Hukum Logika

Cover Hukum Operasi Logika Matematika

Definisi : Hukum logika adalah pernyataan majemuk yang selalu benar, terlepas dari nilai kebenaran dari pernyataan komponennya. Komponen yang dimaksud adalah objek-objek dalam matematika.

Contoh : JIka \(A\) kalimat deklaratif maka pernyataan \(A \vee \neg A\) selalu bernilai benar, sebab :

  • Jika \(A\) benar maka \(\neg A\) salah, akibatnya \(A\vee \neg A\) bernilai benar. (Sifat operasi disjungsi)
  • Jika \(A\) salah maka \(\neg A\) benar, akibatnya \(A\vee \neg A\) bernilai benar.

Jadi benar bahwa \(A \vee \neg A\) selalu benar, terlepas nilai kebenaran dari \(A\).

Kenapa kita perlu belajar hukum logika?

Ibarat dalam kehidupan nyata, jika kita dihadapkan pada suatu masalah maka kita perlu pedoman (aturan atau lainnya) untuk menyelesaikannya. Sama halnya di dunia matematika, kita perlu pedoman (aturan) untuk membantu menyelesaikan permasalahan matematika. Nah, pedoman yang dimaksud dapat berupa aturan, aksioma atau hukum (termasuk hukum logika).

Hukum Logika dapat dikategorikan menjadi tiga, yaitu : Hukum Operasi Logika, Hukum Kuantor, dan Hukum Validitas. Pembahasan kali ini hanya difokuskan pada Hukum Operasi Logika dan untuk sisanya akan dibahas di halaman berbeda.

Hukum Operasi Logika

Definisi : Hukum Operasi Logika adalah Hukum Logika yang dilengkapi dengan Operasi Logika.

Lima macam Operasi Logika :

  1. Negasi (disimbolkan \(\neg\))
  2. Konjungsi (disimbolkan \(\wedge\))
  3. Disjungsi (disimbolkan \(\vee\))
  4. Implikasi (disimbolkan \(\Rightarrow\) atau \(\Leftarrow\))
  5. Biimplikasi (disimbolkan \(\Leftrightarrow\))

Untuk memahami kelima operasi di atas, disarankan membaca : Konsep Operasi Logika Matematika | Definisi, Tabel Kebenaran dan Contoh

Catatan : Pada pembahasan selanjutnya, ekuivalensi atau biimplikasi (disimbolkan \(\Leftrightarrow\)) kita sepakati sebagai hukum logika. Sehingga kita dapat menggunakan pernyataan di kedua sisi ekuivalensi secara bergantian. Selain itu, tanda “\(\text{T}\)” mempunyai arti true (bernilai benar) dan tanda “\(\text{F}\)” mempunyai arti false (bernilai salah).

Sifat Komutatif

Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif maka berlaku :

1. \(\boxed{A\wedge B \Leftrightarrow B \wedge A}\)
Bukti (dengan tabel kebenaran) :
Tabel Kebenaran Sifat Komutatif 1

2. \(\boxed{A\vee B \Leftrightarrow B\vee A}\)
Bukti :
Tabel Kebenaran Sifat Komutatif 2

3. \(\boxed{(A\Leftrightarrow B)\Leftrightarrow (B \Leftrightarrow A)}\)
Bukti :
Tabel Kebenaran Sifat Komutatif 3

Baca juga : Konsep Logika Matematika dalam Kalimat

Sifat Asosiatif

Jika \(A, B\) dan \(C\) kalimat deklaratif maka berlaku :

1. \(\boxed{(A\wedge B) \wedge C  \Leftrightarrow A \wedge (B\wedge C)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 1

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 1 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 1 - Kesimpulan

2. \(\boxed{(A\vee B)\vee C \Leftrightarrow A\vee (B\vee C)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 2 - LHS

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 2 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Asosiatif 2 - Kesimpulan

Sifat Distributif

Jika \(A, B\) dan \(C\) kalimat deklaratif maka berlaku :

1. \(\boxed{A\wedge (B \vee C)  \Leftrightarrow (A \wedge B) \vee (A\wedge C)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Distributif 1 - LHS

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Distributif 1 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Distributif 1 - Kesimpulan

2. \(\boxed{A\vee (B \wedge C) \Leftrightarrow (A\vee B)\wedge (A\vee C)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Distributif 2 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Distributif 2 - Kesimpulan

Sifat Rephrasing

Rephrasing berarti pengungkapan kembali suatu konsep dengan cara lain dalam bahasa yang sama, namun tanpa mengubah maknanya. Singkatnya bentuk lain dari konsep awal tanpa merubah nilai kebenarannya.

Rephrasing Implikasi

Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :

\(\boxed{A \Rightarrow B \Leftrightarrow \neg B \Rightarrow \neg A}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Rephrasing Implikasi - LHS

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Rephrasing Implikasi - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Rephrasing Implikasi - Kesimpulan

Rephrasing Disjungsi

Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :

\(\boxed{A \vee B \Leftrightarrow \neg B \Rightarrow A}\)
Bukti :
Tabel Kebenaran Rephrasing Disjungsi

Rephrasing Biimplikasi

Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :

\(\boxed{(A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow (A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Rephrasing Biimplikasi - LHS

Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Rephrasing Biimplikasi - RHS

Dengan demikian, dapat disimpulkan :
Tabel Kebenaran Rephrasing Biimplikasi - Kesimpulan

Sifat Negasi

Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :

1. \(\boxed{\neg(\neg A) \Leftrightarrow A}\)
Bukti :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 1

2. \(\boxed{\neg(A \wedge B) \Leftrightarrow \neg A \vee \neg B}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 2 - LHS

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 2 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 2 - Kesimpulan

3. \(\boxed{\neg(A \vee B) \Leftrightarrow \neg A \wedge \neg B}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 3 - LHS

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 3 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 3 - Kesimpulan

4. \(\boxed{\neg(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \wedge \neg B}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 4 - LHS

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 4 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 4 - Kesimpulan

5. \(\boxed{\neg(A\Leftrightarrow B) \Leftrightarrow \neg(A \Rightarrow B) \vee \neg(B \Rightarrow A)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 5 - LHS

Pada ruas kanan kita punya :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 5 - RHS

Jadi dapat kita simpulkan :
Tabel Kebenaran Sifat Negasi 5 - Kesimpulan

Referensi

  • Nancy Rodgers. (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations. John Wiley & Sons. Hlm. 63.

 


Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *