Operasi pada Vektor di Ruang-n Euclides, Sifat & Contohnya

Cover vektor di Rn (ruang berdimensi n)

Operasi Standar pada Vektor di Rn

Operasi standar pada ruang-n euclides (Rn) meliputi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar. Selain itu, berlaku juga operasi hasil kali titik (dot product). Lalu bagaimana dengan hasil kali silang (cross product)? Dalam ruang-n euclides, cross product berlaku dengan baik di R3.

Supaya pembalajaran menjadi lebih bermakna, disarankan terlebih dahulu memahami :

Penjumlahan Vektor

Jika kita punya dua vektor, yaitu u = (u1, u2, ... , un)  dan v = (v1, v2, ... , vn) di ruang-n, maka berlaku operasi penjumlahan vektor sebagai berikut :

u + v = (u1+v1, u2+v2, ... , un+vn)

Kita juga dapat menuliskannya kedalam bentuk vektor kolom (matriks berordo n x 1) sebagai berikut :

u = [uij] dengan u berordo n x 1 dan v = [vij]

sehingga berdasarkan operasi penjumlahan matriks kita dapatkan :

u + v = [uij] + [vij] =[uij + vij]

Ternyata dari pernyataan-pernyataan di atas kita dapat 2 penulisan yang sedikit berbeda, yang pertama dengan menggunakan n-tupel barisan riil dan yang kedua dalam bentuk vektor kolom. Lalu kita harus menggunakan yang mana? Kita bebas memilih mau menggunakan cara penulisan yang pertama atau kedua. Dan untuk selanjutnya mari kita simak bersama, beberapa contoh soal yang cukup seru.

Contoh 1

Diberikan dua vektor u dan v di R3 dan w di R4 yang didefinisikan sebagai berikut :

u = (1, 2, 3), v = (4, 5, 6), dan w = (1, 2, 3 , 4)

Tentukan :

  1. u + v
  2. v + u
  3. u + w

Penyelesaian :

1. Berdasarkan operasi penjumlahan vektor maka kita peroleh :

u + v = (1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)

2. Masih dengan cara yang sama, kita juga dapatkan :

v + u = (4, 5, 6) + (1, 2, 3) = (4+1, 5+2, 6+3) = (5, 7, 9)

3. Nah pada bagian ke-3 ini cukup menarik, dimana vektor u berada di R3 sedangkan w berada di R4 lalu bagaimana hasil dari penjumlahan u + w ?

Untuk mengetahuinya, kita representasikan vektor u dan v kedalam bentuk vektor kolom sebagai berikut :

Vektor u dalam bentuk vektor kolom dan vektor w dalam bentuk vektor kolom

Cukup jelas bahwa matriks vektor u mempunyai ordo 3 x 1 sedangkan matriks vektor w berordo 4 x 1 akibatnya berdasarkan syarat penjumlahan dua buah matriks, kita peroleh :

Penjumlahan matriks vektor u dan w

Hal tersebut dikarenakan pada penjumlahan dua buah matriks, haruslah mempunyai ordo yang sama.

Sifat Penjumlahan Vektor

Misalkan terdapat u = (u1, u2, ... , un) , v = (v1, v2, ... , vn), w dan vektor nol 0 = (0, 0, ... , 0) maka berlaku :

  • u + v = v + u (Bersifat Komutatif)
  • u + (v + w) = (u + v) + w (Bersifat Asosiatif)
  • u + 0 = 0 + u = u (Sifat penjumlahan dengan vektor nol)
  • u + (-u) = u - u = 0 (Sifat penjumlahan vektor u dengan negatif atau invers dari vektor u)

Perkalian dengan Skalar

Sebuah vektor u = (u1, u2, ... , un) jika dikalikan dengan sembarang skalar, misal kita notasikan skalar k, maka didefinisikan sebagai berikut :

ku = (ku1, ku2,..., kun)

Contoh 2

Diberikan vektor u = (2, 0, 1, 9), maka tentukan vektor v dan w jika :

  1. v = 2u
  2. 5w = 4v + 3u

Penyelesaian :

1. Kita dapat menuliskan ulang persamaan pada soal dan melakukan substitusi pada vektor u sebagai berikut :

Jawaban nomor 1.png

2. Dari soal nomor 1 di atas kita punya v = (4, 2, 0, 18) yang kemudian dapat kita substitusikan ke persamaan pada soal nomor 2.

jawaban nomor 2

Sifat Perkalian dengan Skalar

Misalkan k dan l adalah sembarang skalar sehingga berlaku :

  • k(u + v) = ku + kv (Bersifat distributif)
  • (k + l)u = ku + lu (Sama seperti sifat sebelumnya yakni bersifat distributif)
  • (kl)u = k(lu) (Bersifat asosiatif)
  • 1u = u (Sifat perkalian dengan skalar 1)

Hasil Kali Titik (Dot Product)

Hasil kali titik dari vektor u = (u1, u2, ... , un) dan v = (v1, v2, ... , vn) adalah berupa sebuah skalar yang didefinisikan :

u • v = u1v1 + u2v2 +...+unvn

Dengan kata lain fungsi dot product adalah fungsi yang mengolah dua vektor di Rn menjadi suatu skalar (real).

Contoh 3

Diberikan vektor u = (1,2,3,4)v = (8, 7, 6, 5) dan w = (3,2,1). Tentukan :

  • u • v
  • (u • v)w
  • u • w
  • (u • v) • w

Penyelesaian :

Pertama, berdasarkan definisi hasil kali titik kita peroleh :

penyelesaian contoh3 bag1

Kedua, berdasarkan sifat perkalian vektor dengan skalar kita peroleh :

penyelesaian contoh3 bag2

Ketiga, karena hasil kali titik (dot product) di Rn adalah sebuah fungsi yang mengolah atau mengkawankan dua vektor di Rn. Maka jika u = (1,2,3,4) di R4 dan w = (3,2,1) di R3 akibatnya :

Penyelesaian Contoh3 bag3

Keempat, pertanyaan pada bagian keempat ini dilatar-belakangi oleh masalah : Apakah operasi dot product dengan 3 vektor dimungkinkan? Jika demikian, mengapa? Okey kita kembali ke soal :

Penyelesaian contoh3 bag4.1

Jika kita perhatikan persamaan di atas, diperoleh hasil kali titik antara skalar (60) dengan vektor w. Perlu diketahui bahwa :

Penyelesaian contoh3 bag4.2

Berdasarkan definisi hasil kali titik, dimana operan (objek yang dioperasikan) dalam fungsi dot product adalah vektor-vektor yang berada pada ruang yang sama. Sehingga karena skalar (60) adalah bilangan real yang berada pada ruang R sedangkan vektor w = (3,2,1) berada pada ruang R3 akibatnya :

penyelesaian contoh3 bag4.3

Hubungan Dot Product dengan Perkalian Matriks

Pada bagian awal, kita sudah menyinggung sedikit bahwa vektor di Rn dapat direpresentasikan (diwakilkan) ke dalam bentuk matriks berordo n x 1.

Semisal kita punya u dan v di Rn maka kita dapat menuliskannya :

u = [uij] dengan u berordo n x 1 dan v = [vij]

Sekarang kita punya definisi baru, bahwa hasil kali titik (dot product) dari vektor u dan v di Rn merupakan perkalian matriks antara transpose dari u dengan v. Sehingga berdasarkan kaidah perkalian matriks kita peroleh :

Hubungan hasil kali titik dengan perkalian matriks

Sifat Perkalian Hasil Kali Titik

Jika u, v dan w adalah vektor di Rn dan k adalah sembarang skalar, maka berlaku :

  • u ∙ v = v ∙ u
  • (u + v) ∙ w = (u ∙ w) + ( v ∙ w)
  • k(u ∙ v) = (ku) ∙ v = u ∙ (kv)
  • u • u ≥ 0 dan kesamaan terjadi jika u = 0
  • u • u = | u |^2 dengan |u| adalah panjang vektor u

Contoh 4

Diberikan vektor u dan v di Rn dengan u • u = 10 , u • v = 11 dan v • v = 12. Tentukan nilai dari vektor w jika w = (u + 2v) • (3u + v).

Penyelesaian :

Sedikit berbeda dengan contoh-contoh sebelumnya, sekarang kita akan mencoba menyelesaikannya dengan menggunakan sifat-sifat hasil kali titik.

Langkah pertama, kita gunakan sifat kedua :

Langkah pertama

Masih dengan sifat yang sama kita jabarkan lagi menjadi :

Langkah kedua

Kemudian dilanjut dengan sifat ketiga kita peroleh :

Langkah ketiga

Terakhir, kita subtitusikan u • u = 10 , u • v = 11 dan v • v = 12.

Langkah terakhir

Referensi

  • Anton, Howard. (1991). Aljabar Linier Elementer. (Edisi ke-5). (Alih bahasa: Pantur Silaban, Ph. D & Drs. I. Nyoman Susila, M.Sc.). Jakarta: Penerbit Erlangga.
  • Larson, Ron dan David C. Falvo. (2009). Elementary Linear Algebra. (Edisi ke-6). Boston: Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company.

Definisi Vektor di Rn, Ruang Berdimensi n, Ruang-n Euclides

Pengenalan Vektor dalam Rn (Ruang Berdimensi n)

Berdasarkan konsep vektor pada Ruang berdimensi 2 dan 3 , jika kita meninjau sebuah vektor ( misalkan vektor u ) pada R2 maka dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan terurut u = (u1, u2) begitu pula jika pada R3 maka u = (u1, u2, u3).

Ilustrasi Vektor u pada R2(Ruang dimensi 2 dan R3(Ruang dimensi 3)

Sekarang bagaimana dengan vektor yang berada di R4, R5 dan seterusnya? Mengenai hal ini, pada abad ke-19 para ahli matematika dan ahli fisika mengembangkannya secara analitis pada R4, R5 bahkan sampai Rn. Kenapa perlu dikembangkan? salah satunya karena pada Sistem Persamaan Linear, dimana sebuah garis dapat dikatakan sebagai vektor yang panjangnya tak terbatas, diilustrasikan sebagai berikut :

Ilustrasi Garis sebagai Vektor yang Panjangnya Tak Terbatas

Permasalahan timbul jika pada sistem persamaan linearnya mempunyai 4, 5 bahkan sampai n variabel, lalu bagaimana dengan vektornya? itulah mengapa perlunya generalisasi konsep dari vektor R2 atau R3 ke ruang yang lebih tinggi. Untuk masalah visualisasi secara geometri pada ruang 4, 5 dan seterusnya. “tidak” dapat dilaksanakan. Sebab dunia dimana kita hidup hanya disusun dari konsep tiga dimensi.

Definisi Vektor di Rn

Sebuah vektor u di Rn didefinisikan sebagai n-tupel bilangan riil (u1, u2, ... , un) dengan n adalah bilangan bulat positif. Contohnya pada R2 vektor Vektor u di R2 dan pada R3 vektor u = (u1, u2, u3).

Jika kita perhatikan pada gambar sebelumnya, jelas bahwa pasangan (u1, u2) dan  tripel (u1, u2, u3) tidak hanya bermakna sebagai vektor namun juga dapat berperan sebagai titik. Nah, uniknya dalam ruang-n euclides keduanya dianggap sama, hal ini berlaku juga pada R4R5 sampai dengan Rn. Jadi kita bebas menggambarkannya sebagai titik maupun sebagai vektor di Rn.

Contoh :

u = (-1, 2, 0 , 5)

Vektor u tersebut berada di R4.

Jika kita perhatikan seksama, sering muncul istilah ruang-n euclides, lalu apa sih ruang-n euclides itu ? Secara geometri, ruang euclides adalah ruang 2 atau 3 dimensi dimana aksioma-aksioma geometri euclid berlaku dengan baik, yang kemudian digeneralisasi ke dalam ruang berdimensi n. Sedangkan secara analitis, himpunan semua n-tupel bilangan real dinamakan ruang-n dan dinyatakan Rn.

RHimpunan semua bilangan real
R2Himpunan semua pasangan bilangan real
R3Himpunan semua tripel bilangan real
R4Himpunan semua quadrupel bilangan real
Dan seterusnya sampai dengan
RnHimpunan semua n-tupel bilangan real

 

Vektor Nol di Rn

Sebuah vektor di Rn disebut sebagai vektor nol jika dan hanya jika semua entri yang didalamnya bernilai nol, biasa dituliskan sebagai berikut :

Vektor Nol (0) = (0, 0, ... , 0)

Untuk selanjutnya akan dibahas pada halaman lain mengenai operasi-operasi vektor di ruang-n euclid Rn. Namun sebelumnya pastikan bahwa anda sudah mengenal lebih dahulu operasi-operasi vektor pada Ruang-2 dan Ruang-3.

Referensi :

  • Anton, Howard. (1991). Aljabar Linier Elementer. (Edisi ke-5). (Alih bahasa: Pantur Silaban, Ph. D & Drs. I. Nyoman Susila, M.Sc.). Jakarta: Penerbit Erlangga. Hlm. 131-132.
  • Imrona, Mahmud. (2002). Aljabar Linier Elementer. STT Telkom, Bandung. Hlm. 64.
  • David, McMahon. (2005). Linear Algebra Demystified. New York: McGraw-Hill. Hlm. 79.