Tag: Teorema Steiner

Dalam kehidupan nyata apabila ada dua objek padat saling bersinggungan maka kedua objek tersebut akan mempunyai area singgungan yang sama. Contohnya ketika kita menggunakan stempel untuk memberikan tanda tertentu di secarik kertas. Maka sewaktu stempel bersentuhan dengan kertas akan meninggalkan tanda di kertas yang sesuai permukaan stempel tersebut.

Hal tersebut sebelas-dua belas di dunia matematika, salah satunya dalam geometri euclid \(\mathbb{R}^{2}\). Jika dua objek berbeda saling bersinggungan di satu atau banyak titik dan kita tandai area singgungannya, maka kedua objek tersebut akan memiliki area singgung yang sama. Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Pada kotak biru pertama menunjukkan persinggungan antara segitiga dengan sebuah garis dengan area singgungnya berupa ruas garis (merah). Kemudian pada kotak biru di bawahnya menunjukkan persinggungan antara lingkaran dan segiempat yang saling menyinggung di empat titik (merah).

Nah, sekarang bagaimana jika objek yang bersinggungan tersebut adalah garis lurus dan lingkaran ? Mari kita cari tahu lebih lanjut ^^

Definisi

Secara sederhana, Garis Singgung Lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik.

Pada gambar di atas, garis merah termasuk garis singgung lingkaran. Sedangkan garis biru dan hijau tidak termasuk, karena tidak menyinggung lingkaran tepat di satu titik.

Catatan : Hati-hati dengan perbedaan segmen garis dan garis. Segmen garis atau ruas garis dapat menyinggung lingkaran di dua titik yang biasa disebut tali busur, contohnya dapat dilihat pada gambar sebelumnya.

Jenis Garis Singgung pada Dua Lingkaran

1. Garis Singgung bersama Luar
   
2. Garis Singgung bersama Dalam
   

Animasi Cara Melukis Garis Singgung Lingkaran

Sifat-Sifat Garis Singgung

Sifat-sifat garis singgung lingkaran berikut berguna untuk membantu membuktikan kebenaran teorema dan juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah tertentu.

Perhatikan gambar berikut.

Jika AC dan BC masing-masing merupakan garis singgung lingkaran dan berpotongan di titik C maka berlaku sifat 1, 2 dan 3 sebagai berikut:

Sifat 1

Antara jari-jari OA dan garis singgung AC yang berpotongan di titik A membentuk sudut siku-siku. Demikian pula antara jari-jari OB dan garis singgung BC berpotongan di titik B membentuk sudut siku-siku.

Bukti :
Kita akan membuktikan OA tegak lurus dengan AC dengan hukum kontradiksi (negasi).

Asumsikan OA dan OC tidak tegak lurus, maka terdapat titik P di garis AC dimana OP tegak lurus OA. Kemudian kita pilih titik Q pada garis AC sehingga PA = PQ dengan A \(\neq\) Q. (berikut ilustrasinya)
Sehingga kita peroleh :
\(\Rightarrow~OP (\text{pada}~\triangle{AOP} ) = OP (\text{pada}~\triangle{QOP})\);
\(\Rightarrow~\angle OPA =\angle OPQ = 90^{\circ}\);
\(\Rightarrow~PA = PQ\);

Oleh karena itu, dapat kita simpulkan \(\triangle\)AOP kongruen (Sisi, Sudut, Sisi) dengan \(\triangle\)QOP dan akibatnya OA = OQ.

Mengingat OA adalah jari-jari lingkaran, maka Q haruslah berada di lingkaran. Hal ini kontradiksi bahwa berdasarkan definisi, garis AQ hanya menyinggung lingkaran di A dan A \(\neq\) Q.

Oleh karena itu, berdasarkan hukum kontradiksi, asumsi awal bernilai salah sehingga haruslah OA tegak lurus dengan OC. Selanjutnya gunakan analogi yang sama dan akan kita peroleh garis OA tegak lurus dengan OB.

Sifat  2

\(AC = BC\)

Supaya lebih efisien, buktinya menyesuaikan dari pembuktian teorema Dua Garis Singgung Lingkaran Sama Panjang (tersedia 3 alternatif pembuktiannya). Jadi baca sampai selesai ya ^^

Sifat 3

\(\angle ACO = \angle BCO\)

Untuk buktinya kita gunakan sifat ke-2 sehingga diperoleh :
\(\Rightarrow~AC = BC\);
\(\Rightarrow~\angle OAC =\angle OBC = 90^{\circ}\);
\(\Rightarrow~OA = OB\);

Akibatnya segitiga AOC kongruen (sisi, sudut, sisi) dengan segitiga BOC sehingga berlaku \(\angle ACO = \angle BCO\).

Sifat 4 (Tambahan)

Jika segitiga ABC adalah segitiga dalam lingkaran dan k adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A. Maka Segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki jika dan hanya jika garis k sejajar dengan garis BC.

Keempat sifat ini berguna untuk membantu membuktikan beberapa teorema berikut :

Teorema Pitot

Teorema pitot berbunyi dalam segiempat garis singgung ABCD (lingkaran berada di dalam) berlaku persamaan AB + CD = BC + DA.

Baca lebih lanjut mengenai Teorema Pitot dan Buktinya (disertai video animasi)

Teorema Steiner

Teorema Steiner berbunyi dalam segiempat garis singgung ABCD (lingkaran di luar) berlaku :

• Jika ABCD segiempat konveks maka AB – CD = AD – BC
• Jika ABCD segiempat konkaf maka AB – CD = AD – BC
• Jika ABCD Segiempat refleks maka AB – CD = BC – AD

Baca lebih lanjut mengenai Teorema Steiner yang sebelas – dua belas dengan Teorema Pitot.

Dua Garis Singgung Lingkaran Sama Panjang

Jika AP dan BP masing-masing merupakan garis singgung lingkaran dan berpotongan di titik P maka berlaku AP = BP. (keterangan : titik A dan B merupakan titik singgung lingkaran dan titik O adalah pusat lingkaran).

Bukti :

Menggunakan Kekongruenan Segitiga

Pertama kita tarik garis bantu OA, OB, dan PO sehingga sekarang kita punya segitiga OAP dan OBP.

Dari gambar di atas kita tahu :
\(\Rightarrow~OP~(\text{pada}~\triangle{OBP} ) = OP~(\text{pada}~\triangle{OAP})\);
\(\Rightarrow~\angle OBP =\angle OAP = 90^{\circ}\) (Sifat 1);
\(\Rightarrow~OB = OA\) (jari-jari);

Jadi berdasarkan konsep kekongruenan (sisi, sudut, sisi), dapat kita simpulkan segitiga OAP kongruen dengan segitiga OBP. Akibatnya diperoleh AP = PB.

Menggunakan Rumus Pythagoras

Dari pernyataan sebelumnya, kita tahu bahwa segitiga OAP dan OBP adalah segitiga siku-siku (\(\angle OBP =\angle OAP = 90^{\circ}\)). Sehingga berdasarkan Teorema Pythagoras berlaku :
$$\begin{aligned}AP&=\sqrt{OP^{2}-OA^{2}}\\&=\sqrt{OP^{2}-OB^{2}}\\&=PB\end{aligned}$$

(Sesuai yang diminta).

Menggunakan Teorema Reim

Kita tahu bahwa \(\angle PAO = \angle PBO = 90^{\circ}\) dan \(\angle PAO + \angle PBO = \angle APB + \angle AOB = 180^{\circ}\) (diperoleh AOBP segiempat tali busur). Sehingga berdasarkan sifat segiempat tali busur kita punya lingkaran kedua (biru) yang melewati titik A, O, B dan P. Kemudian kita misalkan k adalah garis singgung lingkaran kedua yang melewati titik P.

Sekarang kita punya kondisi yang mengarah pada Teorema Reim, dimana teorema tersebut berbunyi :

Misalkan lingkaran \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\) yang saling berpotongan di titik M dan N. Garis \(l_{m}\) yang melewati titik M memotong lingkaran \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\) berturut-turut di titik \(X_{1}\) dan \(X_{2}\). Misalkan lagi \(Y_{1}\) dan \(Y_{2}\) berturut-turut adalah titik di \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\), sehingga berlaku \(X_{1}Y_{1} || X_{2}Y_{2}\) jika dan hanya jika \(Y_{1}, N\) dan \(Y_{2}\) segaris. (Baca Pembuktiannya by Cut The Knot)

Jadi dengan mengatur :

\(\omega_{1}=\) Lingkaran pertama;
\(\omega_{2}=\) Lingkaran kedua (biru);
\(Y_{1} = N = B\);
\(Y_{2} = P\);
\(X_{1} = M = A\);
\(X_{2} = P\);

Maka berdasarkan Teorema Reim diperoleh AB || k, mengingat \(X_{2}Y_{2} = PP\) adalah tali busur lingkaran \(\omega_{2}\) yang jelas sejajar dengan k. Dengan demikian berdasarkan Sifat 2 kita punya segitiga APB sama kaki dengan AP = PB.

