Berbicara mengenai garis singgung lingkaran, terdapat dua teorema yang mempunyai bentuk persamaan relatif sama.
Teorema paling atas adalah Teorema pitot yang berdasarkan catatan sejarah pertama kali dibuktikan oleh Henri Pitot pada Tahun 1725 melalui memoarnya. Sedangkan dibawahnya adalah Teorema yang diperkenalkan oleh Jacob Steiner dan kita akan mempelajarinya lebih lanjut.
Teorema Steiner pada Garis Singgung Lingkaran
Teorema Steiner berbunyi dalam segiempat garis singgung ABCD (lingkaran di luar) berlaku :
Jadi didapatkan AB – CD = (AP – BP) – (CR + DR) = AD- BC.
Kasus 3 (ABCD Segiempat Refleks)
Titik P, Q, R dan S berturut-turut adalah titik singgung pada garis AB, AD, BC dan CD.
Masih menggunakan analogi yang sama pada kasus sebelumnya, dimana kita gunakan sifat dasar garis singgung lingkaran sehingga kita peroleh hubungan sebagai berikut :
AP = AQ
BP = BR
CS = CR
DS = DQ
Sehingga dengan melakukan operasi persamaan ((2) – (1)) – ((4) – (3)) kita dapatkan
Dilain pihak, kita tahu bahwa (BP – AP) – (DS – CS) = AB – CD
Sehingga AB – CD = BC – AD.
Kesimpulan
Dari kasus 1 sampai kasus 3, dapat disimpulkan bahwa dalam segiempat garis singgung (lingkaran di luar) berlaku selisih panjang sisi yang berhadapan sama dengan selisih pasangan sisi yang berhadapan lainnya. Atau dengan kata lain jika kita punya segiempat garis singgung ABCD (lingkaran diluar) maka berlaku :
Jika ABCD segiempat konveks maka AB – CD = AD – BC
Jika ABCD segiempat konkaf maka AB-CD = AD – BC
Jika ABCD Segiempat refleks maka AB – CD = BC – AD
Sewaktu kita duduk di bangku SMA, dalam mata pelajaran fisika (mekanika fluida) kita dikenalkan dengan tabung pitot yang digunakan untuk melakukan pengukuran tekanan pada aliran fluida. Tabung pitot ditemukan oleh insinyur berkebangsaan Prancis, Henri Pitot pada awal abad ke 18.
Ilustari oleh alchetron.com
Beberapa sumber seperti Britannica dan Wikipedia mengatakan Henri Pitot lahir pada tanggal 3 Mei 1695 di Aramon, Prancis. Namun, referensi lain (artikel oleh Jean – Louis AYME, hal 13-14) yang menyatakan ia lahir pada tanggal 29 Mei 1695.
Terlepas dari hal tersebut, berikut beberapa riwayat hidupnya :
Pada tahun 1723, berkat pelatihan matematika dan astronomi memungkinkannya untuk menjadi asisten fisikawan Réaumur.
Pada tahun 1724 pitot berhasil menjadi asisten mekanik di Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis (French Academy of Sciences).
Pada 1740 pitot menjadi anggota Royal Society.
Pada 1740 pitot diangkat sebagai kepala insinyur bagian Languedoc dan berpartisipasi dalam pemeliharaan dan konstruksi pada kanal, jembatan, dan proyek drainase.
Pada tanggal 27 Desember 1771, pitot meninggal dunia di usia 76 tahun. Semasa hidupnya ia berhasil menerbitkan beberapa memoar (artikel/jurnal) tentang geometri yang salah satunya mengenai teorema pitot.
Dinamakan teorema pitot karena pada tahun 1725 dalam memoar berjudul Propriétés élémentaires des polygones circonscrits autour du cercle karya Henri Pitot, dianggap sebagai yang pertama memperkenalkan sekaligus membuktikan teorema tersebut.
Pembahasan lebih lanjut mengenai teorema pitot kita awali dengan konsep dasar garis singgung lingkaran. Hal ini karena sifat tersebut merupakan pondasi dasar yang dapat digunakan untuk membuktikan teorema tersebut.
Sifat Dasar Garis Singgung Lingkaran
Secara sederhana, garis singgung lingkaran dapat kita artikan sebagai garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik.
Jika AC dan BC masing-masing merupakan garis singgung lingkaran dan berpotongan di titik C maka berlaku hal-hal sebagai berikut.
Antara jari-jari OA dan garis singgung AC yang berpotongan di titik A membentuk sudut siku-siku. Demikian pula antara jari-jari OB dan garis singgung BC berpotongan di titik B membentuk sudut siku-siku.
AC = BC
\(\angle ACO = \angle BCO\)
Perhatikan bahwa jika kita tarik garis dari A ke B maka akan terbentuk segmen atau ruas AB. Pertanyaannya adalah apakah segmen AB termasuk kategori menyinggung lingkaran? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, silahkan baca : Konsep dasar Garis Singgung Lingkaran Lengkap dengan Animasi.
Segitiga Garis Singgung
Segitiga garis singgung kita definisikan sebagai segitiga yang ketiga garis sisinya menyinggung suatu lingkaran yang sama.
Teorema Pitot dalam Segitiga Garis Singgung
Teorema ini berbunyi, dalam segitiga garis singgung ABC berlaku AB + PC = AC + PB dengan P adalah titik singgung pada garis BC.
Pembuktian
Pertama kita definisikan titik Q dan R berturut-turut adalah titik singgung pada garis AC dan AB.
Langkah selanjutnya kita gunakan sifat garis singgung sehingga diperoleh :
AR = AQ
RB = PB
PC = QC
Sehingga jika ketiga persamaan tersebut kita jumlahkan kita dapatkan:
(AR + RB) + PC = (AQ + QC) + PB
AB + PC = AC + PB (Terbukti)
Selain pada segitiga garis singgung, teorema pitot juga berlaku pada segiempat garis singgung. Selengkapnya sebagai berikut.
Segiempat Garis Singgung
Pertama kita identifikasi 3 macam bentuk segiempat yaitu segiempat konveks, konkaf, dan refleks.
Segiempat Konveks (Convex)
Secara sederhana. segiempat konveks adalah segiempat yang besar setiap sudutnya antara \(0^{\circ}\) hingga \(180^{\circ}\) atau dalam interval \((0^{\circ}, 180^{\circ})\)
Segiempat Konkaf (Concave)
Berlawanan dengan segiempat konveks, segiempat konkaf mempunyai sudut yang besarnya lebih dari \(180^{\circ}\)
Segiempat Refleks atau Silang (Crossed)
Jika umumnya jumlah sudut dalam segiempat berjumlah \(360^{\circ}\), maka dalam segiempat silang jumlah sudutnya kurang dari \(360^{\circ}\).
Kemudian kita sepakati bersama, Segiempat Garis Singgung merupakan segiempat yang keempat garis sisinya menyinggung suatu lingkaran. Sehingga secara umum segiempat garis singgung lingkaran mempunyai dua macam yaitu :
Lingkaran Berada di Dalam
Dari gambar di atas, kenapa hanya segiempat konveks dan konkaf saja? Bagaimana dengan segiempat refleks?
Berdasarkan kesapakatan sebelumnya, bahwa keempat garis sisinya harus menyinggung suatu lingkaran yang sama. Dengan tambahan pada kasus ini lingkaran berada di dalam. Sehingga secara intuisi pada segiempat garis singgung yang refleks, terdapat sisi yang tidak menyinggung lingkaran.
Segiempat refleks pada gambar di atas mempunyai sisi (warna hitam) yang tidak menyentuh lingkaran. Sehingga pada kasus ini (lingkaran berada di dalam) segiempat refleks tidak termasuk.
Lingkaran Berada di Luar
Setelah kita mempelajari segiempat garis singgung, mari kita cari tahu teorema apa saja yang berlaku dalam segiempat garis singgung? Apakah hanya teorema pitot?
Teorema Pitot dalam Segiempat Garis Singgung
Teorema pitot berbunyi dalam segiempat garis singgung ABCD (lingkaran berada di dalam) berlaku persamaan AB + CD = BC + DA.
Pembuktian
Dari gambar di atas, terdapat dua kasus yaitu pada segiempat konveks dan konkaf. Sehingga pembuktiannya pun kita bagi menjadi dua kasus.
Kasus Segiempat Konveks
Untuk kasus ini, supaya lebih menarik telah disiapkan animasi pembuktiannya menggunakan Manim Engine.
Jika ada saran mengenai video di atas, dapat dituliskan di kolom komentar di bawah. Terima kasih ^^.
Kasus Segiempat Konkaf
Untuk pembuktiannya, pertama kita definisikan titik P, Q, R dan S berturut-turut adalah titik singgung garis AB, CD, BC dan DA. Berdasarkan sifat garis singgung lingkaran, kita punya :
AP = AS
BP = BR
DS = DQ
CQ = CR
Sehingga dengan melakukan manipulasi aljabar (1) + (2) + (3) – (4) kita peroleh :
(AP + BP) + (DQ – CQ) = (AS + DS) + (BQ – CR)
AB + CD = DA + BC (Terbukti)
Mudah bukan?
Sekarang, bagaimana jika lingkarannya berada di luar ? apakah juga berlaku teorema pitot?
Berdasarkan sifat garis singgung lingkaran, kita punya :