Eliminasi Gauss Jordan beserta Contoh Penerapannya

Siapa itu Gauss dan Jordan ?

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Jerman yang mempunyai julukan “Prince of Mathematics”. Dia juga yang menemukan eliminasi gauss yang kemudian disempurnakan menjadi eliminasi gauss-jordan. Baca lebih lengkap mengenai Eliminasi Gauss dan Contoh Penerapannya.

Camille Jordan (1838-1922) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Prancis yang juga seorang profesor di Ecole polytechnique, Paris. Konstribusinya didalam teori matriks dan terkenal dengan teorema buatannya, yaitu Teorema Kurva Jordan yang ditulis dalam bukunya yang berjudul Cours d’Analyse.

Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah prosedur pemecahan sistem persamaan linear dengan mengubahnya menjadi bentuk matriks eselon baris tereduksi dengan Operasi Baris Elementer.

Perhatikan ilutrasi berikut :

Lalu apa itu eselon baris tereduksi?

Bentuk Eselon Baris Tereduksi

Matriks Eselon Baris Tereduksi adalah sebuah bentuk matriks eselon baris yang lebih disederhanakan yang bertujuan agar lebih mudah dalam pencarian pemecahan (solusi) dari suatu sistem persamaan .

Agar mencapai bentuk eselon baris tereduksi diperlukan 4 sifat yang terdiri 3 sifat bentuk eselon baris dan 1 sifat khusus.

Berikut 4 sifat agar terbentuk eselon baris tereduksi :

1. Jika suatu baris yang semua elemennya tidak nol semua, maka bilangan tidak nol pertama dalam baris tersebut adalah 1. Bisa kita sebut dengan 1 utama/pertama.
2. Jika terdapat baris yang semuanya elemennya bernilai nol, maka semua baris yang seperti itu harus dikelompokkan dan diletakkan  di bawah matriks.
3. Setiap dua baris yang berurutan yang memenuhi sifat ke-1, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah letaknya harus lebih kekanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.

   Berikut contoh matriks eselon baris yang memenuhi ketiga sifat di atas :

   $$A=\left[{\begin{array}{ccccc}0&1&0&0&5\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&-2\end{array}}\right],~C=\left[{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}}\right]$$

   Di materi sebelumnya tentang eliminasi gauss sudah dijelaskan secara lebih jelas dan runtut mengenai Bentuk Eselon Baris (3 sifat diatas) dan disertai contoh yang menarik. Jadi disarankan membaca dulu materi tentang Eliminasi Gauss.

4. Sifat ke-4 ini merupakan sifat khusus yaitu setiap kolom yang mengandung 1 utama maka elemen-elemen lain selain 1 utama bernilai nol.

   Berikut contoh matriks eselon baris tereduksi yang memenuhi keempat syarat di atas :

   $$A=\left[{\begin{array}{cccc}0&\color{red}{1}&1&\color{blue}{0}\\0&\color{red}{0}&0&\color{blue}{1}\\0&\color{red}{0}&0&\color{blue}{0}\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}\color{red}{1}&\color{blue}{0}&\color{green}{0}\\\color{red}{0}&\color{blue}{1}&\color{green}{0}\\\color{red}{0}&\color{blue}{0}&\color{green}{1}\end{array}}\right],~C=\left[{\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}}\right]$$

Setelah memahami bentuk eselon baris tereduksi selanjutnya kita akan mencoba memecahkan sistem persamaan linear dengan eliminasi gauss-jordan yakni dengan cara merepresentasikan kedalam  matriks kemudian mengubahnya kebentuk eselon baris tereduksi.

Penerapan Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi gauss-jordan akan lebih terasa bermanfaat jika sistem persamaan linear tersebut terdiri dari banyak persamaan dan variabel, semisal sistem tersebut mempunyai 5 persamaan dan 5 variabel di dalamnya. Selain itu, eliminasi gauss dan eliminasi gauss-jordan juga dapat diterapkan pada sistem persamaan taklinear tertentu (lihat pada contoh ke-2).

Sebenarnya pemecahan SPL dengan metode eliminasi gauss-jordan sudah diterapkan pada postingan sebelumnnya, yaitu pada materi Pemecahan SPL dengan Operasi Baris Elementer yang mana terdapat 3 contoh unik (solusi tunggal, banyak solusi dan tidak punya solusi). Ketiga contoh tersebut dikerjakan dengan prosedur eliminasi gauss-jordan yang dilakukan secara jelas dan runtut.

Sehingga sekarang agar lebih menarik kita akan mencoba variasi soal yang lebih unik.

Contoh 1 (Linear)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

\(x+2y-3z=4\)
\(3x-y+5z=2\)
\(4x+y+(k^2 -14)z=k+2\)

Tentukan nilai \(k\) agar SPL di atas :

1. Tidak mempunyai penyelesaian;
2. Tepat mempunyai satu penyelesaian;
3. Mempunyai tak hingga banyak penyelesaian;

Penyelesaian :

Pertama kita representasikan sistem persamaan linear tersebut kedalam bentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\3&-1&5\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\2\\k+2\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Karena pada baris pertama sudah terdapat 1 utama, kita akan menyederhanakan baris ke-2 dengan operasi \(-3R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\), sehingga diperoleh :

Kemudian dilanjut penyederhanaan pada baris ke-3 dengan operasi \(-4R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\), didapat :

Langkah 2

Kita buat 1 utama pada baris ke-2 dengan operasi \(-\frac{1}{7}R_{2} \rightarrow R_{2}\) dan kita peroleh :

Selanjutnya kita sederhanakan baris ke-3 dengan operasi \(7R_{2} +R_{3}\rightarrow R_{3}\)

Langkah 3

Karena tujuan kita akan mengidentifikasi nilai \(k\), maka kita cukup fokus pada baris ke-3. apabila diubah kembali kedalam bentuk sistem persamaan linear maka :

Perhatikan pada persamaan ketiga :

$$(k^2 – 16)z = k-4$$

$$\Leftrightarrow (k-4)(k+4)z=k-4$$

$$\Leftrightarrow (k-4)(k+4)z -(k-4)=0$$

$$\Leftrightarrow (k-4)((k+4)z -1)=0$$

Kita bagi menjadi 2 kasus :

Kasus 1

Jika \(k-4=0\) atau \(k=4\) maka jika disubstitusikan ke persamaan ke-3 diperoleh :

$$0(8z-1)=0$$

Mengingat sifat sembarang bilangan jika dikalikan nol akan bernilai nol maka nilai dari \(8z-1\) mempunyai tak hingga kemungkinan. Dapat dimisalkan \(n=8z-1\) atau \(8z=n+1\Leftrightarrow z=\frac{n+1}{8}\) untuk sembarang bilangan \(n\). Akibatnya sistem persamaan linear tersebut mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian.

Kasus 2

Jika \((k+4)z-1= 0\) maka :

$$(k+4)z =1$$

$$\Leftrightarrow z=\frac{1}{k+4},~\text{dengan}~k\neq -4$$

Dari persamaan di atas, sistem tersebut akan konsisten (mempunyai solusi baik tunggal ataupun banyak) jika nilai dari \(k \neq -4 \). Dari pernyataan-pernyataan di atas dan sebelumnya, jika kita menginginkan sistem tersebut mempunyai solusi tunggal maka haruslah \(k\neq \{-4,4\}\). Sedangkan jika menginginkan sistem tersebut tidak mempunyai solusi maka haruslah \(k=-4\).

Kesimpulan

1. SPL tersebut akan tidak mempunyai solusi jika \(k=-4\)
2. SPL tersebut akan mempunyai tak hingga solusi jika \(k=4\)
3. SPL tersebut akan mempunyai solusi tunggal jika \(k\neq \{-4,4\}\)

Contoh 2 (Tak Linear)

Untuk membedakan sistem persamaan linear dengan sistem persamaan tak linear, bisa baca kembali Penjelasan Mengenai SIstem Persamaan Linear.

Tentukan pemecahan sistem persamaan tak linear untuk sudut-sudut yang tak diketahui \(\alpha, \beta, \gamma\)

\(2\sin{\alpha} – \cos{\beta} + 3\tan{\gamma} = 3\)
\(4\sin{\alpha} + 2\cos{\beta} – 2\tan{\gamma} = 2\)
\(6\sin{\alpha} – 3\cos{\beta} + \tan{\gamma} = 9\)

Dengan \(0 \leq \alpha \leq 2\pi,~0 \leq \beta \leq 2\pi,\) dan \(0 \leq \gamma < \pi,~\).

Penyelesaian :

Kalau kita perhatikan bentuk sistem persamaan tak linear di atas tidak beda jauh dengan sistem persamaan linear yang biasa kita kenal, sehingga jika kita representasikan kedalam bentuk matriks akan diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&-1&3\\4&2&-2\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}3\\2\\9\end{array}}\right]$$

Kita akan menggunakan eliminasi gauss-jordan untuk memecahkan sistem tersebut.

Langkah 1

Kita buat 1 utama pada baris pertama dengan operasi \(\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}\) sehingga didapat :

Langkah 2

Kita sederhanakan baris ke-2 dengan operasi \(-4R_{1} +R_{2} \rightarrow R_{2}\)

Kemudian kita sederhanakan juga baris ke-3 dengan operasi \(-6R_{1} +R_{3} \rightarrow R_{3}\)

Langkah 3

Kita buat 1 utama untuk baris ke-2 dengan cara menggunakan operasi \(\frac{1}{4}R_{2}\rightarrow R_{2}\)

Sekalian kita buat 1 utama dengan operasi \(-\frac{1}{8}R_{3} \rightarrow R_{3}\)

Langkah 4

Jika kita perhatikan bentuk terakhir matriks di atas sudah memenuhi bentuk eselon baris, selanjutnya kita akan mengubahnya menjadi eselon baris tereduksi.

Kita sederhanakan lagi baris ke-1 dengan operasi \(\frac{1}{2}R_{2}+R_{1} \rightarrow R_{1}\)

Dilanjut dengan operasi \(-\frac{1}{2}R_{3} +R_{1} \rightarrow R_{1}\)

Begitu pula untuk baris ke-2 kita sederhanakan lagi dengan operasi \(2R_{3} +R_{2} \rightarrow R_{2}\) sehingga diperoleh :

Bentuk terkahir sudah memenuhi bentuk eselon tereduksi, kemudian selanjutnya kita nyatakan kembali kedalam sistem persamaan tak linear sebagai berikut.

Untuk persamaan pertama :

\(\sin{\alpha}=1\)

Dengan \(0\leq \alpha \leq 2\pi\), maka nilai \(\alpha\) yang memenuhi adalah \(\alpha = 90^{\circ}\). Sedangkan untuk persamaan \(\cos{\beta}=-1\) dan \(\tan{\gamma}=0\) nilai \(\beta\) dan \(\gamma\) yang memenuhi yaitu berturut-turut \(180^{\circ}\) dan \(0^{\circ}\)mengingat \(0 \leq \beta \leq 2\pi,~0 \leq \gamma < \pi\). Dan kita telah selesai.