Tag: Determinan Matriks

10 Sifat Determinan dan Reduksi Baris beserta Contohnya

Aljabar Linear, Determinan, Matematika, Matematika Lanjutan, Matriks, Metode Reduksi Baris, Sifat-Sifat Determinan·

Cover Sifat Determinan dan Reduksi Baris

Sifat-Sifat Determinan Matriks

Kenapa sih kita harus belajar sifat-sifat determinan?

Perumpamaan Sifat Determinan

Untuk mengetahui alasannya, mari kita umpamakan nilai determinan yang kita cari ibarat sebuah layang-layang yang nyangkut di pucuk pohon yang penuh dengan cabang dan sifat-sifat determinan sebagai tangga.

Nah, dari sini ada dua opsi utama untuk mendapatkan layang-layang tersebut, yaitu pertama dengan memanjat pohonnya langsung (menghitung determinan dengan cara umum seperti ekspansi kofaktor atau lainnya) dan opsi kedua menggunakan tangga untuk naik ke atas pohon tersebut.

Kedua pilihan tersebut sama-sama dapat mengambil layangan, namun akan lebih efisien dan efektif jika kita menggunakan bantuan tangga untuk naik pohon dan mendapatkan layangan tersebut.

Dari perumpamaan di atas, kita dapat mempermudah perhitungan dalam mencari determinan dengan memanfaatkan sifat-sifat determinan sebagai berikut :

Sifat 1

Jika matriks \(A\) dan \(B\) adalah matriks persegi yang berordo sama maka

$$\boxed{\text{det}(AB)=\text{det}(BA)=\text{det}(A)\times\text{det}(B)}$$

Contoh 1

MIsalkan \(A, B\) dan \(C\) adalah matriks persegi yang mempunyai ordo yang sama, dengan \(C=AB\).

$$A=\left[{\begin{array}{cc}-3&1\\0&2\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{cc}2&-3\\-4&5\end{array}}\right]$$

Tentukan determinan dari matriks \(C\).

Penyelesaian :

Cara pertama, kita lakukan operasi perkalian matriks, sehingga didapat :

$$\begin{aligned}C&=AB\\&=\left[{\begin{array}{cc}-3&1\\0&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}2&-3\\-4&5\end{array}}\right]\\&=\left[{\begin{array}{cc}-6-4&9+5\\0-8&0+10\end{array}}\right]\\&=\left[{\begin{array}{cc}-10&14\\-8&10\end{array}}\right]\end{aligned}$$

Kemudian kita hitung determinan dari matriks \(C\)

$$\begin{aligned}\text{det}(C)&=\left|{\begin{array}{cc}-10&14\\-8&10\end{array}}\right|\\&=-100-(-112)\\&=12\end{aligned}$$

Cara kedua, kita gunakan sifat 1, sehingga

$$\begin{aligned}\text{det}(C)&=\text{det}(AB)\\&=\text{det}(A)\times\text{det}(B)\\&=\left|{\begin{array}{cc}-3&1\\0&2\end{array}}\right|\times \left|{\begin{array}{cc}2&-3\\-4&5\end{array}}\right|\\&=-6\times(-2)\\&=12\end{aligned}$$

Setelah kita amati ternyata dua cara di atas mempunyai hasil akhir yang sama, namun dari segi efisiensi lebih baik cara kedua.

Sifat 2

Jika \(A\) adalah matriks persegi dan \(A^{T}\) adalah transpose matriks \(A\), maka berlaku

$$\boxed{\text{det}(A)=\text{det}\left({A^{T}}\right)}$$

Contoh 2

Misalkan matriks \(A\) didefinisikan sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}}\right]$$

Tentukanlah nilai dari \(\text{det}\left({A^{T}}\right)\)

Penyelesaian :

Transpose Matriks Profematika

Cara pertama (manual) dengan mentranspose matriks \(A\)

$$A^{T}=\left[{\begin{array}{cc}1&3\\2&4\end{array}}\right]$$

Selanjutnya menghitung determinan dari \(A^{T}\)

$$\begin{aligned}\text{det}\left({A^{T}}\right)&=\left|{\begin{array}{cc}1&3\\2&4\end{array}}\right|\\&=4-6\\&=-2\end{aligned}$$

Cara kedua menggunakan sifat

$$\begin{aligned}\text{det}\left({A^{T}}\right)&=\text{det}(A)\\&=\left|{\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}}\right|\\&=4-6\\&=-2\end{aligned}$$

Sifat 3

Jika A adalah matriks diagonal atau matriks skalar, maka

$$\boxed{\text{det}(A)=a_{11}\times a_{22}\times\dots\times a_{nn}}$$

(Determinan \(A\) adalah perkalian semua entri pada diagonal utama)

Contoh 3

Diberikan matriks \(A\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}\sqrt{2}&0&0\\0&-2&0\\0&0&\frac{1}{2}\end{array}}\right]$$

Tentukan determinan matriks \(A\)

Penyelesaian :

Cara pertama menggunakan aturan sarrus, atau dapat dituliskan :

$$\left[{\begin{array}{ccc|cc}\sqrt{2}&0&0&\sqrt{2}&0\\0&-2&0&0&-2\\0&0&\frac{1}{2}&0&0\end{array}}\right]$$

sehingga determinan dari \(A\) yakni :

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=-\sqrt{2}+0+0-0-0-0\\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$$

Cara kedua dengan menggunakan sifat didapat :

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=\left|{\begin{array}{ccc}\sqrt{2}&0&0\\0&-2&0\\0&0&\frac{1}{2}\end{array}}\right|\\&=\sqrt{2}\times-2\times\frac{1}{2}\\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$$

Sifat 4

Jika \(A\) adalah matriks segitiga (atas/bawah) maka

$$\boxed{\text{det}(A)=a_{11}\times a_{22}\times\dots\times a_{nn}}$$

(Determinan \(A\) adalah perkalian semua entri pada diagonal utama)

Contoh 4

Misalkan diberikan matriks \(A_{3\times3}=[a_{ij}]\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}\pi&\frac{3}{4}&-1\\0&2&2\sqrt{3}\\0&0&\frac{3}{2}\end{array}}\right]$$

Tentukan determinan dari matriks \(A\)

Penyelesaian :

Cara pertama : Jika pada contoh 3, kita telah menggunakan metode sarrus. Sekarang kita akan menggunakan metode ekspansi kofaktor pada kolom pertama \((a_{11}=\pi,a_{21}=0,a_{31}=0)\).

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}\\&=a_{11}C_{11}\\&=\pi(-1)^{1+1}\left|{\begin{array}{cc}2&2\sqrt{3}\\0&\frac{3}{2}\end{array}}\right|\\&=\pi(3-0)\\&=3\pi\end{aligned}$$

Cara kedua menggunakan sifat maka :

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}\times a_{22}\times a_{33}\\&=\pi\times2\times\frac{3}{2}\\&=3\pi\end{aligned}$$

Sifat 5

Jika \(A\) adalah matriks persegi berordo \(n\times n\) dan \(k\) adalah sebarang bilangan maka

$$\boxed{\text{det}(kA)=k^{n}\times \text{det}(A)}$$

Contoh 5

Diketahui :

$$A=\left[{\begin{array}{cc}2&4\\6&8\end{array}}\right]$$

Tentukan determinan dari \(3A\)

Penyelesaian :

Cara pertama, dengan mengalikan matriks \(A\) dengan 3 sehingga didapat :

$$\begin{aligned}3A&=3\times \left[{\begin{array}{cc}2&4\\6&8\end{array}}\right]\\&=\left[{\begin{array}{cc}6&12\\18&24\end{array}}\right]\end{aligned}$$

Kemudian kita hitung determinannya.

$$\begin{aligned}\text{det}(3A)&=\left|{\begin{array}{cc}6&12\\18&24\end{array}}\right|\\&=(6)(24)-(12)(18)\\&=-72\end{aligned}$$

Cara kedua dengan menggunakan sifat.

$$\begin{aligned}\text{det}(3A)&=3^{2}\times\text{det}(A)\\&=9\times \left|{\begin{array}{cc}2&4\\6&8\end{array}}\right|\\&=9(16-24)\\&=-72\end{aligned}$$

Sifat 6

Jika matriks \(A\) dapat dibalik (invertible) atau mempunyai invers, maka

$$\boxed{\text{det}\left({A^{-1}}\right)=\frac{1}{\text{det}(A)}}$$

Contoh 6

Diketahui :

$$A=\left[{\begin{array}{cc}-4&1\\2&3\end{array}}\right]$$

Tentukan nilai determinan dari \(A^{-1}\)

Penyelesaian :

Cara pertama :

Umumnya pada saat kita mencari invers dari matriks \(A_{2\times2}=[a_{ij}]\), kita menggunakan rumus :

$$A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\left[{\begin{array}{cc}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\end{array}}\right]$$

Sehingga berdasarkan rumus di atas kita dapatkan :

$$\begin{aligned}A^{-1}&=\frac{1}{-12-2}\left[{\begin{array}{cc}3&-1\\-2&-4\end{array}}\right]\\&=\left[{\begin{array}{cc}-\frac{3}{14}&\frac{1}{14}\\\frac{2}{14}&\frac{4}{14}\end{array}}\right]\end{aligned}$$

Selanjutnya kita hitung determinan dari \(A^{-1}\).

$$\begin{aligned}\text{det}\left({A^{-1}}\right)&=\left|{\begin{array}{cc}-\frac{3}{14}&\frac{1}{14}\\\frac{2}{14}&\frac{4}{14}\end{array}}\right|\\&=\left({-\frac{3}{14}}\right)\left({\frac{4}{14}}\right)-\left({\frac{1}{14}}\right)\left({\frac{2}{14}}\right)\\&=\frac{-14}{196}\\&=-\frac{1}{14}\end{aligned}$$

Cara kedua menggunakan sifat, kita peroleh :

$$\begin{aligned}\text{det}\left({A^{-1}}\right)&=\frac{1}{\text{det}\left({A}\right)}\\&=\frac{1}{-12-2}\\&=-\frac{1}{14}\end{aligned}$$

Baca juga : Cara mencari invers matriks dengan OBE

Sifat 7

Jika \(A\) adalah matriks persegi yang memuat baris nol atau kolom nol maka

$$\boxed{\text{det}(A)=0}$$

Contoh 7

Misalkan matriks \(A\) dan \(B\) didefinisikan sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&2\\3&0&4\\5&0&6\end{array}}\right]$$

$$B=\left[{\begin{array}{ccc}5&4&3\\2&1&0\\0&0&0\end{array}}\right]$$

Tentukan nilai determinan \(A\) dan \(B\)

Pembuktian :

Cara pertama : dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor, kita dapatkan :

$$\color{red}{\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{12}C_{12}+a_{22}C_{22}+a_{32}C_{32}\\&=(0)C_{12}+(0)C_{22}+(0)C_{32}\\&=0\end{aligned}}$$

(Ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua dari \(A\))

$$\color{blue}{\begin{aligned}\text{det}(B)&=b_{31}C_{12}+b_{32}C_{22}+b_{33}C_{32}\\&=(0)C_{31}+(0)C_{32}+(0)C_{33}\\&=0\end{aligned}}$$

(Ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga dari \(B\))

Cara kedua dengan memanfaatkan sifat determinan, maka kita cukup mencermati baris-baris dan kolom-kolom pada matriks \(A\) dan \(B\), karena pada matriks \(A\) terdapat satu kolom (kolom kedua) yang semua entri-entrinya bernilai nol sehingga berdasarkan sifat ke-7 maka \(\text{det}(A)=0\) begitu pula pada matriks \(B\) karena terdapat satu baris (baris ketiga) yang entri-entrinya bernilai nol maka \(\text{det}(B)=0\).

Sifat 8

Jika \(A\) adalah matriks persegi dengan memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka

$$\boxed{\text{det}(A)=0}$$

Contoh 8

Tentukan determinan dari matriks berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}-1&2&1\\3&-2&5\\-3&6&3\end{array}}\right]$$

Penyelesaian :

Berdasarkan aturan sarrus maka :

$$\left[{\begin{array}{ccc|cc}-1&2&1&-1&2\\3&-2&5&3&-2\\-3&6&3&-3&6\end{array}}\right]$$

Sehingga diperoleh :

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=(6)+(-30)+(18)-(6)-(-30)-(18)\\&=0\end{aligned}$$

Cara Alternatif yakni dengan memperhatikan baris-baris dan kolom-kolomnya, apabila terdapat dua baris atau dua kolomnya berkelipatan contohnya pada matriks \(A\), dimana baris ketiga merupakan kelipatan dari baris pertama. Sehingga berdasarkan sifat ke-8 ini maka \(\text{det}(A)=0\).

Sifat 9

Misalkan \(A_{1},A_{2},\dots A_{n}\) dan \(B\) adalah matriks persegi yang berordo sama yang hanya berbeda dalam satu baris tunggal, anggaplah perbedaan terletak pada baris ke-\(k\) kemudian kita misalkan lagi bahwa baris ke-\(k\) dari \(B\) diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam setiap baris ke-\(k\) dari \(A_{i}\) dengan \(i=\{1,2,3,\dots,n\}\), sehingga berlaku :

$$\boxed{\text{det}(B)=\sum_{i=1}^{n}\text{det}(A_{i})}$$

Persamaan di atas juga berlaku jika \(A_{1},A_{2},\dots A_{n}\) dan \(B\) hanya berbeda dalam satu kolom tunggal, dengan kolom yang berbeda (misalkan ke-\(j\)) dari B diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dari setiap kolom ke-\(j\) dari matriks \(A_{i}\).

Contoh 9

Misalkan matriks \(A, B\) dan \(C\) didefinisikan sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-1\\\color{red}{5}&\color{red}{2}&\color{red}{0}\\1&2&3\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-1\\\color{red}{-4}&\color{red}{3}&\color{red}{1}\\1&2&3\end{array}}\right],~C=\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-1\\\color{red}{1}&\color{red}{5}&\color{red}{1}\\1&2&3\end{array}}\right]$$

Kita akan mencoba memperlihatkan bahwa berdasarkan sifat ke-9 ini maka \(\text{det}(C)=\text{det}(A)+\text{det}(B)\).

Pertama kita hitung nilai determinan dari matriks \(A, B\) dan \(C\).

$$\text{det}(A)=\left|{\begin{array}{ccc}1&2&-1\\\color{red}{5}&\color{red}{2}&\color{red}{0}\\1&2&3\end{array}}\right|=-32$$

$$\text{det}(B)=\left|{\begin{array}{ccc}1&2&-1\\\color{red}{-4}&\color{red}{3}&\color{red}{1}\\1&2&3\end{array}}\right|=44$$

$$\text{det}(C)=\left|{\begin{array}{ccc}1&2&-1\\\color{red}{1}&\color{red}{5}&\color{red}{1}\\1&2&3\end{array}}\right|=12$$

Untuk cara perhitungannya bisa menggunakan aturan sarrus atau ekspansi kofaktor dan proses perhitungannya sengaja tidak ditampilkan, untuk latihan bersama.

Sifat 10

Misalkan \(A\) adalah matriks persegi, kemudian \(A\) kita kenakan Operasi Baris Elementer maka berlaku :

  • Jika \(A^{*}\) diperoleh dari \(A\) dengan cara mengalikan satu baris dari \(A\) dengan sembarang bilangan \(k\neq0\), maka \(\boxed{\text{det}\left({A^{*}}\right)=k\times \text{det}(A)}\)
  • Jika \(A^{*}\) diperoleh dari \(A\) dengan cara  menukar dua baris, maka \(\boxed{\text{det}\left({A^{*}}\right)=-\text{det}(A)}\)
  • Jika \(A^{*}\) diperoleh dari \(A\) dengan cara menjumlahkan satu baris dengan kelipatan baris lain, maka \(\boxed{\text{det}\left({A^{*}}\right)=\text{det}(A)}\)

Untuk contohnya akan kita akan bahas bersama pada bagian selanjutnya. Pada bagian selanjutnya kita akan mengenal metode yang tak kalah unik dalam mencari nilai determinan yaitu metode reduksi baris.

Namun, sebelumnya disarankan sudah mengenal Eliminasi Gauss atau Elimanasi Gauss-Jordan sebab kita akan belajar mereduksi baris pada matriks.

Apa Itu Metode Reduksi Baris ?

Umumnya pada saat kita menghitung determinan dari suatu matriks persegi, kita menggunakan tiga metode pokok yaitu :

  • Metode kupu-kupu (Khusus untuk matriks \(2\times2\))
    Metode Kupu-Kupu Pada Matriks 2x2
  • Metode Sarrus (Khusus untuk matriks \(3\times3\))

    Metode Sarrus Pada Matriks 3x3

  • Metode Ekspansi Kofaktor

    Ilustrasi Metode Ekspansi Kofaktor

Selain ketiga metode di atas terdapat metode lain yang dapat digunakan dalam mencari determinan yaitu metode reduksi baris, dimana dalam prosesnya menerapkan operasi baris elementer untuk mengarahkan kedalam bentuk matriks yang sederhana (dapat berupa matriks segitiga, diagonal, eselon baris atau lainnya) tujuannya agar mempermudah dalam menghitung determinannya.

Dalam metode ini tidak ada langkah baku, namun jika kita mengacu pada sifat determinan terutama sifat ke-4 , maka kita punya acuan untuk mereduksi baris sedemikian sehingga terbentuk matriks segitiga.

Menghitung Determinan dengan Metode Reduksi Baris

Perhatikan ilustrasi metode reduksi pada matriks \(3\times 3\) sebagai berikut :

Ilustrasi Metode Reduksi Baris Pada Matriks 3x3

Catatan : Pada ilustrasi di atas, persamaan \(\text{det}(A)=\text{det}(A^{*})=y_{11}\times y_{22}\times y_{33}\) belum tentu benar, namun kita dapat memastikan persamaan tersebut bernilai benar dengan “selalu” menggunakan satu jenis operasi baris elementer, yaitu : menambahkan satu baris dengan kelipatan baris lainnya.

Contoh 11

Tentukan determinan dari matriks \(A\) dengan \(A\) didefinisikan sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}12&-6&5\\10&11&13\\8&4&-4\end{array}}\right]$$

Penyelesaian :

Pertama-tama kita tuliskan dulu determinan dari \(A\) yakni :

$$\text{det}(A)=\left|{\begin{array}{ccc}12&-6&5\\10&11&13\\8&4&-4\end{array}}\right|$$

Untuk langkah-langkah selanjutnya kita akan menggunakan sifat ke-10.

Sehingga jika kita kenakan operasi \(\frac{1}{4}R_{3}\rightarrow R_{3}\) maka

$$\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}12&-6&5\\10&11&13\\8&4&-4\end{array}}\right|}_{\text{det}(A)}\rightarrow\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}12&-6&5\\10&11&13\\2&1&-1\end{array}}\right|}_{\frac{1}{4}\text{det}(A)}$$

Ingat, tujuan kita membentuk matriks segitiga (atas atau bawah) sehingga kita sederhanakan baris pertama dan kedua dengan operasi \(-6R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}\) dan \(-5R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}\).

$$\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}12&-6&5\\10&11&13\\2&1&-1\end{array}}\right|}_{\frac{1}{4}\text{det}(A)}\rightarrow\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}0&-12&11\\0&6&18\\2&1&-1\end{array}}\right|}_{\frac{1}{4}\text{det}(A)}$$

Kemudian kita kenakan operasi \(R_{1}\leftrightarrow R_{3}\)

$$\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}0&-12&11\\0&6&18\\2&1&-1\end{array}}\right|}_{\frac{1}{4}\text{det}(A)}\rightarrow\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}2&1&-1\\0&6&18\\0&-12&11\end{array}}\right|}_{-\frac{1}{4}\text{det}(A)}$$

Tidak lupa kita sederhanakan baris ketiga dengan operasi \(2R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}\) sehingga kita peroleh matriks segitiga.

$$\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}2&1&-1\\0&6&18\\0&-12&11\end{array}}\right|}_{-\frac{1}{4}\text{det}(A)}\rightarrow\underbrace{\left|{\begin{array}{ccc}2&1&-1\\0&6&18\\0&0&47\end{array}}\right|}_{-\frac{1}{4}\text{det}(A)}$$

Nah, setelah ketemu bentuk matriks segitiga, maka berdasarkan sifat ke-4 kita dapatkan :

$$\begin{aligned}-\frac{1}{4}\text{det}(A)&=\left|{\begin{array}{ccc}2&1&-1\\0&6&18\\0&0&47\end{array}}\right|\\&=2\times6\times47\\&=564\\\Leftrightarrow\text{det}(A)&=-4\times564\\&=-2256\end{aligned}$$

Alasan Metode Sarrus Hanya Berlaku Pada Matriks 3×3

Aljabar Linear, Determinan, Matematika, Matematika Lanjutan, Matriks, Metode Sarrus·

Cover Aturan Sarrus

Definisi Determinan Secara Umum

Pada pembahasan sebelumnya sudah dijelaskan dengan jelas mengenai Definisi Fungsi Determinan dengan Perkalian Elementer. Dimana jika terdapat \(A\) matriks persegi berordo \(n\times n\) maka determinan dari matriks \(A\) dapat ditulis sebagai berikut :

$$\text{det}(A)=\sum \pm a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\dots a_{np_{n}}$$

Dengan \(a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\dots a_{np_{n}}\) bernilai genap jika \((p_{1},p_{2},\dots,p_{n})\) merupakan permutasi genap, sebaliknya \(a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\dots a_{np_{n}}\) bernilai ganjil jika \((p_{1},p_{2},\dots,p_{n})\) merupakan permutasi ganjil. Ingat kembali bahwa permutasi dari \(n\) unsur berbeda dari \((p_{1},p_{2},\dots,p_{n})\) mempunyai \(n!\) permutasi.

