Cover Logika Matematika

Konsep Logika Matematika dalam Kalimat

Dalam matematika, logika dapat diartikan sebagai dasar dari setiap pembuktian yang dibangun. Selanjutnya, logika kalimat kita artikan sebagai logika yang terkandung pada suatu kalimat.

Dalam suatu pernyataan (kalimat), sering muncul ketidakmengertian, kesalahtafsiran dan bahkan kesalahpahaman oleh karena beberapa aspek yang terkandung pada kalimat tersebut.

Studi Kasus 1 : (Cerita Matematikawan Naik Pesawat)

Seorang ahli matematika terbang tanpa transit dari Tokyo ke Jakarta dengan menaiki pesawat. Waktu terbang yang dijadwalkan adalah sembilan jam. Beberapa waktu setelah lepas landas, pilot mengumumkan bahwa satu mesin harus dimatikan karena kerusakan mekanis : “Jangan khawatir kita masih aman. Satu-satunya efek yang terlihat bagi kita adalah bahwa total waktu terbang kita adalah sepuluh jam, bukan sembilan.”

Beberapa jam setelah penerbangan, pilot memberi tahu penumpang bahwa mesin lain harus dimatikan karena kerusakan mekanis: “Tapi jangan khawatir kita masih aman. Hanya waktu terbang kita yang akan mencapai dua belas jam.” Beberapa waktu kemudian, mesin ketiga gagal dan harus dimatikan. Tetapi pilot meyakinkan para penumpang: “Jangan khawatir bahkan dengan satu mesin, kami masih benar-benar aman. Itu hanya berarti bahwa akan memakan waktu enam belas jam total untuk pesawat ini tiba di Jakarta.”

Matematikawan itu mengatakan kepada sesama penumpangnya: “Jika mesin terakhir rusak juga, maka kita akan berada di udara selama dua puluh empat jam sekaligus!“.

Masih bingung dengan cerita di atas? Kalimat yang dikatakan oleh matematikawan tersebut memiliki dua perspektif (pandangan) yang berbeda yang dapat mengakibatkan kesalahtafsiran dan kesalahpahaman. Memperhatikan hal tersebut, diperlukan konsep berikut ini.

Apa Itu Semesta Pembicaraan ?

Semesta pembicaraan diartikan sebagai himpunan semua objek yang dibahas di dalam pembicaraan. Semisal dalam kalimat : “Melon lebih besar dari pada Jeruk”. Objek dari kalimat tersebut adalah Melon dan Jeruk sehingga semesta pembicaraannya adalah himpunan buah-buahan.

Studi Kasus 2 :

Tentukan semesta pembicaraannya sehingga persamaan \(x^2 -x -2=0\)  mempunyai :

(a) Tepat satu solusi.

(b) Tepat dua solusi.

Pembahasan :

Solusi yang dimaksud adalah nilai-nilai dari \(x\) yang jika disubstitusikan ke persamaan tersebut bernilai benar. Selain itu, solusi dari persamaan tersebut merupakan objek-objek yang ada pada pernyataan (kalimat) di soal.

Jika kita faktorkan maka kita punya \((x+1)(x-2)=0\) dimana \(x=-1\) atau \(x=2\). Dari dua solusi tersebut jelas bahwa keduanya merupakan anggota bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan real. Jadi semesta pembicaraan untuk pertanyaan (b) adalah himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, atau himpunan bilangan real.

Catatan : himpunan yang memuat objek \(-1\) dan \(2\) tidak terbatas hanya itu. Kita boleh saja membuat sebarang himpunan yang memuat kedua objek tersebut dengan mendefinisikannya terlebih dahulu. Semisal pada awal soal dituliskan “Diketahui himpunan \(A=\{-1,2,3\}\).”

Sedangkan jika dikehendaki tepat satu solusi, maka kita perlu membatasi semesta pembicaraannya agar hanya salah satu solusi dari \(-1\) atau \(2\) yang memenuhi persamaan tersebut. Kemudian kita perlu melihat perbedaan karakteristik dari dua objek (solusi) tersebut. Kita tahu bahwa \(-1\) adalah bilangan bulat negatif sedangkan \(2\) bilangan bulat positif.

Jadi agar diperoleh tepat satu solusi, maka sekarang semesta pembicaraannya kita batasi menjadi himpunan bilangan bulat negatif saja atau himpunan bilangan bulat positif saja.

Variabel dan Konstanta dalam Logika Matematika

Variabel diartikan sebagai lambang yang menjadi simbol dari sebarang anggota di dalam semesta pembicaraannya.

