Animasi Matematika Archives

Garis Singgung Lingkaran

Geometri, Geometri Datar, Matematika, Matematika Dasar·29 Agustus 2020

Dalam kehidupan nyata apabila ada dua objek padat saling bersinggungan maka kedua objek tersebut akan mempunyai area singgungan yang sama. Contohnya ketika kita menggunakan stempel untuk memberikan tanda tertentu di secarik kertas. Maka sewaktu stempel bersentuhan dengan kertas akan meninggalkan tanda di kertas yang sesuai permukaan stempel tersebut.

Hal tersebut sebelas-dua belas di dunia matematika, salah satunya dalam geometri euclid $\mathbb{R}^{2}$. Jika dua objek berbeda saling bersinggungan di satu atau banyak titik dan kita tandai area singgungannya, maka kedua objek tersebut akan memiliki area singgung yang sama. Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Pada kotak biru pertama menunjukkan persinggungan antara segitiga dengan sebuah garis dengan area singgungnya berupa ruas garis (merah). Kemudian pada kotak biru di bawahnya menunjukkan persinggungan antara lingkaran dan segiempat yang saling menyinggung di empat titik (merah).

Nah, sekarang bagaimana jika objek yang bersinggungan tersebut adalah garis lurus dan lingkaran ? Mari kita cari tahu lebih lanjut ^^

Definisi

Secara sederhana, Garis Singgung Lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik.

Pada gambar di atas, garis merah termasuk garis singgung lingkaran. Sedangkan garis biru dan hijau tidak termasuk, karena tidak menyinggung lingkaran tepat di satu titik.

Catatan : Hati-hati dengan perbedaan segmen garis dan garis. Segmen garis atau ruas garis dapat menyinggung lingkaran di dua titik yang biasa disebut tali busur, contohnya dapat dilihat pada gambar sebelumnya.

Jenis Garis Singgung pada Dua Lingkaran

Garis Singgung bersama Luar
Garis Singgung bersama Dalam

Animasi Cara Melukis Garis Singgung Lingkaran

Sifat-Sifat Garis Singgung

Sifat-sifat garis singgung lingkaran berikut berguna untuk membantu membuktikan kebenaran teorema dan juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah tertentu.

Perhatikan gambar berikut.

Jika AC dan BC masing-masing merupakan garis singgung lingkaran dan berpotongan di titik C maka berlaku sifat 1, 2 dan 3 sebagai berikut:

Sifat 1

Antara jari-jari OA dan garis singgung AC yang berpotongan di titik A membentuk sudut siku-siku. Demikian pula antara jari-jari OB dan garis singgung BC berpotongan di titik B membentuk sudut siku-siku.

Bukti :
Kita akan membuktikan OA tegak lurus dengan AC dengan hukum kontradiksi (negasi).

Asumsikan OA dan OC tidak tegak lurus, maka terdapat titik P di garis AC dimana OP tegak lurus OA. Kemudian kita pilih titik Q pada garis AC sehingga PA = PQ dengan A $\neq$ Q. (berikut ilustrasinya)
Sehingga kita peroleh :
$\Rightarrow~OP (\text{pada}~\triangle{AOP} ) = OP (\text{pada}~\triangle{QOP})$;
$\Rightarrow~\angle OPA =\angle OPQ = 90^{\circ}$;
$\Rightarrow~PA = PQ$;

Oleh karena itu, dapat kita simpulkan $\triangle$AOP kongruen (Sisi, Sudut, Sisi) dengan $\triangle$QOP dan akibatnya OA = OQ.

Mengingat OA adalah jari-jari lingkaran, maka Q haruslah berada di lingkaran. Hal ini kontradiksi bahwa berdasarkan definisi, garis AQ hanya menyinggung lingkaran di A dan A $\neq$ Q.

Oleh karena itu, berdasarkan hukum kontradiksi, asumsi awal bernilai salah sehingga haruslah OA tegak lurus dengan OC. Selanjutnya gunakan analogi yang sama dan akan kita peroleh garis OA tegak lurus dengan OB.

Sifat 2

$AC = BC$

Supaya lebih efisien, buktinya menyesuaikan dari pembuktian teorema Dua Garis Singgung Lingkaran Sama Panjang (tersedia 3 alternatif pembuktiannya). Jadi baca sampai selesai ya ^^

Sifat 3

$\angle ACO = \angle BCO$

Untuk buktinya kita gunakan sifat ke-2 sehingga diperoleh :
$\Rightarrow~AC = BC$;
$\Rightarrow~\angle OAC =\angle OBC = 90^{\circ}$;
$\Rightarrow~OA = OB$;

Akibatnya segitiga AOC kongruen (sisi, sudut, sisi) dengan segitiga BOC sehingga berlaku $\angle ACO = \angle BCO$.

Sifat 4 (Tambahan)

Jika segitiga ABC adalah segitiga dalam lingkaran dan k adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A. Maka Segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki jika dan hanya jika garis k sejajar dengan garis BC.

Keempat sifat ini berguna untuk membantu membuktikan beberapa teorema berikut :

Teorema Pitot

Teorema pitot berbunyi dalam segiempat garis singgung ABCD (lingkaran berada di dalam) berlaku persamaan AB + CD = BC + DA.

Baca lebih lanjut mengenai Teorema Pitot dan Buktinya (disertai video animasi)

Teorema Steiner

Teorema Steiner berbunyi dalam segiempat garis singgung ABCD (lingkaran di luar) berlaku :

Jika ABCD segiempat konveks maka AB – CD = AD – BC
Jika ABCD segiempat konkaf maka AB – CD = AD – BC
Jika ABCD Segiempat refleks maka AB – CD = BC – AD

Baca lebih lanjut mengenai Teorema Steiner yang sebelas – dua belas dengan Teorema Pitot.

Dua Garis Singgung Lingkaran Sama Panjang

Jika AP dan BP masing-masing merupakan garis singgung lingkaran dan berpotongan di titik P maka berlaku AP = BP. (keterangan : titik A dan B merupakan titik singgung lingkaran dan titik O adalah pusat lingkaran).

Bukti :

Menggunakan Kekongruenan Segitiga

Pertama kita tarik garis bantu OA, OB, dan PO sehingga sekarang kita punya segitiga OAP dan OBP.

Dari gambar di atas kita tahu :
$\Rightarrow~OP~(\text{pada}~\triangle{OBP} ) = OP~(\text{pada}~\triangle{OAP})$;
$\Rightarrow~\angle OBP =\angle OAP = 90^{\circ}$ (Sifat 1);
$\Rightarrow~OB = OA$ (jari-jari);

Jadi berdasarkan konsep kekongruenan (sisi, sudut, sisi), dapat kita simpulkan segitiga OAP kongruen dengan segitiga OBP. Akibatnya diperoleh AP = PB.

Menggunakan Rumus Pythagoras

Dari pernyataan sebelumnya, kita tahu bahwa segitiga OAP dan OBP adalah segitiga siku-siku ($\angle OBP =\angle OAP = 90^{\circ}$). Sehingga berdasarkan Teorema Pythagoras berlaku :
$$\begin{aligned}AP&=\sqrt{OP^{2}-OA^{2}}\\&=\sqrt{OP^{2}-OB^{2}}\\&=PB\end{aligned}$$

(Sesuai yang diminta).

Menggunakan Teorema Reim

Kita tahu bahwa $\angle PAO = \angle PBO = 90^{\circ}$ dan $\angle PAO + \angle PBO = \angle APB + \angle AOB = 180^{\circ}$ (diperoleh AOBP segiempat tali busur). Sehingga berdasarkan sifat segiempat tali busur kita punya lingkaran kedua (biru) yang melewati titik A, O, B dan P. Kemudian kita misalkan k adalah garis singgung lingkaran kedua yang melewati titik P.

Sekarang kita punya kondisi yang mengarah pada Teorema Reim, dimana teorema tersebut berbunyi :

Misalkan lingkaran $\omega_{1}$ dan $\omega_{2}$ yang saling berpotongan di titik M dan N. Garis $l_{m}$ yang melewati titik M memotong lingkaran $\omega_{1}$ dan $\omega_{2}$ berturut-turut di titik $X_{1}$ dan $X_{2}$. Misalkan lagi $Y_{1}$ dan $Y_{2}$ berturut-turut adalah titik di $\omega_{1}$ dan $\omega_{2}$, sehingga berlaku $X_{1}Y_{1} || X_{2}Y_{2}$ jika dan hanya jika $Y_{1}, N$ dan $Y_{2}$ segaris. (Baca Pembuktiannya by Cut The Knot)

Jadi dengan mengatur :

$\omega_{1}=$ Lingkaran pertama;
$\omega_{2}=$ Lingkaran kedua (biru);
$Y_{1} = N = B$;
$Y_{2} = P$;
$X_{1} = M = A$;
$X_{2} = P$;

Maka berdasarkan Teorema Reim diperoleh AB || k, mengingat $X_{2}Y_{2} = PP$ adalah tali busur lingkaran $\omega_{2}$ yang jelas sejajar dengan k. Dengan demikian berdasarkan Sifat 2 kita punya segitiga APB sama kaki dengan AP = PB.

Empat Garis Singgung Lingkaran Sama Panjang

Jika kita punya :

Dua lingkaran ($\omega_{1}$ dan $\omega_{2}$) tidak saling berpotongan dan tidak saling bersinggungan
$T_{1}$ dan $T_{2}$ merupakan garis singgung bersama (luar) pada lingkaran $\omega_{1}$ dan $\omega_{2}$
A, A’, B, B’ yang merupakan titik singgung $T_{1}$ dan $T_{2}$ pada $\omega_{1}$ dan $\omega_{2}$
$T_{3}$ dan $T_{4}$ yang merupakan garis singgung bersama (dalam) pada lingkaran $\omega_{1}$ dan $\omega_{2}$
P dan P’ berturut-turut merupakan titik potong $T_{3}$ dengan $T_{1}$ dan $T_{2}$
Q dan Q’ berturut-turut merupakan titik potong $T_{4}$ dengan $T_{1}$ dan $T_{2}$

Maka berlaku : AA’ = BB’ = PP’ = QQ’

Pembuktian

Berdasarkan sifat 2 kita peroleh OA’ = OB’ dan OA = OB sehingga didapat AA’ = OA’ – OA = OB’ – OB = BB’.

Misalkan :

C dan C’ berturut-turut adalah titik singgung $T_{4}$ dengan $\omega_{1}$ dan $\omega_{2}$
D dan D’ berturut-turut adalah titik singgung $T_{3}$ dengan $\omega_{1}$ dan $\omega_{2}$

Berdasarkan sifat 2 kita punya P’B = P’D dan P’B’ = P’D’.

Sehingga diperoleh :

$$\begin{aligned}BB’&=P’B + P’B’\\&= (P’D) + P’D’\\&=(P’D’ + DD’) +P’D’\\&=DD’ + 2P’D’\end{aligned}$$

Dengan menggunakan sifat 2 kita juga punya PA’ = PD’ dan PA = PD

Sehingga didapat :

$$\begin{aligned}AA’&=AP + PA’\\&= PD + (PD’)\\&=PD +(PD+DD’)\\&=2PD + DD’\end{aligned}$$

Mengingat AA’ = BB’ maka :

$$\begin{aligned}AA’&=BB’\\\Leftrightarrow 2PD + DD’&=DD’+2P’D’\\\Leftrightarrow PD&= P’D’\end{aligned}$$

Akibatnya :

$PP’ = PD + DD’ + D’P’ = AA’ = BB’ \dots (i)$

Selanjutnya kita gunakan analogi yang sama, dimana dengan menggunakan sifat 2, kita juga peroleh : Q’B = Q’C dan Q’B’ = Q’C’

$$\begin{aligned}BB’&=Q’B + Q’B’\\&= Q’C + (Q’C’)\\&=Q’C +(Q’C+CC’)\\&=CC’ + 2Q’C\end{aligned}$$

Masih menggunakan sifat 2, kita punya : AQ = QC dan QA’ = QC’

Sehingga didapat :

$$\begin{aligned}AA’&=AQ + QA’\\&= (QC) + QC’\\&=(QC’+CC’) +QC’\\&=2QC’ + CC’\end{aligned}$$

Mengingat AA’ = BB’ diperoleh :

$$\begin{aligned}AA’&=BB’\\\Leftrightarrow CC’ + 2Q’C&=2QC’+CC’\\\Leftrightarrow Q’C&= QC’\end{aligned}$$

Akibatnya :

$QQ’ = QC’ + CC’ + Q’C = AA’ = BB’ \dots (ii)$

Jadi dari persamaan (i) dan (ii) dapat kita tarik kesimpulan AA’ = BB’ = PP’ = QQ’.

Catatan : Teorema mengenai garis singgung lingkaran tidak terbatas pada teorema-teorema di atas. Bagi kalian yang menemukan teorema lain dapat membagikannya melalui kolom komentar di bawah. ^^

Referensi

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

Teorema Pythagoras Lengkap dengan Animasi

Geometri, Geometri Datar, Matematika, Matematika Dasar·14 Mei 202030 Mei 2020

Kenapa Kita Perlu Belajar Teorema Pythagoras?

Ada sebuah cerita ketika mimin duduk dibangku sekolah. Waktu itu guru matematika memberikan tantangan kepada siswa untuk melukiskan garis lurus dengan panjang $\sqrt{2}$ cm. Dalam melukiskannya siswa hanya boleh menggunakan penggaris yang ada ukurannya dalam satuan cm.

Waktu itu mimin dan teman sekelas kebingungan karena dalam penggaris hanya ada bilangan bulat sedangkan $\sqrt{2}$ bukan bilangan bulat. Ada teman yang mencoba melukiskan garis dengan panjang 1,4 cm ( mendekati $\sqrt{2}$ cm ). Namun guru masih belum puas dengan jawaban tersebut, karena yang diminta adalah garis dengan panjang $\sqrt{2}$ cm.

Sampai waktu yang ditentukan telah habis. Tiba waktunya guru menjelaskan cara melukiskan garis tersebut. Berikut jawaban yang diberikan oleh guru :

Ternyata dengan teorema pythagoras, kita dapat melukiskan panjang garis dengan ukuran yang bukan bilangan bulat. Bayangkan jika konsep teorema pythagoras belum ditemukan, mungkin kemajuan infrastruktur seperti jembatan, gedung, monumen dan lainnya tidak semaju sekarang.

Oleh karena itu kita perlu mempelajarinya supaya suatu saat kita dapat mengaplikasikannya kedalam kehidupan nyata ^^.

Apa itu Teorema Pythagoras?

Dikutip dari Britannica.com, Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema pada segitiga siku-siku yang fenomenal dan cukup terkenal. ( sekitar 570-500 SM atau 490 SM ) Teorema ini telah lama dikaitkan dengan ahli matematika sekaligus filsuf Yunani yang bernama Pythagoras.

Namun berdasarkan beberapa penemuan peninggalan kuno, teorema pythagoras sebenarnya jauh lebih tua. Contohnya pada penemuan empat tablet babilonia yang berisi tripel pythagoras dan diperkirakan ada pada sekitar tahun 1900-1600 SM. Untuk kelanjutan sejarahnya baca : Sejarah Teorema Pythagoras (by Britannica.com).

Supaya tidak panjang lebar mari kita langsung cari tahu konsep dari Teorema Pythagoras. Kita akan membahasnya dalam dua sudut pandang, yaitu secara geometri dan secara analitik.

Secara Geometri

Jika kita punya segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di titik A dan pada masing-masing sisinya dibuat persegi ke arah luar. Maka luas persegi pada sisi BC sama dengan jumlah luas persegi pada sisi AB dan CA.

Berikut ilustrasinya :

Secara Analitik

Dari sudut pandang geometri di atas, dapat kita misalkan panjang sisi AB, CA dan BC berturut-turut sebesar $a,b$ dan $c$. Sehingga kita punya :

Luas persegi pada sisi $\text{AB}$ adalah $\text{AB}^{2}=a^{2}$
Luas persegi pada sisi $\text{CA}$ adalah $\text{CA}^{2}=b^{2}$
Dan luas persegi pada sisi $\text{BC}$ adalah $\text{BC}^{2}=c^{2}$

Nah, sekarang pernyataan “jumlah luas persegi pada sisi BC sama dengan jumlah luas persegi pada sisi AB dan CA” dapat kita tuliskan :

$$\text{AB}^{2}+\text{CA}^{2}=\text{BC}^{2}$$

atau

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Lalu apakah persamaan Teorema Pythagoras tersebut bernilai benar? Mari kita buktikan bersama.

Pembuktian Teorema Pythagoras

Misalkan kita punya segitiga siku-siku sebagai berikut :

Kita akan membuktikan bahwa $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Step by Step :

Pertama kita duplikat segitiga siku-siku tersebut dan kita susun menjadi :

Dari gambar di atas, kita punya :

4 buah segitiga siku-siku dengan luas totalnya adalah$$\begin{aligned}\text{Luas}&=4\times \text{Luas Segitiga}\\&=4\times \frac{a\times b}{2}\\&=2ab\end{aligned}$$
1 buah persegi kecil (warna cokelat) dengan sisi $c$ dan luasnya adalah$$\text{Luas}=c\times c=c^{2}$$
1 buah persegi besar dengan panjang sisi $a+b$ dan luasnya adalah$$\begin{aligned}\text{Luas} &= (a+b)(a+b)\\&=a^{2}+2ab+b^{2}\end{aligned}$$

Selain itu, pada gambar kita tahu bahwa luas persegi besar setara dengan jumlah luas persegi kecil dan 4 buah segitiga siku-siku. Sehingga dapat kita tuliskan :

$$\begin{aligned}a^{2}+2ab+b^{2}&=c^{2}+2ab\\a^{2}+b^{2}&=c^{2}\end{aligned}$$

Dan kita telah selasai membuktikannya. Berikut adalah pembuktian versi Animasi. Animasi sudah disusun sedemikian rupa supaya lebih mudah dipahami.

Bukti dengan Animasi

Video animasi berikut adalah pembuktian secara geometri dan aljabar :

Tripel Pythagoras

Sebelumnya kita perlu mengetahui apa itu tripel? Agar lebih mudah dipahami, perhatikan istilah-istilah berikut.

1-tupel = single; contoh: (1), (0), (-2)
2-tupel = double atau sepasang; contoh: (3,4), ($\sqrt{2}$, -1)
3-tupel = triple atau tripel; contoh : $\left(1,2,\frac{1}{2}\right)$
4-tupel = quadruple; contoh : (1,3,2,1)
dan seterusnya sampai dengan n-tupel yang berisi sebanyak n elemen.

Oke, sekarang andaikan kita punya segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya $x,y$ dan $z$ sebagai sisi miring. Berdasarkan Teorema Pythagoras, berlaku :

$$x^{2}+y^{2}=z^{2}$$

Hal ini jelas bahwa tripel $(x,y,z)$ adalah jawaban atau solusi dari persamaan tersebut. Contohnya (3,4,5) dan (1,2,$\sqrt{5}$) jika kita substitusikan akan memenuhi persamaan di atas.

Lalu yang seperti apakah tripel pythagoras itu?

Secara umum, tripel pythagoras adalah tripel $(x,y,z)$ dengan syarat tambahan $x, y$ dan $z$ adalah bilangan bulat positif. Contohnya (5,12,13), (7,24,25) dan (9,40,41).

Tantangan

Carilah minimal 2 tripel pythagoras yang berbeda, dengan salah satu bilangannya adalah 66.

Tulis jawabanmu di kolom komentar ya ^^

Sedangkan untuk cara mencarinya dapat dilihat pada soal ke-2 berikut.

Soal HOTS dan Pembahasan

Soal 1

Diberikan segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya adalah $a,b$ dan $c$. Diketahui $a=2mn$ dan $b=m^{2}-n^{2}$ dengan $m>n$ untuk sebarang bilangan bulat positif $m$ dan $n$.

Apakah $a,b$ dan $c$ dapat membentuk sebuah tripel pythagoras ?
Jika iya, tentukan sisi manakah yang mungkin sebagai sisi miring untuk semua kemungkinan nilai dari $m$ dan $n$?
Nyatakanlah $c$ dalam variabel $m$ dan $n$ !

Pembahasan :

Jawaban bagian 1 adalah “Iya” jika $c$ adalah bilangan bulat positif dan “tidak” jika $c$ bukan bilangan bulat positif.

Kok bisa?

Ingat kembali bahwa agar $(a,b,c)$ tripel pythagoras maka $a,b$ dan $c$ selain sisi-sisi segitiga siku-siku juga adalah bilangan bulat positif.

Perhatikan bahwa $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif sehingga cukup jelas bahwa $a$ dan $b$ juga bilangan positif (ingat penjumlahan dan perkalian bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat pula). Jadi tripel $(a,b,c)$ dapat termasuk tripel pythagoras tergantung nilai dari $c$.

Jawaban bagian 2 :

Pertama kita asumsikan bahwa $(a,b,c)$ adalah tripel pythagoras. Sehingga $c$ adalah bilangan bulat positif.

Selanjutnya kita lakukan eksperimen/uji coba :

Jika kita pilih $m=2$ dan $n=1$ maka :
$$\begin{aligned}a&=2mn\\&=2\times 2\times 1\\&=4\end{aligned}$$
dan
$$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=2^{2}-1^{2}\\&=4-1=3\end{aligned}$$
sehingga diperoleh $a>b$
Di lain pihak jika $m=5$ dan $n=2$ maka :
$$\begin{aligned}a&=2mn\\&=2\times 5\times 2\\&=20\end{aligned}$$
dan
$$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=5^{2}-2^{2}\\&=25-4=21\end{aligned}$$
sehingga diperoleh $b>a$

Dari hasil eksperimen di atas, untuk sebarang nilai $m$ dan $n$, kita tidak dapat menyimpulkan $a>b$ atau $b>a$. Akibatnya sisi $a$ dan $b$ tidak dapat sebagai sisi miring segitiga siku-siku.

Kok bisa begitu?

Ingat sisi miring segitiga siku-siku adalah sisi terpanjang pada segitiga siku-siku. Dan pada soal diminta sisi miring yang memenuhi setiap kondisi/kemungkinan nilai dari $m$ dan $n$. Maka jelas $a$ dan $b$ tidak memenuhi kriteria itu karena ada saat dimana $a<b$ ($a$ bukan sisi miring) begitu pula untuk sisi $b$ ada kondisi dimana $b<a$.

Sehingga di antara sisi $a,b$ dan $c$, yang mungkin sebagai sisi miring adalah sisi $c$.

Jawaban bagian 3 :

Dari jawaban sebelumnya didapat bahwa $c$ adalah sisi miring, maka berdasarkan teorema pythagoras kita peroleh :

$$\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}\\&=(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}\\&=4m^{2}n^{2}+(m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2})\\&=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}\\&=(m^{2}+n^{2})^{2}\end{aligned}$$

yang setara dengan $c=m^{2}+n^{2}$.

Jadi dapat kita tarik kesimpulan :

$(a,b,c)$ merupakan tripel pythagoras jika $c$ bilangan bulat positif
Sisi yang mungkin sebagai sisi miring adalah sisi $c$
Nilai $c$ dalam variabel $m$ dan $n$ adalah $c=m^{2}+n^{2}$

Soal 2

Carilah tripel pythagoras dengan salah satu bilangannya adalah 70.

Pembahasan :

Untuk mencarinya kita dapat menggunakan dua cara :

Cara 1 (Dengan Konsep Dilatasi/ Pembesaran/ Pengecilan)

Apa itu dilatasi?

Secara gampangnya adalah jika kita punya sebuah segitiga siku-siku maka kita dapat membuat segitiga siku-siku baru dengan memperbesar atau memperkecil ukuran segitiga siku-siku awal. Konsep ini cocok digunakan jika kita sudah menghafal beberapa tripel pythagoras.

Semisal kita hafal tripel pyhtagoras (3,4,5) bagaimana cara kita memunculkan angka 70 pada tripel yang baru?

Yap, jawabannya adalah dengan mengkalikan tripel (3,4,5) dengan 14 atau dengan kata lain ukuran segitiga awal (3,4,5) akan kita perbesar 14 kali ukuran awal.

Hal tersebut karena hanya angka 5 yang merupakan faktor dari 70 dimana $70=5\times 14$.

Sehingga dengan mengkalikan 14 kita peroleh segitiga baru dengan tripel $(3\times 14, 4\times 14, 5\times 14)$ atau $(42,64,70)$ dan kita berhasil membuat tripel pythagoras dengan salah satu bilangannya adalah 70.

Mudah bukan ?

Jadi kunci dari cara ini adalah kita harus mengetahui tripel segitiga awal yang bilangannya adalah faktor dari 70.

Namun cara ini mempunyai kekurangan, dimana jika tripel pythagoras yang telah kita ketahui atau hafalkan ternyata masih terbatas. Contoh jika kita dimintanya bukan bilangan 70 tapi ganti dengan bilangan 2021. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan cara lain sebagai berikut.

Cara 2 (Dengan Menggunakan Rumus)

Salah satu rumusnya adalah ada pada soal 1 dan tidak menutup kemungkinan ada rumus lain (Jika menemukannya tuliskan di kolom komentar ya, nanti kita diskusikan bersama).

Pada soal sebelumnya, jika kita punya tripel pythagoras (a,b,c) maka dapat dinyatakan dalam rumus $(2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})$.

Lalu bagaimana cara kita memunculkan bilangan 70?

Kita cukup memilih diantara a, b, dan c yang nilainya kita gantikan dengan 70. Kita bebas memilihnya namun disarankan kita pilih $a=2mn=70$.

Kenapa tidak $b=m^{2}-n^{2}=70$ atau $c=m^{2}+n^{2}=70$ ?

Karena kita akan mencari nilai dari $m$ dan $n$, sehingga untuk mempermudah mencarinya, kita cukup pilih persamaan yang paling sederhana yaitu $a=2mn=70$.

Oke sekarang kita punya $2mn=70$ atau $mn=35$ dengan kata lain $m$ dan $n$ adalah faktor dari 35. Kita tahu bahwa faktor dari 35 diantaranya :

Jika $m=35$ dan $n=1$ kita peroleh :
$$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=35^{2}-1^{2}\\&=1225-1=1224\end{aligned}$$
dan
$$\begin{aligned}c&=m^{2}+n^{2}\\&=35^{2}+1^{2}\\&=1225+1=1226\end{aligned}$$
sehingga diperoleh tripel pythagoras $(a,b,c)=(70,1224,1226)$
Jika $m=7$ dan $n=5$ kita peroleh :
$$\begin{aligned}b&=m^{2}-n^{2}\\&=7^{2}-5^{2}\\&=49-25=24\end{aligned}$$
dan
$$\begin{aligned}c&=m^{2}+n^{2}\\&=7^{2}+5^{2}\\&=49+25 =74\end{aligned}$$
sehingga diperoleh tripel pythagoras $(a,b,c)=(70,24,74)$

Dan kita telah selesai ^^.

Baca Juga : Ruang Vektor dalam Matematika