Pengenalan Operasi Baris Elementer

Daftar Isi :

Representasi Matriks pada Sistem Persamaan Linear
Pengantar Operasi Baris Elementer
Contoh Penggunaan Operasi Baris Elementer

Representasi Matriks pada Sistem Persamaan Linear

Sebelumnya disarankan membaca :
Sistem Persamaan Linear Secara Umum
Operasi Matriks dan Sifat-Sifatnya

Menurut (Schaum’s, 2006) : Sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari $m$ persamaan linear $L_{1},L_{2},\dots,L_{m},$ dengan $n$ variabel yang tidak diketahui $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$, dapat disusun dalam bentuk sebagai berikut:

$$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n} =b_{1}$$

$$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n} =b_{2}$$

$$\vdots$$

$$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n} =b_{m}$$

dengan $a_{ij}$ adalah koefisien dari variabel yang tidak diketahui $x_{j}$ pada persamaan $L_{i}$, dan bilangan $b_{i}$ adalah kosntanta dari $L_{i}$ untuk setiap $i=\{1,2,\dots,m\}$ dan $j=\{1,2,3,\dots,n\}$.

Apabila setiap koefisen($a_{ij}$) dan skalar($b_{i}$) dalam sistem persamaan linear tersebut ditempatkan sebagai array (larik) angka pada sebuah persegi panjang, maka akan didapat sebuah matriks :

$$\left[{\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{m}\end{array}}\right]$$

Jika di dalam sistem persamaan linear tersebut mempunyai persamaan sebanyak $m$ dan variabel sebanyak $n,$ maka jika direpresentasikan kedalam matriks akan mempunyai baris sebanyak $m$ dan kolom sebanyak $n+1$.

Baca juga : Definisi Matriks dan Jenis-Jenisnya

Untuk $n$ kolom pertama untuk menuliskan koefisien($a_{ij}$) sedangkan kolom terakhir digunakan untuk menuliskan skalar/angka($b_{i}$) yang berada pada sisi kanan pada persamaan. Penyusunan ini dinamakan matriks yang diperbesar (augmented matrix).

Contoh 1:

$\color{red}{-1x +2y -3z=-2}$
$\color{blue}{6x + 5y -4z =7}$
$\color{green}{7x – 8y +9z=8}$

Matriks yang mewakili sistem ini adalah :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{-1}&\color{red}{2}&\color{red}{-3}\\\color{blue}{6}&\color{blue}{5}&\color{blue}{-4}\\\color{green}{7}&\color{green}{-8}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-2}\\\color{blue}{7}\\\color{green}{8}\end{array}}\right]$$

Contoh 2:

$\color{red}{\frac{2}{5}x_{2} -\frac{3}{4}x_{3}=-1}$
$\color{blue}{\pi x_{1} + 2x_{3} =\sqrt{3}}$
$\color{green}{4x_{1} -x_{2}=0}$

Matriks yang mewakili sistem ini adalah :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{0}&\color{red}{\frac{2}{5}}&\color{red}{-\frac{3}{4}}\\\color{blue}{\pi}&\color{blue}{0}&\color{blue}{2}\\\color{green}{4}&\color{green}{-1}&\color{green}{0}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-1}\\\color{blue}{\sqrt{3}}\\\color{green}{0}\end{array}}\right]$$

Contoh 3:

$\color{red}{2x_{2} +x_{3}=0}$
$\color{blue}{5x_{1} – 2x_{4} =-7}$

Matriks yang mewakili sistem ini adalah :

$$\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{0}&\color{red}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{5}&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{-2}\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}\color{red}{0}\\\color{blue}{-7}\end{array}\right]$$

Pengantar Operasi Baris Elementer

Pada dasarnya untuk memecahkan sebuah sistem persamaan linear yaitu dengan merubahnya menjadi sistem persamaan linear baru yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama (tidak mengubah fundamental sistem awal), yang pastinya lebih mudah untuk dipecahkan.

Contoh :

Carilah salah satu sistem persamaan linear baru dari sistem persamaan linear berikut dengan syarat memiliki himpunan penyelesaian yang sama :

$3x -2y=4\dots(i)$
$x+y =3\dots(ii)$

Penyelesaian :

Apabila kita mengalikan persamaan $(ii)$ dengan 2 maka didapat :

$$2x + 2y =6\dots(iii)$$

kemudian jika persamaan $(i)$ ditambahkan dengan persamaan $(iii)$ maka kita peroleh:

$$3x-2y+(2x+2y)=4+(6)$$

$$\Leftrightarrow 5x =10\dots(iv)$$

Sehingga jika persamaan $(i),(ii),(iii)~\text{dan}~(iv)$ dikelompokkan maka akan didapat sistem persamaan linear baru yaitu :

$3x -2y=4\dots(i)$
$x+y =3\dots(ii)$
$2x + 2y =6\dots(iii)$
$5x =10\dots(iv)$

Pada sistem persamaan linear yang baru tersebut terlihat lebih mudah dipecahkan, dimulai dengan mencari nilai $x$ pada persamaan $(iv)$. Setelah menemukan nilai $x$, kita dapat mencari nilai $y$ dengan substitusi nilai $x$ ke persamaan $(i),(ii)~\text{atau}~(iii)$.

Proses pembentukan sistem persamaan linear baru pada dasarnya menggunakan 3 operasi dasar yaitu :

Mempertukarkan dua persamaan linear. $(L_{i} \leftrightarrow L_{j})$
Mengalikan sebuah persamaan linear dengan konstanta/skalar, selama skalar bukan nol. $(kL_{i}\rightarrow L_{i})$
Menambahkan kelipatan dari suatu persamaan dengan persamaan lain. $(kL_{i}+L_{j} \rightarrow L_{j})$

Contoh :
Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

$\color{red}{L_{1}~:~5x_{1}+x_{2}-2x_{3}=5}$
$\color{blue}{L_{2}~:~-x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=-6}$
$\color{green}{L_{3}~:~2x_{2}-6x_{2}-x_{3}=2}$

Perintah : Operasikan sistem tersebut dengan operasi (1) dilanjut operasi (2) dan (3).

Penyelesaian :

Apabila sistem tersebut dikenakan operasi (1) semisal $L_{2} \leftrightarrow L_{3}$ maka menjadi :

$\color{red}{L_{1}~:~5x_{1}+x_{2}-2x_{3}=5}$
$\color{green}{L_{3}~:~2x_{2}-6x_{2}-x_{3}=2}$
$\color{blue}{L_{2}~:~-x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=-6}$

Jika sistem diatas dikenakan operasi (2) semisal $(-2)L_{1} \rightarrow L_{1}$ maka menjadi :

$\color{red}{L_{1}~:~-10x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=-10}$
$\color{green}{L_{3}~:~2x_{2}-6x_{2}-x_{3}=2}$
$\color{blue}{L_{2}~:~-x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=-6}$

Kemudian jika sistem atas dikenakan operasi (3) semisal $(1)L_{3} + L_{1} \rightarrow L_{1}$ maka didapat :

$\color{red}{L_{1}~:~-11x_{1}+7x_{3}=-16}$
$\color{green}{L_{3}~:~2x_{2}-6x_{2}-x_{3}=2}$
$\color{blue}{L_{2}~:~-x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=-6}$

Lalu bagaimana jika sistem persamaan tersebut telah direpresentasikan kedalam bentuk matriks? Jawabannya adalah dengan menyesuaikan ketiga operasi tersebut, mengingat setiap baris mewakili satu persamaan. Berikut ketiga operasi yang telah disesuaikan :

Mempertukarkan dua baris. $(R_{i} \leftrightarrow R_{j})$
Mengalikan sebuah baris dengan konstanta/skalar, selama skalar bukan nol. $(kR_{i}\rightarrow R_{i})$
Menambahkan kelipatan dari suatu baris dengan baris lain. $(kR_{i}+R_{j} \rightarrow R_{j})$

Ketiga operasi inilah yang dinamakan dengan Operasi Baris Elementer.

Contoh Penggunaan Operasi Baris Elementer

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

$\color{red}{4x -y +11z=-12}$
$\color{blue}{21x +4y =3}$
$\color{green}{x – 2y +9z=0}$

Jika sistem persamaan linear tersebut direpresentasikan kedalam bentuk matriks, maka :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-12}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{0}\end{array}}\right]$$

Perintah :

Operasikan matriks tersebut dengan operasi (1) semisal dengan notasi $R_{1} \leftrightarrow R_{3}$
Operasikan matriks tersebut dengan operasi (2) semisal dengan notasi $2R_{1} \rightarrow R_{1}$
Operasikan matriks tersebut dengan operasi (3) semisal dengan notasi $-2R_{2} + R_{3} \leftrightarrow R_{3}$

Penyelesaian :

Jika dikenakan dengan operasi $R_{1} \leftrightarrow R_{3}$, maka matriks akan berubah menjadi :
$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-12}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{0}\end{array}}\right] \rightarrow \left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{0}\\\color{blue}{3}\\\color{red}{-12}\end{array}}\right]$$
Jika dikenakan dengan operasi $2R_{1} \rightarrow R_{1}$, maka matriks akan berubah menjadi :
$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-12}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{0}\end{array}}\right] \rightarrow \left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{8}&\color{red}{-2}&\color{red}{22}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-24}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{0}\end{array}}\right]$$
Jika dikenakan dengan operasi $-2R_{2} + R_{3} \rightarrow R_{3}$, maka matriks akan berubah menjadi :
$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-12}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{0}\end{array}}\right] \rightarrow \left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{-41}&\color{green}{-10}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-12}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{-6}\end{array}}\right]$$