Konstanta diartikan sebagai lambang suatu anggota tertentu dari semesta pembicaraan.

Studi Kasus 3 :

Tentukan konstanta atau variabel pada kalimat-kalimat di bawah ini.

  1. Soekarno adalah seorang proklamator RI.
  2. Lima puluh habis dibagi \(5\).

Pembahasan :

  1. Objek “soekarno” pada kalimat di atas diartikan secara khusus sebagai seorang proklamator RI sehingga merupakan konstanta.
  2. Objek “lima puluh” dalam bahasa indonesia diartikan sebagai angka lima puluh yang disimbolkan \(50\) yang merupakan suatu konstanta. Begitu pula untuk simbol \(5\) mewakili angka lima yang merupakan suatu konstanta juga.

Klasifikasi Kalimat

Secara garis besar, kita klasifikasikan menjadi dua macam yaitu kalimat deklaratif dan kalimat terbuka. Secara tidak sadar kita sering menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Pernahkah kalian berbohong kepada orang lain? umumnya kebohongan dikategorikan sebagai kalimat deklaratif. Untuk lebih jelasnya sebagai berikut:

1. Kalimat Deklaratif

Kalimat deklaratif adalah kalimat yang mengandung nilai salah atau benar, dan tidak bernilai kedua-duanya. Benar pada kalimat berarti mempunyai persesuaian antara isi pernyataan dengan fakta sesungguhnya.

Kalimat deklaratif yang nilai kebenarannya dengan fakta sesungguhnya disebut kalimat faktual. Sedangkan kalimat deklaratif yang nilai kebenarannya tanpa melihat fakta sesungguhnya disebut kalimat non faktual.

Baca juga : Hukum Operasi Logika Matematika

Studi Kasus 4 :

Tentukan kalimat-kalimat berikut ini merupakan kalimat yang mempunyai arti atau kalimat tanpa arti atau kalimat deklaratif.

  1. Ya ampun!
  2. Satu tambah dua hasilnya sama dengan empat.
  3. Presiden Indonesia dipilih setiap lima tahun sekali.
  4. Selama ini angka \(2\) selalu bergandengan dengan angka \(3\).
  5. Besok kiamat atau tidak kiamat.

Pembahasan :

  1. Merupakan kalimat seru yang mempunyai arti, namun tidak mengandung nilai benar atau salah.
  2. Merupakan kalimat faktual (deklaratif) dengan nilai kebenarannya false (bernilai salah).
  3. Merupakan kalimat faktual (deklaratif) dengan nilai kebenarannya true (bernilai benar).
  4. Merupakan kalimat tanpa arti karena istilah “selalu bergandengan” tidak terdefinisi dengan baik.
  5. Merupakan kalimat non faktual (deklaratif) dengan nilai kebenarannya true (bernilai benar). Untuk penjelasannya akan dibahas di halaman yang berbeda.

2. Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang baru dapat ditentukan nilai kebenarannya (atau menjadi kalimat deklaratif) jika variabel di dalamnya diganti menjadi suatu konstanta tertentu.

Studi Kasus 5 :

Tentukan apakah kalimat-kalimat berikut ini merupakan kalimat terbuka atau kalimat deklaratif. Jika kalimat deklaratif, apakah bernilai benar atau salah.

  1. \(x\) merupakan bilangan negatif.
  2. \(0\) merupakan bilangan irasional.
  3. Jika \(x, y, z\) merupakan bilangan asli, maka \(x < z < y\).
  4. Jika semesta pembicaraan adalah semua manusia, maka Tono lebih tinggi daripada Tini.

Pembahasan :

  1. Merupakan kalimat terbuka sebab terdapat variabel yang disimbolkan dengan \(x\)  tidak secara khusus mewakili suatu anggota dari himpunan bilangan negatif.
  2. Merupakan kalimat deklaratif bernilai false (salah), sebab dapat kita tuliskan \(0=\frac{0}{1}\) (bilangan rasional).
  3. Merupakan kalimat terbuka dengan \(x, y, z\) sebagai variabel.
  4. Merupakan kalimat deklaratif sebab Tono dan Tini secara khusus mencirikan identitas seseorang. Nilai kebenarannya dapat bernilai true atau false tergantung kenyataan sesungguhnya.

Pembahasan selanjutnya : Operasi Logika Matematika | Definisi, Tabel Kebenaran dan Contoh

Mathematical logic is about the forest rather than the trees. When you look at the structure that different mathematical fields have in common, you see overarching themes that make the theory work. –  Hunter Johnson


Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *