Tag: Sistem Persamaan Linear Homogen

Konsep Gabungan Matriks Elementer dan OBE untuk Mencari Invers

Aljabar Linear, Eliminasi Gauss-Jordan, Matematika, Matematika Lanjutan, Matriks, Matriks Elementer·

Penerapan Matriks Elementer

Penerapan Matriks Elementer

Pada pembahasan sebelumnya, kita sudah mengenal tentang Definisi Matriks Elementer dan Sifatnya. Nah sekarang ini kita akan membahas lebih lanjut mengenai kegunaan dari matriks elementer.

Dalam mencari invers suatu matriks selain menggunakan adjoint, kita juga bisa menggunakan konsep gabungan antara matriks elementer dan metode eliminasi gauss-jordan.

Lalu bagaimana caranya ?

Eits.. Sebelum kita tahu caranya, kita harus tahu konsep dasarnya dulu. Pertama kita cari tahu sifat-sifat matriks invers.

Sifat-sifat Matriks Invers

Definisi 1

Jika \(A\) adalah matriks persegi, dan jika terdapat matriks \(B\) sehingga \(AB=BA=I\) maka matriks \(A\) dikatakan dapat dibalik (invertible) dan \(B\) disebut juga invers dari \(A\) atau dapat ditulis \(B=A^{-1}\).

Teorema 1 (Sifat dari Matriks Invers)

  1. Jika matriks \(A\) dapat dibalik maka \(A^{-1}\) dapat dibalik dan berlaku :

    $$(A^{-1})^{-1}=A$$

    Bukti : Matriks \(A\) dapat dibalik sehingga berdasarkan definisi 1 maka \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\) dan karena  \(A^{-1}\) dapat dibalik maka \((A^{-1})^{-1}=A\).

  2. Jika \(A\) matriks yang dapat dibalik dan \(c\) adalah skalar yang tidak sama dengan nol, maka \(cA\) dapat dibalik dan berlaku :

    $$(cA)^{-1}=\frac{1}{c}A^{-1}$$

    Bukti : Berdasarkan definisi 1, pembuktian bagian ini equivalen dengan cukup membuktikan persamaan \((cA)(\frac{1}{c}A^{-1})=(\frac{1}{c}A^{-1})(cA)=I\). Sehingga berdasarkan sifat-sifat operasi matriks kita peroleh :

    $$(cA)(\frac{1}{c}A^{-1})=\frac{1}{c}(cA)A^{-1}=(\frac{1}{c}c)AA^{-1}=(1)I=I\dots(i)$$

    Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh \((\frac{1}{c}A^{-1})(cA)=I\dots(ii)\) sehingga dari persamaan \((i)\) dan \((ii)\) kita dapatkan \((cA)(\frac{1}{c}A^{-1})=(\frac{1}{c}A^{-1})(cA)=I\), sesuai yang diminta.

  3. Jika matriks \(A\) dan \(B\) dapat dibalik dan memiliki ordo yang sama, maka \(AB\) dapat dibalik dan berlaku :

    $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$

    Bukti : Kita gunakan cara yang seperti sebelumnya yaitu berdasarkan definisi 1, kita cukup membuktikan bahwa \((AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})(AB)=I\), perhatikan persamaan berikut :

    $$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=A(I)A^{-1}=AA^{-1}=I\dots(i)$$

    Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh \((B^{-1}A^{-1})(AB)=I\dots(ii)\) sehingga dari persamaan \((i)\) dan \((ii)\) kita dapatkan \((AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})(AB)=I\), sesuai yang diminta.

  4. Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka \(A^{T}\) (Transpose Matriks) dapat dibalik dan berlaku :

    $$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$$

    Bukti : Berdasarkan sifat-sifat operasi matriks terhadap operasi transpose maka :

    $$(A^{-1})^{T}A^{T}=(AA^{-1})^{T}$$

    $$\Leftrightarrow (A^{-1})^{T}A^{T}=I^T=I\dots(i)$$

    Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh \(A^{T}(A^{-1})^{T}=I\dots(ii)\) sehingga dari persamaan \((i)\) dan \((ii)\) kita dapatkan \((A^{-1})^{T}A^{T}=A^{T}(A^{-1})^{T}=I\), kemudian berdasarkan definisi 1, didapat \((A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}\).

  5. Jika matriks \(A\) dapat dibalik dan \(c\) adalah bilangan bulat tak negatif maka \(A^{c}\) dapat dibalik dan berlaku :

    $$(A^{c})^{-1}=(A^{-1})^{c}$$

    Bukti : Dengan berdasarkan sifat-sifat operasi matriks terhadap operasi perkalian maka :

    $$A^{c}(A^{-1})^{c}=A^{c}A^{-c}=A^{c+(-c)}=A^{0}=I\dots(i)$$

    Kemudian dengan cara yang sama kita peroleh \((A^{-1})^{c}A^{c}=I\dots(ii)\) sehingga dari persamaan \((i)\) dan \((ii)\) kita dapatkan \(A^{c}(A^{-1})^{c}=(A^{-1})^{c}A^{c}=I\), sehingga berdasarkan definisi 1, kita dapatkan \((A^{c})^{-1}=(A^{-1})^{c}\).

Corollary 1 : Akibat dari teorema 1 bagian (c), jika \(A_{1},~A_{2},\dots,~A_{k}\) adalah matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama dan dapat dibalik, maka hasil kali matriks-matriks tersebut \((A_{1}A_{2}\dots A_{k})\) juga dapat dibalik atau dapat ditulis :

$$(A_{1}A_{2}\dots A_{k})^{-1}=A_{k}^{-1}A_{k-1}^{-1}\dots A_{1}^{-1}$$

Teorema 2 (Teorema Dasar untuk Matriks yang Invertible)

Jika \(A\) adalah matriks persegi \(n \times n\) kemudian \(\vec{x}\) dan \(\vec{b}\) adalah vektor kolom \(n\times 1\), maka pernyataan-pernyataan berikut saling ekuivalen (semuanya benar atau semuanya salah).

  1. Matriks \(A\) bersifat invertible (dapat dibalik).
  2. \(A\vec{x}=\vec{b}\) mempunyai solusi unik untuk setiap \(\vec{b} \in \mathbb{R}^{n}\).
  3. \(A\vec{x}=\vec{0}\) hanya mempunyai solusi pemecahan trivial.
  4. Bentuk eselon baris tereduksi dari matriks \(A\) adalah matriks satuan \(I_{n\times n}\).
  5. \(A\) dapat dinyatakan sebagai hasil kali beberapa matriks elementer.

Bukti :

Untuk membuktikan pernyataan-pernyataan di atas saling ekuivalen, kita cukup membuktikan rantai implikasi berikut : \((a)\Rightarrow(b)\Rightarrow(c)\Rightarrow(d)\Rightarrow(e)\Rightarrow(a)\).

Langkah 1

\((a)\Rightarrow(b)\), karena \(A\) dapat dibalik maka berlaku \(A(A^{-1}\vec{b})=(AA^{-1})\vec{b}=I\vec{b}=\vec{b}\), kemudian kita dapat mengatur \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\) yang merupakan solusi dari  persamaan \(A\vec{x}=\vec{b}\). Lalu kita pastikan bahwa solusi dari persamaan tersebut tunggal yakni \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\). Kita mulai dari persamaan awal :

$$A\vec{x}=\vec{b}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}A\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$$

$$\Leftrightarrow I\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$$

$$\Leftrightarrow \vec{x}=A^{-1}\vec{b}$$

Sehingga jelaslah bahwa penulisan \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\) bersifat tunggal.

Langkah 2

\((b)\Rightarrow(c)\), berdasarkan pernyataan \((b)\) dengan mengatur \(\vec{b}=\vec{0}\) maka kita dapatkan solusi tunggal yaitu :

$$A\vec{x}=\vec{0}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}A\vec{x}=A^{-1}\vec{0}$$

$$\Leftrightarrow I\vec{x}=\vec{0}$$

$$\Leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\\vdots\\0\end{array}}\right]$$

Jadi persamaan \(A\vec{x}=\vec{0}\) hanya mempunyai solusi trivial \(\vec{x}=\vec{0}\).

Langkah 3

\((c)\Rightarrow(d)\), pada pembahasan sebelumnya mengenai SIstem Persamaan Linear Homogen, kita tahu bahwa persamaan \(A\vec{x}=\vec{0}\) dapat kita tuliskan sebagai berikut :

$$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n} =0$$
$$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n} =0$$

$$\vdots$$

$$a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots+a_{nn}x_{n} =0$$

Kemudian kita representasikan kedalam bentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&0\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}&0\end{array}}\right]$$

Karena solusi dari persamaan \(A\vec{x}=\vec{0}\) tunggal, maka hanya mempunyai pemecahan trivial \(x_{1}=0,~x_{2}=0,\dots,~x_{n}=0\). Sehingga jika kita gunakan eliminasi gauss jordan kita akan mendapatkan bentuk eselon baris tereduksi sebagai berikut :

$$\left[{\begin{array}{cccc|c}1&0&\dots&0&0\\0&1&\dots&0&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\dots&1&0\end{array}}\right]$$

Bentuk di atas akan senilai dengan :

$$\left[{\begin{array}{cccc}1&0&\dots&0\\0&1&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\\vdots\\0\end{array}}\right]$$

Dari bentuk terakhir di atas dapat kita simpulkan bahwa \(A\) dapat direduksi menjadi \(I_{n\times n}\) dengan menggunakan operasi baris elementer.

Langkah 4

\((d)\Rightarrow(e)\Rightarrow(a)\), berdasarkan \((d)\) bahwa \(A\) dapat direduksi menjadi \(I_{n\times n}\) dengan urutan berhingga dari operasi-operasi baris elementer (kita misalkan terdapat \(k\) kali OBE).

Kemudian jika didefinisikan \(L_{i}\) menyatakan operasi baris elementer yang dilakukan pada urutan ke-\(i\) dengan \(i=\{1,2,\dots,k\}\). Maka kita dapat mencari matriks elementer \(E_{1},~E_{2},\dots,~E_{k}\) sebagai berikut :

$$I\xrightarrow[]{L_{1}}E_{1}$$

$$I\xrightarrow[]{L_{2}}E_{2}$$

$$\vdots$$

$$I\xrightarrow[]{L_{k}}E_{k}$$

Mengingat kembali jika matriks elementer \(E\) dihasilkan dengan melakukan satu kali Operasi Baris Elementer(OBE) tertentu pada matriks identitas \(I_{n\times n}\). Kemudian jika OBE yang sama dikenakan pada sebarang matriks \(B_{n\times m}\) maka hasilnya akan sama dengan hasil kali \(EB\), lihat contohnya disini.

Sehingga berdasarkan pernyataan di atas, jika matriks \(A\) kita kenakan OBE dari urutan ke-\(1\) sampai ke-\(k\) secara berturut-turut, maka kita peroleh hubungan :

$$A\xrightarrow[]{L_{1}}E_{1}A$$

$$E_{1}A\xrightarrow[]{L_{2}}E_{2}E_{1}A$$

$$\vdots$$

$$E_{k-1}\dots E_{2}E_{1}A\xrightarrow[]{L_{k}}E_{k}\dots E_{2}E_{1}A$$

Karena bentuk eselon baris tereduksi dari \(A\) adalah \(I_{n\times n}\) maka \(E_{k}\dots E_{2}E_{1}A=I_{n\times n}\dots(*)\). Kemudian karena matriks elementer dapat dibalik dan inversnya berupa matriks elementer, maka dengan mengalikan kedua ruas persamaan \((*)\) dengan  matriks elementer \(E_{k}^{-1},\dots,~E_{2}^{-1},~E_{1}^{-1}\) secara berturut-turut didapat :

$$A=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}\dots E_{k}^{1}I_{n\times n}^{-1}$$

Karena \(A\) dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks elementer yang dapat dibalik maka dapat disimpulkan \(A\) dapat dibalik. Untuk melihat lebih jelas, kita gunakan corollary 1 sehingga didapat :

$$A^{-1}=(E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}\dots E_{k}^{-1}I_{n\times n}^{-1})^{-1}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}=(I_{n\times n}^{-1})^{-1}(E_{k}^{-1})^{-1}\dots (E_{2}^{-1})^{-1}(E_{1}^{-1})^{-1}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}=I_{n\times n}E_{k}\dots E_{2}E_{1}$$

$$\Leftrightarrow A^{-1}=E_{k}\dots E_{2}E_{1}I_{n\times n}\dots(**)$$

Konsep Mencari Invers dengan Matriks Elementer

JIka kita perhatikan persamaan \((**)\) maka kita dapat memperoleh \(A^{-1}\) dengan mengalikan \(I_{n\times n}\) dari sebelah kiri berturut-turut dengan \(E_{1},~E_{2},\dots,~E_{k}\). Kemudian berdasarkan persamaan \((*)\) dan \((**)\) maka dapat kita simpulkan bahwa urutan langkah-langkah OBE yang dilakukan pada \(A\) akan membawa kebentuk matriks satuan \(I_{n \times n}\) dan langkah-langkah yang sama jika dikenakan pada matriks satuan \(I_{n \times n}\) akan menghasilkan \(A^{-1}\). Untuk lebih jelasnya dapat kita tuliskan sebagai berikut :

$$\left[{A\mid I}\right]\xrightarrow[]{L_{1},~L_{2},\dots,~L_{k}}\left[{I\mid A^{-1}}\right]$$

Contoh 1 (Dapat Dibalik)

Didefinisikan matriks \(A\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\7&2&8\\2&0&1\end{array}}\right]$$

Tentukan invers matriks tersebut (bila ada).

Penyelesaian :

Syarat \(A\) matriks persegi sudah terpenuhi, sehingga kita dapat menuliskan :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{7}&\color{blue}{2}&\color{blue}{8}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{2}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Perlu diingat bahwa tujuan kita adalah mereduksi matriks \(A\) (biru) sehingga membentuk eselon baris tereduksi, maka kita akan menggunakan metode gauss-jordan dengan OBE.

Karena pada baris pertama sudah terdapat 1 utama, maka kita sederhanakan baris ke-\(2\) dengan operasi \(-7R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\) sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-26}&\color{blue}{-27}&\color{red}{-7}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{2}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Begitu pula pada baris ke-\(3\) kita sederhanakan dengan operasi \(-2R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-26}&\color{blue}{-27}&\color{red}{-7}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-8}&\color{blue}{-9}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita sederhanakan lagi baris ke-2 dengan operasi \(-3R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}\) sehingga didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-2}&\color{blue}{0}&\color{red}{-1}&\color{red}{1}&\color{red}{-3}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-8}&\color{blue}{-9}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Selanjutnya kita buat 1 utama pada baris ke-2 dengan operasi \(-\frac{1}{2}R_{2}\rightarrow R_{2}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-8}&\color{blue}{-9}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Dan tidak lupa kita sederhanakan baris ke-\(3\) dengan operasi \(8R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{-9}&\color{red}{2}&\color{red}{-4}&\color{red}{13}\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Kita buat 1 utama pada baris ke-3 dengan operasi \(-\frac{1}{9}R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Disusul penyederhanaan baris ke-\(1\) dengan operasi \(-4R_{2}+R_{1}\rightarrow R_{1}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{blue}{5}&\color{red}{-1}&\color{red}{2}&\color{red}{-6}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Dan juga disederhanakan lagi dengan operasi \(-5R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}\) untuk memperoleh hasil akhir :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{9}}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{11}{9}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Jadi dari bentuk matriks di atas diperoleh :

$$A^{-1}=\left[{\begin{array}{ccc}\color{red}{\frac{1}{9}}&\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{11}{9}}\\\color{red}{\frac{1}{2}}&\color{red}{-\frac{1}{2}}&\color{red}{\frac{3}{2}}\\\color{red}{-\frac{2}{9}}&\color{red}{\frac{4}{9}}&\color{red}{-\frac{13}{9}}\end{array}}\right]$$

Contoh 2 (Tidak Dapat Dibalik)

Didefinisikan matriks \(A\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&-3&-5\\1&4&0\\4&5&-5\end{array}}\right]$$

Tentukan invers matriks tersebut (bila ada).

Penyelesaian :

Pertama kita nyatakan dalam bentuk :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{2}&\color{blue}{-3}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Kita tentukan 1 utama dengan operasi \(R_{2}\leftrightarrow R_{1}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{2}&\color{blue}{-3}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Kita sederhanakan baris ke-\(2\) dengan operasi \(-2R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}\\\color{blue}{4}&\color{blue}{5}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Kemudian sederhanakan baris ke-\(3\) dengan operasi \(-4R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{0}&\color{red}{-4}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita sederhanakan baris ke-\(3\) dengan operasi \(-1R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}\) dan kita dapatkan sesuatu yang unik :

$$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{-11}&\color{blue}{-5}&\color{red}{1}&\color{red}{-2}&\color{red}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{red}{-1}&\color{red}{-2}&\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Kita perhatikan baris ketiga (biru) terdapat baris bilangan nol, akibatnya \(A\) tidak dapat dibentuk menjadi matriks satuan sehingga berdasarkan teorema 2, akibatnya \(A\) tidak dapat dibalik.

Sistem Persamaan Linear Homogen dan Sifatnya

Aljabar Linear, Eliminasi Gauss-Jordan, Matematika, Matematika Lanjutan, Matriks, Sistem Persamaan Linear dan Matriks·

Sistem Persamaan Linear Homogen

Definisi Sistem Persamaan Linear Homogen

Suatu sistem persamaan linear disebut homogen jika konstantanya bernilai 0. Disini kita membedakan konstanta dan koefisien, dimana konstanta pada umumnya berada pada ruas kanan persamaan sedangkan koefisien “berdampingan” dengan variabel.

Pada umumnya suatu sistem persamaan linear dapat dituliskan :

$$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n} =b_{1}$$
$$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n} =b_{2}$$

$$\vdots$$

$$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n} =b_{m}$$

Dengan \(a_{ij}\) menyatakan koefisien, \(x_{j}\) menyatakan variabel dan \(b_{i}\)menyatakan konstanta untuk setiap \(i=\{1,2,3,\dots,m\}~\text{dan}~j=\{1,2,3,\dots,n\}\). SPL tersebut dinyatakan homogen jika \(b_{i}=0\) atau dapat ditulis kembali :

$$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n} =0$$
$$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n} =0$$

$$\vdots$$

$$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n} =0$$

Contoh 1 :

$$5x_{1} -2x_{2} +x_{3} -3x_{4}=0$$

$$2x_{1} + x_{2} -x_{3} -7x_{4}=0$$

$$2x_{2} – 3x_{3} =0$$

$$3x_{2} +4x_{3} +x_{4}=0$$

Bisakah anda mencari solusi dari SPL diatas tanpa menggunakan metode Operasi Baris Elementer ?

Contoh 2 :

$$3x+y-z=0$$

$$5x-2y+z=0$$

$$2x+3y+2=0$$

Pada contoh kedua, sistem tersebut tidak bersifat homogen, sebab jika kita perhatikan pada persamaan ketiga terdapat konstanta yang bernilai tidak nol melainkan bernilai 2.

Teorema 1 (Sistem Persamaan Linear Homogen bersifat Konsisten)

Suatu sistem persamaan linear homogen bersifat konsisten karena terdapat satu solusi yang diperoleh dengan mengatur setiap variabel bernilai nol.

Bukti :

Atur setiap variabel bernilai nol, maka ketika kita menggantikan nilai variabel pada setiap persamaan, maka ruas kiri akan menghasilkan nol, tak peduli apapun koefisiennya. Kemudian karena sistem persamaan linear homogen mempunyai konstanta di ruas kanan bernilai nol akibatnya setiap persamaan bernilai benar dan karena setidaknya mempunyai satu solusi (semua variabel bernilai nol) maka sistem persamaan linear homogen bersifat konsisten.

Definisi Solusi Trivial dalam SPL Homogen

Dikutip dari halaman wikipedia arti kata trivial merupakan hal yang sepele, biasa dan tidak penting. Jadi dapat dikatakan solusi trivial merupakan solusi yang “biasa-biasa saja” bukan hal yang istimewa.

Definisi :

Misalkan terdapat sistem persamaan linear homogen dengan \(n\) variabel. Maka solusi dengan \(x_{1}=0,~x_{2}=0,~x_{3}=0,\dots,x_{n}=0\) disebut juga solusi trivial.

Teorema 2 (SPL Homogen dengan Variabel > Persamaan)

Misalkan terdapat suatu persamaan linear homogen mempunyai \(m\) persamaan dan \(n\) variabel dengan \(n > m\). Maka sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya solusi.

Untuk bukti lengkapnya anda bisa baca di : http://linear.ups.edu/html/section-HSE.html

Contoh dari teorema 2 :

\(2x +3y +4z =0\)
\(3x -2z =0\)

Dari sistem di atas terdapat 2 persamaan dan 3 variabel. Selanjutnya kita akan mengecek apakah benar sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya solusi ?

Kita akan mengeceknya menggunakan metode eliminasi gauss-jordan dengan Operasi Baris Elementer.

Langkah 1

Kita representasikan kedalam bentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&3&4\\3&0&-2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita buat 1 utama pada baris pertama dengan operasi \(\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}\), sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&3&4\\3&0&-2\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&\frac{3}{2}&2\\3&0&-2\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]$$

Langkah 3

Kita sederhanakan baris kedua dengan operasi \(-3R_{1} +R_{2} \rightarrow R_{2}\) dan didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&\frac{3}{2}&2\\3&0&-2\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&\frac{3}{2}&2\\0&-\frac{9}{2}&-8\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]$$

Langkah 4

Kita buat 1 utama pada baris kedua dengan operasi \(-\frac{2}{9}R_{2} \rightarrow R_{2}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&\frac{3}{2}&2\\0&-\frac{9}{2}&-8\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&\frac{3}{2}&2\\0&1&\frac{16}{9}\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]$$

Pada bentuk akhir pada langkah ini disebut juga bentuk eselon baris.  Kita akan menyederhanakannya lagi sehingga menjadi bentuk eselon baris tereduksi.

Langkah 5

Selanjutnya kita sederhanakan lagi bentuk baris pertama dengan operasi \(-\frac{3}{2}R_{2} +R_{1} \rightarrow R_{1}\) dan diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&\frac{3}{2}&2\\0&1&\frac{16}{9}\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{2}{3}\\0&1&\frac{16}{9}\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]$$

Bentuk akhir pada langkah ke lima merupakan bentuk eselon baris tereduksi. kemudian kita ubah lagi kebentuk sistem persamaan linear :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{2}{3}\\0&1&\frac{16}{9}\end{array}}\left|{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right.\right]\rightarrow \begin{array}{c}x-\frac{2}{3}z=0\dots (i)\\y+\frac{16}{9}=0 \dots (ii)\end{array}$$

Persamaan \((i)\) dan \((ii)\) dapat pula dituliskan sebagai :

$$x=\frac{2}{3}z$$

$$y=-\frac{16}{9}z$$

Sehingga jika kita tetapkan \(z = k\) untuk sebarang bilangan \(k\) maka diperoleh himpunan penyelesaian sebagai berikut :

$$\text{HP}=\{(x,y,z)\mid x=\frac{2}{3}z,~y=-\frac{16}{9}z,~\forall~\text{sembarang bilangan z}\}$$

atau

$$\text{HP}=\{(x,y,z)\mid x=\frac{2}{3}k,~y=-\frac{16}{9}k,~z=k,~\forall~\text{sembarang bilangan k}\}$$

Jelas dengan melihat himpunan penyelesaian di atas, sistem persamaan linear homogen pada soal mempunyai tak hingga banyaknya solusi.

Grafik SPL Homogen

Suatu sistem persamaan linear homogen mempunyai solusi trivial sehingga apabila setiap persamaanya dilukiskan kedalam suatu grafik maka grafiknya akan melewati titik pangkal (titik asal atau titik koordinat kartesius).

Catatan : SPL 2 variabel grafiknya berupa garis-garis, SPL 3 variabel grafiknya berupa bidang-bidang sedangkan untuk SPL dengan variabel lebih dari 3 belum memungkinkan untuk dilukiskan.

Contoh  :

Diberikan SPL homogen 2 variabel sebagai berikut :

$$\color{red}{3x+2y=0}$$

$$\color{blue}{2x-y=0}$$

Grafiknya :

ilustrasi grafik SPL 2 variabelContoh 2 :

Diberikan SPL homogen 3 variabel sebagai berikut :

$$\color{red}{4x-2y+3z=0}$$

$$\color{blue}{2x-y-5z=0}$$

$$\color{green}{3x+2y-2z=0}$$

Grafiknya :

ilustrasi grafik SPL 3 variabel

Kesimpulan

  • SPL homogen mempunyai ciri khas yaitu konstanta-konstantanya bernilai nol.
  • Sistem persamaan linear homogen bersifat konsisten, selalu mempunyai solusi setidaknya satu solusi (solusi trivial).
  • SPL Homogen dengan banyak variabel \(>\) banyak persamaan, maka sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya solusi.