Teorema Steiner

Teorema Steiner

Berbicara mengenai garis singgung lingkaran, terdapat dua teorema yang mempunyai bentuk persamaan relatif sama.

Perbedaan Teorema Pitot dan Steiner

Teorema paling atas adalah Teorema pitot yang berdasarkan catatan sejarah pertama kali dibuktikan oleh Henri Pitot pada Tahun 1725 melalui memoarnya. Sedangkan dibawahnya adalah Teorema yang diperkenalkan oleh Jacob Steiner dan kita akan mempelajarinya lebih lanjut.

Teorema Steiner pada Garis Singgung Lingkaran

Ilustrasi Teorema Steiner

Teorema Steiner berbunyi dalam segiempat garis singgung ABCD (lingkaran di luar) berlaku :

Pembuktian

Untuk membuktikannya, pertama kita bagi menjadi tiga kasus :

Kasus 1 (ABCD Segiempat Konveks)

Kasus Segiempat Konveks

Kita definisikan titik P, Q, R dan S berturut-turut adalah titik singgung pada garis AB, CD, BC dan AD.

Berdasarkan sifat garis singgung pada lingkaran, kita punya :

  • AP = AS
  • BP = BR
  • CQ = CR
  • DQ = DS

Kita tahu bahwa

\((AP – BP) – (DQ – CQ) = AB – CD\dots (i)\)

Dilain pihak, dengan mensubstitusikan persamaan (i),(ii),(iii) dan (iv) kita dapatkan :

$$\begin{aligned}(AP-BP)-(DQ-CQ)&= (AS-BR)-(DS-CR)\\&= (AS-DS)-(BR-CR)\\&=AD-BC\dots(ii)\end{aligned}$$

Sehingga dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh AB – CD = AD – BC.

Kasus 2 (ABCD Segiempat Konkaf)

Kasus Segiempat Konkaf

Titik P, Q, R dan S berturut-turut adalah titik singgung pada garis AB, BC, CD dan AD.

Dengan menggunakan sifat garis singgung lingkaran diperoleh :

  1. AP = AS
  2. BP = BQ
  3. CQ = CR
  4. DR = DS

Kita lakukan operasi persamaan (1) – (2) – (3) -(4) kita punya :

$$\begin{aligned}(AP-BP)-(CR+DR)&= (AS-BQ)-(CQ-DS)\\&=(AS-DS)-(BQ+CQ)\\&=AD-BC\dots(ii)\end{aligned}$$

Jadi didapatkan AB – CD = (AP – BP) – (CR + DR) = AD- BC.

Kasus 3 (ABCD Segiempat Refleks)

Kasus Segiempat Refleks

Titik P, Q, R dan S berturut-turut adalah titik singgung pada garis AB, AD, BC dan CD.

Masih menggunakan analogi yang sama pada kasus sebelumnya, dimana kita gunakan sifat dasar garis singgung lingkaran sehingga kita peroleh hubungan sebagai berikut :

  1. AP = AQ
  2. BP = BR
  3. CS = CR
  4. DS = DQ

Sehingga dengan melakukan operasi persamaan ((2) – (1)) – ((4) – (3)) kita dapatkan

$$\begin{aligned}(BP-AP)-(DS-CS)&= (BR-AQ)-(DQ-CR)\\&=(BR+CR)-(AQ+DQ)\\&=BC-AD\dots(ii)\end{aligned}$$

Dilain pihak, kita tahu bahwa (BP – AP) – (DS – CS) = AB – CD

Sehingga AB – CD = BC – AD.

Kesimpulan

Dari kasus 1 sampai kasus 3, dapat disimpulkan bahwa dalam segiempat garis singgung (lingkaran di luar) berlaku selisih panjang sisi yang berhadapan sama dengan selisih pasangan sisi yang berhadapan lainnya. Atau dengan kata lain jika kita punya segiempat garis singgung ABCD (lingkaran diluar) maka berlaku :

  • Jika ABCD segiempat konveks maka AB – CD = AD – BC
  • Jika ABCD segiempat konkaf maka AB-CD = AD – BC
  • Jika ABCD Segiempat refleks maka AB – CD = BC – AD
Garis Singgung Lingkaran

Garis Singgung Lingkaran

Dalam kehidupan nyata apabila ada dua objek padat saling bersinggungan maka kedua objek tersebut akan mempunyai area singgungan yang sama. Contohnya ketika kita menggunakan stempel untuk memberikan tanda tertentu di secarik kertas. Maka sewaktu stempel bersentuhan dengan kertas akan meninggalkan tanda di kertas yang sesuai permukaan stempel tersebut.

Ilustrasi Benda Bersinggungan

Hal tersebut sebelas-dua belas di dunia matematika, salah satunya dalam geometri euclid \(\mathbb{R}^{2}\). Jika dua objek berbeda saling bersinggungan di satu atau banyak titik dan kita tandai area singgungannya, maka kedua objek tersebut akan memiliki area singgung yang sama. Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Ilustrasi Bangun Datar yang Saling Bersinggungan

Pada kotak biru pertama menunjukkan persinggungan antara segitiga dengan sebuah garis dengan area singgungnya berupa ruas garis (merah). Kemudian pada kotak biru di bawahnya menunjukkan persinggungan antara lingkaran dan segiempat yang saling menyinggung di empat titik (merah).

Nah, sekarang bagaimana jika objek yang bersinggungan tersebut adalah garis lurus dan lingkaran ? Mari kita cari tahu lebih lanjut ^^

Definisi

Secara sederhana, Garis Singgung Lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik.

Menentukkan Garis yang Merupakan Garis SInggung Lingkaran

Pada gambar di atas, garis merah termasuk garis singgung lingkaran. Sedangkan garis biru dan hijau tidak termasuk, karena tidak menyinggung lingkaran tepat di satu titik.

Catatan : Hati-hati dengan perbedaan segmen garis dan garis. Segmen garis atau ruas garis dapat menyinggung lingkaran di dua titik yang biasa disebut tali busur, contohnya dapat dilihat pada gambar sebelumnya.

Jenis Garis Singgung pada Dua Lingkaran

  1. Garis Singgung bersama Luar
  2. Garis Singgung bersama Dalam

Animasi Cara Melukis Garis Singgung Lingkaran

Sifat-Sifat Garis Singgung

Sifat-sifat garis singgung lingkaran berikut berguna untuk membantu membuktikan kebenaran teorema dan juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah tertentu.

Perhatikan gambar berikut.

Ilustrasi dari Sifat-1

Jika AC dan BC masing-masing merupakan garis singgung lingkaran dan berpotongan di titik C maka berlaku sifat 1, 2 dan 3 sebagai berikut:

Sifat 1

Antara jari-jari OA dan garis singgung AC yang berpotongan di titik A membentuk sudut siku-siku. Demikian pula antara jari-jari OB dan garis singgung BC berpotongan di titik B membentuk sudut siku-siku.

Bukti :
Kita akan membuktikan OA tegak lurus dengan AC dengan hukum kontradiksi (negasi).

Asumsikan OA dan OC tidak tegak lurus, maka terdapat titik P di garis AC dimana OP tegak lurus OA. Kemudian kita pilih titik Q pada garis AC sehingga PA = PQ dengan A \(\neq\) Q. (berikut ilustrasinya)Ilustrasi Garis Singgung Tegak Lurus Jari-Jari
Sehingga kita peroleh :
\(\Rightarrow~OP (\text{pada}~\triangle{AOP} ) = OP (\text{pada}~\triangle{QOP})\);
\(\Rightarrow~\angle OPA =\angle OPQ = 90^{\circ}\);
\(\Rightarrow~PA = PQ\);

Oleh karena itu, dapat kita simpulkan \(\triangle\)AOP kongruen (Sisi, Sudut, Sisi) dengan \(\triangle\)QOP dan akibatnya OA = OQ.

Mengingat OA adalah jari-jari lingkaran, maka Q haruslah berada di lingkaran. Hal ini kontradiksi bahwa berdasarkan definisi, garis AQ hanya menyinggung lingkaran di A dan A \(\neq\) Q.

Oleh karena itu, berdasarkan hukum kontradiksi, asumsi awal bernilai salah sehingga haruslah OA tegak lurus dengan OC. Selanjutnya gunakan analogi yang sama dan akan kita peroleh garis OA tegak lurus dengan OB.

Sifat  2

\(AC = BC\)

Supaya lebih efisien, buktinya menyesuaikan dari pembuktian teorema Dua Garis Singgung Lingkaran Sama Panjang (tersedia 3 alternatif pembuktiannya). Jadi baca sampai selesai ya ^^

Sifat 3

\(\angle ACO = \angle BCO\)

Untuk buktinya kita gunakan sifat ke-2 sehingga diperoleh :
\(\Rightarrow~AC = BC\);
\(\Rightarrow~\angle OAC =\angle OBC = 90^{\circ}\);
\(\Rightarrow~OA = OB\);

Akibatnya segitiga AOC kongruen (sisi, sudut, sisi) dengan segitiga BOC sehingga berlaku \(\angle ACO = \angle BCO\).

Sifat 4 (Tambahan)

Ilustrasi Sifat ke-4 Garis Singgung Lingkaran
Jika segitiga ABC adalah segitiga dalam lingkaran dan k adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A. Maka Segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki jika dan hanya jika garis k sejajar dengan garis BC.

Keempat sifat ini berguna untuk membantu membuktikan beberapa teorema berikut :

Teorema Pitot

Ilustrasi Teorema Pitot

Teorema pitot berbunyi dalam segiempat garis singgung ABCD (lingkaran berada di dalam) berlaku persamaan AB + CD = BC + DA.

Baca lebih lanjut mengenai Teorema Pitot dan Buktinya (disertai video animasi)

Teorema Steiner

Ilustrasi Teorema Steiner

Teorema Steiner berbunyi dalam segiempat garis singgung ABCD (lingkaran di luar) berlaku :

  • Jika ABCD segiempat konveks maka AB – CD = AD – BC
  • Jika ABCD segiempat konkaf maka AB – CD = AD – BC
  • Jika ABCD Segiempat refleks maka AB – CD = BC – AD

Baca lebih lanjut mengenai Teorema Steiner yang sebelas – dua belas dengan Teorema Pitot.

Dua Garis Singgung Lingkaran Sama Panjang

Ilustrasi Dua Garis Singgung Lingkaran Sama Panjang (AP = BP)

Jika AP dan BP masing-masing merupakan garis singgung lingkaran dan berpotongan di titik P maka berlaku AP = BP. (keterangan : titik A dan B merupakan titik singgung lingkaran dan titik O adalah pusat lingkaran).

Bukti :

Menggunakan Kekongruenan Segitiga

Pertama kita tarik garis bantu OA, OB, dan PO sehingga sekarang kita punya segitiga OAP dan OBP.

Pembuktian dengan Menggunakan Kekongruenan Segitiga

Dari gambar di atas kita tahu :
\(\Rightarrow~OP~(\text{pada}~\triangle{OBP} ) = OP~(\text{pada}~\triangle{OAP})\);
\(\Rightarrow~\angle OBP =\angle OAP = 90^{\circ}\) (Sifat 1);
\(\Rightarrow~OB = OA\) (jari-jari);

Jadi berdasarkan konsep kekongruenan (sisi, sudut, sisi), dapat kita simpulkan segitiga OAP kongruen dengan segitiga OBP. Akibatnya diperoleh AP = PB.

Menggunakan Rumus Pythagoras

Dari pernyataan sebelumnya, kita tahu bahwa segitiga OAP dan OBP adalah segitiga siku-siku (\(\angle OBP =\angle OAP = 90^{\circ}\)). Sehingga berdasarkan Teorema Pythagoras berlaku :
$$\begin{aligned}AP&=\sqrt{OP^{2}-OA^{2}}\\&=\sqrt{OP^{2}-OB^{2}}\\&=PB\end{aligned}$$

(Sesuai yang diminta).

Menggunakan Teorema Reim

Kita tahu bahwa \(\angle PAO = \angle PBO = 90^{\circ}\) dan \(\angle PAO + \angle PBO = \angle APB + \angle AOB = 180^{\circ}\) (diperoleh AOBP segiempat tali busur). Sehingga berdasarkan sifat segiempat tali busur kita punya lingkaran kedua (biru) yang melewati titik A, O, B dan P. Kemudian kita misalkan k adalah garis singgung lingkaran kedua yang melewati titik P.
Ilustrasi Pembuktian Garis Singgung dengan Teorema Reim

Sekarang kita punya kondisi yang mengarah pada Teorema Reim, dimana teorema tersebut berbunyi :
Teorema Reim

Misalkan lingkaran \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\) yang saling berpotongan di titik M dan N. Garis \(l_{m}\) yang melewati titik M memotong lingkaran \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\) berturut-turut di titik \(X_{1}\) dan \(X_{2}\). Misalkan lagi \(Y_{1}\) dan \(Y_{2}\) berturut-turut adalah titik di \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\), sehingga berlaku \(X_{1}Y_{1} || X_{2}Y_{2}\) jika dan hanya jika \(Y_{1}, N\) dan \(Y_{2}\) segaris. (Baca Pembuktiannya by Cut The Knot)

Jadi dengan mengatur :

\(\omega_{1}=\) Lingkaran pertama;
\(\omega_{2}=\) Lingkaran kedua (biru);
\(Y_{1} = N = B\);
\(Y_{2} = P\);
\(X_{1} = M = A\);
\(X_{2} = P\);

Maka berdasarkan Teorema Reim diperoleh AB || k, mengingat \(X_{2}Y_{2} = PP\) adalah tali busur lingkaran \(\omega_{2}\) yang jelas sejajar dengan k. Dengan demikian berdasarkan Sifat 2 kita punya segitiga APB sama kaki dengan AP = PB.

Empat Garis Singgung Lingkaran Sama Panjang

Ilutrasi Empat Garis Singgung Lingkaran Sama Panjang

Jika kita punya :

  • Dua lingkaran (\(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)) tidak saling berpotongan dan tidak saling bersinggungan
  • \(T_{1}\) dan \(T_{2}\) merupakan garis singgung bersama (luar) pada lingkaran \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)
  • A, A’, B, B’ yang merupakan titik singgung \(T_{1}\) dan \(T_{2}\) pada \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)
  • \(T_{3}\) dan \(T_{4}\) yang merupakan garis singgung bersama (dalam) pada lingkaran \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)
  • P dan P’ berturut-turut merupakan titik potong \(T_{3}\) dengan \(T_{1}\) dan \(T_{2}\)
  • Q dan Q’ berturut-turut merupakan titik potong \(T_{4}\) dengan \(T_{1}\) dan \(T_{2}\)

Maka berlaku : AA’ = BB’ = PP’ = QQ’

Pembuktian

Perpanjangan Garis Singgung Lingkaran

Berdasarkan sifat 2 kita peroleh OA’ = OB’ dan OA = OB sehingga didapat AA’ = OA’ – OA = OB’ – OB = BB’.

Misalkan :

  • C dan C’ berturut-turut adalah titik singgung \(T_{4}\) dengan \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)
  • D dan D’ berturut-turut adalah titik singgung \(T_{3}\) dengan \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)

Pelabelan Titik Potong Garis Singgung Lingkaran

Berdasarkan sifat 2 kita punya P’B = P’D dan P’B’ = P’D’.

Sehingga diperoleh :

$$\begin{aligned}BB’&=P’B + P’B’\\&= (P’D) + P’D’\\&=(P’D’ + DD’) +P’D’\\&=DD’ + 2P’D’\end{aligned}$$

Dengan menggunakan sifat 2 kita juga punya PA’ = PD’ dan PA = PD

Sehingga didapat :

$$\begin{aligned}AA’&=AP + PA’\\&= PD + (PD’)\\&=PD +(PD+DD’)\\&=2PD + DD’\end{aligned}$$

Mengingat AA’ = BB’ maka :

$$\begin{aligned}AA’&=BB’\\\Leftrightarrow 2PD + DD’&=DD’+2P’D’\\\Leftrightarrow PD&= P’D’\end{aligned}$$

Akibatnya :

\(PP’ = PD + DD’ + D’P’ = AA’ = BB’ \dots (i)\)

Selanjutnya kita gunakan analogi yang sama, dimana dengan menggunakan sifat 2, kita juga peroleh : Q’B = Q’C dan Q’B’ = Q’C’

$$\begin{aligned}BB’&=Q’B + Q’B’\\&= Q’C + (Q’C’)\\&=Q’C +(Q’C+CC’)\\&=CC’ + 2Q’C\end{aligned}$$

Masih menggunakan sifat 2, kita punya : AQ = QC dan QA’ = QC’

Sehingga didapat :

$$\begin{aligned}AA’&=AQ + QA’\\&= (QC) + QC’\\&=(QC’+CC’) +QC’\\&=2QC’ + CC’\end{aligned}$$

Mengingat AA’ = BB’ diperoleh :

$$\begin{aligned}AA’&=BB’\\\Leftrightarrow CC’ + 2Q’C&=2QC’+CC’\\\Leftrightarrow Q’C&= QC’\end{aligned}$$

Akibatnya :

\(QQ’ = QC’ + CC’ + Q’C = AA’ = BB’ \dots (ii)\)

Jadi dari persamaan (i) dan (ii) dapat kita tarik kesimpulan AA’ = BB’ = PP’ = QQ’.

Catatan : Teorema mengenai garis singgung lingkaran tidak terbatas pada teorema-teorema di atas. Bagi kalian yang menemukan teorema lain dapat membagikannya melalui kolom komentar di bawah. ^^

Referensi

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

Teorema Pitot dalam Garis Singgung Lingkaran

Teorema Pitot dalam Garis Singgung Lingkaran

Biografi Henri Pitot

Apakah kalian mengenal istilah tabung pitot?

Ilustrasi Tabung Pitot (Bentuk L)
ilustrasi oleh pitottubes.com

Sewaktu kita duduk di bangku SMA, dalam mata pelajaran fisika (mekanika fluida) kita dikenalkan dengan tabung pitot yang digunakan untuk melakukan pengukuran tekanan pada aliran fluida. Tabung pitot ditemukan oleh insinyur berkebangsaan Prancis, Henri Pitot pada awal abad ke 18.

Lukisan Tokoh Henri Pitot
Ilustari oleh alchetron.com

Beberapa sumber seperti Britannica dan Wikipedia mengatakan Henri Pitot lahir pada tanggal 3 Mei 1695 di Aramon, Prancis. Namun, referensi lain (artikel oleh Jean – Louis AYME, hal 13-14) yang menyatakan ia lahir pada tanggal 29 Mei 1695.

Terlepas dari hal tersebut, berikut beberapa riwayat hidupnya :

  • Pada tahun 1723, berkat pelatihan matematika dan astronomi memungkinkannya untuk menjadi asisten fisikawan Réaumur.
  • Pada tahun 1724 pitot berhasil menjadi asisten mekanik di Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis (French Academy of Sciences).
  • Pada 1740 pitot menjadi anggota Royal Society.
  • Pada 1740 pitot diangkat sebagai kepala insinyur bagian Languedoc dan berpartisipasi dalam pemeliharaan dan konstruksi pada kanal, jembatan, dan proyek drainase.

Pada tanggal 27 Desember 1771, pitot meninggal dunia di usia 76 tahun. Semasa hidupnya ia berhasil menerbitkan beberapa memoar (artikel/jurnal) tentang geometri yang salah satunya mengenai teorema pitot.

Dinamakan teorema pitot karena pada tahun 1725 dalam memoar berjudul Propriétés élémentaires des polygones circonscrits autour du cercle karya Henri Pitot, dianggap sebagai yang pertama memperkenalkan sekaligus membuktikan teorema tersebut.

Pembahasan lebih lanjut mengenai teorema pitot kita awali dengan konsep dasar garis singgung lingkaran. Hal ini karena sifat tersebut merupakan pondasi dasar yang dapat digunakan untuk membuktikan teorema tersebut.

Sifat Dasar Garis Singgung Lingkaran

Secara sederhana, garis singgung lingkaran dapat kita artikan sebagai garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik.

Ilustrasi dari Sifat-1

Jika AC dan BC masing-masing merupakan garis singgung lingkaran dan berpotongan di titik C maka berlaku hal-hal sebagai berikut.

  • Antara jari-jari OA dan garis singgung AC yang berpotongan di titik A membentuk sudut siku-siku. Demikian pula antara jari-jari OB dan garis singgung BC berpotongan di titik B membentuk sudut siku-siku.
  • AC = BC
  • \(\angle ACO = \angle BCO\)

Perhatikan bahwa jika kita tarik garis dari A ke B maka akan terbentuk segmen atau ruas AB. Pertanyaannya adalah apakah segmen AB termasuk kategori menyinggung lingkaran? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, silahkan baca : Konsep dasar Garis Singgung Lingkaran Lengkap dengan Animasi.

Segitiga Garis Singgung

Segitiga garis singgung kita definisikan sebagai segitiga yang ketiga garis sisinya menyinggung suatu lingkaran yang sama.

Segitiga Garis Singgung Lingkaran

Teorema Pitot dalam Segitiga Garis Singgung

Teorema Segitiga Garis Singgung

Teorema ini berbunyi, dalam segitiga garis singgung ABC berlaku AB + PC = AC + PB dengan P adalah titik singgung pada garis BC.

Pembuktian

Pertama kita definisikan titik Q dan R berturut-turut adalah titik singgung pada garis AC dan AB.

Pembuktian Toerema Pitot pada Segitiga Garis Singgung

Langkah selanjutnya kita gunakan sifat garis singgung sehingga diperoleh :

  • AR = AQ
  • RB = PB
  • PC = QC

Sehingga jika ketiga persamaan tersebut kita jumlahkan kita dapatkan:

(AR + RB) + PC = (AQ + QC) + PB

AB + PC = AC + PB (Terbukti)

Selain pada segitiga garis singgung, teorema pitot juga berlaku pada segiempat garis singgung. Selengkapnya sebagai berikut.

Segiempat Garis Singgung

Pertama kita identifikasi 3 macam bentuk segiempat yaitu segiempat konveks, konkaf, dan refleks.

Segiempat Konveks (Convex)

Secara sederhana. segiempat konveks adalah segiempat yang besar setiap sudutnya antara \(0^{\circ}\) hingga \(180^{\circ}\) atau dalam interval \((0^{\circ}, 180^{\circ})\)
Segiempat Garis Singgung Konveks

Segiempat Konkaf (Concave)

Berlawanan dengan segiempat konveks, segiempat konkaf mempunyai sudut yang besarnya lebih dari \(180^{\circ}\)
Segiempat Konkaf

Segiempat Refleks atau Silang (Crossed)

Jika umumnya jumlah sudut dalam segiempat berjumlah \(360^{\circ}\), maka dalam segiempat silang jumlah sudutnya kurang dari \(360^{\circ}\).
Segiempat Refleks atau Silang (Crossed)

Kemudian kita sepakati bersama, Segiempat Garis Singgung merupakan segiempat yang keempat garis sisinya menyinggung suatu lingkaran. Sehingga secara umum segiempat garis singgung lingkaran mempunyai dua macam yaitu :

Lingkaran Berada di Dalam

Segiempat Garis Singgung dengan Lingkaran Berada di Dalam

Dari gambar di atas, kenapa hanya segiempat konveks dan konkaf saja? Bagaimana dengan segiempat refleks?

Berdasarkan kesapakatan sebelumnya, bahwa keempat garis sisinya harus menyinggung suatu lingkaran yang sama. Dengan tambahan pada kasus ini lingkaran berada di dalam. Sehingga secara intuisi pada segiempat garis singgung yang refleks, terdapat sisi yang tidak menyinggung lingkaran.

Segiempat Refleks atau Silang dengan Lingkaran Berada di Dalam

Segiempat refleks pada gambar di atas mempunyai sisi (warna hitam) yang tidak menyentuh lingkaran. Sehingga pada kasus ini (lingkaran berada di dalam) segiempat refleks tidak termasuk.

Lingkaran Berada di Luar

Segiempat Garis Singgung dengan Lingkaran Berada di Luar

Setelah kita mempelajari segiempat garis singgung, mari kita cari tahu teorema apa saja yang berlaku dalam segiempat garis singgung? Apakah hanya teorema pitot?

Teorema Pitot dalam Segiempat Garis Singgung

Ilustrasi Teorema Pitot

Teorema pitot berbunyi dalam segiempat garis singgung ABCD (lingkaran berada di dalam) berlaku persamaan AB + CD = BC + DA.

Pembuktian

Dari gambar di atas, terdapat dua kasus yaitu pada segiempat konveks dan konkaf. Sehingga pembuktiannya pun kita bagi menjadi dua kasus.

  1. Kasus Segiempat Konveks
    Teorema Pitot pada Segiempat Konveks

    Untuk kasus ini, supaya lebih menarik telah disiapkan animasi pembuktiannya menggunakan Manim Engine.

    Jika ada saran mengenai video di atas, dapat dituliskan di kolom komentar di bawah. Terima kasih ^^.

  2. Kasus Segiempat Konkaf
    Teorema Pitot pada Segiempat Konkaf
    Untuk pembuktiannya, pertama kita definisikan titik P, Q, R dan S berturut-turut adalah titik singgung garis AB, CD, BC dan DA.
    Pembuktian Teorema Konkaf pada Segiempat KonkafBerdasarkan sifat garis singgung lingkaran, kita punya :

    1. AP = AS
    2. BP = BR
    3. DS = DQ
    4. CQ = CR

    Sehingga dengan melakukan manipulasi aljabar (1) + (2) + (3) – (4) kita peroleh :

    (AP + BP) + (DQ – CQ) = (AS + DS) + (BQ – CR)

    AB + CD = DA + BC (Terbukti)

Mudah bukan?

