Tag: Definisi Matriks

Definisi Matriks Elementer dan Sifatnya

Aljabar Linear, Matematika, Matematika Lanjutan, Matriks, Matriks Elementer·

Definisi dan Sifat dari Matriks Elementer

Definisi Matriks Elementer

Matriks elementer adalah matriks persegi \(n \times n\) yang dinyatakan sebagai hasil matriks satuan \(n \times n\) yang dikenakan sebuah operasi baris elementer.

Lalu bagaimana cara membentuk matriks elementer ?

Mengingat kembali dalam Operasi Baris Elementer (OBE) terdapat 3 operasi dasar, sehingga kita peroleh 3 cara untuk membuat matriks elementer yaitu :

  1. Dengan operasi mempertukarkan dua baris pada matriks satuan, dinotasikan : \(R_{i} \leftrightarrow R_{j}\)

    Contoh :

    Misalkan kita punya matriks satuan \(I_{3 \times 3}\) dan kita akan menggunakan operasi \(R_{1} \leftrightarrow R_{3}\), sehingga kita dapatkan matriks elementer (merah) :

    $$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\rightarrow\color{red}{\left[{\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}}\right]}$$

  2. Mengalikan sebuah baris dengan konstanta/skalar, selama skalar bukan nol, dinotasikan : \(kR_{i} \rightarrow R_{1}\)

    Contoh :

    Jika kita punya matriks \(I_{2 \times 2}\) dan dikenakan operasi \(-\frac{\sqrt{3}}{2}R_{2} \rightarrow R_{2}\) maka kita peroleh matriks elementer sebagai berikut :

    $$\left[{\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right]\rightarrow\color{red}{\left[{\begin{array}{cc}1&0\\0&-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}}\right]}$$

  3. Menambahkan kelipatan dari suatu baris dengan baris lain, dinotasikan : \(kR_{1} +R_{j} \rightarrow R_{j}\)

    Contoh :

    Jika matriks satuan \(I_{4 \times 4}\) dikenakan operasi \(\pi R_{2} +R_{3} \rightarrow R_{3}\) maka akan diperoleh :

    $$\left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]\rightarrow\color{red}{\left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&\pi&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]}$$

Setelah mengetahui definisi dan bentuk matriks elementer selanjutnya kita akan mempelajari sifat-sifatnya melalui teorema-teorema berikut. Catatan : Untuk selanjutnya untuk penamaan matriks elementer kita akan menggunakan simbol \(E\).

Teorema 1

Misalkan \(E\) adalah matriks elementer yang dibentuk dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tertentu pada \(I_{n\times n}\) (matriks satuan). Jika operasi baris elementer yang sama dikenakan pada sebarang matriks \(A_{n\times m}\) maka hasilnya sama dengan hasil kali \(EA\).

Contoh penerapan dari teorema 1 :

Misalkan didefinisikan matriks \(A\) dan \(E\) sebagai berikut :

$$A=\left[{\begin{array}{cccc}2&-4&7&1\\3&-1&0&1\\-3&2&5&0\end{array}}\right]$$

$$I_{3\times 3} \xrightarrow[ ]{3R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}} E=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]$$

Kita akan mengecek kebenaran teorema 1 dari contoh ini. Apakah benar :

$$A \xrightarrow[ ]{3R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}} EA$$

Untuk pernyataan di atas, dengan operasi perkalian antar matriks kita dapatkan :

$$EA=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cccc}2&-4&7&1\\3&-1&0&1\\-3&2&5&0\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccc}-7&2&22&1\\3&-1&0&1\\-3&2&5&0\end{array}}\right]\dots(i)$$

Kemudian kita kenakan matriks \(A\) dengan OBE yang sama \(3R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}\) sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{cccc}2&-4&7&1\\3&-1&0&1\\-3&2&5&0\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{cccc}-7&2&22&1\\3&-1&0&1\\-3&2&5&0\end{array}}\right]\dots(ii)$$

Dari persamaan \((i)\) dan \((ii)\), ditarik kesimpulan bila kita mengenakan OBE \(3R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}\) pada matriks A maka hasilnya akan sama dengan hasil kali \(EA\). Jadi pernyataan \(A \xrightarrow[ ]{3R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{1}} EA\) bernilai benar.

Tambahan

Mari kita berpikir bersama, sebuah OBE yang dikenakan pada matriks satuan \(I\) dapat menghasilkan matriks elementer \(E\).

Lalu apakah ada OBE yang jika dikenakan pada matriks \(E\) akan menghasilkan matriks satuan \(I\) ?

Jawabannya adalah ada!

Misalkan jika \(E\) kita peroleh dengan menukarkan baris ke-\(i\) dengan baris ke-\(j\) pada \(I\), maka kita dapat mencari matriks \(I\) jika kita menukarkan baris ke-\(j\) dengan baris ke-\(i\) pada \(E\).

Untuk operasi lainnya simak tabel berikut :

OBE pada \(I\) yang menghasilkan \(E\)OBE pada \(E\) yang menghasilkan \(I\)
Mempertukarkan baris ke-\(i\) dengan baris ke-\(j\), dinotasikan : \(R_{i} \leftrightarrow R_{j}\)Mempertukarkan baris ke-\(j\) dengan baris ke-\(i\), dinotasikan : \(R_{j} \leftrightarrow R_{i}\)
Mengalikan baris ke-\(i\) dengan skalar \(k\), \(k\neq 0\) dan dinotasikan : \(kR_{i} \rightarrow R_{i}\)Mengalikan baris ke-\(i\) dengan skalar \(\frac{1}{k}\), dinotasikan : \(\frac{1}{k}R_{i} \rightarrow R_{i}\)
Menambahkan hasil kali baris ke-\(i\) dengan skalar \(k\) ke baris ke-\(j\), dinotasikan : \(kR_{i} +R_{j}\rightarrow R_{j}\)Menambahkan hasil kali baris ke-\(j\) dengan skalar \(-k\) ke baris ke-\(i\), dinotasikan : \(-kR_{j} +R_{i}\rightarrow R_{i}\)

Operasi-operasi pada ruas kanan tabel di atas dinamakan operasi invers. Lalu apa kegunaan dari operasi tersebut?

Operasi tersebut berguna untuk mencari invers dari suatu matriks dengan menggunakan matriks elementer. Namun kita tidak akan membahasnya di postingan ini. Untuk teorema selanjutnya juga tidak kalah penting dari teorema matriks elementer yang pertama.

Teorema 2

Setiap matriks elementer adalah invertible (dapat dibalik / mempunyai invers) dan inversnya adalah juga matriks elementer.

Maksud dari teorema 2 adalah ketika ada matriks elementer \(E_{1}\) yang dihasilkan dengan memperagakan sebuah OBE (kita namakan operasi *) pada \(I\). Kemudian kita gunakan operasi invers–nya (kita namakan operasi **) pada matriks satuan \(I\) maka akan menghasilkan matriks elementer \(E_{2}\) mengingat operasi invers pada pembahasan saat ini juga merupakan operasi baris elementer.

Sehingga berdasarkan teorema 1 maka jika matriks \(E_{1}\) dikalikan dengan \(E_{2}\) maka diperoleh :

$$E_{1}E_{2}=1\dots(i)$$

Gambaran secara kasarnya yaitu efek operasi (*) akan dikenakan pada matriks \(E_{2}\) sehingga operasi (*) dan operasi (**) akan bertemu dan saling “meniadakan” dan menyisakan matriks satuan \(I\).

Kemudian dengan cara yang sama jika kita mengalikan matriks \(E_{2}\) dengan \(E_{1}\) maka juga diperoleh :

$$E_{1}E_{2}=1\dots(ii)$$

Berdasarkan sifat invers pada matriks yaitu jika \(AB =BA =I\) maka matriks \(B = A^{-1}\) atau \(A = B^{-1}\).

Sehingga berdasarkan persamaan \((i)\) dan \((ii)\) maka didapat \(E_{1}E_{2} =E_{2}E_{1} =I\) dan \(E_{1} = E_{2}^{-1}\) atau \(E_{2} = E_{1}^{-1}\). Jadi benar bahwa matriks elementer dapat dibalik dan inversnya juga merupakan matriks elementer.

Contoh :

Misalkan didefinisikan matriks elementer \(E_{1}\) dan \(E_{2}\) sebagai berikut.

$$I_{3\times 3} \xrightarrow[ ]{2R_{2}\rightarrow R_{2}} E_{1}=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{array}}\right]$$
$$I_{3\times 3} \xrightarrow[ ]{\frac{1}{2}R_{2}\rightarrow R_{2}} E_{2}=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\end{array}}\right]$$

Kemudian kita kalikan keduanya sehingga didapat :

$$E_{1}E_{2}=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]$$

dan dengan cara yang sama juga diperoleh :

$$E_{2}E_{1}=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]$$

Jadi didapat \(E_{1}E_{2} =E_{2}E_{1} =I\) dan berdasarkan sifat invers pada matriks maka \(E_{1} = E_{2}^{-1}\) atau \(E_{2} = E_{1}^{-1}\).

Selanjutnya disarankan membaca : Penerapan Matriks Elementer dan Metode Mencari Invers yang Lebih Ringkas

Karena jika biasanya dalam mencari invers suatu matriks perlu mencari determinan lalu mencari transpose matriks adjoint dan seterusnya. Apalagi jika invers yang dicari dari matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang banyak pasti akan repot.

Definisi Matriks dan Jenis-Jenisnya

Aljabar Linear, Matematika, Matematika Lanjutan, Matriks, Sistem Persamaan Linear dan Matriks·

Cover Matriks Profematika

Definisi Matriks

Definisi : Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan atau fungsi. Bilangan-bilangan atau fungsi dalam susunan tersebut dinamakan entri / elemen dan diapit oleh dua kurung siku.

Lambang matriks menggunakan huruf-huruf besar \(( A, B, C, \dots)\), sedangkan entri (elemen) menggunakan huruf-huruf kecil \(( a, b, c, \dots)\).

Contoh :

$$ A = \left[{\begin{array}{cccc} 9&6&-1&0\end{array}}\right] , B = \left[{\begin{array}{cc} \sqrt[3]{2}&\pi\\0,7&\frac{1}{4}\\-1031&-6\end{array}}\right] , C = \left[{\begin{array}{cc} x^3 -1&\tan{x}\\log_{3}(x+1)&2^x\end{array}}\right]$$

Pada contoh matriks \(A\) dan \(B\) elemen matriks berupa bilangan-bilangan riil, sedangkan matriks \(C\) elemennya berupa fungsi peubah (variabel) \(x\).

Seperti pada contoh tersebut, ukuran  matriks bermacam-macam besarnya. Ukuran matriks yang biasa ditulis \(\text{banyak baris}~\times~\text{banyak kolom}\) disebut ordo. Ordo matriks menyatakan banyaknya baris (horisontal) dan banyaknya kolom (vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut. Sehingga karena matriks \(A\) mempunyai 1 baris dan 4 kolom maka ordonya adalah \(1 \times 4\). Begitu pula untuk matriks \(B\) dan \(C\) memiliki ordo berturut-turut yaitu \(3 \times 2\) dan \(2 \times 2\). Catatan : Tanda \(\times\) pada ukuran (ordo) menyatakan tanda pemisah.

Bentuk Umum Matriks : 

Misalkan \(A\) adalah sebuah matriks, maka kita dapat memisalkan  \(a_{ij}\) untuk menyatakan elemen yang terdapat didalam baris ke-\(i\) dan kolom ke-\(j\) dari matriks \(A\). Sehingga jika matriks A memiliki ordo \(m \times n\) maka dapat ditulis sebagai berikut.

$$A = \left[{\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{array}}\right] $$

atau \(A = [a_{ij}]_{m \times n}\).

Pelajari juga : Operasi Matriks dan Sifat-Sifatnya

Jenis-Jenis Matriks

Terdapat 10 jenis matriks yang penting dipelajari yaitu :

  1. Matriks Persegi

    Matriks Persegi atau Bujursangkar, yaitu matriks yang mempunyai banyak garis dan kolom yang sama banyak. Di dalam matriks persegi juga terdapat diagonal utama, yaitu bagian matriks yang mempunyai elemen-elemen dengan nomor baris sama dengan nomor kolom. Untuk lebih jelasnya seperti contoh berikut.

    $$B= \left[{\begin{array}{ccc} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}}\right]$$

    Pada matriks \(B\) di atas mempunyai ordo \(3 \times 3\) dan juga mempunyai diagonal utama dengan elemen-elemen di dalamnya adalah \(\{b_{11},b_{22},b_{33}\}\).

  2. Matriks Segitiga Atas

    Matriks Segitiga Atas, yaitu matriks persegi yang mempunyai elemen-elemen di bawah diagonal utama bernilai nol.

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{ccc} 0&5&-2\\0&-8&1\\0&0&4\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{cc} 2&3\\0&-9\end{array}}\right]$$

  3. Matriks Segitiga Bawah

    Matriks Segitiga Bawah, yaitu matriks persegi yang mempunyai elemen-elemen di atas diagonal utama bernilai nol.

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{ccc} 7&0&0\\4&1&0\\5&-5&0\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{cccc} 2&0&0&0\\-4&3&0&0\\1&10&2&0\\14&0&2&1\end{array}}\right]$$

  4. Matriks Diagonal

    Matriks Diagonal, yaitu matriks persegi yang mempunyai elemen-elemen di luar diagonal utama bernilai nol.

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{cc} 6&0\\0&-1\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{ccc} 7&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}}\right]~,~C= \left[{\begin{array}{cccc} 2&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&2&0\\14&0&0&1\end{array}}\right]$$

    Matriks \(A\) dan \(B\) merupakan matriks diagonal, sedangkan matriks \(C\) bukan matrik diagonal karena mempunyai elemen di luar diagonal utama yang bernilai tidak sama dengan nol, yakni 14.

  5. Matriks Satuan

    Matriks Satuan atau Matriks Identitas, yaitu matriks diagonal yang mempunyai elemen-elemen pada diagonal utama bernilai satu. Matriks Satuan bisa ditulis : \(I_{n \times n}\), dimana \(n\) menyatakan banyak garis dan banyak kolom dari matriks satuan tersebut.

    Contoh :

    $$I_{2 \times 2}= \left[{\begin{array}{cc} 1&0\\0&1\end{array}}\right]~,~I_{3 \times 3}= \left[{\begin{array}{ccc} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]~,~I_{4 \times 4}= \left[{\begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]$$

  6. Matriks Skalar

    Matriks Skalar, yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utama bernilai sama dan tidak sama dengan nol.

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{ccc} 2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{cc} 12&0\\0&12\end{array}}\right]$$

    Bentuk umum matriks skalar dengan skalar \(c\) :

    $$A= \left[{\begin{array}{cccc} c&0&\dots&0\\0&c&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&\dots&c\end{array}}\right]~,~c\neq 0$$

  7. Matriks Nol

    Matriks Nol, yaitu matriks yang semua elemennya bernilai nol. Matriks nol bisa disimbolkan dengan \(O_{m \times n}\) dengan \(m~dan~ n\) berturut-turut menyatakan banyaknya baris dan kolom matriks tersebut.

    Contoh :

    $$O_{2 \times 2}= \left[{\begin{array}{cc} 0&0\\0&0\end{array}}\right]~,~O_{3 \times 1}= \left[{\begin{array}{c} 0\\0\\0\end{array}}\right]~,~O_{2 \times 4}= \left[{\begin{array}{cccc} 0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right]$$

  8. Matriks Invers

    Matriks Invers, sebuah matriks \(A\) mempunyai invers jika terdapat matriks (misalkan \(B\)) sehingga memenuhi \(AB=BA=I\). Penulisan invers matriks \(B\) dinyatakan oleh \(A^{-1}\). Untuk pembahasan lebih lanjut mengenai invers matriks akan dibahas dipostingan lain.

    Contoh : Misalkan matriks \(A\) berordo \(2 \times 2\), akan digunakan rumus untuk mencari invers seperti dibawah ini.

    $$A= \left[{\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}}\right]~,~maka~A^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\left[{\begin{array}{cc} d&-b\\-c&a\end{array}}\right]$$

  9. Matriks Simetris

    Matriks Simetris, yaitu suatu matriks persegi yang apabila ditransposkan akan menghasilkan matriks semula. Misalkan \(A\) adalah matriks persegi. Matriks A dikatakan simetris jika dan hanya jika \(A=A^T\).

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{ccc} 1&4&0\\4&2&-5\\0&-5&3\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{cccc} \sqrt[3]{2}&-4&1&14\\-4&0&10&0\\1&10&-1&\pi\\14&0&\pi&1\end{array}}\right]$$

    Dari matriks \(A\) dan \(B\) terlihat jelas bahwa elemen-elemen pada diagonal utama berperan sebagai sumbu pencerminan. Sehingga apabila terdapat elemen dengan nomor baris ke-\(i\) dan kolom baris ke-\(j\) dicerminkan, maka bayangan dari pencerminan akan sama dengan elemen dengan nomor baris ke-\(j\) dan nomor kolom ke-\(i\), atau dapat ditulis \(a_{ij} = a_{ji}\).

  10. Matriks Skew Simetris

    Matriks Skew Simetris (Anti Simetri), yaitu suatu matriks persegi yang apabila ditransposkan akan sama dengan negatif dari matriks semula. Misalkan \(A\) adalah matriks persegi. Matriks \(A\) dikatakan skew simetris jika dan hanya jika \(A^T=-A\). Syarat lainnya yaitu semua elemen yang berada di diagonal utama bernilai nol.

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{ccc} 0&4&0\\-4&0&5\\0&-5&0\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{cccc} 0&-4&1&14\\4&0&10&0\\-1&-10&0&-\pi\\-14&0&\pi&0\end{array}}\right]$$

    Dari contoh tersebut matriks \(A~dan~B\) mempunyai sumbu pencerminan yakni elemen-elemen yang ada pada diagonal utama. Sehingga apabila terdapat elemen dengan nomor baris ke-\(i\) dan kolom baris ke-\(j\) dicerminkan, maka bayangan dari pencerminan akan sama dengan negatif elemen dengan nomor baris ke-\(j\) dan nomor kolom ke-\(i\), atau dapat ditulis \(a_{ij} = -a_{ji}\).

Selanjutnya direkomendasikan mempelajari : Operasi Matriks dan Sifat-Sifatnya