Operasi standar pada ruang-n euclides () meliputi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar. Selain itu, berlaku juga operasi hasil kali titik (dot product). Lalu bagaimana dengan hasil kali silang (cross product)? Dalam ruang-n euclides, cross product berlaku dengan baik di .
Supaya pembalajaran menjadi lebih bermakna, disarankan terlebih dahulu memahami :
Ternyata dari pernyataan-pernyataan di atas kita dapat 2 penulisan yang sedikit berbeda, yang pertama dengan menggunakan n-tupel barisan riil dan yang kedua dalam bentuk vektor kolom. Lalu kita harus menggunakan yang mana? Kita bebas memilih mau menggunakan cara penulisan yang pertama atau kedua. Dan untuk selanjutnya mari kita simak bersama, beberapa contoh soal yang cukup seru.
Contoh 1
Diberikan dua vektor dan di dan di yang didefinisikan sebagai berikut :
, , dan
Tentukan :
Penyelesaian :
1. Berdasarkan operasi penjumlahan vektor maka kita peroleh :
2. Masih dengan cara yang sama, kita juga dapatkan :
3. Nah pada bagian ke-3 ini cukup menarik, dimana vektor berada di sedangkan berada di lalu bagaimana hasil dari penjumlahan ?
Untuk mengetahuinya, kita representasikan vektor dan kedalam bentuk vektor kolom sebagai berikut :
dan
Cukup jelas bahwa matriks vektor mempunyai ordo sedangkan matriks vektor berordo akibatnya berdasarkan syarat penjumlahan dua buah matriks, kita peroleh :
Hal tersebut dikarenakan pada penjumlahan dua buah matriks, haruslah mempunyai ordo yang sama.
Sifat Penjumlahan Vektor
Misalkan terdapat , , dan vektor nol maka berlaku :
(Bersifat Komutatif)
(Bersifat Asosiatif)
(Sifat penjumlahan dengan vektor nol)
(Sifat penjumlahan vektor u dengan negatif atau invers dari vektor u)
Perkalian dengan Skalar
Sebuah vektor jika dikalikan dengan sembarang skalar, misal kita notasikan skalar , maka didefinisikan sebagai berikut :
Contoh 2
Diberikan vektor , maka tentukan vektor dan jika :
Penyelesaian :
1. Kita dapat menuliskan ulang persamaan pada soal dan melakukan substitusi pada vektor sebagai berikut :
2. Dari soal nomor 1 di atas kita punya yang kemudian dapat kita substitusikan ke persamaan pada soal nomor 2.
Sifat Perkalian dengan Skalar
Misalkan dan adalah sembarang skalar sehingga berlaku :
(Bersifat distributif)
(Sama seperti sifat sebelumnya yakni bersifat distributif)
(Bersifat asosiatif)
(Sifat perkalian dengan skalar 1)
Hasil Kali Titik (Dot Product)
Hasil kali titik dari vektor dan adalah berupa sebuah skalar yang didefinisikan :
Dengan kata lain fungsi dot product adalah fungsi yang mengolah dua vektor di menjadi suatu skalar (real).
Contoh 3
Diberikan vektor , dan . Tentukan :
Penyelesaian :
Pertama, berdasarkan definisi hasil kali titik kita peroleh :
Kedua, berdasarkan sifat perkalian vektor dengan skalar kita peroleh :
Ketiga, karena hasil kali titik (dot product) di adalah sebuah fungsi yang mengolah atau mengkawankan dua vektor di . Maka jika di dan di akibatnya :
Jika kita perhatikan persamaan di atas, diperoleh hasil kali titik antara skalar (60) dengan vektor . Perlu diketahui bahwa :
Berdasarkan definisi hasil kali titik, dimana operan (objek yang dioperasikan) dalam fungsi dot product adalah vektor-vektor yang berada pada ruang yang sama. Sehingga karena skalar (60) adalah bilangan real yang berada pada ruang sedangkan vektor berada pada ruang akibatnya :
Hubungan Dot Product dengan Perkalian Matriks
Pada bagian awal, kita sudah menyinggung sedikit bahwa vektor di dapat direpresentasikan (diwakilkan) ke dalam bentuk matriks berordo .
Semisal kita punya dan di maka kita dapat menuliskannya :
dan
Sekarang kita punya definisi baru, bahwa hasil kali titik (dot product) dari vektor dan di merupakan perkalian matriks antara transpose dari dengan . Sehingga berdasarkan kaidah perkalian matriks kita peroleh :
Sifat Perkalian Hasil Kali Titik
Jika , dan adalah vektor di dan adalah sembarang skalar, maka berlaku :
dan kesamaan terjadi jika
dengan adalah panjang vektor
Contoh 4
Diberikan vektor dan di dengan , dan . Tentukan nilai dari vektor jika .
Penyelesaian :
Sedikit berbeda dengan contoh-contoh sebelumnya, sekarang kita akan mencoba menyelesaikannya dengan menggunakan sifat-sifat hasil kali titik.
Langkah pertama, kita gunakan sifat kedua :
Masih dengan sifat yang sama kita jabarkan lagi menjadi :
Kemudian dilanjut dengan sifat ketiga kita peroleh :
Berdasarkan konsep vektor pada Ruang berdimensi 2 dan 3 , jika kita meninjau sebuah vektor ( misalkan ) pada maka dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan terurut begitu pula jika pada maka .
Sekarang bagaimana dengan vektor yang berada di , dan seterusnya? Mengenai hal ini, pada abad ke-19 para ahli matematika dan ahli fisika mengembangkannya secara analitis pada , bahkan sampai . Kenapa perlu dikembangkan? salah satunya karena pada Sistem Persamaan Linear, dimana sebuah garis dapat dikatakan sebagai vektor yang panjangnya tak terbatas, diilustrasikan sebagai berikut :
Permasalahan timbul jika pada sistem persamaan linearnya mempunyai 4, 5 bahkan sampai n variabel, lalu bagaimana dengan vektornya? itulah mengapa perlunya generalisasi konsep dari vektor atau ke ruang yang lebih tinggi. Untuk masalah visualisasi secara geometri pada ruang 4, 5 dan seterusnya. “tidak” dapat dilaksanakan. Sebab dunia dimana kita hidup hanya disusun dari konsep tiga dimensi.
Definisi Vektor di Rn
Sebuah vektor di didefinisikan sebagai n-tupel bilangan riil dengan n adalah bilangan bulat positif. Contohnya pada vektor dan pada vektor .
Jika kita perhatikan pada gambar sebelumnya, jelas bahwa pasangan dan tripel tidak hanya bermakna sebagai vektor namun juga dapat berperan sebagai titik. Nah, uniknya dalam ruang-n euclides keduanya dianggap sama, hal ini berlaku juga pada , sampai dengan . Jadi kita bebas menggambarkannya sebagai titik maupun sebagai vektor di .
Contoh :
Vektor tersebut berada di .
Jika kita perhatikan seksama, sering muncul istilah ruang-n euclides, lalu apa sih ruang-n euclides itu ? Secara geometri, ruang euclides adalah ruang 2 atau 3 dimensi dimana aksioma-aksioma geometri euclid berlaku dengan baik, yang kemudian digeneralisasi ke dalam ruang berdimensi n. Sedangkan secara analitis, himpunan semua n-tupel bilangan real dinamakan ruang-n dan dinyatakan .
Himpunan semua bilangan real
Himpunan semua pasangan bilangan real
Himpunan semua tripel bilangan real
Himpunan semua quadrupel bilangan real
Himpunan semua n-tupel bilangan real
Vektor Nol di Rn
Sebuah vektor di disebut sebagai vektor nol jika dan hanya jika semua entri yang didalamnya bernilai nol, biasa dituliskan sebagai berikut :
Untuk selanjutnya akan dibahas pada halaman lain mengenai operasi-operasi vektor di ruang-n euclid . Namun sebelumnya pastikan bahwa anda sudah mengenal lebih dahulu operasi-operasi vektor pada Ruang-2 dan Ruang-3.
Vektor dalam matematika adalah sebuah objek yang mempunyai panjang (besar/nilai) dan arah. Kita dapat menggambarkannya sebagai panah atau segmen garis lurus yang terarah di \(R^{2}\) (Ruang 2 / Ruang dimensi 2) atau \(R^{3}\) (Ruang 3 / Ruang dimensi 3).
Pada gambar di atas arah panah menunjukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik awal (initial point) dan ujung panah dinamakan titik akhir (terminal point) dari vektor.
Ilustrasi dalam Kehidupan Nyata
Pernahkah kalian bermain layang-layang?
Pada saat kita bermain layang-layang, kita perhatikan posisi layang-layang saat terbang jarang sekali berada lurus tepat di atas kita, hal ini dikarenakan pengaruh vektor sehingga kita dapat melihat layang-layang dengan lebih jelas.
Notasi Vektor (Cara Penulisannya)
Penulisan vektor dalam matematika dapat dinyatakan dalam huruf kecil tebal misalnya a, k dan z. Namun pada kenyataanya tangan kita tidak terbiasa menulis tebal-tipis huruf sehingga akan sedikit merepotkan, sehingga ada alternatif penulisan lainnya yakni \(\vec{a}, \vec{k}\) dan \(\vec{z}\).
Selain itu masih ada lagi, misalkan kita punya vektor \(\vec{v}\) dengan titik awalnya adalah \(A\) dan titik akhirnya adalah \(B\) maka kita dapat tuliskan :
$$\vec{v}=\vec{AB}$$
Catatan 1: Dua vektor atau lebih dikatakan sama jika dan hanya jika arah dan panjangnya sama. Pada gambar di atas vektor \(\vec{k}\) dan \(\vec{z}\) sama, atau \(\vec{k}=\vec{z}\) sebab memiliki arah dan panjang yang sama, walaupun letaknya berbeda.
Operasi Vektor
Jika sebelumnya penggambaran vektor dari sudut pandang geometri. Nah, sekarang karena pembahasannya sudah sampai operasi vektor maka kita akan coba bahas konsep vektor secara analitis. Sehingga nantinya kita juga mendapatkan konsep penjumlahan, pengurangan, perkalian vektor secara analitis.
Mari kita perhatikan vektor berikut :
Pada gambar di atas kita dapat menyatakan vektor \(\vec{a}=(-3, 7), \vec{k}=(5, 3)\) dan \(\vec{z}=(5, 3)\).
Kok bisa?
Yaps, secara analitis jika kita punya vektor \(\vec{v}\) berada pada ruang-2 (ruang dimensi 2 atau kita gunakan bidang kartesius) maka kita dapat menuliskannya :
Contohnya pada gambar di atas, vektor \(\vec{a}\) mempunyai titik awal di titik \((9, -2)\) dan titik akhir di titik \((6,5)\) sehingga berdasarkan persamaan di atas maka \(a\) dapat kita tuliskan :
Kemudian bagaimana jika vektornya berada pada ruang-3 (ruang dimensi 3) ?
Jangan khawatir, hal tersebut tidak jauh berbeda dengan konsep yang di ruang-2. Misalkan kita punya \(\vec{v}\) dengan
Titik awal
Titik Akhir
Ilustrasi :
Maka dapat kita tuliskan :
Catatan 2 : Apabila \(\vec{v}\) adalah sebuah vektor yang titik awalnya di titik pusat koordinat (Contoh pada ruang-2 \((0,0)\)) maka \(\vec{v}\) biasa disebut sebagai vektor posisi.
Nah, sudah ada gambaran kan? Pemahaman ini akan kita gunakan pada operasi vektor selanjutnya.
Misalkan kita punya vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{k}\) :
Berapa nilai dari \(\vec{k}+\vec{a}\) ?
Secara geometri dalam penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan cara menggeser vektor \(\vec{a}\) sehingga titik awal \(\vec{a}\) berhimpit dengan titik akhir \(\vec{k}\).Hasil penjumlahan \(\vec{k}+\vec{a}\) berupa vektor yang dinyatakan oleh panah biru dengan titik awal \(\vec{k}\) dan titik akhir akhir \(\vec{a}\).
Selain itu, kita juga dapat menggunakan metode jajaran genjang. Yaps sesuai namanya, kita akan membentuk sebuah jajaran genjang dimulai dengan menggeser vektor \(\vec{k}\) sehingga titik awal \(\vec{k}\) berhimpit dengan titik akhir \(\vec{a}\).
Berdasarkan gambar di atas kita peroleh sifat operasi penjumlahan vektor :
Catatan 3 : Perlu diingat bahwa suatu vektor dalam matematika akan selalu sama (tidak berubah) jika arah dan panjangnya tetap, walaupun posisinya berubah.
Kemudian secara analitis jika punya vektor \(\vec{a}=(a_{1},a_{2})\) dan \(\vec{b}=(b_{1}, b_{2})\) maka berlaku :
Begitu pula jika vektor \(\vec{c}=(c_{1},c_{2},c_{3})\) dan \(\vec{d}=(d_{1},d_{2},d_{3})\) di ruang-3 maka berlaku :
Contoh 1
Misalkan kita punya vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) sebagai berikut :
Tentukan hasil dari \(\vec{a}+\vec{b}\)
Penyelesaian :
Secara geometri kita geser vektor \(\vec{b}\) sehingga titik awal vektor \(\vec{b}\) berhimpit dengan titik akhir \(\vec{a}\) dan kita peroleh :
Sedangkan secara analitis maka :
Sehingga kita peroleh :
Perkalian Vektor dengan Skalar (Hasilnya Berupa Vektor)
Wah.. kok habis operasi penjumlahan vektor tidak ke operasi pengurangan vektor? Sebab operasi perkalian vektor dengan skalarlah yang nantinya mendasari operasi pengurangan vektor.
Sebelumnya mari kita perhatikan ilustrasi berikut :
Mula-mula terdapat sebuah batang korek api, kemudian kita perbanyak jumlahnya menjadi 3 batang korek api dan kita susun menjadi :
Sehingga sekarang panjangnya menjadi 3 kali panjang semula. Nah, sama halnya dengan vektor.
Misalkan kita punya vektor \(\vec{a}\) dan skalar \(k\) maka hasil kali \(k\vec{a}\) sepanjang \(|k|\) (nilai mutlak \(k\)) dikali panjang \(\vec{a}\).
Kenapa ada nilai mutlaknya?
Sebab dalam konsep vektor, jika \(k\) bernilai negatif maka hasil kali \(k\vec{a}\) mempunyai arah yang berlawanan dengan \(\vec{a}\). Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut :
Kemudian jika \(|k|<1\) maka panjang \(k\vec{a}\) lebih pendek dibanding panjang \(\vec{a}\) (disebut juga pemampatan) dan jika \(|k|>1\) maka panjang \(k\vec{a}\) lebih panjang dibanding panjang \(\vec{a}\) (disebut juga perenggangan).
Secara analitis jika \(\vec{c}=(c_{1},c_{2})\) di ruang-2 dan \(\vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})\) di ruang-3 dan \(k\) adalah sembarang skalar, maka berlaku :
dan juga
Contoh 2
Misalkan vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) didefinisikan sebagai berikut :
Tentukan hasil dari \(\vec{a}+3\vec{b}\)
Penyelesaian :
Secara geometri maka :
Kemudian kita gunakan sifat operasi penjumlahan sehingga kita peroleh :
Mudah bukan?
Jika menyelesaikannya secara analitis maka dapat kita tuliskan :
Sehingga berdasarkan sifat operasi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar maka kita dapatkan :
Pengurangan Vektor (Hasilnya Berupa Vektor)
Jika kita punya dua sembarang vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) maka pengurangan \(\vec{a}\) dengan \(\vec{b}\) dapat kita tuliskan :
Sehingga secara analitis kita punya :
Jika kedua vektor tersebut pada ruang-2 maka :
Jika kedua vektor tersebut pada ruang-3, dengan cara yang sama maka :
Sengaja untuk penggambaran secara geometri tidak disertakan, sebab kita akan meninjaunya langsung pada contoh soal berikut.
Contoh 3
Misalkan diberikan dua buah vektor di ruang-2 yang didefinisikan sebagai berikut :
Tentukan hasil dari \(\vec{a}-\vec{b}\)
Penyelesaian :
Ingat kembali bahwa jika suatu vektor dikali dengan skalar yang bernilai negatif maka hasil perkaliannya berupa vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor yang dikalikan.
Sedangkan secara analitis kita peroleh :
dan juga
Sehingga berdasarkan sifat operasi pengurangan vektor, kita peroleh :
Perkalian Vektor dengan Vektor
Operasi ini terbagai menjadi 2 bagian, pertama Perkalian Titik (dotproduct) dan yang kedua adalah Perkalian Proyeksi dalam Vektor (cross product).
Kedua bagian tersebut berkaitan dengan sudut dan panjang dalam vektor, dimana yang diartikan sudut antara vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) adalah sudut yang dihasilkan oleh \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) setelah titik awal \(\vec{a}\) dan titik awal \(\vec{b}\) diimpitkan. Sudut dapat kita tulis \(\theta\) dengan \(0\leq\theta\leq\pi\).
Kemudian panjang vektor dalam matematika disebut juga norma (norm). Contohnya panjang vektor dari \(\vec{a}\) ditulis \(\|\vec{a}\|\).
Jika \(\vec{a}\) berada pada ruang-2 atau \(\vec{a}=(a_{1}, a_{2})\) maka
Jika \(\vec{a}\) berada pada ruang-3 atau \(\vec{a}=(a_{1}, a_{2},a_{3})\) maka
Catatan 4 : Dalam konsep vektor terdapat vektor nol dinotasikan \(\vec{0}\) dan didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai panjang nol (\(\|\vec{0}\|=0\)) dengan arah sembarang yang bersesuaian dengan operasi yang mengikutinya. Secara geometri vektor nol dapat digambarkan sebagai sebuah titik.
Catatan 5 : Selain itu, terdapat vektor satuan yaitu vektor yang panjangnya 1. Pada pelajaran fisika, vektor biasa ditulis : (contoh)
\(\vec{a}=3\hat{i}+5\hat{j}\)
Nah, \(\hat{i}\) dan \(\hat{j}\) merupakan vektor satuan. Asalkan bukan vektor nol, kita dapat mencari vektor satuan dari sebuah vektor. Contohnya vektor \(\vec{b}\neq\vec{0}\), maka vektor satuannya yakni :
\(\hat{b}=\frac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|}\)
1. Dot Product (Hasilnya Berupa Skalar)
Jika \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) berada dalam ruang-2 atau ruang-3 dan \(\theta\) adalah sudut antara keduanya, maka perkalian titik (dot product) didefinisikan sebagai berikut :
Contoh 5
Tentukan hasil kali titik antara vektor \(\vec{a}=(3,0)\) dengan \(\vec{b}=(3,3\sqrt{3})\) dan sudut antara kedua vektor tersebut sebesar \(60^{\circ}\).
Secara geometri dapat kita gambarkan :
Sedangkan secara analitis :
Pada contoh di atas jika kita perhatikan bahwa dalam menghitung perkalian titik masih terikat dengan sudut antar dua vektor yang diketahui. Bayangkan jika yang diketahui hanya posisi vektornya saja, maka kita harus cari sudutnya terlebih dahulu.
Nah, untuk mengatasi permasalahan ini mari kita cari bentuk lain dari perkalian titik yang lebih mudah perhitungannya.
Perhatikan gambar berikut :
Berdasarkan aturan cosinus didapat :
Dengan mensubtitusikan
Maka akan kita peroleh bentuk lain dari perkalian titik :
Untuk kasus di ruang 3 dengan cara serupa kita dapatkan :
Dengan rumus ini dalam menghitung perkalian titik tidak perlu mencari sudut terlebih dahulu.
Sebagai latihan, coba selesaikan contoh soal ke-5 dengan metode di atas.
Sifar-Sifat Hasil Kali Titik (Dot Product)
\(4.\) Jika vektor \(\vec{a}\neq\vec{0}\) dan \(\vec{b}\neq\vec{0}\) dan sudut antara kedua vektor tersebut adalah \(\theta\) maka berlaku :
\(\theta\) adalah sudut lancip jika dan hanya jika \(\vec{a}\cdot\vec{b}>0\)
\(\theta\) adalah sudut tumpul jika dan hanya jika \(\vec{a}\cdot\vec{b}<0\)
\(\theta\) adalah sudut siku-siku jika dan hanya jika \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
(Bersifat asosiatif)
(Bersifat distributif)
untuk sembarang skalar \(k\).
didasari Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz.
Proyeksi Vektor
Menentukkan proyeksi vektor dalam matematika dibutuhkan konsep perkalian titik untuk menguraikan vektor (Dekomposisi Vektor) \(\vec{b}\) menjadi dua vektor dengan ketentuan satu vektor sejajar dengan \(\vec{a}\neq\vec{0}\) yakni vektor \(\vec{c_{1}}\) sedangkan vektor yang lainnya yakni \(\vec{c_{2}}\) tegak lurus dengan \(\vec{a}\).
Dari gambar di atas kita peroleh hubungan :
Vektor \(\vec{c_{1}}\) disebut proyeksi ortogonal \(\vec{b}\) pada \(\vec{a}\) dan beberapa sumber referensi menuliskannya sebagai :
Sedangkan vektor \(\vec{c_{2}}\) disebut juga komponen vektor \(\vec{b}\) yang ortogonal (tegak lurus) terhadap \(\vec{a}\).
Contoh 6
Jika diketahui vektor \(\vec{c}=(-2,2,4)\) dan \(\vec{d}=(-2,-2,2)\), tentukan komponen vektor \(\vec{c}\) yang sejajar dengan \(\vec{d}\) dan tentukan komponen \(\vec{c}\) yang tegak lurus dengan \(\vec{d}\).
Penyelesaian :
Misalkan \(c_{1}\) adalah komponen vektor yang sejajar dengan \(\vec{d}\) dan \(\vec{c_{2}}\) adalah komponen vektor yang tegak lurus dengan \(\vec{d}\), maka kita peroleh hubungan :
\(\vec{c}=\vec{c_{1}}+\vec{c_{2}}\)
dimana
dan
Catatan 6 : Dalam konsep proyeksi vektor di atas, vektor satuan dari \(\vec{c_{1}}\) dinotasikan \(\hat{c_{1}}\) sama dengan vektor satuan dari \(\vec{b}\) dinotasikan \(\hat{b}\).
2. Cross Product (Hasilnya Berupa Vektor)
Akhirnya kita sudah sampai pada bagian akhir dari pembahasan kali ini, dimana pada operasi perkalian silang (cross product) mempunyai kontribusi yang cukup besar dalam geometri, fisika (momen gaya/torsi) dan ilmu-ilmu teknik.
Perkalian silang dua vektor \(\vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})\) dan \(\vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})\) dalam ruang-3 dinotasikan \(\vec{a}\times\vec{b}\) dan didefinisikan :
Operasi ini sangat berguna jika kita diminta mencari sebuah vektor yang tegak lurus pada dua buah vektor yang lain dalam ruang-3. Contohnya pada persamaan di atas, hasil kali perkalian silang \(\vec{a}\times\vec{b}\) adalah vektor yang tegak lurus dengan \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\).
Contoh 7
Misalkan \(\vec{a}=(1,2,3),~\vec{b}=(3,2,1)\) maka tentukan hasil dari \(\vec{a}\times\vec{b}\).
Penyelesaian :
Cara pertama (menggunakan persamaan pertama)
Cara kedua dengan menggunakan konsep determinan matriks :
Sifat-Sifat Cross Product
(Tidak komutatif)
(Bersifat distributif)
(Bersifat distributif)
(Bersifat asosiatif, dengan sembarang skalar \(k\))
(Identitas Lagrange)
(Penjabaran dari Identitas Lagrange)
Catatan 7 : Pada sifat ke-10 di atas, nilai dari \(\|\vec{a}\times\vec{b}\|\) sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\).
Selanjutnya direkomendasikan membaca materi lanjutan mengenai Vektor di Ruang-n Euclides (Ruang berdimensi n).