Sekarang, bagaimana jika lingkarannya berada di luar ? apakah juga berlaku teorema pitot?

Ilustrasi Teorema Steiner

Untuk mempelajarinya lebih lanjut, silahkan baca : Teorema Steiner yang Sebelas-Dua belas dengan Teorema Pitot.

Teorema Pythagoras Lengkap dengan Animasi

Ilustrasi Teorema Pythagoras

Kenapa Kita Perlu Belajar Teorema Pythagoras?

Ada sebuah cerita ketika mimin duduk dibangku sekolah. Waktu itu guru matematika memberikan tantangan kepada siswa untuk melukiskan garis lurus dengan panjang \(\sqrt{2}\) cm. Dalam melukiskannya siswa hanya boleh menggunakan penggaris yang ada ukurannya dalam satuan cm.

Menggaris Segitiga Siku-Siku

Waktu itu mimin dan teman sekelas kebingungan karena dalam penggaris hanya ada bilangan bulat sedangkan \(\sqrt{2}\) bukan bilangan bulat. Ada teman yang mencoba melukiskan garis dengan panjang 1,4 cm ( mendekati \(\sqrt{2}\) cm ). Namun guru masih belum puas dengan jawaban tersebut, karena yang diminta adalah garis dengan panjang \(\sqrt{2}\) cm.

Sampai waktu yang ditentukan telah habis. Tiba waktunya guru menjelaskan cara melukiskan garis tersebut. Berikut jawaban yang diberikan oleh guru :

Membuat Garis dengan Panjang Irasional dengan Teorema Pythagoras

Ternyata dengan teorema pythagoras, kita dapat melukiskan panjang garis dengan ukuran yang bukan bilangan bulat. Bayangkan jika konsep teorema pythagoras belum ditemukan, mungkin kemajuan infrastruktur seperti jembatan, gedung, monumen dan lainnya tidak semaju sekarang.

Oleh karena itu kita perlu mempelajarinya supaya suatu saat kita dapat mengaplikasikannya kedalam kehidupan nyata ^^.

Apa itu Teorema Pythagoras?

Dikutip dari Britannica.com, Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema pada segitiga siku-siku yang fenomenal dan cukup terkenal. ( sekitar 570-500 SM atau 490 SM ) Teorema ini telah lama dikaitkan dengan ahli matematika sekaligus filsuf Yunani yang bernama Pythagoras.

Pythagoras Sosok Ahli Matematika dan Filsuf Yunani

Namun berdasarkan beberapa penemuan peninggalan kuno, teorema pythagoras sebenarnya jauh lebih tua. Contohnya pada penemuan empat tablet babilonia yang berisi tripel pythagoras dan diperkirakan ada pada sekitar tahun 1900-1600 SM. Untuk kelanjutan sejarahnya baca : Sejarah Teorema Pythagoras (by Britannica.com).

Supaya tidak panjang lebar mari kita langsung cari tahu konsep dari Teorema Pythagoras. Kita akan membahasnya dalam dua sudut pandang, yaitu secara geometri dan secara analitik.

Secara Geometri

Jika kita punya segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di titik A dan pada masing-masing sisinya dibuat persegi ke arah luar. Maka luas persegi pada sisi BC sama dengan jumlah luas persegi pada sisi AB dan CA.

Berikut ilustrasinya :

Infografis Teorema Pythagoras

Secara Analitik

Dari sudut pandang geometri di atas, dapat kita misalkan panjang sisi AB, CA dan BC berturut-turut sebesar \(a,b\) dan \(c\). Sehingga kita punya :

  • Luas persegi pada sisi \(\text{AB}\) adalah \(\text{AB}^{2}=a^{2}\)
  • Luas persegi pada sisi \(\text{CA}\) adalah \(\text{CA}^{2}=b^{2}\)
  • Dan luas persegi pada sisi \(\text{BC}\) adalah \(\text{BC}^{2}=c^{2}\)

Nah, sekarang pernyataan “jumlah luas persegi pada sisi BC sama dengan jumlah luas persegi pada sisi AB dan CA” dapat kita tuliskan :

$$\text{AB}^{2}+\text{CA}^{2}=\text{BC}^{2}$$

atau

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Lalu apakah persamaan Teorema Pythagoras tersebut bernilai benar? Mari kita buktikan bersama.

Pembuktian Teorema Pythagoras

Misalkan kita punya segitiga siku-siku sebagai berikut :

Segitiga Siku-Siku

Kita akan membuktikan bahwa \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\).

Step by Step :

Pertama kita duplikat segitiga siku-siku tersebut dan kita susun menjadi :

Ilustrasi Pembuktian Teorema Pythagoras

Dari gambar di atas, kita punya :

  • 4 buah segitiga siku-siku dengan luas totalnya adalah$$\begin{aligned}\text{Luas}&=4\times \text{Luas Segitiga}\\&=4\times \frac{a\times b}{2}\\&=2ab\end{aligned}$$
  • 1 buah persegi kecil (warna cokelat) dengan sisi \(c\) dan luasnya adalah$$\text{Luas}=c\times c=c^{2}$$
  • 1 buah persegi besar dengan panjang sisi \(a+b\) dan luasnya adalah$$\begin{aligned}\text{Luas} &= (a+b)(a+b)\\&=a^{2}+2ab+b^{2}\end{aligned}$$

Selain itu, pada gambar kita tahu bahwa luas persegi besar setara dengan jumlah luas persegi kecil dan 4 buah segitiga siku-siku. Sehingga dapat kita tuliskan :

$$\begin{aligned}a^{2}+2ab+b^{2}&=c^{2}+2ab\\a^{2}+b^{2}&=c^{2}\end{aligned}$$

Dan kita telah selasai membuktikannya. Berikut adalah pembuktian versi Animasi. Animasi sudah disusun sedemikian rupa supaya lebih mudah dipahami.

Bukti dengan Animasi

Video animasi berikut adalah pembuktian secara geometri dan aljabar :

Tripel Pythagoras

Sebelumnya kita perlu mengetahui apa itu tripel? Agar lebih mudah dipahami, perhatikan istilah-istilah berikut.

  • 1-tupel = single; contoh: (1), (0), (-2)
  • 2-tupel = double atau sepasang; contoh: (3,4), (\(\sqrt{2}\), -1)
  • 3-tupel = triple atau tripel; contoh : \(\left(1,2,\frac{1}{2}\right)\)
  • 4-tupel = quadruple; contoh : (1,3,2,1)
  • dan seterusnya sampai dengan n-tupel yang berisi sebanyak n elemen.

Oke, sekarang andaikan kita punya segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya \(x,y\) dan \(z\) sebagai sisi miring. Berdasarkan Teorema Pythagoras, berlaku :

$$x^{2}+y^{2}=z^{2}$$

Hal ini jelas bahwa tripel \((x,y,z)\) adalah jawaban atau solusi dari persamaan tersebut. Contohnya (3,4,5) dan (1,2,\(\sqrt{5}\)) jika kita substitusikan akan memenuhi persamaan di atas.

Lalu yang seperti apakah tripel pythagoras itu?

Secara umum, tripel pythagoras adalah tripel \((x,y,z)\) dengan syarat tambahan \(x, y\) dan \(z\) adalah bilangan bulat positif. Contohnya (5,12,13), (7,24,25) dan (9,40,41).

Tantangan

Carilah minimal 2 tripel pythagoras yang berbeda, dengan salah satu bilangannya adalah 66.

Tulis jawabanmu di kolom komentar ya ^^

Sedangkan untuk cara mencarinya dapat dilihat pada soal ke-2 berikut.

Soal HOTS dan Pembahasan

Soal 1

Diberikan segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya adalah \(a,b\) dan \(c\). Diketahui \(a=2mn\) dan \(b=m^{2}-n^{2}\) dengan \(m>n\) untuk sebarang bilangan bulat positif \(m\) dan \(n\).

  1. Apakah \(a,b\) dan \(c\) dapat membentuk sebuah tripel pythagoras ?
  2. Jika iya, tentukan sisi manakah yang mungkin sebagai sisi miring untuk semua kemungkinan nilai dari \(m\) dan \(n\)?
  3. Nyatakanlah \(c\) dalam variabel \(m\) dan \(n\) !

Pembahasan :

Jawaban bagian 1 adalah “Iya” jika \(c\) adalah bilangan bulat positif dan “tidak” jika \(c\) bukan bilangan bulat positif.

Kok bisa?

Ingat kembali bahwa agar \((a,b,c)\) tripel pythagoras maka \(a,b\) dan \(c\) selain sisi-sisi segitiga siku-siku juga adalah bilangan bulat positif.

Perhatikan bahwa \(m\) dan \(n\) adalah bilangan bulat positif sehingga cukup jelas bahwa \(a\) dan \(b\) juga bilangan positif (ingat penjumlahan dan perkalian bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat pula). Jadi tripel \((a,b,c)\) dapat termasuk tripel pythagoras tergantung nilai dari \(c\).

Jawaban bagian 2 :

Pertama kita asumsikan bahwa \((a,b,c)\) adalah tripel pythagoras. Sehingga \(c\) adalah bilangan bulat positif.

Selanjutnya kita lakukan eksperimen/uji coba :

  • Jika kita pilih \(m=2\) dan \(n=1\) maka :
    $$\begin{aligned}a&=2mn\\&=2\times 2\times 1\\&=4\end{aligned}$$
    dan
    $$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=2^{2}-1^{2}\\&=4-1=3\end{aligned}$$
    sehingga diperoleh \(a>b\)
  • Di lain pihak jika \(m=5\) dan \(n=2\) maka :
    $$\begin{aligned}a&=2mn\\&=2\times 5\times 2\\&=20\end{aligned}$$
    dan
    $$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=5^{2}-2^{2}\\&=25-4=21\end{aligned}$$
    sehingga diperoleh \(b>a\)

Dari hasil eksperimen di atas, untuk sebarang nilai \(m\) dan \(n\), kita tidak dapat menyimpulkan \(a>b\) atau \(b>a\). Akibatnya sisi \(a\) dan \(b\) tidak dapat sebagai sisi miring segitiga siku-siku.

Kok bisa begitu?

Ingat sisi miring segitiga siku-siku adalah sisi terpanjang pada segitiga siku-siku. Dan pada soal diminta sisi miring yang memenuhi setiap kondisi/kemungkinan nilai dari \(m\) dan \(n\). Maka jelas \(a\) dan \(b\) tidak memenuhi kriteria itu karena ada saat dimana \(a<b\) (\(a\) bukan sisi miring) begitu pula untuk sisi \(b\) ada kondisi dimana \(b<a\).

Sehingga di antara sisi \(a,b\) dan \(c\), yang mungkin sebagai sisi miring adalah sisi \(c\).

Jawaban bagian 3 :

Dari jawaban sebelumnya didapat bahwa \(c\) adalah sisi miring, maka berdasarkan teorema pythagoras kita peroleh :

$$\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}\\&=(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}\\&=4m^{2}n^{2}+(m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2})\\&=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}\\&=(m^{2}+n^{2})^{2}\end{aligned}$$

yang setara dengan \(c=m^{2}+n^{2}\).

Jadi dapat kita tarik kesimpulan :

  • \((a,b,c)\) merupakan tripel pythagoras jika \(c\) bilangan bulat positif
  • Sisi yang mungkin sebagai sisi miring adalah sisi \(c\)
  • Nilai \(c\) dalam variabel \(m\) dan \(n\) adalah \(c=m^{2}+n^{2}\)

Soal 2

Carilah tripel pythagoras dengan salah satu bilangannya adalah 70.

Pembahasan :

Untuk mencarinya kita dapat menggunakan dua cara :

Cara 1 (Dengan Konsep Dilatasi/ Pembesaran/ Pengecilan)

Apa itu dilatasi?

Secara gampangnya adalah jika kita punya sebuah segitiga siku-siku maka kita dapat membuat segitiga siku-siku baru dengan memperbesar atau memperkecil ukuran segitiga siku-siku awal. Konsep ini cocok digunakan jika kita sudah menghafal beberapa tripel pythagoras.

Semisal kita hafal tripel pyhtagoras (3,4,5) bagaimana cara kita memunculkan angka 70 pada tripel yang baru?

Yap, jawabannya adalah dengan mengkalikan tripel (3,4,5) dengan 14 atau dengan kata lain ukuran segitiga awal (3,4,5) akan kita perbesar 14 kali ukuran awal.

Hal tersebut karena hanya angka 5 yang merupakan faktor dari 70 dimana \(70=5\times 14\).

Sehingga dengan mengkalikan 14 kita peroleh segitiga baru dengan tripel \((3\times 14, 4\times 14, 5\times 14)\) atau \((42,64,70)\) dan kita berhasil membuat tripel pythagoras dengan salah satu bilangannya adalah 70.

Mudah bukan ?

Jadi kunci dari cara ini adalah kita harus mengetahui tripel segitiga awal yang bilangannya adalah faktor dari 70.

Namun cara ini mempunyai kekurangan, dimana jika tripel pythagoras yang telah kita ketahui atau hafalkan ternyata masih terbatas. Contoh jika kita dimintanya bukan bilangan 70 tapi ganti dengan bilangan 2021. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan cara lain sebagai berikut.

Cara 2 (Dengan Menggunakan Rumus)

Salah satu rumusnya adalah ada pada soal 1 dan tidak menutup kemungkinan ada rumus lain (Jika menemukannya tuliskan di kolom komentar ya, nanti kita diskusikan bersama).

Pada soal sebelumnya, jika kita punya tripel pythagoras (a,b,c) maka dapat dinyatakan dalam rumus \((2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})\).

Lalu bagaimana cara kita memunculkan bilangan 70?

Kita cukup memilih diantara a, b, dan c yang nilainya kita gantikan dengan 70. Kita bebas memilihnya namun disarankan kita pilih \(a=2mn=70\).

Kenapa tidak \(b=m^{2}-n^{2}=70\) atau \(c=m^{2}+n^{2}=70\) ?

Karena kita akan mencari nilai dari \(m\) dan \(n\), sehingga untuk mempermudah mencarinya, kita cukup pilih persamaan yang paling sederhana yaitu \(a=2mn=70\).

Oke sekarang kita punya \(2mn=70\) atau \(mn=35\) dengan kata lain \(m\) dan \(n\) adalah faktor dari 35. Kita tahu bahwa faktor dari 35 diantaranya :

Faktor dari 70

  • Jika \(m=35\) dan \(n=1\) kita peroleh :
    $$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=35^{2}-1^{2}\\&=1225-1=1224\end{aligned}$$
    dan
    $$\begin{aligned}c&=m^{2}+n^{2}\\&=35^{2}+1^{2}\\&=1225+1=1226\end{aligned}$$
    sehingga diperoleh tripel pythagoras \((a,b,c)=(70,1224,1226)\)
  • Jika \(m=7\) dan \(n=5\) kita peroleh :
    $$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=7^{2}-5^{2}\\&=49-25=24\end{aligned}$$
    dan
    $$\begin{aligned}c&=m^{2}+n^{2}\\&=7^{2}+5^{2}\\&=49+25 =74\end{aligned}$$
    sehingga diperoleh tripel pythagoras \((a,b,c)=(70,24,74)\)

Dan kita telah selesai ^^.

Baca Juga : Ruang Vektor dalam Matematika