Konsep Gabungan Matriks Elementer dan OBE untuk Mencari Invers

Penerapan Matriks Elementer

Penerapan Matriks Elementer

Pada pembahasan sebelumnya, kita sudah mengenal tentang Definisi Matriks Elementer dan Sifatnya. Nah sekarang ini kita akan membahas lebih lanjut mengenai kegunaan dari matriks elementer.

Dalam mencari invers suatu matriks selain menggunakan adjoint, kita juga bisa menggunakan konsep gabungan antara matriks elementer dan metode eliminasi gauss-jordan.

Lalu bagaimana caranya ?

Eits.. Sebelum kita tahu caranya, kita harus tahu konsep dasarnya dulu. Pertama kita cari tahu sifat-sifat matriks invers.

Sifat-sifat Matriks Invers

Definisi 1

Jika \(A\) adalah matriks persegi, dan jika terdapat matriks \(B\) sehingga \(AB=BA=I\) maka matriks \(A\) dikatakan dapat dibalik (invertible) dan \(B\) disebut juga invers dari \(A\) atau dapat ditulis \(B=A^{-1}\).

Teorema 1 (Sifat dari Matriks Invers)

  1. Jika matriks \(A\) dapat dibalik maka \(A^{-1}\) dapat dibalik dan berlaku :

    $$(A^{-1})^{-1}=A$$

    Bukti : Matriks \(A\) dapat dibalik sehingga berdasarkan definisi 1 maka \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\) dan karena  \(A^{-1}\) dapat dibalik maka \((A^{-1})^{-1}=A\).

  2. Jika \(A\) matriks yang dapat dibalik dan \(c\) adalah skalar yang tidak sama dengan nol, maka \(cA\) dapat dibalik dan berlaku :

    $$(cA)^{-1}=\frac{1}{c}A^{-1}$$

    Bukti : Berdasarkan definisi 1, pembuktian bagian ini equivalen dengan cukup membuktikan persamaan \((cA)(\frac{1}{c}A^{-1})=(\frac{1}{c}A^{-1})(cA)=I\). Sehingga berdasarkan sifat-sifat operasi matriks kita peroleh :

    $$(cA)(\frac{1}{c}A^{-1})=\frac{1}{c}(cA)A^{-1}=(\frac{1}{c}c)AA^{-1}=(1)I=I\dots(i)$$

    Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh \((\frac{1}{c}A^{-1})(cA)=I\dots(ii)\) sehingga dari persamaan \((i)\) dan \((ii)\) kita dapatkan \((cA)(\frac{1}{c}A^{-1})=(\frac{1}{c}A^{-1})(cA)=I\), sesuai yang diminta.

  3. Jika matriks \(A\) dan \(B\) dapat dibalik dan memiliki ordo yang sama, maka \(AB\) dapat dibalik dan berlaku :

    $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$

    Bukti : Kita gunakan cara yang seperti sebelumnya yaitu berdasarkan definisi 1, kita cukup membuktikan bahwa \((AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})(AB)=I\), perhatikan persamaan berikut :

    $$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=A(I)A^{-1}=AA^{-1}=I\dots(i)$$

    Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh \((B^{-1}A^{-1})(AB)=I\dots(ii)\) sehingga dari persamaan \((i)\) dan \((ii)\) kita dapatkan \((AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})(AB)=I\), sesuai yang diminta.

  4. Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka \(A^{T}\) (Transpose Matriks) dapat dibalik dan berlaku :

    $$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$$

    Bukti : Berdasarkan sifat-sifat operasi matriks terhadap operasi transpose maka :

    $$(A^{-1})^{T}A^{T}=(AA^{-1})^{T}$$

    $$\Leftrightarrow (A^{-1})^{T}A^{T}=I^T=I\dots(i)$$

    Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh \(A^{T}(A^{-1})^{T}=I\dots(ii)\) sehingga dari persamaan \((i)\) dan \((ii)\) kita dapatkan \((A^{-1})^{T}A^{T}=A^{T}(A^{-1})^{T}=I\), kemudian berdasarkan definisi 1, didapat \((A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}\).

  5. Jika matriks \(A\) dapat dibalik dan \(c\) adalah bilangan bulat tak negatif maka \(A^{c}\) dapat dibalik dan berlaku :

    $$(A^{c})^{-1}=(A^{-1})^{c}$$

    Bukti : Dengan berdasarkan sifat-sifat operasi matriks terhadap operasi perkalian maka :

    $$A^{c}(A^{-1})^{c}=A^{c}A^{-c}=A^{c+(-c)}=A^{0}=I\dots(i)$$

    Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh \((A^{-1})^{c}A^{c}=I\dots(ii)\) sehingga dari persamaan \((i)\) dan \((ii)\) kita dapatkan \(A^{c}(A^{-1})^{c}=(A^{-1})^{c}A^{c}=I\), sehingga berdasarkan definisi 1, kita dapatkan \((A^{c})^{-1}=(A^{-1})^{c}\).

Corollary 1 : Akibat dari teorema 1 bagian (c), jika \(A_{1},~A_{2},\dots,~A_{k}\) adalah matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama dan dapat dibalik, maka hasil kali matriks-matriks tersebut \((A_{1}A_{2}\dots A_{k})\) juga dapat dibalik atau dapat ditulis :

$$(A_{1}A_{2}\dots A_{k})^{-1}=A_{k}^{-1}A_{k-1}^{-1}\dots A_{1}^{-1}$$

Teorema 2 (Teorema Dasar untuk Matriks yang Invertible)

Jika \(A\) adalah matriks persegi \(n \times n\) kemudian \(\vec{x}\) dan \(\vec{b}\) adalah vektor kolom \(n\times 1\), maka pernyataan-pernyataan berikut saling ekuivalen (semuanya benar atau semuanya salah).

  1. Matriks \(A\) bersifat invertible (dapat dibalik).
  2. \(A\vec{x}=\vec{b}\) mempunyai solusi unik untuk setiap \(\vec{b} \in \mathbb{R}^{n}\).
  3. \(A\vec{x}=\vec{0}\) hanya mempunyai solusi pemecahan trivial.
  4. Bentuk eselon baris tereduksi dari matriks \(A\) adalah matriks satuan \(I_{n\times n}\).
  5. \(A\) dapat dinyatakan sebagai hasil kali beberapa matriks elementer.

Bukti :

Untuk membuktikan pernyataan-pernyataan di atas saling ekuivalen, kita cukup membuktikan rantai implikasi berikut : \((a)\Rightarrow(b)\Rightarrow(c)\Rightarrow(d)\Rightarrow(e)\Rightarrow(a)\).

Langkah 1

\((a)\Rightarrow(b)\), karena \(A\) dapat dibalik maka berlaku \(A(A^{-1}\vec{b})=(AA^{-1})\vec{b}=I\vec{b}=\vec{b}\), kemudian kita dapat mengatur \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\) yang merupakan solusi dari  persamaan \(A\vec{x}=\vec{b}\). Lalu kita pastikan bahwa solusi dari persamaan tersebut tunggal yakni \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\). Kita mulai dari persamaan awal :

$$A\vec{x}=\vec{b}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}A\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$$

$$\Leftrightarrow I\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$$

$$\Leftrightarrow \vec{x}=A^{-1}\vec{b}$$

Sehingga jelaslah bahwa penulisan \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\) bersifat tunggal.

Langkah 2

\((b)\Rightarrow(c)\), berdasarkan pernyataan \((b)\) dengan mengatur \(\vec{b}=\vec{0}\) maka kita dapatkan solusi tunggal yaitu :

$$A\vec{x}=\vec{0}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}A\vec{x}=A^{-1}\vec{0}$$

$$\Leftrightarrow I\vec{x}=\vec{0}$$

$$\Leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\\vdots\\0\end{array}}\right]$$

Jadi persamaan \(A\vec{x}=\vec{0}\) hanya mempunyai solusi trivial \(\vec{x}=\vec{0}\).

Langkah 3

\((c)\Rightarrow(d)\), pada pembahasan sebelumnya mengenai SIstem Persamaan Linear Homogen, kita tahu bahwa persamaan \(A\vec{x}=\vec{0}\) dapat kita tuliskan sebagai berikut :

$$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n} =0$$
$$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n} =0$$

$$\vdots$$

$$a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots+a_{nn}x_{n} =0$$

Kemudian kita representasikan kedalam bentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&0\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}&0\end{array}}\right]$$

Karena solusi dari persamaan \(A\vec{x}=\vec{0}\) tunggal, maka hanya mempunyai pemecahan trivial \(x_{1}=0,~x_{2}=0,\dots,~x_{n}=0\). Sehingga jika kita gunakan eliminasi gauss jordan kita akan mendapatkan bentuk eselon baris tereduksi sebagai berikut :

$$\left[{\begin{array}{cccc|c}1&0&\dots&0&0\\0&1&\dots&0&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\dots&1&0\end{array}}\right]$$

Bentuk di atas akan senilai dengan :

$$\left[{\begin{array}{cccc}1&0&\dots&0\\0&1&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\\vdots\\0\end{array}}\right]$$

Dari bentuk terakhir di atas dapat kita simpulkan bahwa \(A\) dapat direduksi menjadi \(I_{n\times n}\) dengan menggunakan operasi baris elementer.

Langkah 4

\((d)\Rightarrow(e)\Rightarrow(a)\), berdasarkan \((d)\) bahwa \(A\) dapat direduksi menjadi \(I_{n\times n}\) dengan urutan berhingga dari operasi-operasi baris elementer (kita misalkan terdapat \(k\) kali OBE).

Kemudian jika didefinisikan \(L_{i}\) menyatakan operasi baris elementer yang dilakukan pada urutan ke-\(i\) dengan \(i=\{1,2,\dots,k\}\). Maka kita dapat mencari matriks elementer \(E_{1},~E_{2},\dots,~E_{k}\) sebagai berikut :

$$I\xrightarrow[]{L_{1}}E_{1}$$

$$I\xrightarrow[]{L_{2}}E_{2}$$

$$\vdots$$

$$I\xrightarrow[]{L_{k}}E_{k}$$

Mengingat kembali jika matriks elementer \(E\) dihasilkan dengan melakukan satu kali Operasi Baris Elementer(OBE) tertentu pada matriks identitas \(I_{n\times n}\). Kemudian jika OBE yang sama dikenakan pada sebarang matriks \(B_{n\times m}\) maka hasilnya akan sama dengan hasil kali \(EB\), lihat contohnya disini.

Sehingga berdasarkan pernyataan di atas, jika matriks \(A\) kita kenakan OBE dari urutan ke-\(1\) sampai ke-\(k\) secara berturut-turut, maka kita peroleh hubungan :

$$A\xrightarrow[]{L_{1}}E_{1}A$$

$$E_{1}A\xrightarrow[]{L_{2}}E_{2}E_{1}A$$

$$\vdots$$

$$E_{k-1}\dots E_{2}E_{1}A\xrightarrow[]{L_{k}}E_{k}\dots E_{2}E_{1}A$$

Karena bentuk eselon baris tereduksi dari \(A\) adalah \(I_{n\times n}\) maka \(E_{k}\dots E_{2}E_{1}A=I_{n\times n}\dots(*)\). Kemudian karena matriks elementer dapat dibalik dan inversnya berupa matriks elementer, maka dengan mengalikan kedua ruas persamaan \((*)\) dengan  matriks elementer \(E_{k}^{-1},\dots,~E_{2}^{-1},~E_{1}^{-1}\) secara berturut-turut didapat :

$$A=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}\dots E_{k}^{1}I_{n\times n}^{-1}$$

Karena \(A\) dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks elementer yang dapat dibalik maka dapat disimpulkan \(A\) dapat dibalik. Untuk melihat lebih jelas, kita gunakan corollary 1 sehingga didapat :

$$A^{-1}=(E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}\dots E_{k}^{-1}I_{n\times n}^{-1})^{-1}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}=(I_{n\times n}^{-1})^{-1}(E_{k}^{-1})^{-1}\dots (E_{2}^{-1})^{-1}(E_{1}^{-1})^{-1}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}=I_{n\times n}E_{k}\dots E_{2}E_{1}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}=E_{k}\dots E_{2}E_{1}I_{n\times n}\dots(**)$$

Konsep Mencari Invers dengan Matriks Elementer

JIka kita perhatikan persamaan \((**)\) maka kita dapat memperoleh \(A^{-1}\) dengan mengalikan \(I_{n\times n}\) dari sebelah kiri berturut-turut dengan \(E_{1},~E_{2},\dots,~E_{k}\). Kemudian berdasarkan persamaan \((*)\) dan \((**)\) maka dapat kita simpulkan bahwa urutan langkah-langkah OBE yang dilakukan pada \(A\) akan membawa kebentuk matriks satuan \(I_{n \times n}\) dan langkah-langkah yang sama jika dikenakan pada matriks satuan \(I_{n \times n}\) akan menghasilkan \(A^{-1}\). Untuk lebih jelasnya dapat kita tuliskan sebagai berikut :

$$\left[{A\mid I}\right]\xrightarrow[]{L_{1},~L_{2},\dots,~L_{k}}\left[{I\mid A^{-1}}\right]$$

Contoh 1 (Dapat Dibalik)

Didefinisikan matriks \(A\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\7&2&8\\2&0&1\end{array}}\right]$$

Tentukan invers matriks tersebut (bila ada).

Penyelesaian :

Syarat \(A\) matriks persegi sudah terpenuhi, sehingga kita dapat menuliskan :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{7}&\color{blue}{2}&\color{blue}{8}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{2}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Perlu diingat bahwa tujuan kita adalah mereduksi matriks \(A\) (biru) sehingga membentuk eselon baris tereduksi, maka kita akan menggunakan metode gauss-jordan dengan OBE.

Karena pada baris pertama sudah terdapat 1 utama, maka kita sederhanakan baris ke-\(2\) dengan operasi \(-7R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\) sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-26}&\color{blue}{-27}&\color{red}{-7}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{2}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Begitu pula pada baris ke-\(3\) kita sederhanakan dengan operasi \(-2R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-26}&\color{blue}{-27}&\color{red}{-7}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-8}&\color{blue}{-9}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita sederhanakan lagi baris ke-2 dengan operasi \(-3R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}\) sehingga didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-2}&\color{blue}{0}&\color{red}{-1}&\color{red}{1}&\color{red}{-3}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-8}&\color{blue}{-9}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Selanjutnya kita buat 1 utama pada baris ke-2 dengan operasi \(-\frac{1}{2}R_{2}\rightarrow R_{2}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-8}&\color{blue}{-9}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Dan tidak lupa kita sederhanakan baris ke-\(3\) dengan operasi \(8R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{-9}&\color{red}{2}&\color{red}{-4}&\color{red}{13}\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Kita buat 1 utama pada baris ke-3 dengan operasi \(-\frac{1}{9}R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Disusul penyederhanaan baris ke-\(1\) dengan operasi \(-4R_{2}+R_{1}\rightarrow R_{1}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{blue}{5}&\color{red}{-1}&\color{red}{2}&\color{red}{-6}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Dan juga disederhanakan lagi dengan operasi \(-5R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}\) untuk memperoleh hasil akhir :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{9}}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{11}{9}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Jadi dari bentuk matriks di atas diperoleh :

$$A^{-1}=\left[{\begin{array}{ccc}\color{red}{\frac{1}{9}}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{11}{9}}\\\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Contoh 2 (Tidak Dapat Dibalik)

Didefinisikan matriks \(A\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&-3&-5\\1&4&0\\4&5&-5\end{array}}\right]$$

Tentukan invers matriks tersebut (bila ada).

Penyelesaian :

Pertama kita nyatakan dalam bentuk :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{2}&\color{blue}{-3}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Kita tentukan 1 utama dengan operasi \(R_{2}\leftrightarrow R_{1}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{2}&\color{blue}{-3}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Kita sederhanakan baris ke-\(2\) dengan operasi \(-2R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}\\\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Kemudian sederhanakan baris ke-\(3\) dengan operasi \(-4R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{-4}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita sederhanakan baris ke-\(3\) dengan operasi \(-1R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}\) dan kita dapatkan sesuatu yang unik :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{red}{-1}&\color{red}{-2}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Kita perhatikan baris ketiga (biru) terdapat baris bilangan nol, akibatnya \(A\) tidak dapat dibentuk menjadi matriks satuan sehingga berdasarkan teorema 2, akibatnya \(A\) tidak dapat dibalik.

Definisi Matriks Elementer dan Sifatnya

Definisi dan Sifat dari Matriks Elementer

Definisi Matriks Elementer

Matriks elementer adalah matriks persegi \(n \times n\) yang dinyatakan sebagai hasil matriks satuan \(n \times n\) yang dikenakan sebuah operasi baris elementer.

Lalu bagaimana cara membentuk matriks elementer ?

Mengingat kembali dalam Operasi Baris Elementer (OBE) terdapat 3 operasi dasar, sehingga kita peroleh 3 cara untuk membuat matriks elementer yaitu :

  1. Dengan operasi mempertukarkan dua baris pada matriks satuan, dinotasikan : \(R_{i} \leftrightarrow R_{j}\)

    Contoh :

    Misalkan kita punya matriks satuan \(I_{3 \times 3}\) dan kita akan menggunakan operasi \(R_{1} \leftrightarrow R_{3}\), sehingga kita dapatkan matriks elementer (merah) :

    $$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\rightarrow\color{red}{\left[{\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}}\right]}$$
  2. Mengalikan sebuah baris dengan konstanta/skalar, selama skalar bukan nol, dinotasikan : \(kR_{i} \rightarrow R_{1}\)

    Contoh :

    Jika kita punya matriks \(I_{2 \times 2}\) dan dikenakan operasi \(-\frac{\sqrt{3}}{2}R_{2} \rightarrow R_{2}\) maka kita peroleh matriks elementer sebagai berikut :

    $$\left[{\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right]\rightarrow\color{red}{\left[{\begin{array}{cc}1&0\\0&-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}}\right]}$$

  3. Menambahkan kelipatan dari suatu baris dengan baris lain, dinotasikan : \(kR_{1} +R_{j} \rightarrow R_{j}\)

    Contoh :

    Jika matriks satuan \(I_{4 \times 4}\) dikenakan operasi \(\pi R_{2} +R_{3} \rightarrow R_{3}\) maka akan diperoleh :

    $$\left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]\rightarrow\color{red}{\left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&\pi&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]}$$

Setelah mengetahui definisi dan bentuk matriks elementer selanjutnya kita akan mempelajari sifat-sifatnya melalui teorema-teorema berikut. Catatan : Untuk selanjutnya untuk penamaan matriks elementer kita akan menggunakan simbol \(E\).

Teorema 1

Misalkan \(E\) adalah matriks elementer yang dibentuk dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tertentu pada \(I_{n\times n}\) (matriks satuan). Jika operasi baris elementer yang sama dikenakan pada sebarang matriks \(A_{n\times m}\) maka hasilnya sama dengan hasil kali \(EA\).

Contoh penerapan dari teorema 1 :

Misalkan didefinisikan matriks \(A\) dan \(E\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{cccc}2&-4&7&1\\3&-1&0&1\\-3&2&5&0\end{array}}\right]$$

$$I_{3\times 3} \xrightarrow[ ]{3R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}} E=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]$$

Kita akan mengecek kebenaran teorema 1 dari contoh ini. Apakah benar :

$$A \xrightarrow[ ]{3R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}} EA$$

Untuk pernyataan di atas, dengan operasi perkalian antar matriks kita dapatkan :

$$EA=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cccc}2&-4&7&1\\3&-1&0&1\\-3&2&5&0\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccc}-7&2&22&1\\3&-1&0&1\\-3&2&5&0\end{array}}\right]\dots(i)$$

Kemudian kita kenakan matriks \(A\) dengan OBE yang sama \(3R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}\) sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{cccc}2&-4&7&1\\3&-1&0&1\\-3&2&5&0\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{cccc}-7&2&22&1\\3&-1&0&1\\-3&2&5&0\end{array}}\right]\dots(ii)$$

Dari persamaan \((i)\) dan \((ii)\), ditarik kesimpulan bila kita mengenakan OBE \(3R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}\) pada matriks A maka hasilnya akan sama dengan hasil kali \(EA\). Jadi pernyataan \(A \xrightarrow[ ]{3R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}} EA\) bernilai benar.

Tambahan

Mari kita berpikir bersama, sebuah OBE yang dikenakan pada matriks satuan \(I\) dapat menghasilkan matriks elementer \(E\).

Lalu apakah ada OBE yang jika dikenakan pada matriks \(E\) akan menghasilkan matriks satuan \(I\) ?

Jawabannya adalah ada!

Misalkan jika \(E\) kita peroleh dengan menukarkan baris ke-\(i\) dengan baris ke-\(j\) pada \(I\), maka kita dapat mencari matriks \(I\) jika kita menukarkan baris ke-\(j\) dengan baris ke-\(i\) pada \(E\).

Untuk operasi lainnya simak tabel berikut :

OBE pada \(I\) yang menghasilkan \(E\) OBE pada \(E\) yang menghasilkan \(I\)
Mempertukarkan baris ke-\(i\) dengan baris ke-\(j\), dinotasikan : \(R_{i} \leftrightarrow R_{j}\) Mempertukarkan baris ke-\(j\) dengan baris ke-\(i\), dinotasikan : \(R_{j} \leftrightarrow R_{i}\)
Mengalikan baris ke-\(i\) dengan skalar \(k\), \(k\neq 0\) dan dinotasikan : \(kR_{i} \rightarrow R_{i}\) Mengalikan baris ke-\(i\) dengan skalar \(\frac{1}{k}\), dinotasikan : \(\frac{1}{k}R_{i} \rightarrow R_{i}\)
Menambahkan hasil kali baris ke-\(i\) dengan skalar \(k\) ke baris ke-\(j\), dinotasikan : \(kR_{i} +R_{j}\rightarrow R_{j}\) Menambahkan hasil kali baris ke-\(j\) dengan skalar \(-k\) ke baris ke-\(i\), dinotasikan : \(-kR_{j} +R_{i}\rightarrow R_{i}\)

Operasi-operasi pada ruas kanan tabel di atas dinamakan operasi inversLalu apa kegunaan dari operasi tersebut?

Operasi tersebut berguna untuk mencari invers dari suatu matriks dengan menggunakan matriks elementer. Namun kita tidak akan membahasnya di postingan ini. Untuk teorema selanjutnya juga tidak kalah penting dari teorema matriks elementer yang pertama.

Teorema 2

Setiap matriks elementer adalah invertible (dapat dibalik / mempunyai invers) dan inversnya adalah juga matriks elementer.

Maksud dari teorema 2 adalah ketika ada matriks elementer \(E_{1}\) yang dihasilkan dengan memperagakan sebuah OBE (kita namakan operasi *) pada \(I\). Kemudian kita gunakan operasi inversnya (kita namakan operasi **) pada matriks satuan \(I\) maka akan menghasilkan matriks elementer \(E_{2}\) mengingat operasi invers pada pembahasan saat ini juga merupakan operasi baris elementer.

Sehingga berdasarkan teorema 1 maka jika matriks \(E_{1}\) dikalikan dengan \(E_{2}\) maka diperoleh :

$$E_{1}E_{2}=1\dots(i)$$

Gambaran secara kasarnya yaitu efek operasi (*) akan dikenakan pada matriks \(E_{2}\) sehingga operasi (*) dan operasi (**) akan bertemu dan saling “meniadakan” dan menyisakan matriks satuan \(I\).

Kemudian dengan cara yang sama jika kita mengalikan matriks \(E_{2}\) dengan \(E_{1}\) maka juga diperoleh :

$$E_{1}E_{2}=1\dots(ii)$$

Berdasarkan sifat invers pada matriks yaitu jika \(AB =BA =I\) maka matriks \(B = A^{-1}\) atau \(A = B^{-1}\).

Sehingga berdasarkan persamaan \((i)\) dan \((ii)\) maka didapat \(E_{1}E_{2} =E_{2}E_{1} =I\) dan \(E_{1} = E_{2}^{-1}\) atau \(E_{2} = E_{1}^{-1}\). Jadi benar bahwa matriks elementer dapat dibalik dan inversnya juga merupakan matriks elementer.

Contoh :

Misalkan didefinisikan matriks elementer \(E_{1}\) dan \(E_{2}\) sebagai berikut.

$$I_{3\times 3} \xrightarrow[ ]{2R_{2}\rightarrow R_{2}} E_{1}=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{array}}\right]$$
$$I_{3\times 3} \xrightarrow[ ]{\frac{1}{2}R_{2}\rightarrow R_{2}} E_{2}=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\end{array}}\right]$$

Kemudian kita kalikan keduanya sehingga didapat :

$$E_{1}E_{2}=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]$$

dan dengan cara yang sama juga diperoleh :

$$E_{2}E_{1}=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]$$

Jadi didapat \(E_{1}E_{2} =E_{2}E_{1} =I\) dan berdasarkan sifat invers pada matriks maka \(E_{1} = E_{2}^{-1}\) atau \(E_{2} = E_{1}^{-1}\).

Selanjutnya disarankan membaca : Penerapan Matriks Elementer dan Metode Mencari Invers yang Lebih Ringkas

Karena jika biasanya dalam mencari invers suatu matriks perlu mencari determinan lalu mencari transpose matriks adjoint dan seterusnya. Apalagi jika invers yang dicari dari matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang banyak pasti akan repot.

Operasi Matriks dan Sifat-Sifatnya

Cover Matriks Profematika

Operasi Matriks

Operasi dasar seperti penjumlahan dan perkalian erat sekali berhubungan dengan matriks. Namun, operasi tersebut tidak selalu dapat langsung diterapkan, karena matriks lebih rumit daripada angka.

1. Penjumlahan Matriks

Jika terdapat dua matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom yang sama, maka kita dapat menjumlahkan keduanya untuk memperoleh matriks baru dengan ordo yang sama. Jadi syarat untuk menjumlahkan dua matriks atau lebih yaitu harus mempunyai ordo yang sama.

Misalkan matriks \(A\) dan \(B\) mempunyai ordo \(m \times n\) atau dapat ditulis \(A=[a_{ij}]_{m \times n}~,~B=[b_{ij}]_{m \times n}\) dengan \(i=\{ 1,2,\dots,m\}\) dan \(j=\{1,2,\dots,n\}\). Jika kedua matriks tersebut dijumlahkan maka akan terdapat matriks \(C=[c_{ij}]_{m \times n}\), dimana \(C=A+B\) dengan \(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\).

Contoh :

Misalkan matriks \(A\) dan \(B\) didefinisikan sebagai berikut.

$$A=\left[{\begin{array}{cc}0&-7\\-1&3 \end{array}}\right]~,~B=\left[{\begin{array}{cc}2&4\\3&8 \end{array}}\right]$$

Kita akan mencari matriks \(C\) dengan menjumlahkan matriks \(A\) dan \(B\). Sehingga kita peroleh :

$$C=A+B=\left[{\begin{array}{cc}0&-7\\-1&3 \end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{cc}2&4\\3&8 \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}0+2&-7+4\\-1+3&3+8 \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}2&-3\\2&11 \end{array}}\right]$$

Selain menjumlahkan kita juga bisa menggunakan operasi pengurangan dengan syarat harus mempunyai ordo yang sama. Untuk contohnya kita dapat menghitung :

$$C=A-B=\left[{\begin{array}{cc}0&-7\\-1&3 \end{array}}\right]-\left[{\begin{array}{cc}2&4\\3&8 \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}0-2&-7-4\\-1-3&3-8 \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}-2&-11\\-4&-5 \end{array}}\right]$$

Lalu bagaimana jika terdapat dua matriks mempunyai ordo yang berbeda kemudian keduanya dijumlahkan? Misalkan terdapat matriks \(D\) dengan ordo \(2 \times 3\). Jika ditanya \(A+D\) maka \(A+D=~\text{tidak terdefinisi}\) karena \(\text{ordo}~A\neq~\text{ordo}~D\).

Baca : Definisi Matriks dan Jenis-Jenisnya

2. Perkalian dengan Skalar

Misalkan matriks \(A=[a_{ij}]_{m \times n}\) dan \(\alpha\) adalah sembarang skalar (riil atau kompleks). Perkalian matriks \(A\) dengan skalar \(\alpha\) dapat dibentuk dengan mengalikan setiap elemen \(a_{ij}\) dengan \(\alpha\).

Contoh :

Misalkan \(\alpha=2~,~\beta = 1+2i\) dan matriks \(A\) didefinisikan sebagai berikut.

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}0&-6&2\\-8&-2&1\\3&2&-3 \end{array}}\right]~,~B=\left[{\begin{array}{cc}3&4\\-2&2\end{array}}\right]$$

Tentukan hasil dari \(\alpha A\) dan \(\beta B\).

Penyelesaian :

Kita dapat menyelesaikannya dengan mengalikan skalar dengan setiap elemen pada matriks \(A\). Sehingga untuk \(\alpha A\) kita peroleh :

$$\alpha A=(2)\left[{\begin{array}{ccc}0&-6&2\\-8&-2&1\\3&2&-3 \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}2(0)&2(-6)&2(2)\\2(-8)&2(-2)&2(1)\\2(3)&2(2)&2(-3) \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}0&-12&4\\-16&-4&2\\6&4&-6 \end{array}}\right]$$

Dengan cara yang sama, kita juga dapat :

$$\beta B=(1+2i)\left[{\begin{array}{cc}3&4\\-2&2\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}(1+2i)(3)&(1+2i)(4)\\(1+2i)(-2)&(1+2i)(2)\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}3+6i&4+8i\\-2-4i&2+4i\end{array}}\right]$$

3. Perkalian Dua Matriks

Pada operasi dua matriks, pertama-tama kita akan mempelajari perkalian antara vektor kolom dan vektor baris. Hal tersebut karena berkaitan langsung dan menjadi landasan dalam perkalian antar matriks.

Apa itu vektor kolom dan vektor baris?

Vektor Kolom adalah matriks yang memiliki ordo \(n \times 1\) dengan elemen sebanyak \(n\). Contoh :

$$A=\left[{\begin{array}{c}\frac{3}{5}\\-8 \end{array}}\right]~,~B=\left[{\begin{array}{c}2\\\pi \\5\end{array}}\right]~,~C=\left[{\begin{array}{c}-4\\-3\\2\\1 \end{array}}\right]$$

Vektor Baris adalah matriks yang memiliki ordo \(1 \times n\) dengan elemen sebanyak \(n\). Contoh :

$$A=\left[{\begin{array}{cc}\frac{2}{3}&\sqrt[3]{2}\end{array}}\right]~,~B=\left[{\begin{array}{ccc}6&-7&\frac{\pi}{2}\end{array}}\right]~,~C=\left[{\begin{array}{cccc}2&0&1&9\end{array}}\right]$$

Perkalian Vektor Kolom dan Vektor Baris

Selanjutnya untuk perkalian antar vektor kolom dan vektor baris, kita misalkan \(A=[a_{i}]_{1 \times n}\) dan \(B=[b_{i}]_{n \times 1}\) berturut-turut merupakan vektor baris dan kolom dengan \(n\) elemen dan \(i=\{1,2,\dots,n\}\). Jika kedua matriks tersebut dikalikan maka diperoleh :

$$AB=\left[{\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\dots&a_{n} \end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{n} \end{array}}\right]=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots+a_{n}b_{n}$$

Keunikan dari perkalian antar vektor kolom dan baris yaitu hasilnya berupa bilangan bukan matriks. Kemudian perkalian tersebut dapat terjadi (valid) jika dan hanya jika mempunyai banyak elemen yang sama.

Contoh :

Misalkan matriks \(A~,~B~,~C\) didefinisikan sebagai berikut.

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}6&-7&2\end{array}}\right]~,~B=\left[{\begin{array}{cccc}2&0&1&9\end{array}}\right]~,~C=\left[{\begin{array}{c}1\\-2\\0\end{array}}\right]$$

Tentukan hasil dari \(AC\) dan \(BC\).

Penyelesaian :

Dengan menggunakan rumus sebelumnya maka diperoleh :

$$AC=\left[{\begin{array}{ccc}6&-7&2 \end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}1\\-2\\0 \end{array}}\right]=(6)(1)+(-7)(-2)+(2)(0)=20$$

Untuk perkalian \(BC=tidak~terdefinisi\) karena banyak elemen \(B\) tidak sama dengan banyak elemen \(C\).

Perkalian Antar Matriks Secara Umum

Setelah berhasil mempelajari perkalian antara vektor baris dan vektor kolom. Selanjutnya kita akan mempelajari perkalian antara dua matriks sembarang ukuran beserta ketentuannya.

Misalkan terdapat dua matriks yaitu \(A=[a_{ij}]_{l \times m}\) dan \(B=[b_{ij}]_{m \times n}\). Misalkan lagi terdapat matriks \(C\) dengan \(C=AB\). Maka kita dapat menuliskan setiap elemen dari \(C\) sebagai berikut.

$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{im}b_{mj}=\sum_{k=1}^{m} a_{ik}b_{kj}$$

Jika hal tersebut dikaitkan dengan vektor kolom dan vektor baris, maka jika didefinisikan \(a_{i}\) dan \(b_{j}\) berturut-turut merupakan vektor baris ke-\(i\) dari matriks \(A\) dan vektor kolom ke-\(j\) dari matriks \(B\). Maka elemen dari \(C\) dapat juga ditulis \(c_{ij}=a_{i}b_{j}\).

Jadi berdasarkan pernyataan-pernyataan tersebut dapat ditarik kesimpulan, perkalian dua matriks (\(AB\)) dapat terjadi (valid) jika dan hanya jika banyak kolom \(A=\) banyak baris \(B\).

Contoh :

Didefinisikan matriks \(A\) dan \(B\) sebagai berikut.

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}-1&4&3\\0&-5&2\end{array}}\right]~,~B=\left[{\begin{array}{ccc}2&0&1\\-7&1&1\\5&2&-3\end{array}}\right]$$

Tentukan hasil dari \(AB\) dan \(BA\).

Penyelesaian :

Langkah pertama, untuk \(AB\) kita harus mengecek banyak kolom \(A\) dan banyak baris \(B\). Jelas bahwa banyak kolom \(A=\) banyak baris \(B=3\) sehingga dapat dilakukan operasi perkalian.

Sedangkan untuk \(BA\) dengan langkah yang sama didapat bahwa banyak kolom \(B=3\) tidak sama dengan banyak baris \(A=2\) akibatnya tidak terdefinisi atau operasi perkalian tersebut tidak dapat dilakukan.

Langkah kedua, untuk memudahkan penulisan misalkan terdapat matriks \(C=AB\). Sehingga berdasarkan pernyataan sebelumnya, elemen dari matriks \(C\) yaitu \(c_{ij}=a_{i}b_{j}\).

Langkah ketiga, kita dapat memulai menghitung dengan mengalikan matriks vektor baris ke-\(1 = a_{1}\)(dari matriks \(A\)) dengan vektor kolom ke-\(1 =b_{1}\)(dari matriks \(B\)).

$$c_{11}=a_{1}b_{1}=\left[{\begin{array}{ccc}-1&4&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}2\\-7\\5\end{array}}\right]=(-1)(2)+(4)(-7)+(3)(5)=-15$$

Dengan langkah yang sama akan dicari elemen-elemen dari matriks \(C\) yang lain \(\{c_{11},c_{12},c_{13},c_{21},c_{22},c_{23}\}\).

$$c_{12}=a_{1}b_{2}=\left[{\begin{array}{ccc}-1&4&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}}\right]=(-1)(0)+(4)(1)+(3)(2)=10$$
$$c_{13}=a_{1}b_{3}=\left[{\begin{array}{ccc}-1&4&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}1\\1\\-3\end{array}}\right]=(-1)(1)+(4)(1)+(3)(-3)=-6$$
$$c_{21}=a_{2}b_{1}=\left[{\begin{array}{ccc}0&-5&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}2\\-7\\5\end{array}}\right]=(0)(2)+(-5)(-7)+(2)(5)=45$$
$$c_{22}=a_{2}b_{2}=\left[{\begin{array}{ccc}0&-5&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}}\right]=(0)(0)+(-5)(1)+(2)(2)=-1$$
$$c_{23}=a_{2}b_{3}=\left[{\begin{array}{ccc}0&-5&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}1\\1\\-3\end{array}}\right]=(0)(1)+(-5)(1)+(3)(2)=1$$

Sehingga diperoleh :

$$AB=C=\left[{\begin{array}{ccc}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}-15&10&-6\\45&-1&1\end{array}}\right]$$

Dari contoh tersebut didapat fakta bahwa jika \(A\) mempunyai ordo \(m \times k\) dan \(B\)mempunyai ordo \(k \times n\) maka \(C=AB\) mempunyai ordo \(m \times n\).

4. Transpose Matriks

Transpose matriks adalah matriks yang dibentuk dengan mempertukarkan elemen-elemen didalam baris dan kolom dari matriks tersebut. Umumnya disimbolkan dengan transpose \(A=A^T\).

Transpose Matriks Profematika

Misalkan matriks \(A=[a_{ij}]_{m \times n}\) dan transpose matriks A dinyatakan oleh \(A^T=B=[b_{ij}]_{n \times m}\) maka berdasarkan definisi \(b_{ij}=a_{ji}\) dan perlu diperhatikan bahwa jika ordo matriks \(A = m \times n\) maka ordo \(A^T = n \times m \).

Contoh :

Misalkan matriks \(A\) dan \(B\) didefinisikan sebagai berikut.

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&0&1\\4&-2&2\end{array}}\right]~,~B=\left[{\begin{array}{ccc}3&-5&1\\0&1&0\\7&2&-5\end{array}}\right]$$

Maka matriks transpose dari \(A\) dan \(B\) yaitu :

$$A^T=\left[{\begin{array}{cc}2&4\\0&-2\\1&2\end{array}}\right]~,~B^T=\left[{\begin{array}{ccc}3&0&7\\-5&1&2\\1&0&-5\end{array}}\right]$$

5. Trace Matriks

Trace Matriks dari matriks persegi adalah hasil penjumlahan dari elemen-elemen pada diagonal utama matriks tersebut. Jadi syarat untuk mencari trace matriks yaitu matriksnya mempunyai ordo \(n \times n\) (matriks persegi). Untuk penulisan biasa disimbolkan dengan trace\(A)=tr(A)\).

Baca : Definisi Matriks dan Jenis-Jenisnya

Misalkan \(A=[a_{ij}]_{n \times n}\), maka berdasarkan definisi diperoleh :

$$tr(A)=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}=\sum_{k=1}^{n} a_{kk}$$

Contoh :

Misalkan didefinisikan sebuah matriks persegi sebagai berikut.

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&3&1\\-2&-7&4\\5&6&-2\end{array}}\right]$$

Maka \(tr(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}=2+(-7)+(-2)=-7\)

Sifat-Sifat Operasi Matriks

Catatan : Pada pembahasan sifat-sifat operasi kali ini dapat dilakukan dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks yang dioperasikan disesuaikan dengan ketentuan dari setiap operasi.

1. Terhadap Operasi Penjumlahan

Misalkan terdapat matriks \(A, B, C\) dan matriks nol \(O\) sedemikian rupa sehingga berlaku :

  • \(A+B=B+A\)
  • \(A+(B+C)=(A+B)+C\)
  • \(A+O =O+A=A\)
  • \(A+(-A)=-A+A=O\)

2. Terhadap Operasi Perkalian

Misalkan terdapat matriks \(A, B, C,\) matriks nol \(O,\) matriks identitas \(I\) dan \(m,n\) sembarang bilangan bulat yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

  • \(AB\neq BA\)
  • \((AB)C=A(BC)\)
  • \(AI=IA=A\)
  • \(AO=OA=O\)
  • \(A^m A^n=A^{m+n}~\text{dan}~(A^m)^n=A^{mn}\)
  • \(A^x=\begin{cases}I & \text{ jika } x= 0\\\underbrace{AA\dots A}_{x~faktor}& \text{ jika } x\in \mathbb{N}\end{cases}\)
  • \(\text{jika matriks diagonal}~A_{n \times n}=\left[{\begin{array}{cccc}a_{11}&0&\dots&0\\0&a_{22}&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&a_{nn}\end{array}}\right],~\text{maka}~A^k=\left[{\begin{array}{cccc}(a_{11})^k&0&\dots&0\\0&(a_{22})^k&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&(a_{nn})^k\end{array}}\right]\)
  • \(\text{jika}~AB=O~\text{maka tidak selalu}~A=O~\text{atau}~B=O~\text{atau}~BA=O\)

3. Terhadap Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar

Misalkan terdapat matriks \(A, B, C,\) dan \(m,n\) sembarang skalar (riil atau kompleks) yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

  • \(A(B+C)=AB+AC\)
  • \((B+C)A=BA+CA\)
  • \(m(A+B)=mA+mB\)
  • \((m+n)A=mA+nA\)
  • \((mn)A=m(nA)\)
  • \(m(BC)=(mB)C=B(mC)\)

4. Terhadap Operasi Transpose

Misalkan terdapat matriks \(A, B, \) dan \(\alpha\) sembarang skalar (riil atau kompleks) yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

  • \((A+B)^T=A^T+B^T\)
  • \((\alpha A)^T=\alpha A^T\)
  • \((A^T)^T=A\)
  • \((AB)^T=B^T A^T\)

5. Terhadap Operasi Trace

Misalkan terdapat matriks \(A, B, I\text{(Identitas)}\) dan \(\alpha\) sembarang skalar (riil atau kompleks) dan sembarang bilangan bulat \(n\) yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

  • \(tr(\alpha A)=\alpha (tr(A))\)
  • \(tr(A+B) = tr(A)+tr(B)\)
  • \(tr(AB)=tr(BA)\)
  • \(tr(A^T)=tr(A)\)
  • \(tr(I_{n \times n})= n\)