Hukum Logika
Definisi : Hukum logika adalah pernyataan majemuk yang selalu benar, terlepas dari nilai kebenaran dari pernyataan komponennya. Komponen yang dimaksud adalah objek-objek dalam matematika.
Contoh : JIka \(A\) kalimat deklaratif maka pernyataan \(A \vee \neg A\) selalu bernilai benar, sebab :
- Jika \(A\) benar maka \(\neg A\) salah, akibatnya \(A\vee \neg A\) bernilai benar. (Sifat operasi disjungsi)
- Jika \(A\) salah maka \(\neg A\) benar, akibatnya \(A\vee \neg A\) bernilai benar.
Jadi benar bahwa \(A \vee \neg A\) selalu benar, terlepas nilai kebenaran dari \(A\).
Kenapa kita perlu belajar hukum logika?
Ibarat dalam kehidupan nyata, jika kita dihadapkan pada suatu masalah maka kita perlu pedoman (aturan atau lainnya) untuk menyelesaikannya. Sama halnya di dunia matematika, kita perlu pedoman (aturan) untuk membantu menyelesaikan permasalahan matematika. Nah, pedoman yang dimaksud dapat berupa aturan, aksioma atau hukum (termasuk hukum logika).
Hukum Logika dapat dikategorikan menjadi tiga, yaitu : Hukum Operasi Logika, Hukum Kuantor, dan Hukum Validitas. Pembahasan kali ini hanya difokuskan pada Hukum Operasi Logika dan untuk sisanya akan dibahas di halaman berbeda.
Hukum Operasi Logika
Definisi : Hukum Operasi Logika adalah Hukum Logika yang dilengkapi dengan Operasi Logika.
Lima macam Operasi Logika :
- Negasi (disimbolkan \(\neg\))
- Konjungsi (disimbolkan \(\wedge\))
- Disjungsi (disimbolkan \(\vee\))
- Implikasi (disimbolkan \(\Rightarrow\) atau \(\Leftarrow\))
- Biimplikasi (disimbolkan \(\Leftrightarrow\))
Untuk memahami kelima operasi di atas, disarankan membaca : Konsep Operasi Logika Matematika | Definisi, Tabel Kebenaran dan Contoh
Catatan : Pada pembahasan selanjutnya, ekuivalensi atau biimplikasi (disimbolkan \(\Leftrightarrow\)) kita sepakati sebagai hukum logika. Sehingga kita dapat menggunakan pernyataan di kedua sisi ekuivalensi secara bergantian. Selain itu, tanda “\(\text{T}\)” mempunyai arti true (bernilai benar) dan tanda “\(\text{F}\)” mempunyai arti false (bernilai salah).
Sifat Komutatif
Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif maka berlaku :
1. \(\boxed{A\wedge B \Leftrightarrow B \wedge A}\)
Bukti (dengan tabel kebenaran) :
2. \(\boxed{A\vee B \Leftrightarrow B\vee A}\)
Bukti :
3. \(\boxed{(A\Leftrightarrow B)\Leftrightarrow (B \Leftrightarrow A)}\)
Bukti :
Baca juga : Konsep Logika Matematika dalam Kalimat
Sifat Asosiatif
Jika \(A, B\) dan \(C\) kalimat deklaratif maka berlaku :
1. \(\boxed{(A\wedge B) \wedge C \Leftrightarrow A \wedge (B\wedge C)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
2. \(\boxed{(A\vee B)\vee C \Leftrightarrow A\vee (B\vee C)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
Sifat Distributif
Jika \(A, B\) dan \(C\) kalimat deklaratif maka berlaku :
1. \(\boxed{A\wedge (B \vee C) \Leftrightarrow (A \wedge B) \vee (A\wedge C)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
2. \(\boxed{A\vee (B \wedge C) \Leftrightarrow (A\vee B)\wedge (A\vee C)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
Sifat Rephrasing
Rephrasing berarti pengungkapan kembali suatu konsep dengan cara lain dalam bahasa yang sama, namun tanpa mengubah maknanya. Singkatnya bentuk lain dari konsep awal tanpa merubah nilai kebenarannya.
Rephrasing Implikasi
Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :
\(\boxed{A \Rightarrow B \Leftrightarrow \neg B \Rightarrow \neg A}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
Rephrasing Disjungsi
Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :
\(\boxed{A \vee B \Leftrightarrow \neg B \Rightarrow A}\)
Bukti :
Rephrasing Biimplikasi
Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kiri kita punya :
Dengan demikian, dapat disimpulkan :
Sifat Negasi
Jika \(A\) dan \(B\) kalimat deklaratif, maka berlaku :
1. \(\boxed{\neg(\neg A) \Leftrightarrow A}\)
Bukti :
2. \(\boxed{\neg(A \wedge B) \Leftrightarrow \neg A \vee \neg B}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
3. \(\boxed{\neg(A \vee B) \Leftrightarrow \neg A \wedge \neg B}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
4. \(\boxed{\neg(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \wedge \neg B}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
5. \(\boxed{\neg(A\Leftrightarrow B) \Leftrightarrow \neg(A \Rightarrow B) \vee \neg(B \Rightarrow A)}\)
Bukti :
Pada ruas kiri kita punya :
Pada ruas kanan kita punya :
Jadi dapat kita simpulkan :
Referensi
- Nancy Rodgers. (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations. John Wiley & Sons. Hlm. 63.