sc.). Jakarta: Penerbit Erlangga. Hlm. 131-132.
  • Imrona, Mahmud. (2002). Aljabar Linier Elementer. STT Telkom, Bandung. Hlm. 64.
  • David, McMahon. (2005). Linear Algebra Demystified. New York: McGraw-Hill. Hlm. 79.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *