Eliminasi Gauss-Jordan Archives

Konsep Gabungan Matriks Elementer dan OBE untuk Mencari Invers

Aljabar Linear, Eliminasi Gauss-Jordan, Matematika, Matematika Lanjutan, Matriks, Matriks Elementer·2 April 20191 Juni 2020

Penerapan Matriks Elementer

Pada pembahasan sebelumnya, kita sudah mengenal tentang Definisi Matriks Elementer dan Sifatnya. Nah sekarang ini kita akan membahas lebih lanjut mengenai kegunaan dari matriks elementer.

Dalam mencari invers suatu matriks selain menggunakan adjoint, kita juga bisa menggunakan konsep gabungan antara matriks elementer dan metode eliminasi gauss-jordan.

Lalu bagaimana caranya ?

Eits.. Sebelum kita tahu caranya, kita harus tahu konsep dasarnya dulu. Pertama kita cari tahu sifat-sifat matriks invers.

Sifat-sifat Matriks Invers

Definisi 1

Jika $A$ adalah matriks persegi, dan jika terdapat matriks $B$ sehingga $AB=BA=I$ maka matriks $A$ dikatakan dapat dibalik (invertible) dan $B$ disebut juga invers dari $A$ atau dapat ditulis $B=A^{-1}$.

Teorema 1 (Sifat dari Matriks Invers)

Jika matriks $A$ dapat dibalik maka $A^{-1}$ dapat dibalik dan berlaku :
$$(A^{-1})^{-1}=A$$
Bukti : Matriks $A$ dapat dibalik sehingga berdasarkan definisi 1 maka $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ dan karena $A^{-1}$ dapat dibalik maka $(A^{-1})^{-1}=A$.
Jika $A$ matriks yang dapat dibalik dan $c$ adalah skalar yang tidak sama dengan nol, maka $cA$ dapat dibalik dan berlaku :
$$(cA)^{-1}=\frac{1}{c}A^{-1}$$
Bukti : Berdasarkan definisi 1, pembuktian bagian ini equivalen dengan cukup membuktikan persamaan $(cA)(\frac{1}{c}A^{-1})=(\frac{1}{c}A^{-1})(cA)=I$. Sehingga berdasarkan sifat-sifat operasi matriks kita peroleh :
$$(cA)(\frac{1}{c}A^{-1})=\frac{1}{c}(cA)A^{-1}=(\frac{1}{c}c)AA^{-1}=(1)I=I\dots(i)$$
Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh $(\frac{1}{c}A^{-1})(cA)=I\dots(ii)$ sehingga dari persamaan $(i)$ dan $(ii)$ kita dapatkan $(cA)(\frac{1}{c}A^{-1})=(\frac{1}{c}A^{-1})(cA)=I$, sesuai yang diminta.
Jika matriks $A$ dan $B$ dapat dibalik dan memiliki ordo yang sama, maka $AB$ dapat dibalik dan berlaku :
$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$
Bukti : Kita gunakan cara yang seperti sebelumnya yaitu berdasarkan definisi 1, kita cukup membuktikan bahwa $(AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})(AB)=I$, perhatikan persamaan berikut :
$$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=A(I)A^{-1}=AA^{-1}=I\dots(i)$$
Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh $(B^{-1}A^{-1})(AB)=I\dots(ii)$ sehingga dari persamaan $(i)$ dan $(ii)$ kita dapatkan $(AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})(AB)=I$, sesuai yang diminta.
Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka $A^{T}$ (Transpose Matriks) dapat dibalik dan berlaku :
$$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$$
Bukti : Berdasarkan sifat-sifat operasi matriks terhadap operasi transpose maka :
$$(A^{-1})^{T}A^{T}=(AA^{-1})^{T}$$
$$\Leftrightarrow (A^{-1})^{T}A^{T}=I^T=I\dots(i)$$
Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh $A^{T}(A^{-1})^{T}=I\dots(ii)$ sehingga dari persamaan $(i)$ dan $(ii)$ kita dapatkan $(A^{-1})^{T}A^{T}=A^{T}(A^{-1})^{T}=I$, kemudian berdasarkan definisi 1, didapat $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$.
Jika matriks $A$ dapat dibalik dan $c$ adalah bilangan bulat tak negatif maka $A^{c}$ dapat dibalik dan berlaku :
$$(A^{c})^{-1}=(A^{-1})^{c}$$
Bukti : Dengan berdasarkan sifat-sifat operasi matriks terhadap operasi perkalian maka :
$$A^{c}(A^{-1})^{c}=A^{c}A^{-c}=A^{c+(-c)}=A^{0}=I\dots(i)$$
Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh $(A^{-1})^{c}A^{c}=I\dots(ii)$ sehingga dari persamaan $(i)$ dan $(ii)$ kita dapatkan $A^{c}(A^{-1})^{c}=(A^{-1})^{c}A^{c}=I$, sehingga berdasarkan definisi 1, kita dapatkan $(A^{c})^{-1}=(A^{-1})^{c}$.

Corollary 1 : Akibat dari teorema 1 bagian (c), jika $A_{1},~A_{2},\dots,~A_{k}$ adalah matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama dan dapat dibalik, maka hasil kali matriks-matriks tersebut $(A_{1}A_{2}\dots A_{k})$ juga dapat dibalik atau dapat ditulis :

$$(A_{1}A_{2}\dots A_{k})^{-1}=A_{k}^{-1}A_{k-1}^{-1}\dots A_{1}^{-1}$$

Teorema 2 (Teorema Dasar untuk Matriks yang Invertible)

Jika $A$ adalah matriks persegi $n \times n$ kemudian $\vec{x}$ dan $\vec{b}$ adalah vektor kolom $n\times 1$, maka pernyataan-pernyataan berikut saling ekuivalen (semuanya benar atau semuanya salah).

Matriks $A$ bersifat invertible (dapat dibalik).
$A\vec{x}=\vec{b}$ mempunyai solusi unik untuk setiap $\vec{b} \in \mathbb{R}^{n}$.
$A\vec{x}=\vec{0}$ hanya mempunyai solusi pemecahan trivial.
Bentuk eselon baris tereduksi dari matriks $A$ adalah matriks satuan $I_{n\times n}$.
$A$ dapat dinyatakan sebagai hasil kali beberapa matriks elementer.

Bukti :

Untuk membuktikan pernyataan-pernyataan di atas saling ekuivalen, kita cukup membuktikan rantai implikasi berikut : $(a)\Rightarrow(b)\Rightarrow(c)\Rightarrow(d)\Rightarrow(e)\Rightarrow(a)$.

Langkah 1

$(a)\Rightarrow(b)$, karena $A$ dapat dibalik maka berlaku $A(A^{-1}\vec{b})=(AA^{-1})\vec{b}=I\vec{b}=\vec{b}$, kemudian kita dapat mengatur $\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$ yang merupakan solusi dari persamaan $A\vec{x}=\vec{b}$. Lalu kita pastikan bahwa solusi dari persamaan tersebut tunggal yakni $\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$. Kita mulai dari persamaan awal :

$$A\vec{x}=\vec{b}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}A\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$$

$$\Leftrightarrow I\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$$

$$\Leftrightarrow \vec{x}=A^{-1}\vec{b}$$

Sehingga jelaslah bahwa penulisan $\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$ bersifat tunggal.

Langkah 2

$(b)\Rightarrow(c)$, berdasarkan pernyataan $(b)$ dengan mengatur $\vec{b}=\vec{0}$ maka kita dapatkan solusi tunggal yaitu :

$$A\vec{x}=\vec{0}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}A\vec{x}=A^{-1}\vec{0}$$

$$\Leftrightarrow I\vec{x}=\vec{0}$$

$$\Leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\\vdots\\0\end{array}}\right]$$

Jadi persamaan $A\vec{x}=\vec{0}$ hanya mempunyai solusi trivial $\vec{x}=\vec{0}$.

Langkah 3

$(c)\Rightarrow(d)$, pada pembahasan sebelumnya mengenai SIstem Persamaan Linear Homogen, kita tahu bahwa persamaan $A\vec{x}=\vec{0}$ dapat kita tuliskan sebagai berikut :

$$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n} =0$$

$$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n} =0$$

$$\vdots$$

$$a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots+a_{nn}x_{n} =0$$

Kemudian kita representasikan kedalam bentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&0\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}&0\end{array}}\right]$$

Karena solusi dari persamaan $A\vec{x}=\vec{0}$ tunggal, maka hanya mempunyai pemecahan trivial $x_{1}=0,~x_{2}=0,\dots,~x_{n}=0$. Sehingga jika kita gunakan eliminasi gauss jordan kita akan mendapatkan bentuk eselon baris tereduksi sebagai berikut :

$$\left[{\begin{array}{cccc|c}1&0&\dots&0&0\\0&1&\dots&0&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\dots&1&0\end{array}}\right]$$

Bentuk di atas akan senilai dengan :

$$\left[{\begin{array}{cccc}1&0&\dots&0\\0&1&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\\vdots\\0\end{array}}\right]$$

Dari bentuk terakhir di atas dapat kita simpulkan bahwa $A$ dapat direduksi menjadi $I_{n\times n}$ dengan menggunakan operasi baris elementer.

Langkah 4

$(d)\Rightarrow(e)\Rightarrow(a)$, berdasarkan $(d)$ bahwa $A$ dapat direduksi menjadi $I_{n\times n}$ dengan urutan berhingga dari operasi-operasi baris elementer (kita misalkan terdapat $k$ kali OBE).

Kemudian jika didefinisikan $L_{i}$ menyatakan operasi baris elementer yang dilakukan pada urutan ke-$i$ dengan $i=\{1,2,\dots,k\}$. Maka kita dapat mencari matriks elementer $E_{1},~E_{2},\dots,~E_{k}$ sebagai berikut :

$$I\xrightarrow[]{L_{1}}E_{1}$$

$$I\xrightarrow[]{L_{2}}E_{2}$$

$$\vdots$$

$$I\xrightarrow[]{L_{k}}E_{k}$$

Mengingat kembali jika matriks elementer $E$ dihasilkan dengan melakukan satu kali Operasi Baris Elementer(OBE) tertentu pada matriks identitas $I_{n\times n}$. Kemudian jika OBE yang sama dikenakan pada sebarang matriks $B_{n\times m}$ maka hasilnya akan sama dengan hasil kali $EB$, lihat contohnya disini.

Sehingga berdasarkan pernyataan di atas, jika matriks $A$ kita kenakan OBE dari urutan ke-$1$ sampai ke-$k$ secara berturut-turut, maka kita peroleh hubungan :

$$A\xrightarrow[]{L_{1}}E_{1}A$$

$$E_{1}A\xrightarrow[]{L_{2}}E_{2}E_{1}A$$

$$\vdots$$

$$E_{k-1}\dots E_{2}E_{1}A\xrightarrow[]{L_{k}}E_{k}\dots E_{2}E_{1}A$$

Karena bentuk eselon baris tereduksi dari $A$ adalah $I_{n\times n}$ maka $E_{k}\dots E_{2}E_{1}A=I_{n\times n}\dots(*)$. Kemudian karena matriks elementer dapat dibalik dan inversnya berupa matriks elementer, maka dengan mengalikan kedua ruas persamaan $(*)$ dengan matriks elementer $E_{k}^{-1},\dots,~E_{2}^{-1},~E_{1}^{-1}$ secara berturut-turut didapat :

$$A=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}\dots E_{k}^{1}I_{n\times n}^{-1}$$

Karena $A$ dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks elementer yang dapat dibalik maka dapat disimpulkan $A$ dapat dibalik. Untuk melihat lebih jelas, kita gunakan corollary 1 sehingga didapat :

$$A^{-1}=(E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}\dots E_{k}^{-1}I_{n\times n}^{-1})^{-1}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}=(I_{n\times n}^{-1})^{-1}(E_{k}^{-1})^{-1}\dots (E_{2}^{-1})^{-1}(E_{1}^{-1})^{-1}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}=I_{n\times n}E_{k}\dots E_{2}E_{1}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}=E_{k}\dots E_{2}E_{1}I_{n\times n}\dots(**)$$

Konsep Mencari Invers dengan Matriks Elementer

JIka kita perhatikan persamaan $(**)$ maka kita dapat memperoleh $A^{-1}$ dengan mengalikan $I_{n\times n}$ dari sebelah kiri berturut-turut dengan $E_{1},~E_{2},\dots,~E_{k}$. Kemudian berdasarkan persamaan $(*)$ dan $(**)$ maka dapat kita simpulkan bahwa urutan langkah-langkah OBE yang dilakukan pada $A$ akan membawa kebentuk matriks satuan $I_{n \times n}$ dan langkah-langkah yang sama jika dikenakan pada matriks satuan $I_{n \times n}$ akan menghasilkan $A^{-1}$. Untuk lebih jelasnya dapat kita tuliskan sebagai berikut :

$$\left[{A\mid I}\right]\xrightarrow[]{L_{1},~L_{2},\dots,~L_{k}}\left[{I\mid A^{-1}}\right]$$

Contoh 1 (Dapat Dibalik)

Didefinisikan matriks $A$ sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\7&2&8\\2&0&1\end{array}}\right]$$

Tentukan invers matriks tersebut (bila ada).

Penyelesaian :

Syarat $A$ matriks persegi sudah terpenuhi, sehingga kita dapat menuliskan :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{7}&\color{blue}{2}&\color{blue}{8}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{2}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Perlu diingat bahwa tujuan kita adalah mereduksi matriks $A$ (biru) sehingga membentuk eselon baris tereduksi, maka kita akan menggunakan metode gauss-jordan dengan OBE.

Karena pada baris pertama sudah terdapat 1 utama, maka kita sederhanakan baris ke-$2$ dengan operasi $-7R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}$ sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-26}&\color{blue}{-27}&\color{red}{-7}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{2}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Begitu pula pada baris ke-$3$ kita sederhanakan dengan operasi $-2R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}$

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-26}&\color{blue}{-27}&\color{red}{-7}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-8}&\color{blue}{-9}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita sederhanakan lagi baris ke-2 dengan operasi $-3R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}$ sehingga didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-2}&\color{blue}{0}&\color{red}{-1}&\color{red}{1}&\color{red}{-3}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-8}&\color{blue}{-9}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Selanjutnya kita buat 1 utama pada baris ke-2 dengan operasi $-\frac{1}{2}R_{2}\rightarrow R_{2}$

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-8}&\color{blue}{-9}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Dan tidak lupa kita sederhanakan baris ke-$3$ dengan operasi $8R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}$

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{-9}&\color{red}{2}&\color{red}{-4}&\color{red}{13}\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Kita buat 1 utama pada baris ke-3 dengan operasi $-\frac{1}{9}R_{3}\rightarrow R_{3}$

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Disusul penyederhanaan baris ke-$1$ dengan operasi $-4R_{2}+R_{1}\rightarrow R_{1}$

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{blue}{5}&\color{red}{-1}&\color{red}{2}&\color{red}{-6}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Dan juga disederhanakan lagi dengan operasi $-5R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}$ untuk memperoleh hasil akhir :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{9}}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{11}{9}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Jadi dari bentuk matriks di atas diperoleh :

$$A^{-1}=\left[{\begin{array}{ccc}\color{red}{\frac{1}{9}}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{11}{9}}\\\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Contoh 2 (Tidak Dapat Dibalik)

Didefinisikan matriks $A$ sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&-3&-5\\1&4&0\\4&5&-5\end{array}}\right]$$

Tentukan invers matriks tersebut (bila ada).

Penyelesaian :

Pertama kita nyatakan dalam bentuk :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{2}&\color{blue}{-3}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Kita tentukan 1 utama dengan operasi $R_{2}\leftrightarrow R_{1}$

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{2}&\color{blue}{-3}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Kita sederhanakan baris ke-$2$ dengan operasi $-2R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}$

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}\\\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Kemudian sederhanakan baris ke-$3$ dengan operasi $-4R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}$

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{-4}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita sederhanakan baris ke-$3$ dengan operasi $-1R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}$ dan kita dapatkan sesuatu yang unik :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{red}{-1}&\color{red}{-2}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Kita perhatikan baris ketiga (biru) terdapat baris bilangan nol, akibatnya $A$ tidak dapat dibentuk menjadi matriks satuan sehingga berdasarkan teorema 2, akibatnya $A$ tidak dapat dibalik.

Sistem Persamaan Linear Homogen dan Sifatnya

Aljabar Linear, Eliminasi Gauss-Jordan, Matematika, Matematika Lanjutan, Matriks, Sistem Persamaan Linear dan Matriks·27 Maret 20191 Juni 2020

Definisi Sistem Persamaan Linear Homogen

Suatu sistem persamaan linear disebut homogen jika konstantanya bernilai 0. Disini kita membedakan konstanta dan koefisien, dimana konstanta pada umumnya berada pada ruas kanan persamaan sedangkan koefisien “berdampingan” dengan variabel.

Pada umumnya suatu sistem persamaan linear dapat dituliskan :

$$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n} =b_{1}$$

$$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n} =b_{2}$$

$$\vdots$$

$$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n} =b_{m}$$

Dengan $a_{ij}$ menyatakan koefisien, $x_{j}$ menyatakan variabel dan $b_{i}$menyatakan konstanta untuk setiap $i=\{1,2,3,\dots,m\}~\text{dan}~j=\{1,2,3,\dots,n\}$. SPL tersebut dinyatakan homogen jika $b_{i}=0$ atau dapat ditulis kembali :

$$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n} =0$$

$$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n} =0$$

$$\vdots$$

$$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n} =0$$

Contoh 1 :

$$5x_{1} -2x_{2} +x_{3} -3x_{4}=0$$

$$2x_{1} + x_{2} -x_{3} -7x_{4}=0$$

$$2x_{2} – 3x_{3} =0$$

$$3x_{2} +4x_{3} +x_{4}=0$$

Bisakah anda mencari solusi dari SPL diatas tanpa menggunakan metode Operasi Baris Elementer ?

Contoh 2 :

$$3x+y-z=0$$

$$5x-2y+z=0$$

$$2x+3y+2=0$$

Pada contoh kedua, sistem tersebut tidak bersifat homogen, sebab jika kita perhatikan pada persamaan ketiga terdapat konstanta yang bernilai tidak nol melainkan bernilai 2.

Teorema 1 (Sistem Persamaan Linear Homogen bersifat Konsisten)

Suatu sistem persamaan linear homogen bersifat konsisten karena terdapat satu solusi yang diperoleh dengan mengatur setiap variabel bernilai nol.

Bukti :

Atur setiap variabel bernilai nol, maka ketika kita menggantikan nilai variabel pada setiap persamaan, maka ruas kiri akan menghasilkan nol, tak peduli apapun koefisiennya. Kemudian karena sistem persamaan linear homogen mempunyai konstanta di ruas kanan bernilai nol akibatnya setiap persamaan bernilai benar dan karena setidaknya mempunyai satu solusi (semua variabel bernilai nol) maka sistem persamaan linear homogen bersifat konsisten.

Definisi Solusi Trivial dalam SPL Homogen

Dikutip dari halaman wikipedia arti kata trivial merupakan hal yang sepele, biasa dan tidak penting. Jadi dapat dikatakan solusi trivial merupakan solusi yang “biasa-biasa saja” bukan hal yang istimewa.

Definisi :

Misalkan terdapat sistem persamaan linear homogen dengan $n$ variabel. Maka solusi dengan $x_{1}=0,~x_{2}=0,~x_{3}=0,\dots,x_{n}=0$ disebut juga solusi trivial.

Teorema 2 (SPL Homogen dengan Variabel > Persamaan)

Misalkan terdapat suatu persamaan linear homogen mempunyai $m$ persamaan dan $n$ variabel dengan $n > m$. Maka sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya solusi.

Untuk bukti lengkapnya anda bisa baca di : http://linear.ups.edu/html/section-HSE.html

Contoh dari teorema 2 :

$2x +3y +4z =0$
$3x -2z =0$

Dari sistem di atas terdapat 2 persamaan dan 3 variabel. Selanjutnya kita akan mengecek apakah benar sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya solusi ?

Kita akan mengeceknya menggunakan metode eliminasi gauss-jordan dengan Operasi Baris Elementer.

Langkah 1

Kita representasikan kedalam bentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&3&4\\3&0&-2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita buat 1 utama pada baris pertama dengan operasi $\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}$, sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&3&4\\3&0&-2\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&\frac{3}{2}&2\\3&0&-2\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]$$

Langkah 3

Kita sederhanakan baris kedua dengan operasi $-3R_{1} +R_{2} \rightarrow R_{2}$ dan didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&\frac{3}{2}&2\\3&0&-2\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&\frac{3}{2}&2\\0&-\frac{9}{2}&-8\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]$$

Langkah 4

Kita buat 1 utama pada baris kedua dengan operasi $-\frac{2}{9}R_{2} \rightarrow R_{2}$

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&\frac{3}{2}&2\\0&-\frac{9}{2}&-8\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&\frac{3}{2}&2\\0&1&\frac{16}{9}\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]$$

Pada bentuk akhir pada langkah ini disebut juga bentuk eselon baris. Kita akan menyederhanakannya lagi sehingga menjadi bentuk eselon baris tereduksi.

Langkah 5

Selanjutnya kita sederhanakan lagi bentuk baris pertama dengan operasi $-\frac{3}{2}R_{2} +R_{1} \rightarrow R_{1}$ dan diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&\frac{3}{2}&2\\0&1&\frac{16}{9}\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{2}{3}\\0&1&\frac{16}{9}\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]$$

Bentuk akhir pada langkah ke lima merupakan bentuk eselon baris tereduksi. kemudian kita ubah lagi kebentuk sistem persamaan linear :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{2}{3}\\0&1&\frac{16}{9}\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]\rightarrow \begin{array}{c}x-\frac{2}{3}z=0\dots (i)\\y+\frac{16}{9}=0 \dots (ii)\end{array}$$

Persamaan $(i)$ dan $(ii)$ dapat pula dituliskan sebagai :

$$x=\frac{2}{3}z$$

$$y=-\frac{16}{9}z$$

Sehingga jika kita tetapkan $z = k$ untuk sebarang bilangan $k$ maka diperoleh himpunan penyelesaian sebagai berikut :

$$\text{HP}=\{(x,y,z)\mid x=\frac{2}{3}z,~y=-\frac{16}{9}z,~\forall~\text{sembarang bilangan z}\}$$

atau

$$\text{HP}=\{(x,y,z)\mid x=\frac{2}{3}k,~y=-\frac{16}{9}k,~z=k,~\forall~\text{sembarang bilangan k}\}$$

Jelas dengan melihat himpunan penyelesaian di atas, sistem persamaan linear homogen pada soal mempunyai tak hingga banyaknya solusi.

Grafik SPL Homogen

Suatu sistem persamaan linear homogen mempunyai solusi trivial sehingga apabila setiap persamaanya dilukiskan kedalam suatu grafik maka grafiknya akan melewati titik pangkal (titik asal atau titik koordinat kartesius).

Catatan : SPL 2 variabel grafiknya berupa garis-garis, SPL 3 variabel grafiknya berupa bidang-bidang sedangkan untuk SPL dengan variabel lebih dari 3 belum memungkinkan untuk dilukiskan.

Contoh :

Diberikan SPL homogen 2 variabel sebagai berikut :

$$\color{red}{3x+2y=0}$$

$$\color{blue}{2x-y=0}$$

Grafiknya :

Contoh 2 :

Diberikan SPL homogen 3 variabel sebagai berikut :

$$\color{red}{4x-2y+3z=0}$$

$$\color{blue}{2x-y-5z=0}$$

$$\color{green}{3x+2y-2z=0}$$

Grafiknya :

Kesimpulan

SPL homogen mempunyai ciri khas yaitu konstanta-konstantanya bernilai nol.
Sistem persamaan linear homogen bersifat konsisten, selalu mempunyai solusi setidaknya satu solusi (solusi trivial).
SPL Homogen dengan banyak variabel $>$ banyak persamaan, maka sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya solusi.

Eliminasi Gauss Jordan beserta Contoh Penerapannya

Aljabar Linear, Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss-Jordan, Matematika, Matematika Lanjutan, Matriks, Sistem Persamaan Linear dan Matriks·23 Maret 20191 Juni 2020

Siapa itu Gauss dan Jordan ?

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Jerman yang mempunyai julukan “Prince of Mathematics”. Dia juga yang menemukan eliminasi gauss yang kemudian disempurnakan menjadi eliminasi gauss-jordan. Baca lebih lengkap mengenai Eliminasi Gauss dan Contoh Penerapannya.

Camille Jordan (1838-1922) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Prancis yang juga seorang profesor di Ecole polytechnique, Paris. Konstribusinya didalam teori matriks dan terkenal dengan teorema buatannya, yaitu Teorema Kurva Jordan yang ditulis dalam bukunya yang berjudul Cours d’Analyse.

Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah prosedur pemecahan sistem persamaan linear dengan mengubahnya menjadi bentuk matriks eselon baris tereduksi dengan Operasi Baris Elementer.

Perhatikan ilutrasi berikut :

Lalu apa itu eselon baris tereduksi?

Bentuk Eselon Baris Tereduksi

Matriks Eselon Baris Tereduksi adalah sebuah bentuk matriks eselon baris yang lebih disederhanakan yang bertujuan agar lebih mudah dalam pencarian pemecahan (solusi) dari suatu sistem persamaan .

Agar mencapai bentuk eselon baris tereduksi diperlukan 4 sifat yang terdiri 3 sifat bentuk eselon baris dan 1 sifat khusus.

Berikut 4 sifat agar terbentuk eselon baris tereduksi :

Jika suatu baris yang semua elemennya tidak nol semua, maka bilangan tidak nol pertama dalam baris tersebut adalah 1. Bisa kita sebut dengan 1 utama/pertama.
Jika terdapat baris yang semuanya elemennya bernilai nol, maka semua baris yang seperti itu harus dikelompokkan dan diletakkan di bawah matriks.
Setiap dua baris yang berurutan yang memenuhi sifat ke-1, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah letaknya harus lebih kekanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.
Berikut contoh matriks eselon baris yang memenuhi ketiga sifat di atas :
$$A=\left[{\begin{array}{ccccc}0&1&0&0&5\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&-2\end{array}}\right],~C=\left[{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}}\right]$$
Di materi sebelumnya tentang eliminasi gauss sudah dijelaskan secara lebih jelas dan runtut mengenai Bentuk Eselon Baris (3 sifat diatas) dan disertai contoh yang menarik. Jadi disarankan membaca dulu materi tentang Eliminasi Gauss.
Sifat ke-4 ini merupakan sifat khusus yaitu setiap kolom yang mengandung 1 utama maka elemen-elemen lain selain 1 utama bernilai nol.
Berikut contoh matriks eselon baris tereduksi yang memenuhi keempat syarat di atas :
$$A=\left[{\begin{array}{cccc}0&\color{red}{1}&1&\color{blue}{0}\\0&\color{red}{0}&0&\color{blue}{1}\\0&\color{red}{0}&0&\color{blue}{0}\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}\color{red}{1}&\color{blue}{0}&\color{green}{0}\\\color{red}{0}&\color{blue}{1}&\color{green}{0}\\\color{red}{0}&\color{blue}{0}&\color{green}{1}\end{array}}\right],~C=\left[{\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}}\right]$$

Setelah memahami bentuk eselon baris tereduksi selanjutnya kita akan mencoba memecahkan sistem persamaan linear dengan eliminasi gauss-jordan yakni dengan cara merepresentasikan kedalam matriks kemudian mengubahnya kebentuk eselon baris tereduksi.

Penerapan Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi gauss-jordan akan lebih terasa bermanfaat jika sistem persamaan linear tersebut terdiri dari banyak persamaan dan variabel, semisal sistem tersebut mempunyai 5 persamaan dan 5 variabel di dalamnya. Selain itu, eliminasi gauss dan eliminasi gauss-jordan juga dapat diterapkan pada sistem persamaan taklinear tertentu (lihat pada contoh ke-2).

Sebenarnya pemecahan SPL dengan metode eliminasi gauss-jordan sudah diterapkan pada postingan sebelumnnya, yaitu pada materi Pemecahan SPL dengan Operasi Baris Elementer yang mana terdapat 3 contoh unik (solusi tunggal, banyak solusi dan tidak punya solusi). Ketiga contoh tersebut dikerjakan dengan prosedur eliminasi gauss-jordan yang dilakukan secara jelas dan runtut.

Sehingga sekarang agar lebih menarik kita akan mencoba variasi soal yang lebih unik.

Contoh 1 (Linear)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

$x+2y-3z=4$
$3x-y+5z=2$
$4x+y+(k^2 -14)z=k+2$

Tentukan nilai $k$ agar SPL di atas :

Tidak mempunyai penyelesaian;
Tepat mempunyai satu penyelesaian;
Mempunyai tak hingga banyak penyelesaian;

Penyelesaian :

Pertama kita representasikan sistem persamaan linear tersebut kedalam bentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\3&-1&5\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\2\\k+2\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Karena pada baris pertama sudah terdapat 1 utama, kita akan menyederhanakan baris ke-2 dengan operasi $-3R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}$, sehingga diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\3&-1&5\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\2\\k+2\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k+2\end{array}}\right]$$

Kemudian dilanjut penyederhanaan pada baris ke-3 dengan operasi $-4R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}$, didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k+2\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k-14\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita buat 1 utama pada baris ke-2 dengan operasi $-\frac{1}{7}R_{2} \rightarrow R_{2}$ dan kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k-14\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-14\end{array}}\right]$$

Selanjutnya kita sederhanakan baris ke-3 dengan operasi $7R_{2} +R_{3}\rightarrow R_{3}$

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-14\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&0&k^2 – 16\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-4\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Karena tujuan kita akan mengidentifikasi nilai $k$, maka kita cukup fokus pada baris ke-3. apabila diubah kembali kedalam bentuk sistem persamaan linear maka :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&0&k^2 – 16\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-4\end{array}}\right]\rightarrow \begin{array}{c}x+2y-3z=4\\y-2z=\frac{10}{7}\\(k^2 -16)z=k-4\end{array}$$

Perhatikan pada persamaan ketiga :

$$(k^2 – 16)z = k-4$$

$$\Leftrightarrow (k-4)(k+4)z=k-4$$

$$\Leftrightarrow (k-4)(k+4)z -(k-4)=0$$

$$\Leftrightarrow (k-4)((k+4)z -1)=0$$

Kita bagi menjadi 2 kasus :

Kasus 1

Jika $k-4=0$ atau $k=4$ maka jika disubstitusikan ke persamaan ke-3 diperoleh :

$$0(8z-1)=0$$

Mengingat sifat sembarang bilangan jika dikalikan nol akan bernilai nol maka nilai dari $8z-1$ mempunyai tak hingga kemungkinan. Dapat dimisalkan $n=8z-1$ atau $8z=n+1\Leftrightarrow z=\frac{n+1}{8}$ untuk sembarang bilangan $n$. Akibatnya sistem persamaan linear tersebut mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian.

Kasus 2

Jika $(k+4)z-1= 0$ maka :

$$(k+4)z =1$$

$$\Leftrightarrow z=\frac{1}{k+4},~\text{dengan}~k\neq -4$$

Dari persamaan di atas, sistem tersebut akan konsisten (mempunyai solusi baik tunggal ataupun banyak) jika nilai dari $k \neq -4 $. Dari pernyataan-pernyataan di atas dan sebelumnya, jika kita menginginkan sistem tersebut mempunyai solusi tunggal maka haruslah $k\neq \{-4,4\}$. Sedangkan jika menginginkan sistem tersebut tidak mempunyai solusi maka haruslah $k=-4$.

Kesimpulan

SPL tersebut akan tidak mempunyai solusi jika $k=-4$
SPL tersebut akan mempunyai tak hingga solusi jika $k=4$
SPL tersebut akan mempunyai solusi tunggal jika $k\neq \{-4,4\}$

Contoh 2 (Tak Linear)

Untuk membedakan sistem persamaan linear dengan sistem persamaan tak linear, bisa baca kembali Penjelasan Mengenai SIstem Persamaan Linear.

Tentukan pemecahan sistem persamaan tak linear untuk sudut-sudut yang tak diketahui $\alpha, \beta, \gamma$

$2\sin{\alpha} – \cos{\beta} + 3\tan{\gamma} = 3$
$4\sin{\alpha} + 2\cos{\beta} – 2\tan{\gamma} = 2$
$6\sin{\alpha} – 3\cos{\beta} + \tan{\gamma} = 9$

Dengan $0 \leq \alpha \leq 2\pi,~0 \leq \beta \leq 2\pi,$ dan $0 \leq \gamma < \pi,~$.

Penyelesaian :

Kalau kita perhatikan bentuk sistem persamaan tak linear di atas tidak beda jauh dengan sistem persamaan linear yang biasa kita kenal, sehingga jika kita representasikan kedalam bentuk matriks akan diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&-1&3\\4&2&-2\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}3\\2\\9\end{array}}\right]$$

Kita akan menggunakan eliminasi gauss-jordan untuk memecahkan sistem tersebut.

Langkah 1

Kita buat 1 utama pada baris pertama dengan operasi $\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}$ sehingga didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&-1&3\\4&2&-2\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}3\\2\\9\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\4&2&-2\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\2\\9\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita sederhanakan baris ke-2 dengan operasi $-4R_{1} +R_{2} \rightarrow R_{2}$

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\4&2&-2\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\2\\9\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&4&-8\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-4\\9\end{array}}\right]$$

Kemudian kita sederhanakan juga baris ke-3 dengan operasi $-6R_{1} +R_{3} \rightarrow R_{3}$

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&4&-8\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-4\\9\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&4&-8\\0&0&-8\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-4\\0\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Kita buat 1 utama untuk baris ke-2 dengan cara menggunakan operasi $\frac{1}{4}R_{2}\rightarrow R_{2}$

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&4&-8\\0&0&-8\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-4\\0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&1&-2\\0&0&-8\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-1\\0\end{array}}\right]$$

Sekalian kita buat 1 utama dengan operasi $-\frac{1}{8}R_{3} \rightarrow R_{3}$

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&1&-2\\0&0&-8\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-1\\0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-1\\0\end{array}}\right]$$

Langkah 4

Jika kita perhatikan bentuk terakhir matriks di atas sudah memenuhi bentuk eselon baris, selanjutnya kita akan mengubahnya menjadi eselon baris tereduksi.

Kita sederhanakan lagi baris ke-1 dengan operasi $\frac{1}{2}R_{2}+R_{1} \rightarrow R_{1}$

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-1\\0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&0&\frac{1}{2}\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right]$$

Dilanjut dengan operasi $-\frac{1}{2}R_{3} +R_{1} \rightarrow R_{1}$

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&\frac{1}{2}\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right] \rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right]$$

Begitu pula untuk baris ke-2 kita sederhanakan lagi dengan operasi $2R_{3} +R_{2} \rightarrow R_{2}$ sehingga diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right] \rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right]$$

Bentuk terkahir sudah memenuhi bentuk eselon tereduksi, kemudian selanjutnya kita nyatakan kembali kedalam sistem persamaan tak linear sebagai berikut.

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right] \rightarrow \begin{array}{c}\sin{\alpha}=1\\\cos{\beta}=-1\\\tan{\gamma}=0\end{array}$$

Untuk persamaan pertama :

$\sin{\alpha}=1$

Dengan $0\leq \alpha \leq 2\pi$, maka nilai $\alpha$ yang memenuhi adalah $\alpha = 90^{\circ}$. Sedangkan untuk persamaan $\cos{\beta}=-1$ dan $\tan{\gamma}=0$ nilai $\beta$ dan $\gamma$ yang memenuhi yaitu berturut-turut $180^{\circ}$ dan $0^{\circ}$mengingat $0 \leq \beta \leq 2\pi,~0 \leq \gamma < \pi$. Dan kita telah selesai.

Eliminasi Gauss dan Contoh Penerapannya

Aljabar Linear, Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss-Jordan, Matematika, Matematika Lanjutan, Matriks, Sistem Persamaan Linear dan Matriks·17 Maret 20191 Juni 2020

Siapa itu Gauss?

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Jerman yang mempunyai kontribusi besar didalam bidang geometri, teori bilangan, teori fungsi dan teori probabilitas. Dia menemukan cara untuk menghitung lintasan asteroid, membuat penemuan dasar di dalam teori potensial (bidang elektromagnetik), dan orang pertama yang menggunakan telegraf (1833). Karena konstribusinya itu, dia mempunyai julukan “Prince of Mathematics”.

$\text{Disarankan sudah membaca :}$
Pengenalan Operasi Baris Elementer (OBE)
Sistem Persamaan Linear Secara Umum

Eliminasi Gauss

Eliminasi gauss ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss, metode ini dapat dimanfaatkan untuk memecahkan sistem persamaan linear dengan merepresentasikan (mengubah) menjadi bentuk matriks, matriks tersebut lalu diubah kebentuk Eselon Baris melalui Operasi Baris Elementer. Kemudian sistem diselesaikan dengan substitusi balik.

Lalu apa itu eselon baris? dan bagaimana bentuknya?

Bentuk Eselon Baris

Suatu matriks memiliki bentuk eselon baris jika memenuhi 3 kriteria berikut :

Jika didalam baris terdapat elemen-elemen yang tidak semuanya nol, maka bilangan tak nol pertama di dalam baris tersebut adalah 1.
Contoh : (Perhatikan setiap baris pada matriks berikut)
$$\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{1}&\color{red}{4}&\color{red}{0}&\color{red}{2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{-1}&\color{blue}{2}\\\color{green}{0}&\color{green}{0}&\color{green}{0}&\color{green}{1}\end{array}\right]$$
Dari matriks diatas baris merah dan baris hijau memenuhi kriteria pertama, karena elemen-elemen pada baris merah atau hijau tidak semuanya nol dan bilangan (elemen) bukan nol pertama (dari kiri) di dalam baris tersebut adalah 1. Sedangkan pada baris biru tidak memenuhi kriteria pertama sebab bilangan (elemen) bukan nol pertama (dari kiri) bukan bernilai 1, melainkan bernilai -1.
Nah kalau ada baris-baris yang semua elemennya bernilai 0 semua, maka baris-baris tersebut harus dikelompokkan dan diletakkan dibagian bawah matriks.
Contoh :
$$\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{-1}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\end{array}\right],~\left[\begin{array}{ccc}\color{blue}{-2}&\color{blue}{3}&\color{blue}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-1}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}\end{array}\right]$$
Dari contoh diatas, matriks dengan elemen berwarna biru memenuhi kriteria kedua sebab terdapat baris yang semua elemennya 0 dan baris tersebut diletakkan di bagian bawah matriks. Sedangkan pada matriks berwarna merah, masih belum memenuhi kriteria kedua, sebab walaupun terdapat baris dengan elemen-elemennya 0, namun baris-baris tersebut tidak dikelompokkan dan tidak diletakkan di bagian bawah matriks tersebut. Pada matriks merah agar memenuhi kriteria kedua seharusnya :
$$\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{-1}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\end{array}\right]$$
Jika terdapat dua baris berurutan yang memenuhi kriteria pertama, maka angka 1 (pertama/utama) dari baris yang lebih rendah berada lebih kekanan dari angka 1(pertama/utama) baris yang diatasnya.
Contoh :
$$\left[\begin{array}{cccc}\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{1}&\color{green}{2}\\\color{green}{0}&\color{green}{0}&\color{green}{1}&\color{green}{1}\\\color{green}{0}&\color{green}{0}&\color{green}{0}&\color{green}{0}\end{array}\right],~\left[\begin{array}{ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{3}&\color{blue}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-1}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-3}\end{array}\right]$$
Pada matriks hijau sudah memenuhi kriteria ketiga, karena jelas angka 1 pertama (dari kiri) pada baris yang lebih rendah letaknya lebih kekanan dari angka 1 pertama dari baris yang diatasnya.
Sedangkan pada matriks biru belum memenuhi sebab terdapat dua baris berurutan yang melanggar kriteria ketiga yaitu baris ke 2 dan 3. Dimana angka 1 pertama baris ketiga terletak tepat di bawah angka 1 pertama baris kedua.

Setelah memahami ketiga kriteria (syarat) dari bentuk eselon baris. Berikut contoh matriks yang mempunyai bentuk eselon baris (memenuhi ketiga kriteria sekaligus).

$$\left[\begin{array}{ccc}1&-1&2\\0&1&9 \\0&0&1\end{array}\right],~\left[\begin{array}{cccc}1&5&1&0\\0&0&1&0 \\0&0&0&0\end{array}\right],~\left[\begin{array}{ccccc}0&1&2&0&0\\0&0&1&0&0 \\0&0&0&0&1\end{array}\right]$$

Selanjutnya kita akan menerapkan metode eliminasi gauss dan subtitusi balik untuk memecahkan suatu sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer. Disarankan sudah memahami penggunaan operasi baris elementer untuk pemecahan sistem persamaan linear.

Pemecahan SPL dengan Eliminasi Gauss

Gambaran diatas merupakan ilustrasi proses pemecahan Sistem Persamaan Linear (SPL), dimana urutan langkah-langkahnya dinamakan “Eliminasi Gauss” dan operasi yang dilakukan dinamakan “Operasi Baris Elementer (OBE)” dimana eliminasi gauss ini bertujuan membentuk Eselon Baris.

Catatan : Pada proses pemecahan dengan metode eliminasi gauss pada umumnya memiliki macam-macam jalur atau alur operasi yang dilakukan, misalkan pada langkah awal bisa saja kita menemukan beberapa operasi alternatif dan kita bebas memilihnya. Karena terdapat banyak jalur atau alur operasinya maka jika anda mencoba dengan jalur lain (tidak seperti di contoh) kemungkinan anda akan menemukan bentuk sistem/matriks yang berbeda. Namun jangan khawatir selama operasi yang dilakukan menggunakan Operasi Baris Elementer dan dilakukan secara teliti, maka solusi(pemecahan) yang didapat akan sama dan itu merupakan hal yang wajar.

Contoh 1 (Solusi Tunggal)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

$2x+5y+3z =1$
$3x+4y+2z=-3$
$x+3y+z=2$

Perintah : Tentukan pemecahan sistem persamaan linear di atas dengan metode eliminasi gauss.

Penyelesaian :

Mula-mula kita representasikan sistem tersebut kedalam bentuk matriks.

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&5&3\\3&4&2\\1&3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-3\\2\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Kita akan membuat 1 pertama pada baris pertama dengan beberapa pilihan operasi :

Kita bisa menukar baris ke-1 dengan baris ke-3, dinotasikan $R_{1} \leftrightarrow R_{3}$
Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil kali baris ke-1 dengan $\frac{1}{2}$ dinotasikan : $\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}$

Dari dua pilihan diatas kita bebas memilihnya, namun kita akan menggunakan pilihan yang pertama yaitu $R_{1} \leftrightarrow R_{3}$ sehingga didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&5&3\\3&4&2\\1&3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-3\\2\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\3&4&2\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-3\\1\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Selanjutnya kita akan menyederhanakan bentuk baris ke-2 dan ke-3 sekaligus yaitu dengan operasi $-3R_{1}+R_{2}\leftarrow R_{2}$ sehingga didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\3&4&2\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-3\\1\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\1\end{array}}\right]$$

Kemudian dilanjut dengan operasi $-2R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}$

$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\1\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\-3\end{array}}\right]$

Langkah 3

Kita akan membuat 1 pertama pada baris kedua dengan operasi $-6R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}$ dan diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-3\end{array}}\right]$$

Langkah 4

Kita akan menyederhanakan lagi baris ke-3 dengan operasi $1R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}$

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\6\end{array}}\right]$$

Langkah 5

Selanjutnya kita akan membentuk 1 pertama pada baris ke-3 dengan operasi $-\frac{1}{6}R_{3}\rightarrow R_{3}$

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\6\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-1\end{array}}\right]$$

Dari matriks terakhir tersebut sudah memenuhi ketiga kriteria bentuk eselon baris. Selanjutnya tinggal mengubahnya kembali menjadi sistem persamaan linear :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-1\end{array}}\right]\rightarrow \begin{array}{c}x+3y+z=2\dots\text{(1)}\\y-7z=9\dots\text{(2)}\\z=-1\dots\text{(3)}\end{array}$$

Kita dapat memulai dengan mensubstitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) sehingga didapat :

$$y-7z=9$$

$$\Leftrightarrow y=9+7z=9+7(-1)=2$$

Kemudian nilai dari $y$ dan $z$ juga kita substitusikan ke persamaan (1) dan kita dapatkan :

$$x+3y+z=2$$

$$\Leftrightarrow x=2-3y-z$$

$$\Leftrightarrow x=2-3(2)-(-1)=-3$$

Jadi didapat solusi tunggal yaitu $x=-3, y=2$ dan $z=-1$.

Contoh 2 (Banyak Solusi)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

$2x+10y+4z =-2$
$x+4y+5z=-3$
$3x+15y+6z=-3$

Perintah : Tentukan pemecahan sistem persamaan linear di atas dengan metode eliminasi gauss.

Penyelesaian :

Kita representasikan kedalam bentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&10&4\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-2\\-3\\-3\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Kita buat 1 pertama pada baris pertama dengan pilihan :

Dengan menukar baris ke-1 dengan baris ke-2, dinotasikan : $R_{1} \leftrightarrow R_{2} $
Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil kali baris ke-1 dengan $\frac{1}{2}$, dinotasikan : $\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}$

Kita pilih opsi kedua yaitu menggunakan operasi $\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}$ sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&10&4\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-2\\-3\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-3\\-3\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita sederhanakan baris ke-2 dengan operasi $-1R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}$

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-3\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\-3\end{array}}\right]$$

Dilanjut penyederhanaan baris ke-3 dengan operasi $-3R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}$

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\-3\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\0\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Kita buat 1 pertama pada baris ke-2 dengan operasi $-1R_{2}\rightarrow R_{2}$

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&1&-3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\2\\0\end{array}}\right]$$

Matriks terakhir sudah memenuhi bentuk eselon baris sehingga selanjutnya menggunakan metode substitusi balik, namun sebelumnya kita harus mengubahnya kembali menjadi bentuk sistem persamaan linear.

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&1&-3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\2\\0\end{array}}\right]\rightarrow\begin{array}{c}x+5y+2z=-1\dots(1)\\y-3z=2\dots(2)\end{array}$$

Perhatikan persamaan (2) :

$$y-3z=2\Leftrightarrow y=2+3z$$

Subtitusikan ke persamaan (1) dan diperoleh :

$$x+5y+2z=-1$$

$$\Leftrightarrow x=-1-5y-2z$$

$$\Leftrightarrow x=-1-5(2+3z)-2z$$

$$\Leftrightarrow x=-1-10-15z-2z$$

$$\Leftrightarrow x=-11-17z$$

Jelaslah pemecahannya banyak karena nilai dari $z$ sendiri mempunyai tak terhingga banyaknya kemungkinan. Jadi himpunan penyelesaiannya yaitu :

$$\text{HP}=\{(x,y,z)\mid x=-11-17z,~y=2+3z,~\forall~\text{sebarang bilangan}~z\}$$

Contoh 3 (Tidak Punya Solusi)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

$3x+12y+15z=6$
$2x+8y+10z=-6$
$4x+5y-6z =-2$

Perintah : Tentukan pemecahan (bila ada) dari sistem persamaan linear di atas dengan metode eliminasi gauss.

Penyelesaian :

Seperti biasa kita representasikan dulu ke dalam bentuk matriks.

$$\left[{\begin{array}{ccc}3&12&15\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}6\\-6\\-2\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Kita buat 1 pertama pada baris pertama dengan operasi $\frac{1}{3}R_{1} \rightarrow R_{1}$

$$\left[{\begin{array}{ccc}3&12&15\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}6\\-6\\-2\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-6\\-2\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Selanjutnya kita sederhanakan baris ke-2 dengan operasi $-2R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}$ dan diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-6\\-2\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\0&0&0\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-10\\-2\end{array}}\right]$$

Perhatikan matriks terakhir diatas, kita coba ubah kembali menjadi bentuk sistem persamaan linear.

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\0&0&0\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-10\\-2\end{array}}\right]\rightarrow\begin{array}{c}x+4y+5z=2\dots(1)\\(0)x+(0)y+(0)z=-10\dots(2)\\4x+5y-6z=-2\dots(3)\end{array}$$

Kita tahu untuk sembarang bilangan $x, y, z$ bila dikalikan 0 akan menghasilkan 0 sehingga :

$$(0)x+(0)y+(0)z =0$$

Karena kontradiksi (berlawanan) dengan pernyataan persamaan (2), akibatnya persamaan (2) tidak mempunyai solusi. Karena persamaan (2) bagian dari sistem persamaan linear tersebut maka sistem persamaan linear tersebut juga tidak punya solusi.

Mengingat kembali jika sistem persamaan linear awal (pada soal) dikenakan operasi baris elementer maka akan menghasilkan sistem persamaan linear baru yang memiliki pemecahan yang sama. Baca kembali : Pemecahan Sistem Persamaan Linear dengan Operasi Baris Elementer.

Sehingga jika sistem persamaan linear baru tidak mempunyai solusi maka sistem persamaan linear awal (pada soal) juga tidak mempunyai solusi.

$\text{Selanjutnya :}$ Eliminasi Gauss Jordan dan Contoh Penerapannya

Pemecahan SPL dengan Operasi Baris Elementer

Aljabar Linear, Eliminasi Gauss-Jordan, Matematika, Matematika Lanjutan, Matriks, Sistem Persamaan Linear dan Matriks·13 Maret 20191 Juni 2020

Pemecahan SPL dengan Operasi Baris Elementer

Ilustrasi di atas menunjukkan tujuan pemecahan dengan OBE yaitu membentuk sistem baru atau merubah matriks kedalam salah satu bentuk yang paling sederhana agar mudah dipecahkan. Perlu diketahui dalam proses perubahan tersebut, mempunyai urutan operasi yang bermacam-macam, sehingga memungkin juga diperoleh sistem/matriks yang berbeda, namun mempunyai himpuan penyelesaian yang sama.

Disarankan sudah membaca :Pengenalan Operasi Baris Elementer

Contoh 1 (Solusi Tunggal)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

$\color{red}{L_{1}~:~3x -y +z=4}$
$\color{blue}{L_{2}~:~-2x+2y +3z =11}$
$\color{green}{L_{3}~:~x +3y -2z=1}$

Carilah pemecahan sistem persamaan linear tersebut dengan operasi baris elementer.

Penyelesaian :

Pertama kita representasikan sistem persamaan linear tersebut ke dalam bentuk matriks :

Perhatikan ilustrasi perubahan bentuk matriks berikut, yang dapat dijadikan acuan untuk menetukan langkah-langkah operasinya :

Langkah 1

Untuk mempermudah kita akan membentuk menjadi :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\?&?&?\\?&?&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Agar pada elemen baris ke-1 kolom ke-1 muncul angka satu terdapat 3 pilihan cara :

Dengan menukarkan baris ke-1 dengan baris ke-3 $(R_{1}\leftrightarrow R_{3})$
Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil kali baris ke-1 dengan $\frac{1}{3}$ dinotasikan : $\frac{1}{3}R_{1} \rightarrow R_{1}$
Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil penjumlahan antara (hasil kali baris ke-2 dengan angka 1) dan (baris ke-1) dinotasikan : $(1)R_{2}+R_{1}\rightarrow R_{1}$

Kita bebas memilih ketiga cara tersebut namun kita akan menggunakan cara ke-1. Sehingga jika kita kenakan operasi $(R_{1}\leftrightarrow R_{3})$, akan diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{3}&\color{red}{-1}&\color{red}{1}\\\color{blue}{-2}&\color{blue}{2}&\color{blue}{3}\\\color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{4}\\\color{blue}{11}\\\color{green}{1}\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{-2}&\color{blue}{2}&\color{blue}{3}\\\color{red}{3}&\color{red}{-1}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{11}\\\color{red}{4}\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Sebagai acuan kita bisa membentuk matriks seperti ilustrasi berikut :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\0&?&?\\?&?&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Maka kita dapat menggunakan operasi $2R_{1}+R_{2} \rightarrow R_{2}$. sehingga menjadi :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{-2}&\color{blue}{2}&\color{blue}{3}\\\color{red}{3}&\color{red}{-1}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{11}\\\color{red}{4}\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{8}&\color{blue}{-1}\\\color{red}{3}&\color{red}{-1}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{13}\\\color{red}{4}\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Tujuan kita membentuk :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\0&?&?\\0&?&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Untuk membentuknya kita gunakan operasi $-3R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}$,

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{8}&\color{blue}{-1}\\\color{red}{3}&\color{red}{-1}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{13}\\\color{red}{4}\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{8}&\color{blue}{-1}\\\color{red}{0}&\color{red}{-10}&\color{red}{7}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{13}\\\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 4

Tujuan membentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\0&1&?\\0&?&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Dengan menggunakan operasi $\frac{1}{8}R_{2} \rightarrow R_{2}$ maka didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{8}&\color{blue}{-1}\\\color{red}{0}&\color{red}{-10}&\color{red}{7}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{13}\\\color{red}{1}\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{-10}&\color{red}{7}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 5

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\0&1&?\\0&0&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Dengan menggunakan operasi $10R_{2} +R_{3} \rightarrow R_{3}$ sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{-10}&\color{red}{7}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{1}\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{\frac{46}{8}}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{\frac{138}{8}}\end{array}}\right]$$

Langkah 6

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\0&1&?\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Operasikan $\frac{8}{46}R_{3} \rightarrow R_{3}$, maka kita dapatkan :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{\frac{46}{8}}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{\frac{138}{8}}\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]$$

Langkah 7

Bentuk acuan :

$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&?\\0&1&?\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$

Kita gunakan operasi $-3R_{2}+ R_{1}\rightarrow R_{1}$ untuk memperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{0}&\color{green}{-\frac{13}{8}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{-\frac{31}{8}}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]$$

Langkah 8

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&?\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Selanjutnya kita operasikan $\frac{1}{8}R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}$ untuk membentuk :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{0}&\color{green}{-\frac{13}{8}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{-\frac{31}{8}}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{0}&\color{green}{-\frac{13}{8}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{-\frac{31}{8}}\\\color{blue}{2}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]$$

Langkah 9

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Langkah terakhir dengan mengoperasikan $\frac{13}{8}R_{3} +R_{1} \rightarrow R_{1}$ dan kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{0}&\color{green}{-\frac{13}{8}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{-\frac{31}{8}}\\\color{blue}{2}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{0}&\color{green}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{2}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]$$

Dari hasil diatas jelaslah didapat pemecahan :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{0}&\color{green}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{2}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]\rightarrow \begin{array}{ccc}x&&&=&1\\&y&&=&2\\&&z&=&3 \end{array}$$

Jadi pemecahan (solusi) dari sistem persamaan linear tersebut adalah $x=1,y=2,z=3$ (solusi tunggal). Lalu bagaimana jika sistem tersebut mempunyai banyak solusi atau tidak mempunyai solusi?

Mari kita lihat contoh lain dimana pemecahannya tidak tunggal (banyak solusi).

Contoh 2 (Banyak Solusi)

Baca juga : Sistem Persamaan Linear Secara Umum

Didefinisikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

$6x_{1} -3x_{2}+2x_{3}=4$
$-5x_{1}+x_{2}+7x_{3}=5$

Tentukan solusi dari sistem tersebut dengan menggunakan operasi baris elementer.

Penyelesaian :

Kita representasikan kedalam bentuk matriks, sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}6&-3&2\\-5&1&7\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\5\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\?&?&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\end{array}}\right]$$

Untuk merubahnya kita bisa menggunakan 2 cara :

Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil kali baris ke-1 dengan $\frac{1}{6}$ atau dapat kita notasikan : $\frac{1}{6}R_{1} \rightarrow R_{1}$
Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil penjumlahan antara baris-1 dan ( hasil perkalian baris ke-2 dengan angka 1 ). Atau dapat dinotasikan : $(1)R_{2}+R_{1} \rightarrow R_{1}$

Kita bebas memilih salah satu dari dua cara diatas, namun disini kita akan menggunakan cara ke-2 yaitu dengan operasi $(1)R_{2}+R_{1} \rightarrow R_{1}$, sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}6&-3&2\\-5&1&7\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\5\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-2&9\\-5&1&7\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}9\\5\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\0&?&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\end{array}}\right]$$

Kita kenakan operasi $5R_{1} +R_{2} \rightarrow R_{2}$ untuk memperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-2&9\\-5&1&7\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}9\\5\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-2&9\\0&-9&52\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}9\\50\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\0&1&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\end{array}}\right]$$

Untuk mengubahnya kita bisa menggunakan operasi $-\frac{1}{9}R_{2} \rightarrow R_{2}$ sehingga didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-2&9\\0&-9&52\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}9\\50\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-2&9\\0&1&-\frac{52}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}9\\-\frac{50}{9}\end{array}}\right]$$

Langkah 4

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&?\\0&1&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\end{array}}\right]$$

Langkah terakhir dengan menggunakan operasi $2R_{2} +R_{1}\rightarrow R_{1}$, untuk memperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-2&9\\0&1&-\frac{52}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}9\\-\frac{50}{9}\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{23}{9}\\0&1&-\frac{52}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-\frac{19}{9}\\-\frac{50}{9}\end{array}}\right]$$

Dari bentuk terkahir dapat juga ditulis:

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{23}{9}\\0&1&-\frac{52}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-\frac{19}{9}\\-\frac{50}{9}\end{array}}\right]\rightarrow \begin{array}{c}x_{1}-\frac{23}{9}x_{3}=-\frac{19}{9}\\x_{2}-\frac{52}{9}x_{3}=-\frac{50}{9}\end{array}$$

Atau untuk sebarang bilangan $x_{3}$ berlaku :

$$\begin{array}{c}x_{1}=-\frac{19}{9}+\frac{23}{9}x_{3}\\x_{2}=-\frac{50}{9}+\frac{52}{9}x_{3}\end{array}$$

Jadi himpunan penyelesaiannya yaitu :

$$\text{HP}=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\mid x_{1}=-\frac{19}{9}+\frac{23}{9}x_{3},~x_{2}=-\frac{50}{9}+\frac{52}{9}x_{3},~\forall~\text{sebarang bilangan}~x_{3}\}$$

Contoh 3 (Tidak Punya Solusi)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

$1x+2y+1z=1$
$3x+6y+3z=2$

Tentukan solusi dari sistem persamaan linear tersebut (bila ada).

Penyelesaian :

Pertama, kita representasikan kedalam bentuk matriks:

$$\left[{\begin{array}{ccc}\color{red}{1}&\color{red}{2}&\color{red}{1}\\\color{blue}{3}&\color{blue}{6}&\color{blue}{3}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\2\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Kita amati bahwa koefisien-koefisien dari baris ke-2 (biru) merupakan kelipatan dari koefisien-koefisien pada baris ke-1 (merah).

Sehingga kita bisa gunakan operasi $-3R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}$ dan kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&1\\3&6&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\2\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\end{array}}\right]$$

Dari bentuk terakhir diatas diperoleh sistem persamaan linear baru yaitu

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\end{array}}\right]\rightarrow \begin{array}{c}x+2y+z =1\\(0)x+(0)y+(0)z=-1\end{array}$$

Perhatikan pada persamaan kedua, berapapun nilai dari $x,y$ dan $z$, maka nilai dari

$$(0)x + (0)y +(0)z = 0$$

Karena $ 0 \neq -1$ akibatnya persamaan kedua tidak punya solusi. Kemudian karena persamaan kedua merupakan bagian dari sistem baru tersebut akibatnya sistem baru tersebut juga tidak punya solusi.

Mengingat kembali dengan Operasi Baris Elementer sistem awal dan sistem baru yang terbentuk mempunyai solusi yang sama. Jadi jika sistem baru tersebut tidak mempunyai solusi maka sistem persamaan linear pada contoh ke-3 (awal) juga tidak punya solusi.

Disarankan membaca : Pengenalan Operasi Baris Elementer

Kesimpulan

Pada dasarnya pemecahan Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan metode Operasi Baris Elementer (OBE) memiliki tujuan membentuk sistem persamaan linear baru yang mempunyai solusi yang sama dengan pemecahan yang lebih mudah. Kita akan terbiasa dengan metode ini jika kita mau mencobanya berkali-kali.

Catatan : Terkadang saat melakukan operasi baris elementer kita akan berhadapan dengan bentuk pecahan. Sehingga disarankan untuk menghitungnya dengan teliti, karena akan mempengaruhi langkah-langkah selanjutnya.

Pengenalan Operasi Baris Elementer

Aljabar Linear, Eliminasi Gauss-Jordan, Matematika, Matematika Lanjutan, Matriks, Sistem Persamaan Linear dan Matriks·9 Maret 20191 Juni 2020

Representasi Matriks pada Sistem Persamaan Linear

Sebelumnya disarankan membaca :
Sistem Persamaan Linear Secara Umum
Operasi Matriks dan Sifat-Sifatnya

Menurut (Schaum’s, 2006) : Sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari $m$ persamaan linear $L_{1},L_{2},\dots,L_{m},$ dengan $n$ variabel yang tidak diketahui $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$, dapat disusun dalam bentuk sebagai berikut:

$$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n} =b_{1}$$

$$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n} =b_{2}$$

$$\vdots$$

$$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n} =b_{m}$$

dengan $a_{ij}$ adalah koefisien dari variabel yang tidak diketahui $x_{j}$ pada persamaan $L_{i}$, dan bilangan $b_{i}$ adalah kosntanta dari $L_{i}$ untuk setiap $i=\{1,2,\dots,m\}$ dan $j=\{1,2,3,\dots,n\}$.

Apabila setiap koefisen($a_{ij}$) dan skalar($b_{i}$) dalam sistem persamaan linear tersebut ditempatkan sebagai array (larik) angka pada sebuah persegi panjang, maka akan didapat sebuah matriks :

$$\left[{\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{m}\end{array}}\right]$$

Jika di dalam sistem persamaan linear tersebut mempunyai persamaan sebanyak $m$ dan variabel sebanyak $n,$ maka jika direpresentasikan kedalam matriks akan mempunyai baris sebanyak $m$ dan kolom sebanyak $n+1$.

Baca juga : Definisi Matriks dan Jenis-Jenisnya

Untuk $n$ kolom pertama untuk menuliskan koefisien($a_{ij}$) sedangkan kolom terakhir digunakan untuk menuliskan skalar/angka($b_{i}$) yang berada pada sisi kanan pada persamaan. Penyusunan ini dinamakan matriks yang diperbesar (augmented matrix).

Contoh 1:

$\color{red}{-1x +2y -3z=-2}$
$\color{blue}{6x + 5y -4z =7}$
$\color{green}{7x – 8y +9z=8}$

Matriks yang mewakili sistem ini adalah :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{-1}&\color{red}{2}&\color{red}{-3}\\\color{blue}{6}&\color{blue}{5}&\color{blue}{-4}\\\color{green}{7}&\color{green}{-8}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-2}\\\color{blue}{7}\\\color{green}{8}\end{array}}\right]$$

Contoh 2:

$\color{red}{\frac{2}{5}x_{2} -\frac{3}{4}x_{3}=-1}$
$\color{blue}{\pi x_{1} + 2x_{3} =\sqrt{3}}$
$\color{green}{4x_{1} -x_{2}=0}$

Matriks yang mewakili sistem ini adalah :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{0}&\color{red}{\frac{2}{5}}&\color{red}{-\frac{3}{4}}\\\color{blue}{\pi}&\color{blue}{0}&\color{blue}{2}\\\color{green}{4}&\color{green}{-1}&\color{green}{0}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-1}\\\color{blue}{\sqrt{3}}\\\color{green}{0}\end{array}}\right]$$

Contoh 3:

$\color{red}{2x_{2} +x_{3}=0}$
$\color{blue}{5x_{1} – 2x_{4} =-7}$

Matriks yang mewakili sistem ini adalah :

$$\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{0}&\color{red}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{5}&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{-2}\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}\color{red}{0}\\\color{blue}{-7}\end{array}\right]$$

Pengantar Operasi Baris Elementer

Pada dasarnya untuk memecahkan sebuah sistem persamaan linear yaitu dengan merubahnya menjadi sistem persamaan linear baru yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama (tidak mengubah fundamental sistem awal), yang pastinya lebih mudah untuk dipecahkan.

Contoh :

Carilah salah satu sistem persamaan linear baru dari sistem persamaan linear berikut dengan syarat memiliki himpunan penyelesaian yang sama :

$3x -2y=4\dots(i)$
$x+y =3\dots(ii)$

Penyelesaian :

Apabila kita mengalikan persamaan $(ii)$ dengan 2 maka didapat :

$$2x + 2y =6\dots(iii)$$

kemudian jika persamaan $(i)$ ditambahkan dengan persamaan $(iii)$ maka kita peroleh:

$$3x-2y+(2x+2y)=4+(6)$$

$$\Leftrightarrow 5x =10\dots(iv)$$

Sehingga jika persamaan $(i),(ii),(iii)~\text{dan}~(iv)$ dikelompokkan maka akan didapat sistem persamaan linear baru yaitu :

$3x -2y=4\dots(i)$
$x+y =3\dots(ii)$
$2x + 2y =6\dots(iii)$
$5x =10\dots(iv)$

Pada sistem persamaan linear yang baru tersebut terlihat lebih mudah dipecahkan, dimulai dengan mencari nilai $x$ pada persamaan $(iv)$. Setelah menemukan nilai $x$, kita dapat mencari nilai $y$ dengan substitusi nilai $x$ ke persamaan $(i),(ii)~\text{atau}~(iii)$.

Proses pembentukan sistem persamaan linear baru pada dasarnya menggunakan 3 operasi dasar yaitu :

Mempertukarkan dua persamaan linear. $(L_{i} \leftrightarrow L_{j})$
Mengalikan sebuah persamaan linear dengan konstanta/skalar, selama skalar bukan nol. $(kL_{i}\rightarrow L_{i})$
Menambahkan kelipatan dari suatu persamaan dengan persamaan lain. $(kL_{i}+L_{j} \rightarrow L_{j})$

Contoh :
Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

$\color{red}{L_{1}~:~5x_{1}+x_{2}-2x_{3}=5}$
$\color{blue}{L_{2}~:~-x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=-6}$
$\color{green}{L_{3}~:~2x_{2}-6x_{2}-x_{3}=2}$

Perintah : Operasikan sistem tersebut dengan operasi (1) dilanjut operasi (2) dan (3).

Penyelesaian :

Apabila sistem tersebut dikenakan operasi (1) semisal $L_{2} \leftrightarrow L_{3}$ maka menjadi :

$\color{red}{L_{1}~:~5x_{1}+x_{2}-2x_{3}=5}$
$\color{green}{L_{3}~:~2x_{2}-6x_{2}-x_{3}=2}$
$\color{blue}{L_{2}~:~-x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=-6}$

Jika sistem diatas dikenakan operasi (2) semisal $(-2)L_{1} \rightarrow L_{1}$ maka menjadi :

$\color{red}{L_{1}~:~-10x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=-10}$
$\color{green}{L_{3}~:~2x_{2}-6x_{2}-x_{3}=2}$
$\color{blue}{L_{2}~:~-x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=-6}$

Kemudian jika sistem atas dikenakan operasi (3) semisal $(1)L_{3} + L_{1} \rightarrow L_{1}$ maka didapat :

$\color{red}{L_{1}~:~-11x_{1}+7x_{3}=-16}$
$\color{green}{L_{3}~:~2x_{2}-6x_{2}-x_{3}=2}$
$\color{blue}{L_{2}~:~-x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=-6}$

Lalu bagaimana jika sistem persamaan tersebut telah direpresentasikan kedalam bentuk matriks? Jawabannya adalah dengan menyesuaikan ketiga operasi tersebut, mengingat setiap baris mewakili satu persamaan. Berikut ketiga operasi yang telah disesuaikan :

Mempertukarkan dua baris. $(R_{i} \leftrightarrow R_{j})$
Mengalikan sebuah baris dengan konstanta/skalar, selama skalar bukan nol. $(kR_{i}\rightarrow R_{i})$
Menambahkan kelipatan dari suatu baris dengan baris lain. $(kR_{i}+R_{j} \rightarrow R_{j})$

Ketiga operasi inilah yang dinamakan dengan Operasi Baris Elementer.

Contoh Penggunaan Operasi Baris Elementer

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

$\color{red}{4x -y +11z=-12}$
$\color{blue}{21x +4y =3}$
$\color{green}{x – 2y +9z=0}$

Jika sistem persamaan linear tersebut direpresentasikan kedalam bentuk matriks, maka :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-12}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{0}\end{array}}\right]$$

Perintah :

Operasikan matriks tersebut dengan operasi (1) semisal dengan notasi $R_{1} \leftrightarrow R_{3}$
Operasikan matriks tersebut dengan operasi (2) semisal dengan notasi $2R_{1} \rightarrow R_{1}$
Operasikan matriks tersebut dengan operasi (3) semisal dengan notasi $-2R_{2} + R_{3} \leftrightarrow R_{3}$

Penyelesaian :

Jika dikenakan dengan operasi $R_{1} \leftrightarrow R_{3}$, maka matriks akan berubah menjadi :
$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-12}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{0}\end{array}}\right] \rightarrow \left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{0}\\\color{blue}{3}\\\color{red}{-12}\end{array}}\right]$$
Jika dikenakan dengan operasi $2R_{1} \rightarrow R_{1}$, maka matriks akan berubah menjadi :
$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-12}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{0}\end{array}}\right] \rightarrow \left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{8}&\color{red}{-2}&\color{red}{22}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-24}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{0}\end{array}}\right]$$
Jika dikenakan dengan operasi $-2R_{2} + R_{3} \rightarrow R_{3}$, maka matriks akan berubah menjadi :
$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-12}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{0}\end{array}}\right] \rightarrow \left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{-41}&\color{green}{-10}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-12}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{-6}\end{array}}\right]$$

Untuk selanjutnya direkomendasikan membaca : Pemecahan Sistem Persamaan Linear dengan Operasi Baris Elementer

Penerapan Matriks Elementer

Sifat-sifat Matriks Invers

Teorema 1 (Sifat dari Matriks Invers)

Teorema 2 (Teorema Dasar untuk Matriks yang Invertible)

Bukti :

Langkah 1

Langkah 2

Langkah 3

Langkah 4

Konsep Mencari Invers dengan Matriks Elementer

Contoh 1 (Dapat Dibalik)

Contoh 2 (Tidak Dapat Dibalik)

<img decoding="async" src="https://www.profematika.com/wp-content/uploads/2019/03/homogen.jpg" alt="Sistem Persamaan Linear Homogen" width="640" height="318" class="aligncenter size-full wp-image-588" />

Definisi Sistem Persamaan Linear Homogen

Teorema 1 (Sistem Persamaan Linear Homogen bersifat Konsisten)

Definisi Solusi Trivial dalam SPL Homogen

Teorema 2 (SPL Homogen dengan Variabel > Persamaan)

Grafik SPL Homogen

Kesimpulan

Siapa itu Gauss dan Jordan ?

Eliminasi Gauss-Jordan

Bentuk Eselon Baris Tereduksi

Penerapan Eliminasi Gauss-Jordan

Contoh 1 (Linear)

Contoh 2 (Tak Linear)

<img decoding="async" src="https://www.profematika.com/wp-content/uploads/2019/03/Eliminasi-Gauss-1.jpg" alt="Eliminasi Gauss" width="640" height="318" class="aligncenter size-full wp-image-528" />

Siapa itu Gauss?

Eliminasi Gauss

Bentuk Eselon Baris

Pemecahan SPL dengan Eliminasi Gauss

Contoh 1 (Solusi Tunggal)

Contoh 2 (Banyak Solusi)

Contoh 3 (Tidak Punya Solusi)

Pemecahan SPL dengan Operasi Baris Elementer

Contoh 1 (Solusi Tunggal)

Contoh 2 (Banyak Solusi)

Contoh 3 (Tidak Punya Solusi)

Kesimpulan

Representasi Matriks pada Sistem Persamaan Linear

Pengantar Operasi Baris Elementer

Contoh Penggunaan Operasi Baris Elementer