Kita akan menggunakan definisi fungsi determinan dengan perkalian elementer untuk melihat apakah metode sarrus hanya berlaku pada matriks \(3\times3\). Sebelum menganalisa lebih lanjut, mari kita kenalan terlebih dahulu metode sarrus.

Apa itu aturan atau metode sarrus?

Metode sarrus atau juga sering orang menyebutnya metode anyaman (Basketweave Method) adalah jalan alternatif dalam menghitung determinan dari matriks \(3\times 3\).

Perhatikan ilustrasi berikut :

Metode Sarrus Pada Matriks 3x3

Berdasarkan ilustrasi di atas kita peroleh langkah-langkah menghitung determinan matriks \(3\times 3\) dengan metode sarrus sebagai berikut.

Tahapan Metode Sarrus dalam Mencari Determinan

Misalkan didefinisikan matriks \(A_{3\times 3}\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}}\right]$$

Langkah pertama dalam menentukan determinan dengan aturan sarrus yaitu dengan menambahkan secara berurutan kolom ke-\(1\) dan ke-\(2\) pada sebelah kanan kolom ke-\(3\).

$$\left[{\begin{array}{ccc|cc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{31}&a_{32}\end{array}}\right]$$

Selanjutnya kita coret entri-entri pada diagonal utama dan diagonal lainnya.Tahapan Metode Sarrus

Sehingga diperoleh 6 bagian, kemudian kita kalikan entri-entri yang terletak pada kotak 1 sampai kotak 6.

$$\boxed{1}=a_{11}\times a_{22}\times a_{33}$$

$$\boxed{2}=a_{12}\times a_{23}\times a_{31}$$

$$\boxed{3}=a_{13}\times a_{21}\times a_{32}$$

$$\boxed{4}=a_{13}\times a_{22}\times a_{31}$$

$$\boxed{5}=a_{11}\times a_{23}\times a_{32}$$

$$\boxed{6}=a_{12}\times a_{21}\times a_{33}$$

Langkah terakhir yaitu menghitung determinan dengan mengurangkan jumlah hasil kali pada diagonal-diagonal utama(kotak 1, kotak 2 dan kotak 3) dengan jumlah hasil kali pada diagonal-diagonal pelengkapnya(kotak 4, kotak 5 dan kotak 6).

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=\boxed{1}+\boxed{2}+\boxed{3}-\boxed{4}-\boxed{5}-\boxed{6}\\&=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\end{aligned}$$

Baca juga : Kelebihan dan Kekurangan Metode Ekspansi Kofaktor

Menghitung Determinan Matriks 3×3 dengan Aturan Sarrus

Diberikan matriks \(A_{3\times 3}\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&-1&1\\-3&0&-2\\1&4&1\end{array}}\right]$$

Dengan menggunakan aturan sarrus, tentukan determinan matriks \(A\) tersebut.

Penyelesaian :

Berdasarkan aturan sarrus maka kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc|cc}2&-1&1&2&-1\\-3&0&-2&-3&0\\1&4&1&1&4\end{array}}\right]$$

Menghitung Determinan dengan Aturan Sarrus

Sehingga determinan dari matriks \(A\) yaitu :

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=(2)(0)(1)+(-1)(-2)(1)+(1)(-3)(4)-(1)(0)(1)-(2)(-2)(4)-(-1)(-3)(1)\\&=0+2+(-12)-0-(-16)-3\\&=3\end{aligned}$$

Alasan Metode Sarrus Hanya Berlaku Pada Matriks 3×3

Sebenarnya mengenai alasan aturan sarrus hanya berlaku pada matriks 3×3 tidak perlu ditanyakan, mengapa?

Hal ini karena Metode Sarrus itu sendiri diciptakan sebagai jalan alternatif yang lebih mudah untuk menghitung determinan matriks 3×3.

Namun, penulis mempunyai pandangan yang sedikit berbeda mengenai hal tersebut. Pertama kita sepakati bersama bahwa dalam mencari determinan matriks \(A_{n\times n}\) dengan metode sarrus pada diskusi kita kali ini dimulai dengan menambahkan \(n-1\) kolom pertama tepat pada sebelah kanan kolom terakhir secara berturut-turut.

$$\left[{\begin{array}{cccc|cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1(n-1)}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}&a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2(n-1)}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}&a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{n(n-1)}\end{array}} \right ]$$

Ide tersebut terinspirasi pada aturan sarrus pada matriks \(3\times 3\) dimana tepat pada sebalah kanan kolom terakhir (ketiga), terdapat \(3-1\) kolom pertama (kolom ke-\(1\) dan kolom ke-\(2\) secara berturut-turut).

Sehingga jika kita hubungkan pada konsep hasil perkalian elementer maka kita akan mendapatkan \(2n\) buah hasil perkalian elementer. Contohnya pada matriks \(3 \times 3\) berdasarkan aturan sarrus maka akan terdapat \(2\times3=6\) buah hasil kali elementer (3 pada diagonal utama dan 3 lainnya pada diagonal pelengkapnya).

Namun, jika kita mengacu pada definisi determinan dengan hasil perkalian elementer maka apabila matriks \(A\) berordo \(n\times n\), maka seluruh hasil perkalian elementer dalam matriks ada sebanyak \(n!\) (baca sebabnya disini).

Sehingga dari kedua pernyataan di atas kita peroleh hubungan :

$$n!=2n$$

Jelas bahwa jika bilangan asli \(n>3\) maka $$n!>2n$$ (kontradiksi) yang berakibat \(1\leq n\leq 3\) dan nilai \(n\) yang memenuhi persamaan tersebut hanya \(n=3\).

Jadi dari pernyataan di atas dapat kita tarik kesimpulan bahwa aturan sarrus hanya berlaku untuk matriks berordo \(3\times 3\).

Kelebihan dan Kekurangan Metode Ekspansi Kofaktor

Aljabar Linear, Determinan, Ekspansi Kofaktor, Matematika, Matematika Lanjutan, Matriks·

Cover Ekspansi Kofaktor Profematika

Apa itu Ekspansi Kofaktor?

Metode ekspansi kofaktor adalah suatu metode untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor yang mengutamakan kemampuan berhitung secara manual dan secara teoritis.

Lalu apa itu kofaktor?

Metode Sarrus Pada Matriks 3x3
Metode Sarrus
Metode Kupu-Kupu Pada Matriks 2x2
Metode Kupu-Kupu

 

Sebelum mengenal apa itu kofaktor, mari kita ingat kembali pada saat duduk di bangku SMA kita sudah mengenal dan memahami aturan sarrus (untuk matriks 3×3) dan metode kupu-kupu (untuk matriks 2×2).

Perhatikan contoh berikut :

Didefinisikan matriks \(A\) dan \(B\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}}\right]$$

Kita akan menentukan determinan matriks \(A\) dan \(B\). Berdasarkan metode kupu-kupu pada matriks \(A\) kita peroleh :

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\\&=a_{11}(-1)^{1+1}a_{22}+a_{12}(-1)^{1+2}a_{21}\\&=a_{11}(-1)^{1+1}\left|{a_{22}}\right|+a_{12}(-1)^{1+2}\left|{a_{21}}\right|\end{aligned}$$

dan pada matriks \(B\) dengan berdasarkan aturan sarrus dan kupu-kupu kita peroleh :

$$\begin{aligned}\text{det}(B)&=b_{11}b_{22}b_{33}+b_{12}b_{23}b_{31}+b_{13}b_{21}b_{32}-b_{13}b_{22}b_{31}-b_{11}b_{23}b_{32}-b_{12}b_{21}b_{33}\\&=b_{11}(-1)^{1+1}\left({b_{22}b_{33}-b_{23}b_{32}}\right)+b_{12}(-1)^{1+2}\left({b_{21}b_{33}-b_{23}b_{31}}\right)+b_{13}(-1)^{1+3}\left({b_{21}b_{32}-b_{22}b_{31}}\right)\\&=b_{11}(-1)^{1+1}\left|{\begin{array}{cc}b_{22}&b_{23}\\b_{32}&b_{33}\end{array}}\right|+b_{12}(-1)^{1+2}\left|{\begin{array}{cc}b_{21}&b_{23}\\b_{31}&b_{33}\end{array}}\right|+b_{13}(-1)^{1+3}\left|{\begin{array}{cc}b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{array}}\right|\end{aligned}$$

Dari pernyataan di atas bahwa determinan matriks \(B\) dapat dicari dengan menggunakan determinan matriks yang lebih kecil, begitu pula pada matriks \(A\).

Kemudian pada contoh di atas tanpa kita sadari, juga telah menerapkan konsep kofaktor, untuk lebih jelasnya, berikut definisi kofaktor :

Definisi Kofaktor : Jika \(A_{n\times n}=\left[{a_{ij}}\right]\) maka kofaktor dari \(a_{ij}\) dapat lambangkan \(C_{ij}\) dan \(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\), dengan \(M_{ij}\) menyatakan minor dari \(a_{ij}\) dan \(M_{ij}\) adalah determinan dari submatriks \(A\) yang diperoleh dengan mencoret semua entri pada baris ke-\(i\) dan semua entri pada kolom ke-\(j\).

Baca juga : Definisi Fungsi Determinan dengan Perkalian Elementer

Contoh 1 :

Tentukan minor dan kofaktor dari entri \(a_{12}, a_{31}\) dan \(a_{23}\) pada matriks \(A\) berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&-1&1\\1&0&-1\\2&-2&0\end{array}}\right]$$

Penyelesaian :

Menghitung Minor Matriks Persegi

Minor \(a_{12}\) diperoleh dengan cara mencoret semua entri pada baris ke-\(1\) dan semua entri pada kolom ke-\(2\), kemudian dihitung determinannya :

$$M_{12}=\left|{\begin{array}{cc}1&-1\\2&0\end{array}}\right|=(1)(0)-(-1)(2)=2$$

dan kofaktor dari \(a_{12}\) adalah :

$$C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\times 2=-2$$

Dengan cara yang sama kita cari minor dan kofaktor dari \(a_{31}\) dan \(a_{23}\).

$$M_{31}=\left|{\begin{array}{cc}-1&1\\0&-1\end{array}}\right|=1~\text{sehingga}~C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=1$$

dan

$$M_{23}=\left|{\begin{array}{cc}2&-1\\2&-2\end{array}}\right|=-2~\text{sehingga}~C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=2$$

Selanjutnya kita akan menghitung determinan suatu matriks persegi dengan menerapkan konsep ekspansi kofaktor.

Menghitung Determinan dengan Metode Ekspansi Kofaktor

Determinan dari matriks \(A_{n\times n}=\left[{a_{ij}}\right]~\forall~i,j =\{1,2,3,\dots,n\}\) dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris atau dalam suatu kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Kemudian menjumlahkan semua hasil-hasil kali yang dihasilkan, atau dapat ditulis :

$$\text{det}(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\dots+a_{in}C_{in}$$

(Karena baris ke-\(i\) menjadi acuan, maka disebut juga ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-\(i\))

$$\text{det}(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\dots+a_{nj}C_{in}$$

(Karena kolom ke-\(j\) menjadi acuan, maka disebut juga ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-\(j\))

Contoh 2 :

Didefinisikan matriks \(A\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}3&0&-2\\2&5&1\\-1&3&1\end{array}}\right]$$

Dengan metode ekspansi kofaktor tentukan determinan matriks \(A\).

Penyelesaian :

Tips : pilih baris atau kolom yang mengandung banyak unsur/entri nol agar perhitungan menjadi lebih mudah.

Kita pilih baris pertama (\(a_{12}=0\)) sehingga kita dapat tuliskan :

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}\\&=a_{11}C_{11}+a_{13}C_{13}\dots(*)\end{aligned}$$

Kemudian kita cari nilai dari masing-masing kofaktor :

$$M_{11}=\left|{\begin{array}{cc}5&1\\3&1\end{array}}\right|=2~\Rightarrow~C_{11}=(-1)^{1+1}(2)=2$$
$$M_{13}=\left|{\begin{array}{cc}2&5\\-1&3\end{array}}\right|=11~\Rightarrow~C_{13}=(-1)^{1+3}(11)=11$$

Sehingga jika kita subtitusikan ke persamaan \((*)\) akan diperoleh :

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}C_{11}+a_{13}C_{13}\\&=3(2)+(-2)(11)\\&=-16\end{aligned}$$

Baca juga : Alasan Metode Sarrus Hanya Berlaku pada Matriks 3×3

Kelebihan Metode Ekspansi Kofaktor

1. Dapat diterapkan pada matriks persegi 2×2 atau lebih.

Jika metode sarrus terbatas pada ordo \(3 \times 3\) maka untuk menghitung determinan dengan ordo yang lebih tinggi \((4\times 4, 5\times5,\dots,n\times n)\) dapat menggunakan metode ekspansi kofaktor.

Kenapa dimulai dari matriks 2×2 ?

Hal ini karena pada matriks 1×1 dalam mencari determinannya cukup menggunakan definisi saja, dimana jika terdapat matriks \(A_{1\times1}=\left[a_{11}\right]\) maka determinannya adalah \(\text{det}(A)=a_{11}\).

2. Efektif untuk yang suka perhitungan manual dan secara teoritis.

Hal ini didapat dari perbandingan dengan metode lainnya seperti aturan sarrus dan reduksi baris, dimana masing-masing mempunyai kelebihan tersendiri. Ekspansi kofaktor juga sekaligus dapat melatih ketahanan dalam berhitung, kita ambil contoh pada saat mencari determinan \(A_{5\times 5}\) maka kita akan menemukan determinan dari submatriks dari \(A\) yang berukuran \(4 \times 4\), dimana determinan dari submatriks tersebut kita hitung juga dengan ekspansi kofaktor sehingga akan ditemukan determinan submatriks dari submatriks \(A\) yang berukuran \(3 \times 3\) dan seterusnya.

Asalkan paham konsep dari ekspansi kofaktor dan mempunyai hitungan yang tepat maka metode ekspansi kofaktor akan efektif dilakukan.

3. Konsep kofaktor berguna untuk mencari invers matriks.

Pada saat duduk dibangku SMA pasti sudah mengenal rumus mencari invers berikut :

$$A_{n\times n}^{-1}=\frac{\text{Adjoin}(A)}{\text{det}(A)}$$

Pada persamaan tersebut terdapat Adjoin\((A)\) yang didefinisikan sebagai transpose matriks kofaktor dari \(A\) dapat kita tuliskan :

$$\text{Matriks kofaktor A}=\left[{\begin{array}{cccc}C_{11}&C_{12}&\dots&C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\dots&C_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\C_{n1}&C_{n2}&\dots&C_{nn}\end{array}}\right]$$

Maka :

$$\text{Adjoin}(A)=\left[{\begin{array}{cccc}C_{11}&C_{21}&\dots&C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\dots&C_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\C_{1n}&C_{2n}&\dots&C_{nn}\end{array}}\right]$$

Dari kenyataan tersebut, jelas bahwa konsep kofaktor dapat dimanfaatkan untuk mencari invers matriks. Sehingga tidak ada salahnya mempelajari ekspansi kofaktor, namun disamping itu metode ekspansi kofaktor menurut penulis masih terdapat kekurangan.

Kekurangan Metode Ekspansi Kofaktor

Menurut penulis metode ekspansi kofaktor dalam segi kecepatan masih kurang jika dibandingkan dengan metode campuran yaitu gabungan dari macam-macam metode(sarrus, kupu-kupu, ekspansi kofaktor, reduksi baris dan lainnya) yang dipadukan dengan sifat-sifat determinan.

Pada postingan ini kita tidak akan membahas mengenai metode reduksi baris. Sehingga sekarang untuk membuktikan argumen tersebut, saya asumsikan kita sudah memahami metode reduksi baris.

Contoh 3 :

Misalkan kita akan menghitung determinan matriks \(A\) sebagai berikut :

$$\text{det}(A)=\left|{\begin{array}{cccc}1&4&5&-2\\2&7&2&1\\1&6&4&-1\\-3&3&1&2\end{array}}\right|$$

Kita akan mereduksi matriks tersebut dengan mengenakan operasi baris elementer :

  • \(-2R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\)
  • \(-R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)
  • \(3R_{1}+R_{4}\rightarrow R_{4}\)

secara berturut-turut sehingga kita peroleh :

$$\text{det}(A)=\left|{\begin{array}{cccc}1&4&5&-2\\0&-1&-8&5\\0&2&-1&1\\0&15&16&-4\end{array}}\right|$$

Nah, selanjutnya kita kenakan metode ekspansi kofaktor, kita pilih entri-entri pada kolom pertama dimana \(a_{11}=1\) dan \(a_{21}=a_{31}=a_{41}=0\).

$$\begin{aligned}\text{det}(A)&=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}+a_{41}C_{41}\\&=C_{11}\end{aligned}$$

Dengan aturan sarrus kita peroleh :

$$\begin{aligned}M_{11}&=\left|{\begin{array}{cccc}-1&-8&5\\2&-1&1\\15&16&-4\end{array}}\right|\\&=(-1)(-1)(-4)+(-8)(1)(15)+(5)(2)(16)-(5)(-1)(15)-(-1)(1)(16)-(-8)(2)(-4)\\&=63\end{aligned}$$

Sehingga kita peroleh :

$$\text{det}(A)=C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=(1)63=63$$

Jadi dengan menggunakan metode campuran akan lebih efektif, namun kita dituntut untuk sekreatif mungkin untuk menyusun alur perhitungan yang termudah.

Definisi Fungsi Determinan dengan Perkalian Elementer

Aljabar Linear, Determinan, Matematika, Matematika Lanjutan, Matriks·
Cover Fungsi Determinan Matriks

Fungsi Determinan / Determinan Matriks

Pada umumnya kita sering melihat fungsi-fungsi seperti \(f(x)=x^2+2x+1\) yang memetakan \((x)\) bilangan real ke bilangan real \(f(x)\). Dari hal tersebut, kemudian para matematikawan mulai melakukan penelitian untuk mencari fungsi yang mengasosiasikan suatu matriks \(X\) dengan bilangan real \(f(x)\). Sehingga munculah fungsi determinan yang nantinya dapat diterapkan dalam mencari invers matriks.

Seki Kowa atau Seki Takakazu adalah matematikawan asal jepang yang pertama kali menemukan determinan, namun masih terbatas pada ordo \(2\times 2\) dan \(3 \times 3\). Akan tetapi muridnya yaitu Laplace berhasil menemukan determinan untuk matriks dengan ordo yang lebih tinggi. Sedangkan istilah “Determinan” pertama kali digunakan oleh Gauss dalam buku berjudul Disquistiones Arithmeticae.

Definisi Fungsi Determinan

Jika \(A\) adalah matriks persegi maka determinan dari matriks \(A\) dapat ditulis \(\text{det}(A)\) atau \(\left|{A}\right|\) yang didefinisikan sebagai jumlahan semua hasil perkalian elementer bertanda dari \(A\).

Lalu apa itu hasil perkalian elementer bertanda?

Eits.. Sebelumnya kita harus mengetahui konsep permutasi terlebih dahulu, karena secara tak langsung merupakan hal penting yang berhubungan dengan hasil perkalian elementer atau bisa dikatakan pondasi dasarnya.

Konsep Permutasi

Pada saat kita duduk dibangku sekolah menengah atas (SMA), kita sudah dikenalkan apa itu permutasi beserta contohnya.

Nah sekarang kita akan sedikit mengulasnya kembali, dimulai dari definisi permutasi hingga pengembangannya.

Baca juga : Konsep Gabungan Matriks Elementer dan OBE untuk Mencari Invers

Definisi 1 (Apa itu permutasi?)

Permutasi dari himpunan bilangan bulat positif \(\{1,2,\dots,n\}\) adalah susunan bilangan-bilangan bulat ini dengan suatu aturan “tanpa menghilangkan” atau “tanpa mengulangi” bilangan-bilangan tersebut.

Contoh 1

Didefinisikan himpunan bilangan-bilangan bulat sebagai berikut :

$$\{1,2,4,5\}$$

Tentukan permutasi dari himpunan di atas?

Penyelesaian :

Ingat tujuan kita adalah mencari susunan berbeda dari bilangan-bilangan bulat pada himpunan di atas tanpa mengulangi dan menghilangkan bilangan-bilangan itu. Salah satu susunannya adalah \((4, 1, 5, 2)\) sedangkan susunan \((2,2,1,5)\) tidak termasuk, karena mengulangi unsur yakni angka \(2\). Lalu bagaimana caranya kita mencari semua susunan yang lainnya?

Untuk mempermudah mencarinya, kita akan menggunakan Pohon Permutasi.

Wah.. semakin menarik ada pohon di matematika. Untuk caranya, perhatikan langkah-langkah berikut :

Langkah 1 :

Kita mulai dari unsur pertama dari kanan yakni angka \(1\). kemudian kita letakkan angka \(1\) di dalam biji pohon.

Langkah ke 1 - Pohon Permutasi

Langkah 2 :

Unsur atau bilangan selain yang ada didalam lingkaran yaitu \(2, 4\) dan \(5\) (ada \(3\) bilangan maka kita dapat \(3\) cabang baru). Kemudian setiap cabang kita isikan secara berturut-turut angka \(2, 4\) dan \(5\).

Langkah ke 2 - Pohon Permutasi

Langkah 3 :

Perhatikan pada cabang pertama (dari kiri) unsur paling atas adalah angka \(2\) sedangkan di bawahnya angka \(1\). Sehingga unsur yang belum ada pada cabang pertama adalah angka \(4\) dan \(5\) (ada \(2\) bilangan maka kita dapat \(2\) anak cabang pada cabang pertama). Kemudian setiap anak cabang pertama kita isikan secara berturut-turut angka \(4\) dan \(5\).

Langkah ke 3 - Pohon Permutasi

Langkah 4 :

Kita lakukan hal yang sama pada cabang kedua dan ketiga, sehingga kita peroleh :

Langkah ke 4 - Pohon Permutasi

Langkah 5 :

Kita buat anak cabang lagi pada ujung cabang yang sudah ada, dan kenapa harus buat lagi? Kita ambil contoh salah satu cabang (merah), jelas bahwa bilangan yang terhubung dengan cabang merah yakni angka \(1, 2\) dan \(4\) karena permutasi dari \((1,2,4,5)\) terdiri dari \(4\) unsur maka haruslah membuat \(1\) anak cabang lagi pada cabang merah dan pada ujung anak cabang merah kita isikan angka \(5\) (selain \(1, 2\) dan \(4\)). Kemudian tidak lupa kita lakukan hal yang sama pada cabang-cabang lainnya.

Langkah ke 5 - Pohon Permutasi

Langkah 6 :

Ingat karena himpunan pada soal memiliki \(4\) unsur/bilangan maka juga akan mempunyai \(4\) pohon permutasi. Sehingga dengan menerapkan cara yang sama dari langkah-\(1\) sampai langkah ke-\(4\) kita peroleh \(3\) pohon lainnya.

Langkah ke 6 - Pohon Permutasi
Langkah ke 6 - Pohon Permutasi (Bagian 2)

Langkah 7 :

Selanjutnya kita nyatakan setiap ranting pada pohon sebagai suatu susunan, berikut caranya :

Langkah ke 7 - Pohon Permutasi

Jadi dari 4 pohon kita dapatkan 24 susunan sebagai berikut :

Pohon ke \(1\)Pohon ke \(2\)Pohon ke \(3\)Pohon ke \(4\)
\((1,2,4,5)\)\((2,1,4,5)\)\((4,1,2,5)\)\((5,1,2,4)\)
\((1,2,5,4)\)\((2,1,5,4)\)\((4,1,5,2)\)\((5,1,4,2)\)
\((1,4,2,5)\)\((2,4,1,5)\)\((4,2,1,5)\)\((5,2,1,4)\)
\((1,4,5,2)\)\((2,4,5,1)\)\((4,2,5,1)\)\((5,2,4,1)\)
\((1,5,2,4)\)\((2,5,1,4)\)\((4,5,1,2)\)\((5,4,1,2)\)
\((1,5,4,2)\)\((2,5,4,1)\)\((4,5,2,1)\)\((5,4,2,1)\)
Catatan

Pada umumnya terdapat cara praktis untuk mencari “banyaknya permutasi/susunan” dari beberapa unsur dalam suatu himpunan yaitu dengan menggunakan Filling Slot (Metode Pengisian Tempat).

Misalkan terdapat himpunan dengan \(k\) unsur, maka kita dapat mencari banyaknya permutasi dari himpunan tersebut dengan mendefinisikan sebuah “ruang” yang terdiri dari \(k\) slot (ada sebanyak \(k\) bagian) sebagai berikut :

$$\left({\boxed{~^~}_{1},\boxed{~^~}_{2},\dots,\boxed{~^~}_{k}}\right)$$

\(\boxed{~^~}_{i}\) menyatakan banyaknya kemungkinan unsur yang menempati slot/kotak ke-\(i\) dengan \(i=\{1,2,\dots,k\}\). Sehingga kita dapat menghitung banyaknya permutasi dengan rumus :

$$\text{Banyaknya permutasi} = \boxed{~^~}_{1}\times\boxed{~^~}_{2}\times\dots\times\boxed{~^~}_{k}$$

Kita coba terapkan metode ini untuk mencari banyaknya permutasi pada contoh \(1\) yang mempunyai himpunan \(\{1,2,4,5\}\).

Pertama kita buat ruang dengan \(4\) kotak mengingat himpunan tersebut mempunyai 4 unsur.

$$\left({\boxed{~^~}_{1},\boxed{~^~}_{2},\boxed{~^~}_{3},\boxed{~^~}_{4}}\right)$$

Banyaknya kemungkinan unsur untuk menempati kotak ke-\(1\) ada \(4\) kemungkinan yaitu \(1,2,4\) atau \(5\). Kemudian banyaknya kemungkinan kotak ke-\(2\) ada \(3\) kemungkinan, mengingat satu unsur telah ditempatkan pada kotak ke-\(1\) begitu pula untuk kotak ke-\(3\) dan ke-\(4\) berturut-turut mempunyai \(2\) dan \(1\) kemungkinan, Sehingga kita dapat mencari banyaknya permutasi :

Banyaknya permutasi = \(\boxed{4}_{1}\times\boxed{3}_{2}\times\boxed{2}_{3}\times\boxed{1}_{4}=24\) buah.

Baca juga :Definisi Matriks Elementer dan Sifatnya

Definisi 2 (Apa itu inversi?)

Misalkan didefinisikan \((p_{1}, p_{2},\dots,p_{k})\) sebagai permutasi dari himpunan dengan \(k\) unsur bilangan bulat. Contohnya jika kita punya himpunan \(\{1,2,3\}\) maka salah satu permutasinya adalah \((3,1,2)\) dengan \(p_{1}=3, p_{2}=1\) dan \(p_{3}=2\).

Dalam permutasi \((p_{1}, p_{2},\dots,p_{k})\), dikatakan terjadi sebuah inversi (inversion) apabila sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan bulat yang lebih kecil, atau dapat kita katakan terjadi inversi jika terdapat \(p_{i}>p_{j}\) dengan \(i<j\) dan \(i,j \in \{1,2,\dots,k\}\).

Contoh 2

Tentukan banyaknya inversi dalam permutasi \((4,1,2,0,5)\) ?

Penyelesaian :

Pertama kita cermati banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil daripada \(p_{1} = 4\), dapat kita lihat jelas terdapat \(3\) bilangan yang lebih kecil yakni \(p_{2}=1, p_{3}=2\) dan \(p_{4}=0\).

Langkah kedua kita lakukan hal yang sama untuk \(p_{2}=1, p_{3}=2, p_{4}=0\) dan \(p_{5}=5\), kemudian jumlahkan seluruh inversinya. Lebih jelasnya perhatikan tabel berikut :

UnsurLebih Besar DariJumlah
\(p_{1}=4\)\(p_{2}, p_{3}, p_{4}\)4
\(p_{2}=1\)\(p_{4}\)1
\(p_{3}=2\)\(p_{4}\)1
\(p_{4}=0\)Tidak ada0
\(p_{5}=5\)Tidak ada0
Banyaknya Inversi 6

Definisi 3 (Permutasi Genap dan Ganjil)

Sebuah permutasi \((p_{1}, p_{2},\dots,p_{k})\) dinamakan permutasi genap (even) jika jumlah inversi dalam permutasi tersebut genap. Sebaliknya, sebuah permutasi dinamakan ganjil (odd) jika jumlah inversi dalam permutasi tersebut ganjil.

Contoh 3

Permutasi \((2,5,0,3)\) adalah permutasi ganjil karena banyaknya inversi \(1 + 2 + 0 + 0 = 3\) (ganjil)

Definisi Hasil Perkalian Elementer

A matriks persegi \(n \times n\) dan kita tuliskan sebagai berikut:

$$A=\left[{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{array}}\right]$$

Maka hasil perkalian elementer dari matriks A adalah hasil perkalian elemen-elemen pada A yang letaknya sebaris atau sekolom. Semisal \(A=[a_{ij}]_{3 \times 3}\) maka salah satu hasil perkalian elementernya yaitu \(a_{12}a_{23}a_{32}\).

Lalu bagaimana cara mencari semua hasil perkalian elementer?

Untuk lebih jelasnya simak contoh berikut :

Contoh 4

Didefinisikan matriks persegi \(A\) dengan ordo \(3 \times 3\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}}\right]$$

Tentukan semua hasil perkalian elementernya.

Penyelesaian :

Karena matriks A mempunyai ordo \(3 \times 3\) maka kita tuliskan bentuk acuan perkalian elementernya sebagai perkalian \(3\) elemen pada matriks A yakni \(a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}a_{3p_{3}}\). Kemudian kita ganti tanda \(p_{1}, p_{2}\) dan \(p_{3}\) dengan seluruh permutasi dari \((1,2,3)\). Kenapa 1, 2 dan 3? karena kotak \(p_{1}, p_{2}\) dan \(p_{3}\) mewakili urutan kolom dan banyaknya kolom pada matriks A ada \(3\), yaitu kolom ke-\(1, 2\) dan \(3\). Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel di bawah ini :

Permutasi \((1,2,3)\)Ubah \(a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}a_{3p_{3}}\)
\((1,2,3)\)\(a_{11}a_{22}a_{33}\)
\((1,3,2)\)\(a_{11}a_{23}a_{32}\)
\((2,1,3)\)\(a_{12}a_{21}a_{33}\)
\((2,3,1)\)\(a_{12}a_{23}a_{31}\)
\((3,1,2)\)\(a_{13}a_{21}a_{32}\)
\((3,2,1)\)\(a_{13}a_{22}a_{31}\)

Catatan

Apabila matriks \(A\) berordo \(n\times n\), maka seluruh hasil perkalian elementer dalam matriks ada sebanyak \(n!\). Karena banyaknya hasil kali elementer sama dengan banyaknya permutasi dari \((p_{1}, p_{2},\dots,p_{n})\) yaitu dengan menggunakan metode filling slot didapat banyaknya permutasi = \(n(n-1)\dots (2)(1)= n!\).

Baca juga : Sistem Persamaan Linear Homogen dan Sifatnya

Hasil Perkalian Elementer Bertanda untuk Mencari Determinan

Sedikit berbeda dari sebelumnya, hasil perkalian elementer bertanda dari matriks \(A\) persegi yang berordo \(n \times n\) adalah hasil perkalian elementer \(a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\dots a_{np_{n}}\) yang dikalikan dengan \(+1\) jika permutasinya genap dan dikalikan dengan \(-1\) jika permutasinya ganjil.

Contoh 5

Berdasarkan contoh \(4\) tentukan semua hasil perkalian elementer bertandanya.

Penyelesaian :

Untuk mempermudah mencari hasil perkalian elementer bertanda, kita kembangkan tabel pada contoh \(4\) sehingga :

PermutasiInversiHasil Perkalian Elementer Bertanda
\((1,2,3)\)0\(+a_{11}a_{22}a_{33}\)
\((1,3,2)\)1\(-a_{11}a_{23}a_{32}\)
\((2,1,3)\)1\(-a_{12}a_{21}a_{33}\)
\((2,3,1)\)2\(+a_{12}a_{23}a_{31}\)
\((3,1,2)\)2\(+a_{13}a_{21}a_{32}\)
\((3,2,1)\)3\(-a_{13}a_{22}a_{31}\)

Lalu apa hubungannya dengan fungsi determinan?

Jadi jika \(A\) adalah matriks persegi yang berordo \(n\times n\) maka Determinan/Fungsi Determinan didefinisikan sebagai jumlahan semua hasil perkalian elementer bertanda dari matriks \(A\). Atau bisa ditulis :

$$\text{det}(A)=\sum \pm a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\dots a_{np_{n}}$$

Contoh 6

Diberikan matriks \(A\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}-1&1&0\\0&2&1\\2&-2&-1\end{array}}\right]$$

Tentukan determinan dari matriks \(A\) tersebut.

Penyelesaian :

Berhubung pada contoh 5, matriks A berordo \(3 \times 3\) sudah dicari semua hasil perkalian elementer bertandanya maka kita peroleh :

$$\text{det}(A)=\sum \pm a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}a_{3p_{3}}$$

$$\text{det}(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$$

$$\text{det}(A)=(-1)(2)(-1)+(1)(1)(2)+(0)(0)(-2)-(-1)(1)(-2)-(1)(0)(-1)-(0)(2)(2)$$

$$\text{det}(A)=2+2+0-2-0-0=2$$

Sebenarnya terdapat metode yang lebih praktis dalam mencari determinan matriks \(A\), yaitu dengan Metode Sarrus.