Aturan Sarrus Archives

Definisi Determinan Secara Umum

Pada pembahasan sebelumnya sudah dijelaskan dengan jelas mengenai Definisi Fungsi Determinan dengan Perkalian Elementer. Dimana jika terdapat $A$ matriks persegi berordo $n\times n$ maka determinan dari matriks $A$ dapat ditulis sebagai berikut :

$$\text{det}(A)=\sum \pm a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\dots a_{np_{n}}$$

Dengan $a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\dots a_{np_{n}}$ bernilai genap jika $(p_{1},p_{2},\dots,p_{n})$ merupakan permutasi genap, sebaliknya $a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\dots a_{np_{n}}$ bernilai ganjil jika $(p_{1},p_{2},\dots,p_{n})$ merupakan permutasi ganjil. Ingat kembali bahwa permutasi dari $n$ unsur berbeda dari $(p_{1},p_{2},\dots,p_{n})$ mempunyai $n!$ permutasi.

Kita akan menggunakan definisi fungsi determinan dengan perkalian elementer untuk melihat apakah metode sarrus hanya berlaku pada matriks $3\times3$. Sebelum menganalisa lebih lanjut, mari kita kenalan terlebih dahulu metode sarrus.

Apa itu aturan atau metode sarrus?

Metode sarrus atau juga sering orang menyebutnya metode anyaman (Basketweave Method) adalah jalan alternatif dalam menghitung determinan dari matriks $3\times 3$.

Perhatikan ilustrasi berikut :

Berdasarkan ilustrasi di atas kita peroleh langkah-langkah menghitung determinan matriks $3\times 3$ dengan metode sarrus sebagai berikut.

Tahapan Metode Sarrus dalam Mencari Determinan

Misalkan didefinisikan matriks $A_{3\times 3}$ sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}}\right]$$

Langkah pertama dalam menentukan determinan dengan aturan sarrus yaitu dengan menambahkan secara berurutan kolom ke-$1$ dan ke-$2$ pada sebelah kanan kolom ke-$3$.

$$\left[{\begin{array}{ccc|cc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{31}&a_{32}\end{array}}\right]$$

Selanjutnya kita coret entri-entri pada diagonal utama dan diagonal lainnya.

Sehingga diperoleh 6 bagian, kemudian kita kalikan entri-entri yang terletak pada kotak 1 sampai kotak 6.

$$\boxed{1}=a_{11}\times a_{22}\times a_{33}$$

$$\boxed{2}=a_{12}\times a_{23}\times a_{31}$$

$$\boxed{3}=a_{13}\times a_{21}\times a_{32}$$

$$\boxed{4}=a_{13}\times a_{22}\times a_{31}$$

$$\boxed{5}=a_{11}\times a_{23}\times a_{32}$$

$$\boxed{6}=a_{12}\times a_{21}\times a_{33}$$

Langkah terakhir yaitu menghitung determinan dengan mengurangkan jumlah hasil kali pada diagonal-diagonal utama(kotak 1, kotak 2 dan kotak 3) dengan jumlah hasil kali pada diagonal-diagonal pelengkapnya(kotak 4, kotak 5 dan kotak 6).

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=\boxed{1}+\boxed{2}+\boxed{3}-\boxed{4}-\boxed{5}-\boxed{6}\\&=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\end{aligned}$$

Baca juga : Kelebihan dan Kekurangan Metode Ekspansi Kofaktor

Menghitung Determinan Matriks 3×3 dengan Aturan Sarrus

Diberikan matriks $A_{3\times 3}$ sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&-1&1\\-3&0&-2\\1&4&1\end{array}}\right]$$

Dengan menggunakan aturan sarrus, tentukan determinan matriks $A$ tersebut.

Penyelesaian :

Berdasarkan aturan sarrus maka kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc|cc}2&-1&1&2&-1\\-3&0&-2&-3&0\\1&4&1&1&4\end{array}}\right]$$

Sehingga determinan dari matriks $A$ yaitu :

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=(2)(0)(1)+(-1)(-2)(1)+(1)(-3)(4)-(1)(0)(1)-(2)(-2)(4)-(-1)(-3)(1)\\&=0+2+(-12)-0-(-16)-3\\&=3\end{aligned}$$

Alasan Metode Sarrus Hanya Berlaku Pada Matriks 3×3

Sebenarnya mengenai alasan aturan sarrus hanya berlaku pada matriks 3×3 tidak perlu ditanyakan, mengapa?

Hal ini karena Metode Sarrus itu sendiri diciptakan sebagai jalan alternatif yang lebih mudah untuk menghitung determinan matriks 3×3.

Namun, penulis mempunyai pandangan yang sedikit berbeda mengenai hal tersebut. Pertama kita sepakati bersama bahwa dalam mencari determinan matriks $A_{n\times n}$ dengan metode sarrus pada diskusi kita kali ini dimulai dengan menambahkan $n-1$ kolom pertama tepat pada sebelah kanan kolom terakhir secara berturut-turut.

$$\left[{\begin{array}{cccc|cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1(n-1)}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}&a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2(n-1)}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}&a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{n(n-1)}\end{array}} \right ]$$

Ide tersebut terinspirasi pada aturan sarrus pada matriks $3\times 3$ dimana tepat pada sebalah kanan kolom terakhir (ketiga), terdapat $3-1$ kolom pertama (kolom ke-$1$ dan kolom ke-$2$ secara berturut-turut).

Sehingga jika kita hubungkan pada konsep hasil perkalian elementer maka kita akan mendapatkan $2n$ buah hasil perkalian elementer. Contohnya pada matriks $3 \times 3$ berdasarkan aturan sarrus maka akan terdapat $2\times3=6$ buah hasil kali elementer (3 pada diagonal utama dan 3 lainnya pada diagonal pelengkapnya).

Namun, jika kita mengacu pada definisi determinan dengan hasil perkalian elementer maka apabila matriks $A$ berordo $n\times n$, maka seluruh hasil perkalian elementer dalam matriks ada sebanyak $n!$ (baca sebabnya disini).

Sehingga dari kedua pernyataan di atas kita peroleh hubungan :

$$n!=2n$$

Jelas bahwa jika bilangan asli $n>3$ maka $$n!>2n$$ (kontradiksi) yang berakibat $1\leq n\leq 3$ dan nilai $n$ yang memenuhi persamaan tersebut hanya $n=3$.

Jadi dari pernyataan di atas dapat kita tarik kesimpulan bahwa aturan sarrus hanya berlaku untuk matriks berordo $3\times 3$.

Apa itu Ekspansi Kofaktor?

Metode ekspansi kofaktor adalah suatu metode untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor yang mengutamakan kemampuan berhitung secara manual dan secara teoritis.

Lalu apa itu kofaktor?

Metode Sarrus Pada Matriks 3x3 — Metode Sarrus

Metode Kupu-Kupu Pada Matriks 2x2 — Metode Kupu-Kupu

Sebelum mengenal apa itu kofaktor, mari kita ingat kembali pada saat duduk di bangku SMA kita sudah mengenal dan memahami aturan sarrus (untuk matriks 3×3) dan metode kupu-kupu (untuk matriks 2×2).

Perhatikan contoh berikut :

Didefinisikan matriks $A$ dan $B$ sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}}\right]$$

Kita akan menentukan determinan matriks $A$ dan $B$. Berdasarkan metode kupu-kupu pada matriks $A$ kita peroleh :

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\\&=a_{11}(-1)^{1+1}a_{22}+a_{12}(-1)^{1+2}a_{21}\\&=a_{11}(-1)^{1+1}\left|{a_{22}}\right|+a_{12}(-1)^{1+2}\left|{a_{21}}\right|\end{aligned}$$

dan pada matriks $B$ dengan berdasarkan aturan sarrus dan kupu-kupu kita peroleh :

$$\begin{aligned}\text{det}(B)&=b_{11}b_{22}b_{33}+b_{12}b_{23}b_{31}+b_{13}b_{21}b_{32}-b_{13}b_{22}b_{31}-b_{11}b_{23}b_{32}-b_{12}b_{21}b_{33}\\&=b_{11}(-1)^{1+1}\left({b_{22}b_{33}-b_{23}b_{32}}\right)+b_{12}(-1)^{1+2}\left({b_{21}b_{33}-b_{23}b_{31}}\right)+b_{13}(-1)^{1+3}\left({b_{21}b_{32}-b_{22}b_{31}}\right)\\&=b_{11}(-1)^{1+1}\left|{\begin{array}{cc}b_{22}&b_{23}\\b_{32}&b_{33}\end{array}}\right|+b_{12}(-1)^{1+2}\left|{\begin{array}{cc}b_{21}&b_{23}\\b_{31}&b_{33}\end{array}}\right|+b_{13}(-1)^{1+3}\left|{\begin{array}{cc}b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{array}}\right|\end{aligned}$$

Dari pernyataan di atas bahwa determinan matriks $B$ dapat dicari dengan menggunakan determinan matriks yang lebih kecil, begitu pula pada matriks $A$.

Kemudian pada contoh di atas tanpa kita sadari, juga telah menerapkan konsep kofaktor, untuk lebih jelasnya, berikut definisi kofaktor :

Definisi Kofaktor : Jika $A_{n\times n}=\left[{a_{ij}}\right]$ maka kofaktor dari $a_{ij}$ dapat lambangkan $C_{ij}$ dan $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$, dengan $M_{ij}$ menyatakan minor dari $a_{ij}$ dan $M_{ij}$ adalah determinan dari submatriks $A$ yang diperoleh dengan mencoret semua entri pada baris ke-$i$ dan semua entri pada kolom ke-$j$.

Baca juga : Definisi Fungsi Determinan dengan Perkalian Elementer

Contoh 1 :

Tentukan minor dan kofaktor dari entri $a_{12}, a_{31}$ dan $a_{23}$ pada matriks $A$ berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&-1&1\\1&0&-1\\2&-2&0\end{array}}\right]$$

Penyelesaian :

Minor $a_{12}$ diperoleh dengan cara mencoret semua entri pada baris ke-$1$ dan semua entri pada kolom ke-$2$, kemudian dihitung determinannya :

$$M_{12}=\left|{\begin{array}{cc}1&-1\\2&0\end{array}}\right|=(1)(0)-(-1)(2)=2$$

dan kofaktor dari $a_{12}$ adalah :

$$C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\times 2=-2$$

Dengan cara yang sama kita cari minor dan kofaktor dari $a_{31}$ dan $a_{23}$.

$$M_{31}=\left|{\begin{array}{cc}-1&1\\0&-1\end{array}}\right|=1~\text{sehingga}~C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=1$$

dan

$$M_{23}=\left|{\begin{array}{cc}2&-1\\2&-2\end{array}}\right|=-2~\text{sehingga}~C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=2$$

Selanjutnya kita akan menghitung determinan suatu matriks persegi dengan menerapkan konsep ekspansi kofaktor.

Menghitung Determinan dengan Metode Ekspansi Kofaktor

Determinan dari matriks $A_{n\times n}=\left[{a_{ij}}\right]~\forall~i,j =\{1,2,3,\dots,n\}$ dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris atau dalam suatu kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Kemudian menjumlahkan semua hasil-hasil kali yang dihasilkan, atau dapat ditulis :

$$\text{det}(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\dots+a_{in}C_{in}$$

(Karena baris ke-$i$ menjadi acuan, maka disebut juga ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-$i$)

$$\text{det}(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\dots+a_{nj}C_{in}$$

(Karena kolom ke-$j$ menjadi acuan, maka disebut juga ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-$j$)

Contoh 2 :

Didefinisikan matriks $A$ sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}3&0&-2\\2&5&1\\-1&3&1\end{array}}\right]$$

Dengan metode ekspansi kofaktor tentukan determinan matriks $A$.

Penyelesaian :

Tips : pilih baris atau kolom yang mengandung banyak unsur/entri nol agar perhitungan menjadi lebih mudah.

Kita pilih baris pertama ($a_{12}=0$) sehingga kita dapat tuliskan :

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}\\&=a_{11}C_{11}+a_{13}C_{13}\dots(*)\end{aligned}$$

Kemudian kita cari nilai dari masing-masing kofaktor :

$$M_{11}=\left|{\begin{array}{cc}5&1\\3&1\end{array}}\right|=2~\Rightarrow~C_{11}=(-1)^{1+1}(2)=2$$

$$M_{13}=\left|{\begin{array}{cc}2&5\\-1&3\end{array}}\right|=11~\Rightarrow~C_{13}=(-1)^{1+3}(11)=11$$

Sehingga jika kita subtitusikan ke persamaan $(*)$ akan diperoleh :

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}C_{11}+a_{13}C_{13}\\&=3(2)+(-2)(11)\\&=-16\end{aligned}$$

Baca juga : Alasan Metode Sarrus Hanya Berlaku pada Matriks 3×3

Kelebihan Metode Ekspansi Kofaktor

1. Dapat diterapkan pada matriks persegi 2×2 atau lebih.

Jika metode sarrus terbatas pada ordo $3 \times 3$ maka untuk menghitung determinan dengan ordo yang lebih tinggi $(4\times 4, 5\times5,\dots,n\times n)$ dapat menggunakan metode ekspansi kofaktor.

Kenapa dimulai dari matriks 2×2 ?

Hal ini karena pada matriks 1×1 dalam mencari determinannya cukup menggunakan definisi saja, dimana jika terdapat matriks $A_{1\times1}=\left[a_{11}\right]$ maka determinannya adalah $\text{det}(A)=a_{11}$.

2. Efektif untuk yang suka perhitungan manual dan secara teoritis.

Hal ini didapat dari perbandingan dengan metode lainnya seperti aturan sarrus dan reduksi baris, dimana masing-masing mempunyai kelebihan tersendiri. Ekspansi kofaktor juga sekaligus dapat melatih ketahanan dalam berhitung, kita ambil contoh pada saat mencari determinan $A_{5\times 5}$ maka kita akan menemukan determinan dari submatriks dari $A$ yang berukuran $4 \times 4$, dimana determinan dari submatriks tersebut kita hitung juga dengan ekspansi kofaktor sehingga akan ditemukan determinan submatriks dari submatriks $A$ yang berukuran $3 \times 3$ dan seterusnya.

Asalkan paham konsep dari ekspansi kofaktor dan mempunyai hitungan yang tepat maka metode ekspansi kofaktor akan efektif dilakukan.

3. Konsep kofaktor berguna untuk mencari invers matriks.

Pada saat duduk dibangku SMA pasti sudah mengenal rumus mencari invers berikut :

$$A_{n\times n}^{-1}=\frac{\text{Adjoin}(A)}{\text{det}(A)}$$

Pada persamaan tersebut terdapat Adjoin$(A)$ yang didefinisikan sebagai transpose matriks kofaktor dari $A$ dapat kita tuliskan :

$$\text{Matriks kofaktor A}=\left[{\begin{array}{cccc}C_{11}&C_{12}&\dots&C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\dots&C_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\C_{n1}&C_{n2}&\dots&C_{nn}\end{array}}\right]$$

Maka :

$$\text{Adjoin}(A)=\left[{\begin{array}{cccc}C_{11}&C_{21}&\dots&C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\dots&C_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\C_{1n}&C_{2n}&\dots&C_{nn}\end{array}}\right]$$

Dari kenyataan tersebut, jelas bahwa konsep kofaktor dapat dimanfaatkan untuk mencari invers matriks. Sehingga tidak ada salahnya mempelajari ekspansi kofaktor, namun disamping itu metode ekspansi kofaktor menurut penulis masih terdapat kekurangan.

Kekurangan Metode Ekspansi Kofaktor

Menurut penulis metode ekspansi kofaktor dalam segi kecepatan masih kurang jika dibandingkan dengan metode campuran yaitu gabungan dari macam-macam metode(sarrus, kupu-kupu, ekspansi kofaktor, reduksi baris dan lainnya) yang dipadukan dengan sifat-sifat determinan.

Pada postingan ini kita tidak akan membahas mengenai metode reduksi baris. Sehingga sekarang untuk membuktikan argumen tersebut, saya asumsikan kita sudah memahami metode reduksi baris.

Contoh 3 :

Misalkan kita akan menghitung determinan matriks $A$ sebagai berikut :

$$\text{det}(A)=\left|{\begin{array}{cccc}1&4&5&-2\\2&7&2&1\\1&6&4&-1\\-3&3&1&2\end{array}}\right|$$

Kita akan mereduksi matriks tersebut dengan mengenakan operasi baris elementer :

$-2R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}$
$-R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}$
$3R_{1}+R_{4}\rightarrow R_{4}$

secara berturut-turut sehingga kita peroleh :

$$\text{det}(A)=\left|{\begin{array}{cccc}1&4&5&-2\\0&-1&-8&5\\0&2&-1&1\\0&15&16&-4\end{array}}\right|$$

Nah, selanjutnya kita kenakan metode ekspansi kofaktor, kita pilih entri-entri pada kolom pertama dimana $a_{11}=1$ dan $a_{21}=a_{31}=a_{41}=0$.

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}+a_{41}C_{41}\\&=C_{11}\end{aligned}$$

Dengan aturan sarrus kita peroleh :

$$\begin{aligned}M_{11}&=\left|{\begin{array}{cccc}-1&-8&5\\2&-1&1\\15&16&-4\end{array}}\right|\\&=(-1)(-1)(-4)+(-8)(1)(15)+(5)(2)(16)-(5)(-1)(15)-(-1)(1)(16)-(-8)(2)(-4)\\&=63\end{aligned}$$

Sehingga kita peroleh :

$$\text{det}(A)=C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=(1)63=63$$

Jadi dengan menggunakan metode campuran akan lebih efektif, namun kita dituntut untuk sekreatif mungkin untuk menyusun alur perhitungan yang termudah.