Eliminasi Gauss Jordan beserta Contoh Penerapannya

Eliminasi Gauss Jordan

Siapa itu Gauss dan Jordan ?

Carl Friedrich Gauss
Sumber : https://www.britannica.com/biography/Carl-Friedrich-Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Jerman yang mempunyai julukan “Prince of Mathematics”. Dia juga yang menemukan eliminasi gauss yang kemudian disempurnakan menjadi eliminasi gauss-jordan. Baca lebih lengkap mengenai Eliminasi Gauss dan Contoh Penerapannya.

Camille Jordan
Sumber : https://en.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan

Camille Jordan (1838-1922) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Prancis yang juga seorang profesor di Ecole polytechnique, Paris. Konstribusinya didalam teori matriks dan terkenal dengan teorema buatannya, yaitu Teorema Kurva Jordan yang ditulis dalam bukunya yang berjudul Cours d’Analyse.

Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah prosedur pemecahan sistem persamaan linear dengan mengubahnya menjadi bentuk matriks eselon baris tereduksi dengan Operasi Baris Elementer.

Perhatikan ilutrasi berikut :

Ilustrasi Eliminasi Gauss Jordan

Lalu apa itu eselon baris tereduksi?

Bentuk Eselon Baris Tereduksi

Matriks Eselon Baris Tereduksi adalah sebuah bentuk matriks eselon baris yang lebih disederhanakan yang bertujuan agar lebih mudah dalam pencarian pemecahan (solusi) dari suatu sistem persamaan .

Agar mencapai bentuk eselon baris tereduksi diperlukan 4 sifat yang terdiri 3 sifat bentuk eselon baris dan 1 sifat khusus.

Berikut 4 sifat agar terbentuk eselon baris tereduksi :

  1. Jika suatu baris yang semua elemennya tidak nol semua, maka bilangan tidak nol pertama dalam baris tersebut adalah 1. Bisa kita sebut dengan 1 utama/pertama.
  2. Jika terdapat baris yang semuanya elemennya bernilai nol, maka semua baris yang seperti itu harus dikelompokkan dan diletakkan  di bawah matriks.
  3. Setiap dua baris yang berurutan yang memenuhi sifat ke-1, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah letaknya harus lebih kekanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.

    Berikut contoh matriks eselon baris yang memenuhi ketiga sifat di atas :

    $$A=\left[{\begin{array}{ccccc}0&1&0&0&5\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&-2\end{array}}\right],~C=\left[{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}}\right]$$

    Di materi sebelumnya tentang eliminasi gauss sudah dijelaskan secara lebih jelas dan runtut mengenai Bentuk Eselon Baris (3 sifat diatas) dan disertai contoh yang menarik. Jadi disarankan membaca dulu materi tentang Eliminasi Gauss.

  4. Sifat ke-4 ini merupakan sifat khusus yaitu setiap kolom yang mengandung 1 utama maka elemen-elemen lain selain 1 utama bernilai nol.

    Berikut contoh matriks eselon baris tereduksi yang memenuhi keempat syarat di atas :

    $$A=\left[{\begin{array}{cccc}0&\color{red}{1}&1&\color{blue}{0}\\0&\color{red}{0}&0&\color{blue}{1}\\0&\color{red}{0}&0&\color{blue}{0}\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}\color{red}{1}&\color{blue}{0}&\color{green}{0}\\\color{red}{0}&\color{blue}{1}&\color{green}{0}\\\color{red}{0}&\color{blue}{0}&\color{green}{1}\end{array}}\right],~C=\left[{\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}}\right]$$

Setelah memahami bentuk eselon baris tereduksi selanjutnya kita akan mencoba memecahkan sistem persamaan linear dengan eliminasi gauss-jordan yakni dengan cara merepresentasikan kedalam  matriks kemudian mengubahnya kebentuk eselon baris tereduksi.

Penerapan Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi gauss-jordan akan lebih terasa bermanfaat jika sistem persamaan linear tersebut terdiri dari banyak persamaan dan variabel, semisal sistem tersebut mempunyai 5 persamaan dan 5 variabel di dalamnya. Selain itu, eliminasi gauss dan eliminasi gauss-jordan juga dapat diterapkan pada sistem persamaan taklinear tertentu (lihat pada contoh ke-2).

Sebenarnya pemecahan SPL dengan metode eliminasi gauss-jordan sudah diterapkan pada postingan sebelumnnya, yaitu pada materi Pemecahan SPL dengan Operasi Baris Elementer yang mana terdapat 3 contoh unik (solusi tunggal, banyak solusi dan tidak punya solusi). Ketiga contoh tersebut dikerjakan dengan prosedur eliminasi gauss-jordan yang dilakukan secara jelas dan runtut.

Sehingga sekarang agar lebih menarik kita akan mencoba variasi soal yang lebih unik.

Contoh 1 (Linear)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

\(x+2y-3z=4\)
\(3x-y+5z=2\)
\(4x+y+(k^2 -14)z=k+2\)

Tentukan nilai \(k\) agar SPL di atas :

  1. Tidak mempunyai penyelesaian;
  2. Tepat mempunyai satu penyelesaian;
  3. Mempunyai tak hingga banyak penyelesaian;

Penyelesaian :

Pertama kita representasikan sistem persamaan linear tersebut kedalam bentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\3&-1&5\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\2\\k+2\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Karena pada baris pertama sudah terdapat 1 utama, kita akan menyederhanakan baris ke-2 dengan operasi \(-3R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\), sehingga diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\3&-1&5\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\2\\k+2\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k+2\end{array}}\right]$$

Kemudian dilanjut penyederhanaan pada baris ke-3 dengan operasi \(-4R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\), didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k+2\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k-14\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita buat 1 utama pada baris ke-2 dengan operasi \(-\frac{1}{7}R_{2} \rightarrow R_{2}\) dan kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k-14\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-14\end{array}}\right]$$

Selanjutnya kita sederhanakan baris ke-3 dengan operasi \(7R_{2} +R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-14\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&0&k^2 – 16\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-4\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Karena tujuan kita akan mengidentifikasi nilai \(k\), maka kita cukup fokus pada baris ke-3. apabila diubah kembali kedalam bentuk sistem persamaan linear maka :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&0&k^2 – 16\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-4\end{array}}\right]\rightarrow \begin{array}{c}x+2y-3z=4\\y-2z=\frac{10}{7}\\(k^2 -16)z=k-4\end{array}$$

Perhatikan pada persamaan ketiga :

$$(k^2 – 16)z = k-4$$

$$\Leftrightarrow (k-4)(k+4)z=k-4$$

$$\Leftrightarrow (k-4)(k+4)z -(k-4)=0$$

$$\Leftrightarrow (k-4)((k+4)z -1)=0$$

Kita bagi menjadi 2 kasus :

Kasus 1

Jika \(k-4=0\) atau \(k=4\) maka jika disubstitusikan ke persamaan ke-3 diperoleh :

$$0(8z-1)=0$$

Mengingat sifat sembarang bilangan jika dikalikan nol akan bernilai nol maka nilai dari \(8z-1\) mempunyai tak hingga kemungkinan. Dapat dimisalkan \(n=8z-1\) atau \(8z=n+1\Leftrightarrow z=\frac{n+1}{8}\) untuk sembarang bilangan \(n\). Akibatnya sistem persamaan linear tersebut mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian.

Kasus 2

Jika \((k+4)z-1= 0\) maka :

$$(k+4)z =1$$

$$\Leftrightarrow z=\frac{1}{k+4},~\text{dengan}~k\neq -4$$

Dari persamaan di atas, sistem tersebut akan konsisten (mempunyai solusi baik tunggal ataupun banyak) jika nilai dari \(k \neq -4 \). Dari pernyataan-pernyataan di atas dan sebelumnya, jika kita menginginkan sistem tersebut mempunyai solusi tunggal maka haruslah \(k\neq \{-4,4\}\). Sedangkan jika menginginkan sistem tersebut tidak mempunyai solusi maka haruslah \(k=-4\).

Kesimpulan

  1. SPL tersebut akan tidak mempunyai solusi jika \(k=-4\)
  2. SPL tersebut akan mempunyai tak hingga solusi jika \(k=4\)
  3. SPL tersebut akan mempunyai solusi tunggal jika \(k\neq \{-4,4\}\)

Contoh 2 (Tak Linear)

Untuk membedakan sistem persamaan linear dengan sistem persamaan tak linear, bisa baca kembali Penjelasan Mengenai SIstem Persamaan Linear.

Tentukan pemecahan sistem persamaan tak linear untuk sudut-sudut yang tak diketahui \(\alpha, \beta, \gamma\)

\(2\sin{\alpha} – \cos{\beta} + 3\tan{\gamma} = 3\)
\(4\sin{\alpha} + 2\cos{\beta} – 2\tan{\gamma} = 2\)
\(6\sin{\alpha} – 3\cos{\beta} + \tan{\gamma} = 9\)

Dengan \(0 \leq \alpha \leq 2\pi,~0 \leq \beta \leq 2\pi,\) dan \(0 \leq \gamma < \pi,~\).

Penyelesaian :

Kalau kita perhatikan bentuk sistem persamaan tak linear di atas tidak beda jauh dengan sistem persamaan linear yang biasa kita kenal, sehingga jika kita representasikan kedalam bentuk matriks akan diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&-1&3\\4&2&-2\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}3\\2\\9\end{array}}\right]$$

Kita akan menggunakan eliminasi gauss-jordan untuk memecahkan sistem tersebut.

Langkah 1

Kita buat 1 utama pada baris pertama dengan operasi \(\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}\) sehingga didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&-1&3\\4&2&-2\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}3\\2\\9\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\4&2&-2\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\2\\9\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita sederhanakan baris ke-2 dengan operasi \(-4R_{1} +R_{2} \rightarrow R_{2}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\4&2&-2\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\2\\9\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&4&-8\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-4\\9\end{array}}\right]$$

Kemudian kita sederhanakan juga baris ke-3 dengan operasi \(-6R_{1} +R_{3} \rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&4&-8\\6&-3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-4\\9\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&4&-8\\0&0&-8\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-4\\0\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Kita buat 1 utama untuk baris ke-2 dengan cara menggunakan operasi \(\frac{1}{4}R_{2}\rightarrow R_{2}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&4&-8\\0&0&-8\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-4\\0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&1&-2\\0&0&-8\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-1\\0\end{array}}\right]$$

Sekalian kita buat 1 utama dengan operasi \(-\frac{1}{8}R_{3} \rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&1&-2\\0&0&-8\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-1\\0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-1\\0\end{array}}\right]$$

Langkah 4

Jika kita perhatikan bentuk terakhir matriks di atas sudah memenuhi bentuk eselon baris, selanjutnya kita akan mengubahnya menjadi eselon baris tereduksi.