Empat Garis Singgung Lingkaran Sama Panjang

Jika kita punya :

• Dua lingkaran (\(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)) tidak saling berpotongan dan tidak saling bersinggungan
• \(T_{1}\) dan \(T_{2}\) merupakan garis singgung bersama (luar) pada lingkaran \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)
• A, A’, B, B’ yang merupakan titik singgung \(T_{1}\) dan \(T_{2}\) pada \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)
• \(T_{3}\) dan \(T_{4}\) yang merupakan garis singgung bersama (dalam) pada lingkaran \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)
• P dan P’ berturut-turut merupakan titik potong \(T_{3}\) dengan \(T_{1}\) dan \(T_{2}\)
• Q dan Q’ berturut-turut merupakan titik potong \(T_{4}\) dengan \(T_{1}\) dan \(T_{2}\)

Maka berlaku : AA’ = BB’ = PP’ = QQ’

Pembuktian

Berdasarkan sifat 2 kita peroleh OA’ = OB’ dan OA = OB sehingga didapat AA’ = OA’ – OA = OB’ – OB = BB’.

Misalkan :

• C dan C’ berturut-turut adalah titik singgung \(T_{4}\) dengan \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)
• D dan D’ berturut-turut adalah titik singgung \(T_{3}\) dengan \(\omega_{1}\) dan \(\omega_{2}\)

Berdasarkan sifat 2 kita punya P’B = P’D dan P’B’ = P’D’.

Sehingga diperoleh :

$$\begin{aligned}BB’&=P’B + P’B’\\&= (P’D) + P’D’\\&=(P’D’ + DD’) +P’D’\\&=DD’ + 2P’D’\end{aligned}$$

Dengan menggunakan sifat 2 kita juga punya PA’ = PD’ dan PA = PD

Sehingga didapat :

$$\begin{aligned}AA’&=AP + PA’\\&= PD + (PD’)\\&=PD +(PD+DD’)\\&=2PD + DD’\end{aligned}$$

Mengingat AA’ = BB’ maka :

$$\begin{aligned}AA’&=BB’\\\Leftrightarrow 2PD + DD’&=DD’+2P’D’\\\Leftrightarrow PD&= P’D’\end{aligned}$$

Akibatnya :

\(PP’ = PD + DD’ + D’P’ = AA’ = BB’ \dots (i)\)

Selanjutnya kita gunakan analogi yang sama, dimana dengan menggunakan sifat 2, kita juga peroleh : Q’B = Q’C dan Q’B’ = Q’C’

$$\begin{aligned}BB’&=Q’B + Q’B’\\&= Q’C + (Q’C’)\\&=Q’C +(Q’C+CC’)\\&=CC’ + 2Q’C\end{aligned}$$

Masih menggunakan sifat 2, kita punya : AQ = QC dan QA’ = QC’

Sehingga didapat :

$$\begin{aligned}AA’&=AQ + QA’\\&= (QC) + QC’\\&=(QC’+CC’) +QC’\\&=2QC’ + CC’\end{aligned}$$

Mengingat AA’ = BB’ diperoleh :

$$\begin{aligned}AA’&=BB’\\\Leftrightarrow CC’ + 2Q’C&=2QC’+CC’\\\Leftrightarrow Q’C&= QC’\end{aligned}$$

Akibatnya :

\(QQ’ = QC’ + CC’ + Q’C = AA’ = BB’ \dots (ii)\)

Jadi dari persamaan (i) dan (ii) dapat kita tarik kesimpulan AA’ = BB’ = PP’ = QQ’.

Catatan : Teorema mengenai garis singgung lingkaran tidak terbatas pada teorema-teorema di atas. Bagi kalian yang menemukan teorema lain dapat membagikannya melalui kolom komentar di bawah. ^^

Referensi

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/