Teorema Pitot dalam Garis Singgung Lingkaran

Biografi Henri Pitot

Apakah kalian mengenal istilah tabung pitot?

Ilustrasi Tabung Pitot (Bentuk L)
ilustrasi oleh pitottubes.com

Sewaktu kita duduk di bangku SMA, dalam mata pelajaran fisika (mekanika fluida) kita dikenalkan dengan tabung pitot yang digunakan untuk melakukan pengukuran tekanan pada aliran fluida. Tabung pitot ditemukan oleh insinyur berkebangsaan Prancis, Henri Pitot pada awal abad ke 18.

Lukisan Tokoh Henri Pitot
Ilustari oleh alchetron.com

Beberapa sumber seperti Britannica dan Wikipedia mengatakan Henri Pitot lahir pada tanggal 3 Mei 1695 di Aramon, Prancis. Namun, referensi lain (artikel oleh Jean – Louis AYME, hal 13-14) yang menyatakan ia lahir pada tanggal 29 Mei 1695.

Terlepas dari hal tersebut, berikut beberapa riwayat hidupnya :

  • Pada tahun 1723, berkat pelatihan matematika dan astronomi memungkinkannya untuk menjadi asisten fisikawan Réaumur.
  • Pada tahun 1724 pitot berhasil menjadi asisten mekanik di Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis (French Academy of Sciences).
  • Pada 1740 pitot menjadi anggota Royal Society.
  • Pada 1740 pitot diangkat sebagai kepala insinyur bagian Languedoc dan berpartisipasi dalam pemeliharaan dan konstruksi pada kanal, jembatan, dan proyek drainase.

Pada tanggal 27 Desember 1771, pitot meninggal dunia di usia 76 tahun. Semasa hidupnya ia berhasil menerbitkan beberapa memoar (artikel/jurnal) tentang geometri yang salah satunya mengenai teorema pitot.

Dinamakan teorema pitot karena pada tahun 1725 dalam memoar berjudul Propriétés élémentaires des polygones circonscrits autour du cercle karya Henri Pitot, dianggap sebagai yang pertama memperkenalkan sekaligus membuktikan teorema tersebut.

Pembahasan lebih lanjut mengenai teorema pitot kita awali dengan konsep dasar garis singgung lingkaran. Hal ini karena sifat tersebut merupakan pondasi dasar yang dapat digunakan untuk membuktikan teorema tersebut.

Sifat Dasar Garis Singgung Lingkaran

Secara sederhana, garis singgung lingkaran dapat kita artikan sebagai garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik.

Ilustrasi dari Sifat-1

Jika AC dan BC masing-masing merupakan garis singgung lingkaran dan berpotongan di titik C maka berlaku hal-hal sebagai berikut.

  • Antara jari-jari OA dan garis singgung AC yang berpotongan di titik A membentuk sudut siku-siku. Demikian pula antara jari-jari OB dan garis singgung BC berpotongan di titik B membentuk sudut siku-siku.
  • AC = BC
  • \(\angle ACO = \angle BCO\)

Perhatikan bahwa jika kita tarik garis dari A ke B maka akan terbentuk segmen atau ruas AB. Pertanyaannya adalah apakah segmen AB termasuk kategori menyinggung lingkaran? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, silahkan baca : Konsep dasar Garis Singgung Lingkaran Lengkap dengan Animasi.

Segitiga Garis Singgung

Segitiga garis singgung kita definisikan sebagai segitiga yang ketiga garis sisinya menyinggung suatu lingkaran yang sama.

Segitiga Garis Singgung Lingkaran

Teorema Pitot dalam Segitiga Garis Singgung

Teorema Segitiga Garis Singgung

Teorema ini berbunyi, dalam segitiga garis singgung ABC berlaku AB + PC = AC + PB dengan P adalah titik singgung pada garis BC.

Pembuktian

Pertama kita definisikan titik Q dan R berturut-turut adalah titik singgung pada garis AC dan AB.

Pembuktian Toerema Pitot pada Segitiga Garis Singgung

Langkah selanjutnya kita gunakan sifat garis singgung sehingga diperoleh :

  • AR = AQ
  • RB = PB
  • PC = QC

Sehingga jika ketiga persamaan tersebut kita jumlahkan kita dapatkan:

(AR + RB) + PC = (AQ + QC) + PB

AB + PC = AC + PB (Terbukti)

Selain pada segitiga garis singgung, teorema pitot juga berlaku pada segiempat garis singgung. Selengkapnya sebagai berikut.