Kita sederhanakan lagi baris ke-1 dengan operasi \(\frac{1}{2}R_{2}+R_{1} \rightarrow R_{1}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\-1\\0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&0&\frac{1}{2}\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right]$$

Dilanjut dengan operasi \(-\frac{1}{2}R_{3} +R_{1} \rightarrow R_{1}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&\frac{1}{2}\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right] \rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right]$$

Begitu pula untuk baris ke-2 kita sederhanakan lagi dengan operasi \(2R_{3} +R_{2} \rightarrow R_{2}\) sehingga diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right] \rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right]$$

Bentuk terkahir sudah memenuhi bentuk eselon tereduksi, kemudian selanjutnya kita nyatakan kembali kedalam sistem persamaan tak linear sebagai berikut.

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}}\right] \rightarrow \begin{array}{c}\sin{\alpha}=1\\\cos{\beta}=-1\\\tan{\gamma}=0\end{array}$$

Untuk persamaan pertama :

\(\sin{\alpha}=1\)

Dengan \(0\leq \alpha \leq 2\pi\), maka nilai \(\alpha\) yang memenuhi adalah \(\alpha = 90^{\circ}\). Sedangkan untuk persamaan \(\cos{\beta}=-1\) dan \(\tan{\gamma}=0\) nilai \(\beta\) dan \(\gamma\) yang memenuhi yaitu berturut-turut \(180^{\circ}\) dan \(0^{\circ}\)mengingat \(0 \leq \beta \leq 2\pi,~0 \leq \gamma < \pi\). Dan kita telah selesai.

Eliminasi Gauss dan Contoh Penerapannya

Eliminasi Gauss

Siapa itu Gauss?

 

Carl Friedrich Gauss
Sumber : https://www.britannica.com/biography/Carl-Friedrich-Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Jerman yang mempunyai kontribusi besar didalam bidang geometri, teori bilangan, teori fungsi dan teori probabilitas. Dia menemukan cara untuk menghitung lintasan asteroid, membuat penemuan dasar di dalam teori potensial (bidang elektromagnetik), dan orang pertama yang menggunakan telegraf (1833). Karena konstribusinya itu, dia mempunyai julukan “Prince of Mathematics”.

\(\text{Disarankan sudah membaca :}\)

Eliminasi Gauss

Eliminasi gauss ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss, metode ini dapat dimanfaatkan untuk memecahkan sistem persamaan linear dengan merepresentasikan (mengubah) menjadi bentuk matriks, matriks tersebut lalu diubah kebentuk Eselon Baris melalui Operasi Baris Elementer. Kemudian sistem diselesaikan dengan substitusi balik.

Lalu apa itu eselon baris? dan bagaimana bentuknya?

Bentuk Eselon Baris

Suatu matriks memiliki bentuk eselon baris jika memenuhi 3 kriteria berikut :

  1. Jika didalam baris terdapat elemen-elemen yang tidak semuanya nol, maka bilangan tak nol pertama di dalam baris tersebut adalah 1.

    Contoh : (Perhatikan setiap baris pada matriks berikut)

    $$\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{1}&\color{red}{4}&\color{red}{0}&\color{red}{2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{-1}&\color{blue}{2}\\\color{green}{0}&\color{green}{0}&\color{green}{0}&\color{green}{1}\end{array}\right]$$

    Dari matriks diatas baris merah dan baris hijau memenuhi kriteria pertama, karena elemen-elemen pada baris merah atau hijau tidak semuanya nol dan bilangan (elemen) bukan nol pertama (dari kiri) di dalam baris tersebut adalah 1. Sedangkan pada baris biru tidak memenuhi kriteria pertama sebab bilangan (elemen) bukan nol pertama (dari kiri) bukan bernilai 1, melainkan bernilai -1.

  2. Nah kalau ada baris-baris yang semua elemennya  bernilai 0 semua, maka baris-baris tersebut harus dikelompokkan dan diletakkan dibagian bawah matriks.

    Contoh :

    $$\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{-1}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\end{array}\right],~\left[\begin{array}{ccc}\color{blue}{-2}&\color{blue}{3}&\color{blue}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-1}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}\end{array}\right]$$

    Dari contoh diatas, matriks dengan elemen berwarna biru memenuhi kriteria kedua sebab terdapat baris yang semua elemennya 0 dan baris tersebut diletakkan di bagian bawah matriks. Sedangkan pada matriks berwarna merah, masih belum memenuhi kriteria kedua, sebab walaupun terdapat baris dengan elemen-elemennya 0, namun baris-baris tersebut tidak dikelompokkan dan tidak diletakkan di bagian bawah matriks tersebut. Pada matriks merah agar memenuhi kriteria kedua seharusnya :

    $$\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{-1}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{0}\end{array}\right]$$

  3. Jika terdapat dua baris berurutan yang memenuhi kriteria pertama, maka angka 1 (pertama/utama) dari baris yang lebih rendah berada lebih kekanan dari angka 1(pertama/utama) baris yang diatasnya.

    Contoh :

    $$\left[\begin{array}{cccc}\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{1}&\color{green}{2}\\\color{green}{0}&\color{green}{0}&\color{green}{1}&\color{green}{1}\\\color{green}{0}&\color{green}{0}&\color{green}{0}&\color{green}{0}\end{array}\right],~\left[\begin{array}{ccc}\color{blue}{1}&\color{blue}{3}&\color{blue}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-1}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-3}\end{array}\right]$$

    Pada matriks hijau sudah memenuhi kriteria ketiga, karena jelas angka 1 pertama (dari kiri) pada baris yang lebih rendah letaknya lebih kekanan dari angka 1 pertama dari baris yang diatasnya.

    Syarat Bentuk Eselon Baris

    Sedangkan pada matriks biru belum memenuhi sebab terdapat dua baris berurutan yang melanggar kriteria ketiga yaitu baris ke 2 dan 3. Dimana angka 1 pertama baris ketiga terletak tepat di bawah angka 1 pertama baris kedua.

    Syarat Bentuk Eselon Baris

Setelah memahami ketiga kriteria (syarat) dari bentuk eselon baris. Berikut contoh matriks yang mempunyai bentuk eselon baris (memenuhi ketiga kriteria sekaligus).

$$\left[\begin{array}{ccc}1&-1&2\\0&1&9 \\0&0&1\end{array}\right],~\left[\begin{array}{cccc}1&5&1&0\\0&0&1&0 \\0&0&0&0\end{array}\right],~\left[\begin{array}{ccccc}0&1&2&0&0\\0&0&1&0&0 \\0&0&0&0&1\end{array}\right]$$

Selanjutnya kita akan menerapkan metode eliminasi gauss dan subtitusi balik untuk memecahkan suatu sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer. Disarankan sudah memahami penggunaan operasi baris elementer untuk pemecahan sistem persamaan linear.

Pemecahan SPL dengan Eliminasi Gauss

Ilustrasi Eliminasi Gauss

Gambaran diatas merupakan ilustrasi proses pemecahan Sistem Persamaan Linear (SPL), dimana urutan langkah-langkahnya dinamakan “Eliminasi Gauss” dan operasi yang dilakukan dinamakan “Operasi Baris Elementer (OBE)” dimana eliminasi gauss ini bertujuan membentuk Eselon Baris.

Catatan : Pada proses pemecahan dengan metode eliminasi gauss pada umumnya memiliki macam-macam jalur atau alur operasi yang dilakukan, misalkan pada langkah awal bisa saja kita menemukan beberapa operasi alternatif dan kita bebas memilihnya. Karena terdapat banyak jalur atau alur operasinya maka jika anda mencoba dengan jalur lain (tidak seperti di contoh) kemungkinan anda akan menemukan bentuk sistem/matriks yang berbeda. Namun jangan khawatir selama operasi yang dilakukan menggunakan Operasi Baris Elementer dan dilakukan secara teliti, maka solusi(pemecahan) yang didapat akan sama dan itu merupakan hal yang wajar.

Contoh 1 (Solusi Tunggal)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

\(2x+5y+3z =1\)
\(3x+4y+2z=-3\)
\(x+3y+z=2\)

Perintah : Tentukan pemecahan sistem persamaan linear di atas dengan  metode eliminasi gauss.

Penyelesaian :

Mula-mula kita representasikan sistem tersebut kedalam bentuk matriks.

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&5&3\\3&4&2\\1&3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-3\\2\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Kita akan membuat 1 pertama pada baris pertama dengan beberapa pilihan operasi :

  1. Kita bisa menukar baris ke-1 dengan baris ke-3, dinotasikan \(R_{1} \leftrightarrow R_{3}\)
  2. Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil kali baris ke-1 dengan \(\frac{1}{2}\) dinotasikan : \(\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}\)

Dari dua pilihan diatas kita bebas memilihnya, namun kita akan menggunakan pilihan yang pertama yaitu \(R_{1} \leftrightarrow R_{3}\) sehingga didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&5&3\\3&4&2\\1&3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-3\\2\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\3&4&2\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-3\\1\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Selanjutnya kita akan menyederhanakan bentuk baris ke-2 dan ke-3 sekaligus yaitu dengan operasi \(-3R_{1}+R_{2}\leftarrow R_{2}\) sehingga didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\3&4&2\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-3\\1\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\1\end{array}}\right]$$

Kemudian dilanjut dengan operasi \(-2R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)

\(\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\1\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\-3\end{array}}\right]\)

Langkah 3

Kita akan membuat 1 pertama pada baris kedua dengan operasi \(-6R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}\) dan diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-3\end{array}}\right]$$

Langkah 4

Kita akan menyederhanakan lagi baris ke-3 dengan operasi \(1R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\6\end{array}}\right]$$

Langkah 5

Selanjutnya kita akan membentuk 1 pertama pada baris ke-3 dengan operasi \(-\frac{1}{6}R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\6\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-1\end{array}}\right]$$

Dari matriks terakhir tersebut sudah memenuhi ketiga kriteria bentuk eselon baris. Selanjutnya tinggal mengubahnya kembali menjadi sistem persamaan linear :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-1\end{array}}\right]\rightarrow \begin{array}{c}x+3y+z=2\dots\text{(1)}\\y-7z=9\dots\text{(2)}\\z=-1\dots\text{(3)}\end{array}$$

Kita dapat memulai dengan mensubstitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) sehingga didapat :

$$y-7z=9$$

$$\Leftrightarrow y=9+7z=9+7(-1)=2$$

Kemudian nilai dari \(y\) dan \(z\) juga kita substitusikan ke persamaan (1) dan kita dapatkan :

$$x+3y+z=2$$

$$\Leftrightarrow x=2-3y-z$$

$$\Leftrightarrow x=2-3(2)-(-1)=-3$$

Jadi didapat solusi tunggal yaitu \(x=-3, y=2\) dan \(z=-1\).

Contoh 2 (Banyak Solusi)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

\(2x+10y+4z =-2\)
\(x+4y+5z=-3\)
\(3x+15y+6z=-3\)

Perintah : Tentukan pemecahan sistem persamaan linear di atas dengan  metode eliminasi gauss.

Penyelesaian :

Kita representasikan kedalam bentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&10&4\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-2\\-3\\-3\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Kita buat 1 pertama pada baris pertama dengan pilihan :

  1. Dengan menukar baris ke-1 dengan baris ke-2, dinotasikan : \(R_{1} \leftrightarrow R_{2} \)
  2. Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil kali baris ke-1 dengan \(\frac{1}{2}\), dinotasikan : \(\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}\)

Kita pilih opsi kedua yaitu menggunakan operasi \(\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}\) sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}2&10&4\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-2\\-3\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-3\\-3\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Kita sederhanakan baris ke-2 dengan operasi \(-1R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-3\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\-3\end{array}}\right]$$

Dilanjut penyederhanaan baris ke-3 dengan operasi \(-3R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\-3\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\0\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Kita buat 1 pertama pada baris ke-2 dengan operasi \(-1R_{2}\rightarrow R_{2}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&1&-3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\2\\0\end{array}}\right]$$

Matriks terakhir sudah memenuhi bentuk eselon baris sehingga selanjutnya menggunakan metode substitusi balik, namun sebelumnya kita harus mengubahnya kembali menjadi bentuk sistem persamaan linear.

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&1&-3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\2\\0\end{array}}\right]\rightarrow\begin{array}{c}x+5y+2z=-1\dots(1)\\y-3z=2\dots(2)\end{array}$$

Perhatikan persamaan (2) :

$$y-3z=2\Leftrightarrow y=2+3z$$

Subtitusikan ke persamaan (1) dan diperoleh :

$$x+5y+2z=-1$$

$$\Leftrightarrow x=-1-5y-2z$$

$$\Leftrightarrow x=-1-5(2+3z)-2z$$

$$\Leftrightarrow x=-1-10-15z-2z$$

$$\Leftrightarrow x=-11-17z$$

Jelaslah pemecahannya banyak karena nilai dari \(z\) sendiri mempunyai tak terhingga banyaknya kemungkinan. Jadi himpunan penyelesaiannya yaitu :

$$\text{HP}=\{(x,y,z)\mid x=-11-17z,~y=2+3z,~\forall~\text{sebarang bilangan}~z\}$$

Contoh 3 (Tidak Punya Solusi)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

\(3x+12y+15z=6\)
\(2x+8y+10z=-6\)
\(4x+5y-6z =-2\)

Perintah : Tentukan pemecahan (bila ada) dari sistem persamaan linear di atas dengan  metode eliminasi gauss.

Penyelesaian :

Seperti biasa kita representasikan dulu ke dalam bentuk matriks.

$$\left[{\begin{array}{ccc}3&12&15\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}6\\-6\\-2\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Kita buat 1 pertama pada baris pertama dengan operasi \(\frac{1}{3}R_{1} \rightarrow R_{1}\)

$$\left[{\begin{array}{ccc}3&12&15\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}6\\-6\\-2\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-6\\-2\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Selanjutnya kita sederhanakan baris ke-2 dengan operasi \(-2R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\) dan diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-6\\-2\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\0&0&0\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-10\\-2\end{array}}\right]$$

Perhatikan matriks terakhir diatas, kita coba ubah kembali menjadi bentuk sistem persamaan linear.

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\0&0&0\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-10\\-2\end{array}}\right]\rightarrow\begin{array}{c}x+4y+5z=2\dots(1)\\(0)x+(0)y+(0)z=-10\dots(2)\\4x+5y-6z=-2\dots(3)\end{array}$$

Kita tahu untuk sembarang bilangan \(x, y, z\) bila dikalikan 0 akan menghasilkan 0 sehingga :

$$(0)x+(0)y+(0)z =0$$

Karena kontradiksi (berlawanan) dengan pernyataan persamaan (2), akibatnya persamaan (2) tidak mempunyai solusi. Karena persamaan (2) bagian dari sistem persamaan linear tersebut maka sistem persamaan linear tersebut juga tidak punya solusi.

Mengingat kembali jika sistem persamaan linear awal (pada soal) dikenakan operasi baris elementer maka akan menghasilkan sistem persamaan linear baru yang memiliki pemecahan yang sama. Baca kembali : Pemecahan Sistem Persamaan Linear dengan Operasi Baris Elementer.

Sehingga jika sistem persamaan linear baru tidak mempunyai solusi maka sistem persamaan linear awal (pada soal) juga tidak mempunyai solusi.

\(\text{Selanjutnya :}\) Eliminasi Gauss Jordan dan Contoh Penerapannya

Pemecahan SPL dengan Operasi Baris Elementer

cover sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer

Pemecahan SPL dengan Operasi Baris Elementer

Ilustrasi Operasi Baris Elementer

Ilustrasi di atas menunjukkan tujuan pemecahan dengan OBE yaitu membentuk sistem baru atau merubah matriks kedalam salah satu bentuk yang paling sederhana agar mudah dipecahkan. Perlu diketahui dalam proses perubahan tersebut, mempunyai urutan operasi yang bermacam-macam, sehingga memungkin juga diperoleh sistem/matriks yang berbeda, namun mempunyai himpuan penyelesaian yang sama.

Disarankan sudah membaca :Pengenalan Operasi Baris Elementer

Contoh 1 (Solusi Tunggal)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

\(\color{red}{L_{1}~:~3x -y +z=4}\)
\(\color{blue}{L_{2}~:~-2x+2y +3z  =11}\)
\(\color{green}{L_{3}~:~x +3y -2z=1}\)

Carilah pemecahan sistem persamaan linear tersebut dengan operasi baris elementer.

Penyelesaian :

Pertama kita representasikan sistem persamaan linear tersebut ke dalam bentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{3}&\color{red}{-1}&\color{red}{1}\\\color{blue}{-2}&\color{blue}{2}&\color{blue}{3}\\\color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{4}\\\color{blue}{11}\\\color{green}{1}\end{array}}\right]$$

Perhatikan ilustrasi perubahan bentuk matriks berikut, yang dapat dijadikan acuan untuk menetukan langkah-langkah operasinya :

ilustrasi operasi baris elementer

Langkah 1

Untuk mempermudah kita akan membentuk menjadi :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\?&?&?\\?&?&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Agar pada elemen baris ke-1 kolom ke-1 muncul angka satu terdapat 3 pilihan cara  :

  1. Dengan menukarkan baris ke-1 dengan baris ke-3 \((R_{1}\leftrightarrow R_{3})\)
  2. Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil kali baris ke-1 dengan \(\frac{1}{3}\) dinotasikan : \(\frac{1}{3}R_{1} \rightarrow R_{1}\)
  3. Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil penjumlahan antara (hasil kali baris ke-2 dengan angka 1) dan (baris ke-1) dinotasikan : \((1)R_{2}+R_{1}\rightarrow R_{1}\)

Kita bebas memilih ketiga cara tersebut namun kita akan menggunakan cara ke-1. Sehingga jika kita kenakan operasi \((R_{1}\leftrightarrow R_{3})\), akan diperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{3}&\color{red}{-1}&\color{red}{1}\\\color{blue}{-2}&\color{blue}{2}&\color{blue}{3}\\\color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{4}\\\color{blue}{11}\\\color{green}{1}\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{-2}&\color{blue}{2}&\color{blue}{3}\\\color{red}{3}&\color{red}{-1}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{11}\\\color{red}{4}\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Sebagai acuan kita bisa membentuk matriks seperti ilustrasi berikut :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\0&?&?\\?&?&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Maka kita dapat menggunakan operasi \(2R_{1}+R_{2} \rightarrow R_{2}\). sehingga menjadi :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{-2}&\color{blue}{2}&\color{blue}{3}\\\color{red}{3}&\color{red}{-1}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{11}\\\color{red}{4}\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{8}&\color{blue}{-1}\\\color{red}{3}&\color{red}{-1}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{13}\\\color{red}{4}\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Tujuan kita membentuk :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\0&?&?\\0&?&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Untuk membentuknya kita gunakan operasi \(-3R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\),

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{8}&\color{blue}{-1}\\\color{red}{3}&\color{red}{-1}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{13}\\\color{red}{4}\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{8}&\color{blue}{-1}\\\color{red}{0}&\color{red}{-10}&\color{red}{7}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{13}\\\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 4

Tujuan membentuk matriks :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\0&1&?\\0&?&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Dengan menggunakan operasi \(\frac{1}{8}R_{2} \rightarrow R_{2}\) maka didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{8}&\color{blue}{-1}\\\color{red}{0}&\color{red}{-10}&\color{red}{7}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{13}\\\color{red}{1}\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{-10}&\color{red}{7}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{1}\end{array}}\right]$$

Langkah 5

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\0&1&?\\0&0&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Dengan menggunakan operasi \(10R_{2} +R_{3} \rightarrow R_{3}\) sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{-10}&\color{red}{7}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{1}\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{\frac{46}{8}}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{\frac{138}{8}}\end{array}}\right]$$

Langkah 6

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\0&1&?\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Operasikan \(\frac{8}{46}R_{3} \rightarrow R_{3}\), maka kita dapatkan :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{\frac{46}{8}}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{\frac{138}{8}}\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]$$

Langkah 7

Bentuk acuan :

\(\left[{\begin{array}{ccc}1&0&?\\0&1&?\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]\)

Kita gunakan operasi \(-3R_{2}+ R_{1}\rightarrow R_{1}\) untuk memperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{3}&\color{green}{-2}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{0}&\color{green}{-\frac{13}{8}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{-\frac{31}{8}}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]$$

Langkah 8

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&?\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Selanjutnya kita operasikan \(\frac{1}{8}R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}\) untuk membentuk :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{0}&\color{green}{-\frac{13}{8}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{-\frac{1}{8}}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{-\frac{31}{8}}\\\color{blue}{\frac{13}{8}}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{0}&\color{green}{-\frac{13}{8}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{-\frac{31}{8}}\\\color{blue}{2}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]$$

Langkah 9

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\\?\end{array}}\right]$$

Langkah terakhir dengan mengoperasikan \(\frac{13}{8}R_{3} +R_{1} \rightarrow R_{1}\) dan kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{0}&\color{green}{-\frac{13}{8}}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{-\frac{31}{8}}\\\color{blue}{2}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{0}&\color{green}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{2}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]$$

Dari hasil diatas jelaslah didapat pemecahan :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{0}&\color{green}{0}\\\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{1}\\\color{blue}{2}\\\color{red}{3}\end{array}}\right]\rightarrow \begin{array}{ccc}x&&&=&1\\&y&&=&2\\&&z&=&3 \end{array}$$

Jadi pemecahan (solusi) dari sistem persamaan linear tersebut adalah \(x=1,y=2,z=3\) (solusi tunggal). Lalu bagaimana jika sistem tersebut mempunyai banyak solusi atau tidak mempunyai solusi?

Mari kita lihat contoh lain dimana pemecahannya tidak tunggal (banyak solusi).

Contoh 2 (Banyak Solusi)

Baca juga : Sistem Persamaan Linear Secara Umum

Didefinisikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

\(6x_{1} -3x_{2}+2x_{3}=4\)
\(-5x_{1}+x_{2}+7x_{3}=5\)

Tentukan solusi dari sistem tersebut dengan menggunakan operasi baris elementer.

Penyelesaian :

Kita representasikan kedalam bentuk matriks, sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}6&-3&2\\-5&1&7\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\5\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\?&?&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\end{array}}\right]$$

Untuk merubahnya kita bisa menggunakan 2 cara :

  1. Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil kali baris ke-1 dengan \(\frac{1}{6}\) atau dapat kita notasikan : \(\frac{1}{6}R_{1} \rightarrow R_{1}\)
  2. Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil penjumlahan antara baris-1 dan ( hasil perkalian baris ke-2 dengan angka 1 ). Atau dapat dinotasikan : \((1)R_{2}+R_{1} \rightarrow R_{1}\)

Kita bebas memilih salah satu dari dua cara diatas, namun disini kita akan menggunakan cara ke-2 yaitu dengan operasi \((1)R_{2}+R_{1} \rightarrow R_{1}\), sehingga kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}6&-3&2\\-5&1&7\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\5\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-2&9\\-5&1&7\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}9\\5\end{array}}\right]$$

Langkah 2

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\0&?&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\end{array}}\right]$$

Kita kenakan operasi \(5R_{1} +R_{2} \rightarrow R_{2}\) untuk memperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-2&9\\-5&1&7\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}9\\5\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-2&9\\0&-9&52\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}9\\50\end{array}}\right]$$

Langkah 3

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&?&?\\0&1&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\end{array}}\right]$$

Untuk mengubahnya kita bisa menggunakan operasi \(-\frac{1}{9}R_{2} \rightarrow R_{2}\) sehingga didapat :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-2&9\\0&-9&52\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}9\\50\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&-2&9\\0&1&-\frac{52}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}9\\-\frac{50}{9}\end{array}}\right]$$

Langkah 4

Bentuk acuan :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&?\\0&1&?\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}?\\?\end{array}}\right]$$

Langkah terakhir dengan menggunakan operasi \(2R_{2} +R_{1}\rightarrow R_{1}\), untuk memperoleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&-2&9\\0&1&-\frac{52}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}9\\-\frac{50}{9}\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{23}{9}\\0&1&-\frac{52}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-\frac{19}{9}\\-\frac{50}{9}\end{array}}\right]$$

Dari bentuk terkahir dapat juga ditulis:

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{23}{9}\\0&1&-\frac{52}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-\frac{19}{9}\\-\frac{50}{9}\end{array}}\right]\rightarrow \begin{array}{c}x_{1}-\frac{23}{9}x_{3}=-\frac{19}{9}\\x_{2}-\frac{52}{9}x_{3}=-\frac{50}{9}\end{array}$$

Atau untuk sebarang bilangan \(x_{3}\) berlaku :

$$\begin{array}{c}x_{1}=-\frac{19}{9}+\frac{23}{9}x_{3}\\x_{2}=-\frac{50}{9}+\frac{52}{9}x_{3}\end{array}$$

Jadi himpunan penyelesaiannya yaitu :

$$\text{HP}=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\mid x_{1}=-\frac{19}{9}+\frac{23}{9}x_{3},~x_{2}=-\frac{50}{9}+\frac{52}{9}x_{3},~\forall~\text{sebarang bilangan}~x_{3}\}$$

Contoh 3 (Tidak Punya Solusi)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

\(1x+2y+1z=1\)
\(3x+6y+3z=2\)

Tentukan solusi dari sistem persamaan linear tersebut (bila ada).

Penyelesaian :

Pertama, kita representasikan kedalam bentuk matriks:

$$\left[{\begin{array}{ccc}\color{red}{1}&\color{red}{2}&\color{red}{1}\\\color{blue}{3}&\color{blue}{6}&\color{blue}{3}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\2\end{array}}\right]$$

Langkah 1

Kita amati bahwa koefisien-koefisien dari baris ke-2 (biru) merupakan kelipatan dari koefisien-koefisien pada baris ke-1 (merah).

Sehingga kita bisa gunakan operasi \(-3R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\) dan kita peroleh :

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&1\\3&6&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\2\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\end{array}}\right]$$

Dari bentuk terakhir diatas diperoleh sistem persamaan linear baru yaitu

$$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-1\end{array}}\right]\rightarrow \begin{array}{c}x+2y+z =1\\(0)x+(0)y+(0)z=-1\end{array}$$

Perhatikan pada persamaan kedua, berapapun nilai dari \(x,y\) dan \(z\), maka nilai dari

$$(0)x + (0)y +(0)z = 0$$

Karena \( 0 \neq -1\) akibatnya persamaan kedua tidak punya solusi. Kemudian karena persamaan kedua merupakan bagian dari sistem baru tersebut akibatnya sistem baru tersebut juga tidak punya solusi.

Mengingat kembali dengan Operasi Baris Elementer sistem awal dan sistem baru yang terbentuk mempunyai solusi yang sama. Jadi jika sistem baru tersebut tidak mempunyai solusi maka sistem persamaan linear pada contoh ke-3 (awal) juga tidak punya solusi.

Disarankan membaca : Pengenalan Operasi Baris Elementer

Kesimpulan

Pada dasarnya pemecahan Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan metode Operasi Baris Elementer (OBE) memiliki tujuan membentuk sistem persamaan linear baru yang mempunyai solusi yang sama dengan pemecahan yang lebih mudah. Kita akan terbiasa dengan metode ini jika kita mau mencobanya berkali-kali.

Catatan : Terkadang saat melakukan operasi baris elementer kita akan berhadapan dengan bentuk pecahan. Sehingga disarankan untuk menghitungnya dengan teliti, karena akan mempengaruhi langkah-langkah selanjutnya.

Pengenalan Operasi Baris Elementer

Cover Operasi Baris Elementer

Representasi Matriks pada Sistem Persamaan Linear

Sebelumnya disarankan membaca :

Menurut (Schaum’s, 2006) : Sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari \(m\) persamaan linear \(L_{1},L_{2},\dots,L_{m},\) dengan \(n\) variabel yang tidak diketahui \(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\), dapat disusun dalam bentuk sebagai berikut:

$$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n} =b_{1}$$
$$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n} =b_{2}$$

$$\vdots$$

$$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n} =b_{m}$$

dengan \(a_{ij}\) adalah koefisien dari variabel yang tidak diketahui \(x_{j}\) pada persamaan \(L_{i}\), dan bilangan \(b_{i}\) adalah kosntanta dari \(L_{i}\) untuk setiap \(i=\{1,2,\dots,m\}\) dan \(j=\{1,2,3,\dots,n\}\).

Apabila setiap koefisen(\(a_{ij}\)) dan skalar(\(b_{i}\)) dalam sistem persamaan linear tersebut ditempatkan sebagai array (larik) angka pada sebuah persegi panjang, maka akan didapat sebuah matriks :

$$\left[{\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{m}\end{array}}\right]$$

Jika di dalam sistem persamaan linear tersebut mempunyai persamaan sebanyak \(m\) dan variabel sebanyak \(n,\) maka jika direpresentasikan kedalam matriks akan mempunyai baris sebanyak \(m\) dan kolom sebanyak \(n+1\).

Baca juga : Definisi Matriks dan Jenis-Jenisnya

Untuk \(n\) kolom pertama untuk menuliskan koefisien(\(a_{ij}\)) sedangkan kolom terakhir digunakan untuk menuliskan skalar/angka(\(b_{i}\)) yang berada pada sisi kanan pada persamaan. Penyusunan ini dinamakan matriks yang diperbesar (augmented matrix).

Contoh 1:

\(\color{red}{-1x +2y -3z=-2}\)
\(\color{blue}{6x + 5y -4z =7}\)
\(\color{green}{7x – 8y +9z=8}\)

Matriks yang mewakili sistem ini adalah :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{-1}&\color{red}{2}&\color{red}{-3}\\\color{blue}{6}&\color{blue}{5}&\color{blue}{-4}\\\color{green}{7}&\color{green}{-8}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-2}\\\color{blue}{7}\\\color{green}{8}\end{array}}\right]$$

Contoh 2:

\(\color{red}{\frac{2}{5}x_{2} -\frac{3}{4}x_{3}=-1}\)
\(\color{blue}{\pi x_{1} + 2x_{3} =\sqrt{3}}\)
\(\color{green}{4x_{1} -x_{2}=0}\)

Matriks yang mewakili sistem ini adalah :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{0}&\color{red}{\frac{2}{5}}&\color{red}{-\frac{3}{4}}\\\color{blue}{\pi}&\color{blue}{0}&\color{blue}{2}\\\color{green}{4}&\color{green}{-1}&\color{green}{0}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-1}\\\color{blue}{\sqrt{3}}\\\color{green}{0}\end{array}}\right]$$

Contoh 3:

\(\color{red}{2x_{2} +x_{3}=0}\)
\(\color{blue}{5x_{1} – 2x_{4} =-7}\)

Matriks yang mewakili sistem ini adalah :

$$\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{0}&\color{red}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\\color{blue}{5}&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{-2}\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}\color{red}{0}\\\color{blue}{-7}\end{array}\right]$$

Pengantar Operasi Baris Elementer

Pada dasarnya untuk memecahkan sebuah sistem persamaan linear yaitu dengan merubahnya menjadi sistem persamaan linear baru yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama (tidak mengubah fundamental sistem awal), yang pastinya lebih mudah untuk dipecahkan.

Contoh :

Carilah salah satu sistem persamaan linear baru dari sistem persamaan linear berikut dengan syarat memiliki himpunan penyelesaian yang sama :

\(3x -2y=4\dots(i)\)
\(x+y =3\dots(ii)\)

Penyelesaian :

Apabila kita mengalikan persamaan \((ii)\) dengan 2 maka didapat :

$$2x + 2y =6\dots(iii)$$

kemudian jika persamaan \((i)\) ditambahkan dengan persamaan \((iii)\) maka kita peroleh:

$$3x-2y+(2x+2y)=4+(6)$$

$$\Leftrightarrow 5x =10\dots(iv)$$

Sehingga jika persamaan \((i),(ii),(iii)~\text{dan}~(iv)\) dikelompokkan maka akan didapat sistem persamaan linear baru yaitu :

\(3x -2y=4\dots(i)\)
\(x+y =3\dots(ii)\)
\(2x + 2y =6\dots(iii)\)
\(5x =10\dots(iv)\)

Pada sistem persamaan linear yang baru tersebut terlihat lebih mudah dipecahkan, dimulai dengan mencari nilai \(x\) pada persamaan \((iv)\). Setelah menemukan nilai \(x\), kita dapat mencari nilai \(y\) dengan substitusi nilai \(x\) ke persamaan \((i),(ii)~\text{atau}~(iii)\).

Proses pembentukan sistem persamaan linear baru pada dasarnya menggunakan 3 operasi dasar yaitu :

  1. Mempertukarkan dua persamaan linear. \((L_{i} \leftrightarrow L_{j})\)
  2. Mengalikan sebuah persamaan linear dengan konstanta/skalar, selama skalar bukan nol. \((kL_{i}\rightarrow L_{i})\)
  3. Menambahkan kelipatan dari suatu persamaan dengan persamaan lain. \((kL_{i}+L_{j} \rightarrow L_{j})\)

Contoh :
Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

\(\color{red}{L_{1}~:~5x_{1}+x_{2}-2x_{3}=5}\)
\(\color{blue}{L_{2}~:~-x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=-6}\)
\(\color{green}{L_{3}~:~2x_{2}-6x_{2}-x_{3}=2}\)

Perintah : Operasikan sistem tersebut dengan operasi (1) dilanjut operasi (2) dan (3).

Penyelesaian :

Apabila sistem tersebut dikenakan operasi (1) semisal \(L_{2} \leftrightarrow L_{3}\) maka menjadi :

\(\color{red}{L_{1}~:~5x_{1}+x_{2}-2x_{3}=5}\)
\(\color{green}{L_{3}~:~2x_{2}-6x_{2}-x_{3}=2}\)
\(\color{blue}{L_{2}~:~-x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=-6}\)

Jika sistem diatas dikenakan operasi (2) semisal \((-2)L_{1} \rightarrow L_{1}\) maka menjadi :

\(\color{red}{L_{1}~:~-10x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=-10}\)
\(\color{green}{L_{3}~:~2x_{2}-6x_{2}-x_{3}=2}\)
\(\color{blue}{L_{2}~:~-x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=-6}\)

Kemudian jika sistem atas dikenakan operasi (3) semisal \((1)L_{3} + L_{1} \rightarrow L_{1}\) maka didapat :

\(\color{red}{L_{1}~:~-11x_{1}+7x_{3}=-16}\)
\(\color{green}{L_{3}~:~2x_{2}-6x_{2}-x_{3}=2}\)
\(\color{blue}{L_{2}~:~-x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=-6}\)

Lalu bagaimana jika sistem persamaan tersebut telah direpresentasikan kedalam bentuk matriks? Jawabannya adalah dengan menyesuaikan ketiga operasi tersebut, mengingat setiap baris mewakili satu persamaan. Berikut ketiga operasi yang telah disesuaikan :

  1. Mempertukarkan dua baris. \((R_{i} \leftrightarrow R_{j})\)
  2. Mengalikan sebuah baris dengan konstanta/skalar, selama skalar bukan nol. \((kR_{i}\rightarrow R_{i})\)
  3. Menambahkan kelipatan dari suatu baris dengan baris lain. \((kR_{i}+R_{j} \rightarrow R_{j})\)

Ketiga operasi inilah yang dinamakan dengan Operasi Baris Elementer.

Contoh Penggunaan Operasi Baris Elementer

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

\(\color{red}{4x -y +11z=-12}\)
\(\color{blue}{21x +4y  =3}\)
\(\color{green}{x – 2y +9z=0}\)

Jika sistem persamaan linear tersebut direpresentasikan kedalam bentuk matriks, maka :

$$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-12}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{0}\end{array}}\right]$$

Perintah :

  1. Operasikan matriks tersebut dengan operasi (1) semisal dengan notasi \(R_{1} \leftrightarrow R_{3}\)
  2. Operasikan matriks tersebut dengan operasi (2) semisal dengan notasi \(2R_{1} \rightarrow R_{1}\)
  3. Operasikan matriks tersebut dengan operasi (3) semisal dengan notasi \(-2R_{2} + R_{3} \leftrightarrow R_{3}\)

Penyelesaian :

  1. Jika dikenakan dengan operasi \(R_{1} \leftrightarrow R_{3}\), maka matriks akan berubah menjadi :
    $$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-12}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{0}\end{array}}\right] \rightarrow \left[{\begin{array}{ccc} \color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{green}{0}\\\color{blue}{3}\\\color{red}{-12}\end{array}}\right]$$
  2. Jika dikenakan dengan operasi \(2R_{1} \rightarrow R_{1}\), maka matriks akan berubah menjadi :
    $$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-12}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{0}\end{array}}\right] \rightarrow \left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{8}&\color{red}{-2}&\color{red}{22}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-24}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{0}\end{array}}\right]$$
  3. Jika dikenakan dengan operasi \(-2R_{2} + R_{3} \rightarrow R_{3}\), maka matriks akan berubah menjadi :
    $$\left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{1}&\color{green}{-2}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-12}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{0}\end{array}}\right] \rightarrow \left[{\begin{array}{ccc} \color{red}{4}&\color{red}{-1}&\color{red}{11}\\\color{blue}{21}&\color{blue}{4}&\color{blue}{0}\\\color{green}{-41}&\color{green}{-10}&\color{green}{9}\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}\color{red}{-12}\\\color{blue}{3}\\\color{green}{-6}\end{array}}\right]$$

Untuk selanjutnya direkomendasikan membaca : Pemecahan Sistem Persamaan Linear dengan Operasi Baris Elementer

Sistem Persamaan Linear Secara Umum

Sistem Persamaan Linear Secara Umum (Cover)

Bentuk Umum Persamaan Linear

Persamaan linear pada umumnya terdapat peubah (variabel) dan konstanta yang ditulis dengan huruf kecil. Contohnya yaitu sebuah garis didalam bidang kartesius atau bidang \(xy\) secara persaman aljabar dapat dituliskan sebagai berikut.

$$ax+by=c~\text{atau}~y=mx+c$$

Persamaan tersebut termasuk persamaan linear dua variabel dengan \(a,b,c~\text{dan}~m~\text{(gradien)}\) merupakan suatu konstanta sedangkan \(x,y\) berperan sebagai peubah atau variabel.

Secara umum persamaan linear dengan \(n\) variabel dapat ditulis :

$$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots+a_{n}x_{n}=b$$

Dengan \(x_{i}~\text{dan}~a_{i},b\) berturut-turut menyatakan variabel dan konstanta (riil), untuk setiap \(i=\{1,2,3,\dots,n\}\).

Perlu diperhatikan bahwa didalam persamaan linear tidak melibatkan hasil kali atau akar dari variabel. Dalam hal ini variabel tidak dapat berupa fungsi trigonometri, fungsi logaritma, atau fungsi eksponensial.

Contoh :

Didefinisikan 6 persamaan aljabar sebagai berikut.

  • \(3(x+y) -\sqrt{2}z = 5\log{2} +\sin{15}\)
    Persamaan ini termasuk persamaan linear sebab tidak mengandung hasil kali atau akar dari variabel dan tidak mengandung variabel pada fungsi (logaritma, trigonometri atau eksponensial).
  • \(5(x+1)(y+1)=7\)
    Bukan persamaan linear sebab bila kita uraikan lagi diperoleh \(5x+5xy+5y=7\), sehingga didapat hasil kali variabel yakni \(xy\)
  • \(3\sqrt{x}+2=\sqrt{y-z}\)
    Bukan persamaan linear sebab pada persamaan tersebut terdapat akar dari variabel yaitu \(\sqrt{x}\) dan \(\sqrt{y-z}\).
  • \(3\log_{2}{x_{1}} +2=\ln{x_{2}}\)
    Bukan persamaan linear sebab mengandung variabel pada fungsi logaritma yaitu \(\log_{2}{x_{1}}\) dan \(\ln{x_{2}}\), mengingat \(\ln{x_{2}}=\log_{e}{x_{2}}\).
  • \(\sin{(x_{1})}+\cos{(2x_{2})}+\tan{(3x_{3})}=1\)
    Bukan persamaan linear sebab jelas bahwa mengandung variabel pada fungsi trigonometri yaitu \(\sin{(x_{1})}~,~\cos{(2x_{2})}~\text{dan}~\tan{(3x_{3})}\)
  • \((x+y)^2=2^z\)
    Persamaan ini juga bukan persamaan linear sebab bila diuraikan akan diperoleh \(x^2 + 2xy+y^2=2^z\), dari persamaan jelas terdapat variabel pada fungsi eksponensial yaitu \(x^2, y^2 ~\text{dan}~ 2^z\).

Setelah berhasil membedakan persamaan linear dengan persamaan aljabar lainnya, selanjutnya kita akan membahas mengenai pemecahan(solusi) dari persamaan linear dan sistem persamaan linear.

Pemecahan Persamaan Linear

Penting diketahui pemecahan, penyelesaian atau solusi dari sebuah persamaan linear \(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots+a_{n}x_{n}=b\) adalah urutan dari \(n\) bilangan \(k_{1},k_{2},\dots,k_{n}\). Sehingga persamaan linear tersebut dapat dipenuhi bila kita mensubtitusikan \( x_{1} =k_{1},x_{2}=k_{2},\dots,x_{n}=k_{n}\). Himpunan dengan anggota \( k_{1},k_{2},\dots,k_{n}\) biasa disebut dengan himpunan penyelesaian dari persamaan linear tersebut.

Contoh :

Diberikan persamaan linear sebagai berikut.

$$-3x_{1} + 4x_{2} = 5$$

Tentukan himpunan penyelesaiannya.

Penyelesaian :

Pada persamaan tersebut, misalkan terdapat sembarang bilangan \(k_{1}\) dengan \(x_{1}=k_{1}\) sehingga dengan sedikit manipulasi aljabar, diperoleh :

$$-3k_{1}+4x_{2}=5$$

$$\Leftrightarrow~4x_{2}=5+3k_{1}$$

$$\Leftrightarrow~x_{2}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}k_{1}$$

Rumus  \(x_{1}=k_{1}\) dan \(x_{2}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}k_{1}\) merupakan gambaran himpunan penyelesaian(solusi) didalam parameter \(k_{1}\). Sedangkan solusi dari persamaan linear tersebut dapat dicari dengan mensubstitusikan bilangan-bilangan ke variabel \(k_{1}\). Contoh jika \(k_{1}=1\) maka menghasilkan solusi \(x_{1} = k_{1} =1\) dan

$$x_{2}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}k_{1}$$

$$\Leftrightarrow~x_{2}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}(1)$$

$$\Leftrightarrow~x_{2}=\frac{8}{4}=2$$

Seandainya penetapan awal dilakukan pada variabel \(x_{2}=k_{2}\), maka dengan cara yang sama akan didapat rumus : \(x_{1}=-\frac{5}{3} +\frac{4}{3}k_{2}\) untuk sebarang bilangan \(k_{2}\). Walaupun rumus pertama dan kedua berbeda namun tetap memiliki himpunan penyelesaian yang sama dengan syarat nilai dari \(k_{1}\) dan \(k_{2}\) disesuaikan. Contoh : pada rumus pertama jika \(k_{1}=1\) didapat solusi \(x_{1}=1\) dan \(x_{2}=2\) sedangkan pada rumus kedua akan mendapatkan hasil yang sama yakni \(x_{1}=1\) dan \(x_{2}=2\) jika dan hanya jika \(k_{2}=2\).

Berdasarkan pernyataan diatas, jelas bahwa nilai \(k_{i}, \forall ~i=\{1,2\}\) memiliki banyak kemungkinan, akibatnya  persamaan linear tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya penyelesaian(solusi). Sedangkan himpunan penyelesaiannya dapat ditulis sebagai berikut.

$$HP=\{(x_{1},x_{2})\mid x_{1}=-\frac{5}{3} +\frac{4}{3}k_{2} \wedge x_{2}=k_{2}~,~\forall~\text{sebarang bilangan}~ k_{2}\}$$

atau

$$HP=\{(x_{1},x_{2})\mid x_{1}=k_{1}\wedge x_{2}=\frac{5}{4}+\frac{3k_{1}}{4}~,~\forall ~\text{sebarang bilangan}~k_{1}\}$$

atau

$$HP=\{(x_{1},x_{2})\mid x_{2}=\frac{5}{4}+\frac{3x_{1}}{4}~,~\forall~\text{sebarang bilangan}~ x_{1}\}$$

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear

Definisi (Schaum’s, 2006) : Sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari \(m\) persamaan linear \(L_{1},L_{2},\dots,L_{m},\) dengan \(n\) variabel yang tidak diketahui \(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\), dapat disusun dalam bentuk sebagai berikut:

$$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n} =b_{1}$$
$$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n} =b_{2}$$

$$\vdots$$

$$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n} =b_{m}$$

dengan \(a_{ij}\) adalah koefisien dari variabel yang tidak diketahui \(x_{j}\) pada persamaan \(L_{i}\), dan bilangan \(b_{i}\) adalah kosntanta dari \(L_{i}\) untuk setiap \(i=\{1,2,\dots,m\}\) dan \(j=\{1,2,3,\dots,n\}\).

Pemecahan Sistem Persamaan Linear

Pemecahan atau solusi pada sebuah sistem persamaan linear adalah urutan dari bilangan \(k_{1},k_{2},\dots,k_{n}\) dengan \(x_{1} =k_{1},x_{2}=k_{2},\dots,x_{n}=k_{n}\). Himpunan \(\{k_{i}\}\) dengan \(i=\{1,2,\dots,n\}\) merupakan pemecahan atau solusi untuk setiap persamaan di dalam sistem tersebut.

Kemudian pada sebuah sistem persamaan linear dikatakan tidak konsisten jika sistem persamaan linear tersebut tidak mempunyai solusi. Sebaliknya, jika sistem persamaan linear tersebut mempunyai solusi (tunggal atau banyak) maka sistem persamaan linear tersebut dikatakan konsisten.

Contoh :

Tentukan pemecahan (solusi) dari masing-masing sistem persamaan linear berikut.

\(g_{1}~:~-x+y=3\)
\(g_{2}~:~4x+y=8\)

\(g_{1}~:~2x+3y=6\)
\(g_{2}~:~4x+6y=24\)

\(g_{1}~:~-x+2y=4\)
\(g_{2}~:~-2x+4y=8\)

Penyelesaian :

Grafik persamaan-persamaan pada soal berupa garis-garis pada bidang \(xy\) atau bidang kartesius. Pada bidang kartesius sebuah titik \((x,y)\) dikatakan terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika bilangan-bilangan \(x\) dan \(y\) memenuhi persamaan garis tersebut, akibatnya pemecahan atau solusi dari sistem persamaan pada soal akan berada pada perpotongan dari garis \(g_{1}\) dan garis \(g_{2}\).

Misalkan pada sistem persamaan linear ke-1, garis \(g_{1}\) diberi warna merah dan garis \(g_{2}\) diberi warna biru. Berikut grafik garis \(g_{1}\) dan \(g_{2}\) pada bidang kartesius.

\(g_{1}~:~\color{red}{-x+y=3}\)
\(g_{2}~:~\color{blue}{4x+y=8}\)

Gambar perpotongan garis g1 dan g2 pada bidang kartesius

Grafik tersebut menunjukan bahwa himpunan penyelesaian (solusi) dari sistem persamaan linear tersebut adalah titik potong antara \(g_{1}\) dan \(g_{2}\) yaitu titik \((1,4)\). Dengan kata lain solusinya adalah tunggal yaitu \(x=1\) dan \(y=4\) dan sistem persamaan liniernya konsisten.

Dengan cara yang sama, pada sistem persamaan linear ke-2 diperoleh :

\(g_{1}~:~\color{red}{2x+3y=6}\)
\(g_{2}~:~\color{blue}{4x+6y=24}\)

Grafik grafik g1 dan g2 yang sejajar

Grafik tersebut menunjukkan bahwa kedua garis sejajar sehingga tidak ada titik perpotongan. Dengan kata lain tidak mempunyai solusi dan disimpulkan sistem persamaan linearnya tidak konsisten.

Masih dengan cara yang sama untuk sistem persamaan linear ke-3.

\(g_{1}~:~-x+2y=4\)
\(g_{2}~:~\color{yellow}{-2x+4y=8}\)

Gambar garis g1 dan g2 yang berhimpit

Grafik diatas menunjukkan bahwa \(g_{1}\) dan \(g_{2}\) saling berhimpit, terlihat seperti satu garis saja. Akibatnya himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut yaitu semua titik yang terletak disepanjang garis tersebut, contohnya titik \((0,2)\) dan \((-4,0)\). Sehingga solusi dari sistem persamaan linear tersebut tak terhingga banyaknya. Sistem persamaan linearnya konsisten dan himpunan penyelesaiannya yaitu :

$$HP=\{(x,y)\mid x=4-2y , \forall~x,y\in\mathbb{R}\}$$

Disarankan selanjutnya membaca : Sistem Persamaan Linear Homogen

Operasi Matriks dan Sifat-Sifatnya

Cover Matriks Profematika

Operasi Matriks

Operasi dasar seperti penjumlahan dan perkalian erat sekali berhubungan dengan matriks. Namun, operasi tersebut tidak selalu dapat langsung diterapkan, karena matriks lebih rumit daripada angka.

1. Penjumlahan Matriks

Jika terdapat dua matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom yang sama, maka kita dapat menjumlahkan keduanya untuk memperoleh matriks baru dengan ordo yang sama. Jadi syarat untuk menjumlahkan dua matriks atau lebih yaitu harus mempunyai ordo yang sama.

Misalkan matriks \(A\) dan \(B\) mempunyai ordo \(m \times n\) atau dapat ditulis \(A=[a_{ij}]_{m \times n}~,~B=[b_{ij}]_{m \times n}\) dengan \(i=\{ 1,2,\dots,m\}\) dan \(j=\{1,2,\dots,n\}\). Jika kedua matriks tersebut dijumlahkan maka akan terdapat matriks \(C=[c_{ij}]_{m \times n}\), dimana \(C=A+B\) dengan \(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\).

Contoh :

Misalkan matriks \(A\) dan \(B\) didefinisikan sebagai berikut.

$$A=\left[{\begin{array}{cc}0&-7\\-1&3 \end{array}}\right]~,~B=\left[{\begin{array}{cc}2&4\\3&8 \end{array}}\right]$$

Kita akan mencari matriks \(C\) dengan menjumlahkan matriks \(A\) dan \(B\). Sehingga kita peroleh :

$$C=A+B=\left[{\begin{array}{cc}0&-7\\-1&3 \end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{cc}2&4\\3&8 \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}0+2&-7+4\\-1+3&3+8 \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}2&-3\\2&11 \end{array}}\right]$$

Selain menjumlahkan kita juga bisa menggunakan operasi pengurangan dengan syarat harus mempunyai ordo yang sama. Untuk contohnya kita dapat menghitung :

$$C=A-B=\left[{\begin{array}{cc}0&-7\\-1&3 \end{array}}\right]-\left[{\begin{array}{cc}2&4\\3&8 \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}0-2&-7-4\\-1-3&3-8 \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}-2&-11\\-4&-5 \end{array}}\right]$$

Lalu bagaimana jika terdapat dua matriks mempunyai ordo yang berbeda kemudian keduanya dijumlahkan? Misalkan terdapat matriks \(D\) dengan ordo \(2 \times 3\). Jika ditanya \(A+D\) maka \(A+D=~\text{tidak terdefinisi}\) karena \(\text{ordo}~A\neq~\text{ordo}~D\).

Baca : Definisi Matriks dan Jenis-Jenisnya

2. Perkalian dengan Skalar

Misalkan matriks \(A=[a_{ij}]_{m \times n}\) dan \(\alpha\) adalah sembarang skalar (riil atau kompleks). Perkalian matriks \(A\) dengan skalar \(\alpha\) dapat dibentuk dengan mengalikan setiap elemen \(a_{ij}\) dengan \(\alpha\).

Contoh :

Misalkan \(\alpha=2~,~\beta = 1+2i\) dan matriks \(A\) didefinisikan sebagai berikut.

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}0&-6&2\\-8&-2&1\\3&2&-3 \end{array}}\right]~,~B=\left[{\begin{array}{cc}3&4\\-2&2\end{array}}\right]$$

Tentukan hasil dari \(\alpha A\) dan \(\beta B\).

Penyelesaian :

Kita dapat menyelesaikannya dengan mengalikan skalar dengan setiap elemen pada matriks \(A\). Sehingga untuk \(\alpha A\) kita peroleh :

$$\alpha A=(2)\left[{\begin{array}{ccc}0&-6&2\\-8&-2&1\\3&2&-3 \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}2(0)&2(-6)&2(2)\\2(-8)&2(-2)&2(1)\\2(3)&2(2)&2(-3) \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}0&-12&4\\-16&-4&2\\6&4&-6 \end{array}}\right]$$

Dengan cara yang sama, kita juga dapat :

$$\beta B=(1+2i)\left[{\begin{array}{cc}3&4\\-2&2\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}(1+2i)(3)&(1+2i)(4)\\(1+2i)(-2)&(1+2i)(2)\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}3+6i&4+8i\\-2-4i&2+4i\end{array}}\right]$$

3. Perkalian Dua Matriks

Pada operasi dua matriks, pertama-tama kita akan mempelajari perkalian antara vektor kolom dan vektor baris. Hal tersebut karena berkaitan langsung dan menjadi landasan dalam perkalian antar matriks.

Apa itu vektor kolom dan vektor baris?

Vektor Kolom adalah matriks yang memiliki ordo \(n \times 1\) dengan elemen sebanyak \(n\). Contoh :

$$A=\left[{\begin{array}{c}\frac{3}{5}\\-8 \end{array}}\right]~,~B=\left[{\begin{array}{c}2\\\pi \\5\end{array}}\right]~,~C=\left[{\begin{array}{c}-4\\-3\\2\\1 \end{array}}\right]$$

Vektor Baris adalah matriks yang memiliki ordo \(1 \times n\) dengan elemen sebanyak \(n\). Contoh :

$$A=\left[{\begin{array}{cc}\frac{2}{3}&\sqrt[3]{2}\end{array}}\right]~,~B=\left[{\begin{array}{ccc}6&-7&\frac{\pi}{2}\end{array}}\right]~,~C=\left[{\begin{array}{cccc}2&0&1&9\end{array}}\right]$$

Perkalian Vektor Kolom dan Vektor Baris

Selanjutnya untuk perkalian antar vektor kolom dan vektor baris, kita misalkan \(A=[a_{i}]_{1 \times n}\) dan \(B=[b_{i}]_{n \times 1}\) berturut-turut merupakan vektor baris dan kolom dengan \(n\) elemen dan \(i=\{1,2,\dots,n\}\). Jika kedua matriks tersebut dikalikan maka diperoleh :

$$AB=\left[{\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\dots&a_{n} \end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{n} \end{array}}\right]=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots+a_{n}b_{n}$$

Keunikan dari perkalian antar vektor kolom dan baris yaitu hasilnya berupa bilangan bukan matriks. Kemudian perkalian tersebut dapat terjadi (valid) jika dan hanya jika mempunyai banyak elemen yang sama.

Contoh :

Misalkan matriks \(A~,~B~,~C\) didefinisikan sebagai berikut.

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}6&-7&2\end{array}}\right]~,~B=\left[{\begin{array}{cccc}2&0&1&9\end{array}}\right]~,~C=\left[{\begin{array}{c}1\\-2\\0\end{array}}\right]$$

Tentukan hasil dari \(AC\) dan \(BC\).

Penyelesaian :

Dengan menggunakan rumus sebelumnya maka diperoleh :

$$AC=\left[{\begin{array}{ccc}6&-7&2 \end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}1\\-2\\0 \end{array}}\right]=(6)(1)+(-7)(-2)+(2)(0)=20$$

Untuk perkalian \(BC=tidak~terdefinisi\) karena banyak elemen \(B\) tidak sama dengan banyak elemen \(C\).

Perkalian Antar Matriks Secara Umum

Setelah berhasil mempelajari perkalian antara vektor baris dan vektor kolom. Selanjutnya kita akan mempelajari perkalian antara dua matriks sembarang ukuran beserta ketentuannya.

Misalkan terdapat dua matriks yaitu \(A=[a_{ij}]_{l \times m}\) dan \(B=[b_{ij}]_{m \times n}\). Misalkan lagi terdapat matriks \(C\) dengan \(C=AB\). Maka kita dapat menuliskan setiap elemen dari \(C\) sebagai berikut.

$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{im}b_{mj}=\sum_{k=1}^{m} a_{ik}b_{kj}$$

Jika hal tersebut dikaitkan dengan vektor kolom dan vektor baris, maka jika didefinisikan \(a_{i}\) dan \(b_{j}\) berturut-turut merupakan vektor baris ke-\(i\) dari matriks \(A\) dan vektor kolom ke-\(j\) dari matriks \(B\). Maka elemen dari \(C\) dapat juga ditulis \(c_{ij}=a_{i}b_{j}\).

Jadi berdasarkan pernyataan-pernyataan tersebut dapat ditarik kesimpulan, perkalian dua matriks (\(AB\)) dapat terjadi (valid) jika dan hanya jika banyak kolom \(A=\) banyak baris \(B\).

Contoh :

Didefinisikan matriks \(A\) dan \(B\) sebagai berikut.

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}-1&4&3\\0&-5&2\end{array}}\right]~,~B=\left[{\begin{array}{ccc}2&0&1\\-7&1&1\\5&2&-3\end{array}}\right]$$

Tentukan hasil dari \(AB\) dan \(BA\).

Penyelesaian :

Langkah pertama, untuk \(AB\) kita harus mengecek banyak kolom \(A\) dan banyak baris \(B\). Jelas bahwa banyak kolom \(A=\) banyak baris \(B=3\) sehingga dapat dilakukan operasi perkalian.

Sedangkan untuk \(BA\) dengan langkah yang sama didapat bahwa banyak kolom \(B=3\) tidak sama dengan banyak baris \(A=2\) akibatnya tidak terdefinisi atau operasi perkalian tersebut tidak dapat dilakukan.

Langkah kedua, untuk memudahkan penulisan misalkan terdapat matriks \(C=AB\). Sehingga berdasarkan pernyataan sebelumnya, elemen dari matriks \(C\) yaitu \(c_{ij}=a_{i}b_{j}\).

Langkah ketiga, kita dapat memulai menghitung dengan mengalikan matriks vektor baris ke-\(1 = a_{1}\)(dari matriks \(A\)) dengan vektor kolom ke-\(1 =b_{1}\)(dari matriks \(B\)).

$$c_{11}=a_{1}b_{1}=\left[{\begin{array}{ccc}-1&4&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}2\\-7\\5\end{array}}\right]=(-1)(2)+(4)(-7)+(3)(5)=-15$$

Dengan langkah yang sama akan dicari elemen-elemen dari matriks \(C\) yang lain \(\{c_{11},c_{12},c_{13},c_{21},c_{22},c_{23}\}\).

$$c_{12}=a_{1}b_{2}=\left[{\begin{array}{ccc}-1&4&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}}\right]=(-1)(0)+(4)(1)+(3)(2)=10$$
$$c_{13}=a_{1}b_{3}=\left[{\begin{array}{ccc}-1&4&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}1\\1\\-3\end{array}}\right]=(-1)(1)+(4)(1)+(3)(-3)=-6$$
$$c_{21}=a_{2}b_{1}=\left[{\begin{array}{ccc}0&-5&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}2\\-7\\5\end{array}}\right]=(0)(2)+(-5)(-7)+(2)(5)=45$$
$$c_{22}=a_{2}b_{2}=\left[{\begin{array}{ccc}0&-5&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}}\right]=(0)(0)+(-5)(1)+(2)(2)=-1$$
$$c_{23}=a_{2}b_{3}=\left[{\begin{array}{ccc}0&-5&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}1\\1\\-3\end{array}}\right]=(0)(1)+(-5)(1)+(3)(2)=1$$

Sehingga diperoleh :

$$AB=C=\left[{\begin{array}{ccc}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}-15&10&-6\\45&-1&1\end{array}}\right]$$

Dari contoh tersebut didapat fakta bahwa jika \(A\) mempunyai ordo \(m \times k\) dan \(B\)mempunyai ordo \(k \times n\) maka \(C=AB\) mempunyai ordo \(m \times n\).

4. Transpose Matriks

Transpose matriks adalah matriks yang dibentuk dengan mempertukarkan elemen-elemen didalam baris dan kolom dari matriks tersebut. Umumnya disimbolkan dengan transpose \(A=A^T\).

Transpose Matriks Profematika

Misalkan matriks \(A=[a_{ij}]_{m \times n}\) dan transpose matriks A dinyatakan oleh \(A^T=B=[b_{ij}]_{n \times m}\) maka berdasarkan definisi \(b_{ij}=a_{ji}\) dan perlu diperhatikan bahwa jika ordo matriks \(A = m \times n\) maka ordo \(A^T = n \times m \).

Contoh :

Misalkan matriks \(A\) dan \(B\) didefinisikan sebagai berikut.

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&0&1\\4&-2&2\end{array}}\right]~,~B=\left[{\begin{array}{ccc}3&-5&1\\0&1&0\\7&2&-5\end{array}}\right]$$

Maka matriks transpose dari \(A\) dan \(B\) yaitu :

$$A^T=\left[{\begin{array}{cc}2&4\\0&-2\\1&2\end{array}}\right]~,~B^T=\left[{\begin{array}{ccc}3&0&7\\-5&1&2\\1&0&-5\end{array}}\right]$$

5. Trace Matriks

Trace Matriks dari matriks persegi adalah hasil penjumlahan dari elemen-elemen pada diagonal utama matriks tersebut. Jadi syarat untuk mencari trace matriks yaitu matriksnya mempunyai ordo \(n \times n\) (matriks persegi). Untuk penulisan biasa disimbolkan dengan trace\(A)=tr(A)\).

Baca : Definisi Matriks dan Jenis-Jenisnya

Misalkan \(A=[a_{ij}]_{n \times n}\), maka berdasarkan definisi diperoleh :

$$tr(A)=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}=\sum_{k=1}^{n} a_{kk}$$

Contoh :

Misalkan didefinisikan sebuah matriks persegi sebagai berikut.

$$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&3&1\\-2&-7&4\\5&6&-2\end{array}}\right]$$

Maka \(tr(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}=2+(-7)+(-2)=-7\)

Sifat-Sifat Operasi Matriks

Catatan : Pada pembahasan sifat-sifat operasi kali ini dapat dilakukan dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks yang dioperasikan disesuaikan dengan ketentuan dari setiap operasi.

1. Terhadap Operasi Penjumlahan

Misalkan terdapat matriks \(A, B, C\) dan matriks nol \(O\) sedemikian rupa sehingga berlaku :

  • \(A+B=B+A\)
  • \(A+(B+C)=(A+B)+C\)
  • \(A+O =O+A=A\)
  • \(A+(-A)=-A+A=O\)

2. Terhadap Operasi Perkalian

Misalkan terdapat matriks \(A, B, C,\) matriks nol \(O,\) matriks identitas \(I\) dan \(m,n\) sembarang bilangan bulat yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

  • \(AB\neq BA\)
  • \((AB)C=A(BC)\)
  • \(AI=IA=A\)
  • \(AO=OA=O\)
  • \(A^m A^n=A^{m+n}~\text{dan}~(A^m)^n=A^{mn}\)
  • \(A^x=\begin{cases}I & \text{ jika } x= 0\\\underbrace{AA\dots A}_{x~faktor}& \text{ jika } x\in \mathbb{N}\end{cases}\)
  • \(\text{jika matriks diagonal}~A_{n \times n}=\left[{\begin{array}{cccc}a_{11}&0&\dots&0\\0&a_{22}&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&a_{nn}\end{array}}\right],~\text{maka}~A^k=\left[{\begin{array}{cccc}(a_{11})^k&0&\dots&0\\0&(a_{22})^k&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&(a_{nn})^k\end{array}}\right]\)
  • \(\text{jika}~AB=O~\text{maka tidak selalu}~A=O~\text{atau}~B=O~\text{atau}~BA=O\)

3. Terhadap Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar

Misalkan terdapat matriks \(A, B, C,\) dan \(m,n\) sembarang skalar (riil atau kompleks) yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

  • \(A(B+C)=AB+AC\)
  • \((B+C)A=BA+CA\)
  • \(m(A+B)=mA+mB\)
  • \((m+n)A=mA+nA\)
  • \((mn)A=m(nA)\)
  • \(m(BC)=(mB)C=B(mC)\)

4. Terhadap Operasi Transpose

Misalkan terdapat matriks \(A, B, \) dan \(\alpha\) sembarang skalar (riil atau kompleks) yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

  • \((A+B)^T=A^T+B^T\)
  • \((\alpha A)^T=\alpha A^T\)
  • \((A^T)^T=A\)
  • \((AB)^T=B^T A^T\)

5. Terhadap Operasi Trace

Misalkan terdapat matriks \(A, B, I\text{(Identitas)}\) dan \(\alpha\) sembarang skalar (riil atau kompleks) dan sembarang bilangan bulat \(n\) yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

  • \(tr(\alpha A)=\alpha (tr(A))\)
  • \(tr(A+B) = tr(A)+tr(B)\)
  • \(tr(AB)=tr(BA)\)
  • \(tr(A^T)=tr(A)\)
  • \(tr(I_{n \times n})= n\)

Definisi Matriks dan Jenis-Jenisnya

Cover Matriks Profematika

Definisi Matriks

Definisi : Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan atau fungsi. Bilangan-bilangan atau fungsi dalam susunan tersebut dinamakan entri / elemen dan diapit oleh dua kurung siku.

Lambang matriks menggunakan huruf-huruf besar \(( A, B, C, \dots)\), sedangkan entri (elemen) menggunakan huruf-huruf kecil \(( a, b, c, \dots)\).

Contoh :

$$ A = \left[{\begin{array}{cccc} 9&6&-1&0\end{array}}\right] , B = \left[{\begin{array}{cc} \sqrt[3]{2}&\pi\\0,7&\frac{1}{4}\\-1031&-6\end{array}}\right] , C = \left[{\begin{array}{cc} x^3 -1&\tan{x}\\log_{3}(x+1)&2^x\end{array}}\right]$$

Pada contoh matriks \(A\) dan \(B\) elemen matriks berupa bilangan-bilangan riil, sedangkan matriks \(C\) elemennya berupa fungsi peubah (variabel) \(x\).

Seperti pada contoh tersebut, ukuran  matriks bermacam-macam besarnya. Ukuran matriks yang biasa ditulis \(\text{banyak baris}~\times~\text{banyak kolom}\) disebut ordo. Ordo matriks menyatakan banyaknya baris (horisontal) dan banyaknya kolom (vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut. Sehingga karena matriks \(A\) mempunyai 1 baris dan 4 kolom maka ordonya adalah \(1 \times 4\). Begitu pula untuk matriks \(B\) dan \(C\) memiliki ordo berturut-turut yaitu \(3 \times 2\) dan \(2 \times 2\). Catatan : Tanda \(\times\) pada ukuran (ordo) menyatakan tanda pemisah.

Bentuk Umum Matriks : 

Misalkan \(A\) adalah sebuah matriks, maka kita dapat memisalkan  \(a_{ij}\) untuk menyatakan elemen yang terdapat didalam baris ke-\(i\) dan kolom ke-\(j\) dari matriks \(A\). Sehingga jika matriks A memiliki ordo \(m \times n\) maka dapat ditulis sebagai berikut.

$$A = \left[{\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{array}}\right] $$

atau \(A = [a_{ij}]_{m \times n}\).

Pelajari juga : Operasi Matriks dan Sifat-Sifatnya

Jenis-Jenis Matriks

Terdapat 10 jenis matriks yang penting dipelajari yaitu :

  1. Matriks Persegi

    Matriks Persegi atau Bujursangkar, yaitu matriks yang mempunyai banyak garis dan kolom yang sama banyak. Di dalam matriks persegi juga terdapat diagonal utama, yaitu bagian matriks yang mempunyai elemen-elemen dengan nomor baris sama dengan nomor kolom. Untuk lebih jelasnya seperti contoh berikut.

    $$B= \left[{\begin{array}{ccc} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}}\right]$$

    Pada matriks \(B\) di atas mempunyai ordo \(3 \times 3\) dan juga mempunyai diagonal utama dengan elemen-elemen di dalamnya adalah \(\{b_{11},b_{22},b_{33}\}\).

  2. Matriks Segitiga Atas

    Matriks Segitiga Atas, yaitu matriks persegi yang mempunyai elemen-elemen di bawah diagonal utama bernilai nol.

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{ccc} 0&5&-2\\0&-8&1\\0&0&4\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{cc} 2&3\\0&-9\end{array}}\right]$$
  3. Matriks Segitiga Bawah

    Matriks Segitiga Bawah, yaitu matriks persegi yang mempunyai elemen-elemen di atas diagonal utama bernilai nol.

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{ccc} 7&0&0\\4&1&0\\5&-5&0\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{cccc} 2&0&0&0\\-4&3&0&0\\1&10&2&0\\14&0&2&1\end{array}}\right]$$
  4. Matriks Diagonal

    Matriks Diagonal, yaitu matriks persegi yang mempunyai elemen-elemen di luar diagonal utama bernilai nol.

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{cc} 6&0\\0&-1\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{ccc} 7&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}}\right]~,~C= \left[{\begin{array}{cccc} 2&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&2&0\\14&0&0&1\end{array}}\right]$$

    Matriks \(A\) dan \(B\) merupakan matriks diagonal, sedangkan matriks \(C\) bukan matrik diagonal karena mempunyai elemen di luar diagonal utama yang bernilai tidak sama dengan nol, yakni 14.

  5. Matriks Satuan

    Matriks Satuan atau Matriks Identitas, yaitu matriks diagonal yang mempunyai elemen-elemen pada diagonal utama bernilai satu. Matriks Satuan bisa ditulis : \(I_{n \times n}\), dimana \(n\) menyatakan banyak garis dan banyak kolom dari matriks satuan tersebut.

    Contoh :

    $$I_{2 \times 2}= \left[{\begin{array}{cc} 1&0\\0&1\end{array}}\right]~,~I_{3 \times 3}= \left[{\begin{array}{ccc} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]~,~I_{4 \times 4}= \left[{\begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]$$
  6. Matriks Skalar

    Matriks Skalar, yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utama bernilai sama dan tidak sama dengan nol.

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{ccc} 2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{cc} 12&0\\0&12\end{array}}\right]$$

    Bentuk umum matriks skalar dengan skalar \(c\) :

    $$A= \left[{\begin{array}{cccc} c&0&\dots&0\\0&c&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&\dots&c\end{array}}\right]~,~c\neq 0$$
  7. Matriks Nol

    Matriks Nol, yaitu matriks yang semua elemennya bernilai nol. Matriks nol bisa disimbolkan dengan \(O_{m \times n}\) dengan \(m~dan~ n\) berturut-turut menyatakan banyaknya baris dan kolom matriks tersebut.

    Contoh :

    $$O_{2 \times 2}= \left[{\begin{array}{cc} 0&0\\0&0\end{array}}\right]~,~O_{3 \times 1}= \left[{\begin{array}{c} 0\\0\\0\end{array}}\right]~,~O_{2 \times 4}= \left[{\begin{array}{cccc} 0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right]$$
  8. Matriks Invers

    Matriks Invers, sebuah matriks \(A\) mempunyai invers jika terdapat matriks (misalkan \(B\)) sehingga memenuhi \(AB=BA=I\). Penulisan invers matriks \(B\) dinyatakan oleh \(A^{-1}\). Untuk pembahasan lebih lanjut mengenai invers matriks akan dibahas dipostingan lain.

    Contoh : Misalkan matriks \(A\) berordo \(2 \times 2\), akan digunakan rumus untuk mencari invers seperti dibawah ini.

    $$A= \left[{\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}}\right]~,~maka~A^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\left[{\begin{array}{cc} d&-b\\-c&a\end{array}}\right]$$
  9. Matriks Simetris

    Matriks Simetris, yaitu suatu matriks persegi yang apabila ditransposkan akan menghasilkan matriks semula. Misalkan \(A\) adalah matriks persegi. Matriks A dikatakan simetris jika dan hanya jika \(A=A^T\).

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{ccc} 1&4&0\\4&2&-5\\0&-5&3\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{cccc} \sqrt[3]{2}&-4&1&14\\-4&0&10&0\\1&10&-1&\pi\\14&0&\pi&1\end{array}}\right]$$

    Dari matriks \(A\) dan \(B\) terlihat jelas bahwa elemen-elemen pada diagonal utama berperan sebagai sumbu pencerminan. Sehingga apabila terdapat elemen dengan nomor baris ke-\(i\) dan kolom baris ke-\(j\) dicerminkan, maka bayangan dari pencerminan akan sama dengan elemen dengan nomor baris ke-\(j\) dan nomor kolom ke-\(i\), atau dapat ditulis \(a_{ij} = a_{ji}\).

  10. Matriks Skew Simetris

    Matriks Skew Simetris (Anti Simetri), yaitu suatu matriks persegi yang apabila ditransposkan akan sama dengan negatif dari matriks semula. Misalkan \(A\) adalah matriks persegi. Matriks \(A\) dikatakan skew simetris jika dan hanya jika \(A^T=-A\). Syarat lainnya yaitu semua elemen yang berada di diagonal utama bernilai nol.

    Contoh :

    $$A= \left[{\begin{array}{ccc} 0&4&0\\-4&0&5\\0&-5&0\end{array}}\right]~,~B= \left[{\begin{array}{cccc} 0&-4&1&14\\4&0&10&0\\-1&-10&0&-\pi\\-14&0&\pi&0\end{array}}\right]$$

    Dari contoh tersebut matriks \(A~dan~B\) mempunyai sumbu pencerminan yakni elemen-elemen yang ada pada diagonal utama. Sehingga apabila terdapat elemen dengan nomor baris ke-\(i\) dan kolom baris ke-\(j\) dicerminkan, maka bayangan dari pencerminan akan sama dengan negatif elemen dengan nomor baris ke-\(j\) dan nomor kolom ke-\(i\), atau dapat ditulis \(a_{ij} = -a_{ji}\).

Selanjutnya direkomendasikan mempelajari : Operasi Matriks dan Sifat-Sifatnya