Tag: Matriks Simetris

Definisi Matriks dan Jenis-Jenisnya

Aljabar Linear, Matematika, Matematika Lanjutan, Matriks, Sistem Persamaan Linear dan Matriks·

Cover Matriks Profematika

Definisi Matriks

Definisi : Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan atau fungsi. Bilangan-bilangan atau fungsi dalam susunan tersebut dinamakan entri / elemen dan diapit oleh dua kurung siku.

Lambang matriks menggunakan huruf-huruf besar \(( A, B, C, \dots)\), sedangkan entri (elemen) menggunakan huruf-huruf kecil \(( a, b, c, \dots)\).

Contoh :

$$ A = \left[{\begin{array}{cccc} 9&6&-1&0\end{array}}\right] , B = \left[{\begin{array}{cc} \sqrt[3]{2}&\pi\\0,7&\frac{1}{4}\\-1031&-6\end{array}}\right] , C = \left[{\begin{array}{cc} x^3 -1&\tan{x}\\log_{3}(x+1)&2^x\end{array}}\right]$$

Pada contoh matriks \(A\) dan \(B\) elemen matriks berupa bilangan-bilangan riil, sedangkan matriks \(C\) elemennya berupa fungsi peubah (variabel) \(x\).

Seperti pada contoh tersebut, ukuran  matriks bermacam-macam besarnya. Ukuran matriks yang biasa ditulis \(\text{banyak baris}~\times~\text{banyak kolom}\) disebut ordo. Ordo matriks menyatakan banyaknya baris (horisontal) dan banyaknya kolom (vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut. Sehingga karena matriks \(A\) mempunyai 1 baris dan 4 kolom maka ordonya adalah \(1 \times 4\). Begitu pula untuk matriks \(B\) dan \(C\) memiliki ordo berturut-turut yaitu \(3 \times 2\) dan \(2 \times 2\). Catatan : Tanda \(\times\) pada ukuran (ordo) menyatakan tanda pemisah.

Bentuk Umum Matriks : 

Misalkan \(A\) adalah sebuah matriks, maka kita dapat memisalkan  \(a_{ij}\) untuk menyatakan elemen yang terdapat didalam baris ke-\(i\) dan kolom ke-\(j\) dari matriks \(A\). Sehingga jika matriks A memiliki ordo \(m \times n\) maka dapat ditulis sebagai berikut.

$$A = \left[{\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{array}}\right] $$

atau \(A = [a_{ij}]_{m \times n}\).

Pelajari juga : Operasi Matriks dan Sifat-Sifatnya

Jenis-Jenis Matriks

Terdapat 10 jenis matriks yang penting dipelajari yaitu :

  1. Matriks Persegi

    Matriks Persegi atau Bujursangkar, yaitu matriks yang mempunyai banyak garis dan kolom yang sama banyak. Di dalam matriks persegi juga terdapat diagonal utama, yaitu bagian matriks yang mempunyai elemen-elemen dengan nomor baris sama dengan nomor kolom. Untuk lebih jelasnya seperti contoh berikut.

    $$B= \left[{\begin{array}{ccc} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}}\right]$$

    Pada matriks \(B\) di atas mempunyai ordo \(3 \times 3\) dan juga mempunyai diagonal utama dengan elemen-elemen di dalamnya adalah \(\{b_{11},b_{22},b_{33}\}\).

  2. Matriks Segitiga Atas

    Matriks Segitiga Atas, yaitu matriks persegi yang mempunyai elemen-elemen di bawah diagonal utama bernilai nol.

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{ccc} 0&5&-2\\0&-8&1\\0&0&4\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{cc} 2&3\\0&-9\end{array}}\right]$$

  3. Matriks Segitiga Bawah

    Matriks Segitiga Bawah, yaitu matriks persegi yang mempunyai elemen-elemen di atas diagonal utama bernilai nol.

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{ccc} 7&0&0\\4&1&0\\5&-5&0\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{cccc} 2&0&0&0\\-4&3&0&0\\1&10&2&0\\14&0&2&1\end{array}}\right]$$

  4. Matriks Diagonal

    Matriks Diagonal, yaitu matriks persegi yang mempunyai elemen-elemen di luar diagonal utama bernilai nol.

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{cc} 6&0\\0&-1\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{ccc} 7&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}}\right]~,~C= \left[{\begin{array}{cccc} 2&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&2&0\\14&0&0&1\end{array}}\right]$$

    Matriks \(A\) dan \(B\) merupakan matriks diagonal, sedangkan matriks \(C\) bukan matrik diagonal karena mempunyai elemen di luar diagonal utama yang bernilai tidak sama dengan nol, yakni 14.

  5. Matriks Satuan

    Matriks Satuan atau Matriks Identitas, yaitu matriks diagonal yang mempunyai elemen-elemen pada diagonal utama bernilai satu. Matriks Satuan bisa ditulis : \(I_{n \times n}\), dimana \(n\) menyatakan banyak garis dan banyak kolom dari matriks satuan tersebut.

    Contoh :

    $$I_{2 \times 2}= \left[{\begin{array}{cc} 1&0\\0&1\end{array}}\right]~,~I_{3 \times 3}= \left[{\begin{array}{ccc} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]~,~I_{4 \times 4}= \left[{\begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]$$

  6. Matriks Skalar

    Matriks Skalar, yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utama bernilai sama dan tidak sama dengan nol.

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{ccc} 2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{cc} 12&0\\0&12\end{array}}\right]$$

    Bentuk umum matriks skalar dengan skalar \(c\) :

    $$A= \left[{\begin{array}{cccc} c&0&\dots&0\\0&c&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&\dots&c\end{array}}\right]~,~c\neq 0$$

  7. Matriks Nol

    Matriks Nol, yaitu matriks yang semua elemennya bernilai nol. Matriks nol bisa disimbolkan dengan \(O_{m \times n}\) dengan \(m~dan~ n\) berturut-turut menyatakan banyaknya baris dan kolom matriks tersebut.

    Contoh :

    $$O_{2 \times 2}= \left[{\begin{array}{cc} 0&0\\0&0\end{array}}\right]~,~O_{3 \times 1}= \left[{\begin{array}{c} 0\\0\\0\end{array}}\right]~,~O_{2 \times 4}= \left[{\begin{array}{cccc} 0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right]$$

  8. Matriks Invers

    Matriks Invers, sebuah matriks \(A\) mempunyai invers jika terdapat matriks (misalkan \(B\)) sehingga memenuhi \(AB=BA=I\). Penulisan invers matriks \(B\) dinyatakan oleh \(A^{-1}\). Untuk pembahasan lebih lanjut mengenai invers matriks akan dibahas dipostingan lain.

    Contoh : Misalkan matriks \(A\) berordo \(2 \times 2\), akan digunakan rumus untuk mencari invers seperti dibawah ini.

    $$A= \left[{\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}}\right]~,~maka~A^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\left[{\begin{array}{cc} d&-b\\-c&a\end{array}}\right]$$

  9. Matriks Simetris

    Matriks Simetris, yaitu suatu matriks persegi yang apabila ditransposkan akan menghasilkan matriks semula. Misalkan \(A\) adalah matriks persegi. Matriks A dikatakan simetris jika dan hanya jika \(A=A^T\).

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{ccc} 1&4&0\\4&2&-5\\0&-5&3\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{cccc} \sqrt[3]{2}&-4&1&14\\-4&0&10&0\\1&10&-1&\pi\\14&0&\pi&1\end{array}}\right]$$

    Dari matriks \(A\) dan \(B\) terlihat jelas bahwa elemen-elemen pada diagonal utama berperan sebagai sumbu pencerminan. Sehingga apabila terdapat elemen dengan nomor baris ke-\(i\) dan kolom baris ke-\(j\) dicerminkan, maka bayangan dari pencerminan akan sama dengan elemen dengan nomor baris ke-\(j\) dan nomor kolom ke-\(i\), atau dapat ditulis \(a_{ij} = a_{ji}\).

  10. Matriks Skew Simetris

    Matriks Skew Simetris (Anti Simetri), yaitu suatu matriks persegi yang apabila ditransposkan akan sama dengan negatif dari matriks semula. Misalkan \(A\) adalah matriks persegi. Matriks \(A\) dikatakan skew simetris jika dan hanya jika \(A^T=-A\). Syarat lainnya yaitu semua elemen yang berada di diagonal utama bernilai nol.

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{ccc} 0&4&0\\-4&0&5\\0&-5&0\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{cccc} 0&-4&1&14\\4&0&10&0\\-1&-10&0&-\pi\\-14&0&\pi&0\end{array}}\right]$$

    Dari contoh tersebut matriks \(A~dan~B\) mempunyai sumbu pencerminan yakni elemen-elemen yang ada pada diagonal utama. Sehingga apabila terdapat elemen dengan nomor baris ke-\(i\) dan kolom baris ke-\(j\) dicerminkan, maka bayangan dari pencerminan akan sama dengan negatif elemen dengan nomor baris ke-\(j\) dan nomor kolom ke-\(i\), atau dapat ditulis \(a_{ij} = -a_{ji}\).

Selanjutnya direkomendasikan mempelajari : Operasi Matriks dan Sifat-Sifatnya