Segiempat Garis Singgung

Pertama kita identifikasi 3 macam bentuk segiempat yaitu segiempat konveks, konkaf, dan refleks.

Segiempat Konveks (Convex)

Secara sederhana. segiempat konveks adalah segiempat yang besar setiap sudutnya antara \(0^{\circ}\) hingga \(180^{\circ}\) atau dalam interval \((0^{\circ}, 180^{\circ})\)
Segiempat Garis Singgung Konveks

Segiempat Konkaf (Concave)

Berlawanan dengan segiempat konveks, segiempat konkaf mempunyai sudut yang besarnya lebih dari \(180^{\circ}\)
Segiempat Konkaf

Segiempat Refleks atau Silang (Crossed)

Jika umumnya jumlah sudut dalam segiempat berjumlah \(360^{\circ}\), maka dalam segiempat silang jumlah sudutnya kurang dari \(360^{\circ}\).
Segiempat Refleks atau Silang (Crossed)

Kemudian kita sepakati bersama, Segiempat Garis Singgung merupakan segiempat yang keempat garis sisinya menyinggung suatu lingkaran. Sehingga secara umum segiempat garis singgung lingkaran mempunyai dua macam yaitu :

Lingkaran Berada di Dalam

Segiempat Garis Singgung dengan Lingkaran Berada di Dalam

Dari gambar di atas, kenapa hanya segiempat konveks dan konkaf saja? Bagaimana dengan segiempat refleks?

Berdasarkan kesapakatan sebelumnya, bahwa keempat garis sisinya harus menyinggung suatu lingkaran yang sama. Dengan tambahan pada kasus ini lingkaran berada di dalam. Sehingga secara intuisi pada segiempat garis singgung yang refleks, terdapat sisi yang tidak menyinggung lingkaran.

Segiempat Refleks atau Silang dengan Lingkaran Berada di Dalam

Segiempat refleks pada gambar di atas mempunyai sisi (warna hitam) yang tidak menyentuh lingkaran. Sehingga pada kasus ini (lingkaran berada di dalam) segiempat refleks tidak termasuk.

Lingkaran Berada di Luar

Segiempat Garis Singgung dengan Lingkaran Berada di Luar

Setelah kita mempelajari segiempat garis singgung, mari kita cari tahu teorema apa saja yang berlaku dalam segiempat garis singgung? Apakah hanya teorema pitot?

Teorema Pitot dalam Segiempat Garis Singgung

Ilustrasi Teorema Pitot

Teorema pitot berbunyi dalam segiempat garis singgung ABCD (lingkaran berada di dalam) berlaku persamaan AB + CD = BC + DA.

Pembuktian

Dari gambar di atas, terdapat dua kasus yaitu pada segiempat konveks dan konkaf. Sehingga pembuktiannya pun kita bagi menjadi dua kasus.

  1. Kasus Segiempat Konveks
    Teorema Pitot pada Segiempat Konveks

    Untuk kasus ini, supaya lebih menarik telah disiapkan animasi pembuktiannya menggunakan Manim Engine.

    Jika ada saran mengenai video di atas, dapat dituliskan di kolom komentar di bawah. Terima kasih ^^.

  2. Kasus Segiempat Konkaf
    Teorema Pitot pada Segiempat Konkaf
    Untuk pembuktiannya, pertama kita definisikan titik P, Q, R dan S berturut-turut adalah titik singgung garis AB, CD, BC dan DA.
    Pembuktian Teorema Konkaf pada Segiempat KonkafBerdasarkan sifat garis singgung lingkaran, kita punya :

    1. AP = AS
    2. BP = BR
    3. DS = DQ
    4. CQ = CR

    Sehingga dengan melakukan manipulasi aljabar (1) + (2) + (3) – (4) kita peroleh :

    (AP + BP) + (DQ – CQ) = (AS + DS) + (BQ – CR)

    AB + CD = DA + BC (Terbukti)

Mudah bukan?

Sekarang, bagaimana jika lingkarannya berada di luar ? apakah juga berlaku teorema pitot?

Ilustrasi Teorema Steiner

Untuk mempelajarinya lebih lanjut, silahkan baca : Teorema Steiner yang Sebelas-Dua belas dengan Teorema Pitot.